TURUNAN FUNGSI - · PDF file1 | Phibeta 1000, Soal dan Solusi Turunan Fungsi, SIMAK UI TURUNAN FUNGSI 1. SIMAK UI Matematika Dasar 911, 2009 Jika kurva y x a x b .... 22 3

1 | Phibeta 1000, Soal dan Solusi Turunan Fungsi, SIMAK UI

TURUNAN FUNGSI

1. SIMAK UI Matematika Dasar 911, 2009

Jika kurva 32 2y x a x b turun pada interval

21

5x , maka nilai ....ab

A. 3 B. 2 C. 1 D. 2 E. 3

Solusi: [D]

21

5x

5 5 2x

21 0

5x x

1 5 2 0x x

25 3 2 0x x .... (1)

32 2y x a x b

3 2 2' 2 2 6 2 0y x x b x b x a

2 2 22 4 2 6 6 0x b x bx x a

2 22 10 2 6 0x b x bx a

2 22 5 3 0x b x bx a .... (2)

Bentuk selalu bernilai positif untuk semua x real, sehingga dapat diabaikan.

Dari (1) dan (2) diperoleh 2

dan 33

a b

23 2

3ab


Diberikan grafik fungsi 5 2

3 33 15f x x x , maka .…

(1) ' 0f tidak ada (3) Fungsi turun di selang 0, 2

(2) Fungsi naik di selang 2, (4) Terjadi minimum relatif di titik 32, 9 4

Solusi: [E]

5 2

3 33 15f x x x

2 1

3 3' 5 10f x x x

3 2

3

105 x

x


(1) 3 2

3

10' 0 5 0 tidakdidefinisikan

0f

(2) 3 2

3

10' 5 0f x x

x

3

20

x

x

Fungsi naik di selang 2,

(3) 3 2

3

10' 5 0f x x

x

3

20

x

x

Fungsi turun di selang 0, 2

(4) 3 2

3

10' 5 0f x x

x

3

20

x

x

2x

3 35 22 3 2 15 2f 3 3 36 4 15 4 9 4

Terjadi minimum relatif di titik 32, 9 4

Jadi, semua pernyataan adalan benar.


Jika 2 41 1 1 1v x x x x , maka dv

dxuntuk 1x adalah …

A. 8 B. 2 C. 0 D. 2 E. 8

Solusi: [A]

2 41 1 1 1v x x x x 2 2 41 1 1x x x 4 41 1x x 8 1x

78dv

xdx

7

1 8 1 8x

dv

dx


Diketahui fungsi yang menyatakan posisi suatu benda bergerak pada waktu t (dalam detik)

adalah 3

2 5s t t t , 0t , maka …

(1) Kecepatan benda tersebut pada waktu t adalah 1

25

32

v t t t .

(2) Benda tersebut berhenti bergerak setelah 3 detik.

(3) Arah benda bergerak berubah setelah 3 detik.

(4) Benda tersebut kembali pada posisi awal setelah 5 detik.

Solusi: [A]

(1) 3

2 5s t t t

1 3

2 23

' 5 12

v t s t t t t

1

215 3

2 2t t t

1

215 5

2 2t t

1

25

32

t t


(2) 0v t

1

25

3 02

t t

0atau 3t t

Benda tersebut berhenti bergerak setelah 3 detik.

(3) Perhatikan garis bilangan dari kecepatan:

Arah benda bergerak berubah setelah 3 detik.

(4) 0s t

3

2 5 0t t

0atau 5t t

Benda tersebut kembali pada posisi awal pada detik ke 5. Di sini bukan setelah setelah 5

detik.

Jadi, pernyataan yang benar adalah (1), (2), dan (3).


Misalkan luas sebuah segitiga sama sisi adalah fungsi dari kelilingnya. Jika keliling segitiga

adalah x , maka laju perubahan luas terhadap kelilingnya sama dengan .…

A. 2

36x B.

3

36x C. 23

36x D.

2 3

36x E.

3

4x

Solusi: [D]

Luas segitiga sama sisi yang panjang sisinya a adalah 213

4L a

Jika keliling segitiga x, maka panjang sisisinya 1

3x , sehingga

221 1 1

3 34 3 36

L x x

Jadi, laju perubahan luas terhadap kelilingnya sama dengan 2 3

36

dLx

dx


Diberikan grafik fungsi 2

4f x x

x , 0x , maka .…

(1) Fungsi naik pada himpunan 0atau 2x R x x

(2) Fungsi turun pada himpunan 0 2x R x

(3) Terjadi minimum lokal di titik 2,3

(4) Terjadi maksimum lokal di titik 0,0

Solusi: [A]

2

4f x x

x

3

8' 1f x

x

(1) 3

8' 1 0f x

x

3

3

80

x

x

0 3

+


2

3

2 2 40

x x x

x

0atau 2x x

Fungsi naik pada himpunan 0atau 2x R x x

(2) 3

8' 1 0f x

x

3

3

80

x

x

2

3

2 2 40

x x x

x

0 2x

Fungsi turun pada himpunan 0 2x R x

(3) 3

8' 1 0f x

x

3

3

80

x

x

3 8 0x

22 2 4 0x x x

2x

2

42 2 2 1 3

2f

4

24"f x

x

Karena 4

24" 2 0

2f , maka fungsi f terjadi minimum lokal di titik 2,3 .

(4) 3

8' 1 0f x

x , di sini 0x , sehingga tidak terjadi maksimum lokal di titik 0,0

Jadi, pernyataan yang benar adalah (1), (2), dan (3).

7. SIMAK UI Matematika IPA 924, 2009

Jika suatu fungsi 2 7y x maka ….

(1) 4 7

3 3y x merupakan persamaan garis singgung di 4x

(2) Kurva berbentuk lingkaran berpusat di (0,0)

(3) Garis 3

64

y x memotong tegak lurus garis singgung di 4x

(4) 4 25

3 3y x merupakan garis yang menyinggung kurva di (4, 3)

Solusi: [B]

2 7y x

1

2 2

2

1' 2 7

2 7

xy x x

x

(1) 24 4 7 3 4,3y


42

4 4'

34 7xm y

Persamaan garis singgungnya adalah

4

3 43

y x

4 16 4 73

3 3 3 3y x x

(2) Fungsi 2 7y x bukan lingkaran

(3) Gradien garis 4 7

3 3y x adalah 1

4

3m dan gradien garis

36

4y x adalah 2

3

4m ,

sehingga 1 2 1m m .

4 7 3

63 3 4

x x

16 28 9 72x x

25 100x

4x

Jadi, garis

36

4y x memotong tegak lurus garis singgung di 4x

(4) Titik (4, 3) tidak terletak pada fungsi 2 7y x , sehingga garis 4 25

3 3y x bukab

merupakan garis yang menyinggung kurva di (4, 3)

Jadi, pernyataan yang benar adalah (1) dan (3).


Persamaan garis singgung dari kurva 3 23 1f x x x x di titik 3x adalah …

A. 10 28y x C. 2 4y x E. 28y x

B. 5 13y x D. 1

13

y x

Solusi: [A]

3 23 1f x x x x

3 23 3 3 3 3 1 2 3,2f

2' 3 6 1f x x x

2' 3 3 3 6 3 1 10m f


2 10 3y x

10 28y x


Jika fungsi 2 2 5f x bx b x mempunyai nilai tertinggi saat 1

4x , maka .…

(1) 4b (3) Fungsi turun pada interval 5

1,4

(2) 4b (4) Fungsi naik pada interval 1

,4

Solusi: [C]


2 2 5f x bx b x

2 2 5f x bx b x

' 2 2f x bx b

1 1

' 2 2 04 4

f b b

2 4 0b b

4b

' 8 2f x x

Fungsi turun ' 0f x , sehingga

8 2 0x

1

4x

Fungsi turun pada interval 1

,4

Fungsi naik ' 0f x , sehingga

8 2 0x

1

4x

Fungsi naik pada interval 1

,4

Pernyataan yang benar adalah (2) dan (4).


Jarak terdekat titik 6,0 ke kurva 2y x adalah …

A. 2 3 B. 4 C. 2 5 D. 2 6 E. 6

Solusi: [C]

2 22 6 0d x y

222 6 2d x x

2 2 12 36 4d x x x

2 2 8 36d x x

2 ' 2 8 0d x

4x 2 24 8 4 36 20d

20 2 5d


Y

X

6,0

2y x

,x y

d

O

r

h


Sebuah tempat air terbuat dari plat baja yang berbentuk separuh tabung (sesuai gambar). Bagian

atas terbuka dan kapasitasnya 125 liter. Agar bahan pembuatannya sehemat mungkin, nilai h

… meter.

A. 1 B. 5 C. 10 D. 50 E. 100

Solusi: [A]

Volume setengah tabung 21125

2V r h

2 250r

h

Luas permukaan setengah tabung 2L r rh

250 250L h

h h

250250h

h

2

250 250' 0

2 250L

h h

2

1 1

2 250h h

2 2 250h h

4 4 250h h

4 1000 0h h

3 1000 0h h

0(ditolak)atau 10h h

Jadi, nilai h adalah 1 meter.


Sebuah akuarium memiliki dasar dan sisi-sisi yang berbentuk persegi panjang dan tidak memiliki

tutup. Volume dari akuarium adalah 4 m3. Lebar dari dasar akuarium adalah 1 m. Untuk

pembuatan dasar akuarium diperlukan biaya sebesar Rp10.000,00 per m2, sedangkan untuk sisi-

sisinya diperlukan biaya sebesar Rp5.000,00 per m2. Biaya minimal yang diperlukan untuk

membuat sebuah akuarium adalah .…

A. Rp20.000,00 C. Rp50.000,00 E. Rp80.000,00

B. Rp40.000,00 D. Rp60.000,00

Solusi: [E]

Volume akuarium: V plt

4 1p t

4p

t

Biaya pembuatan akuarium:

10.000 5.000 2 5.000 2B pl pt lt

4 4

10.000 1 5.000 2 5.000 2 1B t tt t

40.00040.000 10.000B t

t

2

40.000' 10.000 0B

t

p

t

1


2

41

t

2 4t

2t

40.000

2 40.000 10.000 2 80.0002

B

Jadi, biaya minimal yang diperlukan untuk membuat sebuah akuarium adalah Rp80.000,00


Nilai minimum dari kuadrat jarak titik 0,3P ke Q yang terletak pada parabola 22 1y x

adalah ….

A. 4 B. 15

16 C.

49

64 D.

3

4 E. 0

Solusi: [B]

2 22 0 3d x y

2

2 2 22 1 3d x x 2 2 4 24 8 4d x x x

2 4 24 7 4d x x

2 3' 16 14 0d x x

22 8 7 0x x

10 14

4x x

4 22 1 1

4 14 7 14 44 4

d

4 21 1

4 14 7 14 44 4

196 144 7 4

256 16

49 98 15

416 16 16


Sebuah kotak obat tanpa tutup alasnya berbentuk persegi dan mempunyai volume 4000 cm3.

Luas permukaan kotak obat minimum adalah .…

A. 1800 cm2

C. 1200 cm2

E. 1000 cm2

B. 1240cm2 D. 1100cm

2

Solusi: []

Volume kotak: V x x y

24000 x y

2

4000y

x

Luas permukaan kotak: 2 4L x xy

2 2

2

4000 160004L x x x

xx

2

16000' 2 0L x

x

2

8000x

x

3 8000x

Y

X

0,3P

22 1y x

,Q x y

d

O

1

x

y

x


20x

2 1600020 20 1200

20L

Jadi, luas permukaan kotak obat minimum adalah 1200 cm2.


sin sin sin sin....sin sin ....y x Tentukan dy

dxpada 0x .

A. B. 1 C. 0 D. 1 E.

Solusi: [D]

sin cosdy

y x xdx

0 cos0 1x

dy

dx

sin sin cos sin cosdy

y x x xdx

0 cos sin 0 cos0 cos0 1 1 1 1x

dy

dx

Jadi, sin sin sin sin....sin sin ....y x dengan 0 1x

dy

dx


Sebuah balon berbentuk bola sedang dipompa sehingga volumenya bertambah 100 cm3 per

detik. Laju perubahan jari-jari balon ketika diameternya mencapai 50 cm adalah …

A. 1

25 B.

1

5 C. D. 5 E. 25

Solusi: [A]

Volume bola: 34

3V R

24dV

RdR

100dV

dt

Menurut Teorema Rantai:

dV dV dR

dt dR dt

2100 4dR

Rdt

2

100

4

dR

dt R

2252

100 1

254 25D

R

dR

dt


Diberikan fungsi y x . Yang benar dari pernyataan berikut ini adalah .…

(1) 1dy

dx untuk 0x (3)

dy

dxtidak ada untuk 0x

(2) 1dy

dx untuk 0x (4)

dy

dx ada untuk semua x R


Solusi: [D]

, untuk 0

,untuk 0

x xy x

x x

1dy

dx untuk 0x

1dy

dx untuk 0x

dy

dx ada untuk semua x R

Pernyataan yang benar adalah (4).


Sebuah polinom p x mempunyai suatu maksimum lokal di 2, 4 , suatu minimum lokal di

1,1 , suatu maksimum lokal di 5,7 dan tidak ada titik kritis lain. Maka p x memotong sumbu

x di .…

A. 1 titik B. 2 titik C. 3 titik D. 4 titik E. 5 titik

Solusi: [B]

Setelah data yang diberikan divisualkan,

terlihat bahwa polinom p x

memotong

sumbu x di 2 titik.


Jumlah nilai terbesar dan terkecil dari 2

2

14 9

2 3

x x

x x

untuk setiap nilai x riil adalah .…

A. 3 B. 2 C. 1 D. 1 E. 2

Solusi: [C]

2

2

14 9

2 3

x xf x

x x

2 2

22

2 14 2 3 2 2 14 9'

2 3

x x x x x xf x

x x

3 2 3 2

22

2 18 34 42 2 30 46 18

2 3

x x x x x x

x x

2

22

12 12 24

2 3

x x

x x

Nilai stasioner fungsi f dicapai jika ' 0f x , sehingga

212 12 24 0x x 2 2 0x x

2 1 0x x

2 1x x

Y

X 1

y x

O

1

1

Y

X 1

y p x

O

2

1

min 1,1

max 5,7

max 2, 4

5

4

7


2

min 2

2 14 2 9 152 5

32 2 2 3f f

2

max 2

1 14 1 9 241 4

61 2 1 3f f

min max 5 4 1f f


Diketahui f adalah fungsi dimana 2

1'

1f x

x

. Jika 3 1g x f x , maka 'g x

A.

2

1

3 1 1x

C.

2

3

3 1x

E.

2

3

3 1 1x

B.

2

3

3 1 1x

D.

2

1

3 1x

Solusi: [B]

2

1'

1f x

x

3 1g x f x

2

3' ' 3 1 3

3 1 1g x f x

x


Jika g x f f f x dengan 0 0f dan ' 0 2f , maka ' 0g = ….

A. 0 B. 2 C. 4 D. 8 E. 16

Solusi: [D]

g x f f f x f f f x

' ' ' 'g x f f f x f f x f x ' 0 ' 0 ' 0f f f f f f ' 0 ' 0 2f f f

' 0 2 2f 2 2 2 8

22. SIMAK UI Matematika Dasar 212. 2011

Diketahui fungsi f dan g

dengan ' 2 3f dan ' 2 4g . Jika pada saat 2x , turunan dari

fg x adalah 11 dan turunan dari 2 2f g x adalah 20, maka turunan dari

fx

g

saat 2x

adalah ….

A. 5 B. 2 C. 3

4 D. 1 E. 2

Solusi: [A]

' ' 'fg x f x g x g x f x

' 2 ' 2 2 ' 2 2 11fg f g g f

3 2 4 2 11g f .... (1)

2 2 2 ' 2 'f g x f x f x g x g x

2 2 2 2 ' 2 2 2 ' 2 20f g x f f g g

2 2 3 2 2 4 20f g

4 2 3 2 10g f .... (2)


Dari 4 persamaan (1) 3 persamaan (2) diperoleh

7 2 14f

2 2f

3 2 4 2 11g

3 2 3g

2 1g

2

' ''

f x g x g x f xfx

g g x

2

' 2 2 ' 2 2' 2

2

f g g ff

g g

2

3 1 4 25

1


Garis 11 3 48 0x y menyinggung grafik 4 3

3 6

xf x

x

di titik ,a b . Untuk a b , nilai

....a b

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5

Solusi: [B]

Gradien garis 11 3 48 0x y adalah 11

3m

4 3

3 6

xf x

x

2

4 3 6 3 4 3'

3 6

x xf x

x

2

33

3 6x

2

33 11'

33 6m f a

a

2

3 6 9a

3 6 3atau3 6 3a a 3atau 1a a

4 3 3 153 5

3 3 6 3b f

atau

4 1 3 71

3 1 6 3b f

Sehingga , 3,5a b

Jadi, 3 5 2a b


Jika diketahui x dan y adalah bilangan riil positif di mana 10x y , maka nilai minimum dari

1 12 2

x y

adalah ….

A. 82

25 B.

121

25 C.

41

5 D.

82

5 E.

121

5

Solusi: [B]

10x y 10y x

1 1 1 12 2 2 2

10P

x y x x

2 1 21 2

10

x x

x x

2

2

4 40 21

10

x x

x x


2 2

22

8 40 10 10 2 4 40 21'

10

x x x x x xP

x x

3 2 3 2

22

8 120 400 8 120 358 210

10

x x x x x x

x x

2

2

42 210

10

x

x x

Nilai stasioner fungsi P dicapai jika 'P , sehingga

42 210 0x

2105

42x

10 5 5y

Jadi, nilai minimum dari 1 1

2 2x y

1 1 1212 2

5 5 25


Jika grafik fungsi 1 4

ax bf x

x x

mempunyai garis singgung horizontal pada titik

2, 1 , maka nilai a b adalah ….

A. 2 B. 1 C. 0 D. 1 E. 2

Solusi: [D]

21 4 5 4

ax b ax bf x

x x x x

2

22

5 4 2 5'

5 4

a x x x ax bf x

x x

Garis singgung horizontal pada titik 2, 1 berarti ' 2 0m f , sehingga

2

22

2 5 2 4 2 2 5 20

2 5 2 4

a a b

2 2 0a a b

0b

Karenanya fungsi f menjadi 1 4

axf x

x x

.

Grafik fungsi f melalui titik 2, 1 , sehingga

2

12 1 2 4

a

2 2a

1a

1 0 1a b



Sebuah kerucut tegak tanpa alas diletakkan terbalik. Sebuah bola berdiameter 16 cm dimasukkan

ke dalam kerucut sehingga semua bagian bola masuk ke dalam kerucut. Kerucut dengan volume

terkecil yang mungkin mempunyai ukuran tinggi .…

A. 8 2 cm B. 8 3 cm C. 16 2 cm D. 24 cm E. 32 cm

Solusi: [E]

Misalnya tinggi kerucut h dan jari-jarinya r.

2 2 2 2AB AC CB r h Perhatikan ACB ODB AC OD

AB OB

2 2

8

8

r

hr h

2

2 2 2

64

16 64

r

r h h h

2 2 2 2 2 216 64 64 64r h r h r r h

2 2 2 216 64r h r h h

2 216 64r h r h

2 16 64r h h

2 64

16

hr

h

Volume kerucut 21

3V r h

1 64

3 16

hV h

h

264

3 48

h

h

2

2

128 3 48 3 64'

3 48

h h hV

h

2 2

2

384 6144 192

3 48

h h h

h

2

2

192 6144

3 48

h h

h

Nilai stasioner fungsi V dicapai jika ' 0V , sehingga 2192 6144 0h h

614432

192h


Dari semua garis singgung pada kurva 2

5

6y

x

, maka persamaan garis singgung dengan

kemiringan terkecil adalah ….

A. 32 5 2 30y x C. 32 5 2 30y x E. 12 4 3 7y x

B. 8 2 24y x D. 12 4 3 21y x

Solusi: [C]

Misalnya titik ,a b terletak pada kurva 2

5

6y

x

2

22

0 6 2 5'

6

x xy

x

2

2

10

6

x

x

A

B

C

O

D

R = 8

r


22

10'

6

am y a

a

22 2

42

10 6 4 6 10'

6

a a a am

a

2 2

32

10 60 40

6

a a

a

2

32

30 60

6

a

a

3 22 2 2

62

60 6 6 6 30 60"

6

a a a a am

a

2 2

42

60 6 6 30 60

6

a a a a

a

Nilai stasioner m dicapai jika ' 0m , sehingga

230 60 0a

2 2a

2a

Karena

4

60 2 2 6 6 2 30 2 60 15" 2 2 0

1282 6m

, maka m mencapai

minimum.

Gradien

min 2 22

10 10 2 5' 2 2

322 66

am y

a

2

5 5 52

6 2 6 8a b

x

Titik singgungnya 5

2,8

Persamaan garis singgungnya:

5 52 2

8 32y x

32 20 5 2 10y x

32 5 2 30y x


Jika diberikan fungsi 2 2 13 4f x x x

x maka persamaan garis singgung kurva f x di

titik dengan absis 16 adalah ….

A. 319 128 944x y C. 3 2 27x y E. 8 319 944y x

B. 79 32 224x y D. 9 4 52x y

Solusi 1: [A]

2 2 13 4f x x x

x

Menentukan invers dari 2y x sebagai berikut.

2x y

y x


Selanjunya,

2 1

3 4f x x xx

4

13 4x x

x

54

2 1' 3

4f x

x x

54

2 1 1 1 319' 16 3 3

2 128 12816 4 16m f

4

1 1 1 6516 3 16 4 16 48 16 32 16,

2 2 216f


65 319

162 128

y x

128 4160 319 5104y x

319 128 944x y

Solusi 2: [A]

2 2 13 4f x x x

x

1 65

16 3 16 4 42 2

f

Sehingga titik singgungnya adalah 65

16,2

.

2 1' 2 6 4

2f x x x

x x

2

2

2 1' 3

4f x

x x x

2 1 1 1 319

' 16 3 34 2 128 1284 16 4

m f


65 319

162 128

y x

128 4160 319 5104y x

319 128 944x y


Suatu kapal tanker pengangkut minyak mengalami kebocoran sehingga terjadi tumpahan di laut

lepas. Tumpahan minyak menyebar dari kapal membentuk lingakaran. Pada suatu waktu tertentu,

radius tumpahan dari kapal adalah 1 km, dan volume tumpahan bertambah dengan laju 10.000

liter per detik. Tebal tumpahan minyak selalu tetap, yaitu 15 cm. Pada waktu tersebut, laju

pertambahan radius tumpahan adalah .…

A. 1

40 m/det C.

1

20 m/det E.

1

10 m/det


B. 1

30 m/det D.

1

15 m/det

Solusi: [B]

Volume tabung: 2V r h

dengan 1km 1000mr dan 15cm 0,15mh

310.000liter/ det 10m / detdV

dt

10dV dt 10V t

2 10r h t

2

1000 0,15 10t

15.000t

Selanjutnya, 2 10r h t

2 10

0,15

tr

10

0,15

tr

10

0,15

102

0,15

dr

dt t

10

0,15

10 15.0002

0,15

10

0,15

2 1.000.000

10 1 1

0,15 2.000 30 m/det


Jika garis singing parabola 24y x x di titik 1,3M

juga merupakan garis singgung parabola

2 6y x x k , maka nilai dari 5 1k adalah .…

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4

Solusi: [B] 24y x x

1' 1 4 2 4 2 1 2xm y x

3 2 1y x

2 1y x Selanjutnya,

2 6 2 1x x k x

2 8 1 0x x k

Syarat garis menyinggung parabola adalah D = 0.

2

8 4 1 1 0k

1 16k

5 1 5 16 5 4 1k



Dari sehelai karton akan dibuat sebuah kotak tanpa tutup dengan alas persegi. Jika jumlah luas

bidang alas dan semua bidang sisi kotak adalah 192 cm2, maka volume kotak terbesar yang

mungkin adalah ….

A. 256 cm3 B. 320 cm

3 C. 364 cm

3 D. 381cm

3 E. 428 cm

3

Solusi: [A]

Luas permukaan kotak: 2 4 192L x xy

48

4

xy

x

Volume kotak: 2V x y 2 48

4

xx

x

3

484

xx

23' 48 0

4

xV

2 64x

8x

3"

2

xV

Karena " 8 12 0V , maka fungsi V mencapai maksimum pada 8x .

3

max

848 8 256

4V

Jadi, volume kotak terbesar yang mungkin adalah 256 cm3.


Jika 2 3f , ' 2 4f , 2 2g , dan ' 2 5g , maka untuk 2x , nilai dari

2 3df x g x

dxd

f g xdx

adalah ….

A. 3,6 B. 4,2 C. 4,8 D. 5,6 E. 7

Solusi: [B]

2 32

2 2

2 ' 3 '

' 'x x

df x g x f x f x g x g xdx

d f g x g xf g x

dx

22 2 ' 2 3 2 ' 2

' 2 ' 2

f f g g

f g g

22 3 4 3 2 5 24 60 84

4,2' 2 5 4 5 20f


Jika 0 0f dan ' 0 2f , maka turunan dari f f f f f f x di 0x adalah

….

A. 128 B. 64 C. 32 D. 16 E. 8

Solusi: [B]

Turunan dari f f f f f f x di 0x adalah

x

y

x


'f f f f f f x 'f f f f f x 'f f f f x 'f f f x

'f f x 'f x

' 0f f f f f f ' 0f f f f f ' 0f f f f ' 0f f f

' 0f f ' 0f

' 0f f f f f ' 0f f f f ' 0f f f ' 0f f ' 0f ' 0f

' 0f f f f ' 0f f f ' 0f f ' 0f ' 0f ' 0f

' 0f f f ' 0f f ' 0f ' 0f ' 0f ' 0f

' 0f f ' 0f ' 0f ' 0f ' 0f ' 0f

' 0f ' 0f ' 0f ' 0f ' 0f ' 0f

6 6' 0 2 64f


Diberikan 2sinf x x . Jika 'f x

menyatakan turunan pertama dari f x , maka

1

lim ' 'h

h f x f xh

= ….

A. sin 2x B. cos2x C. 2cos2x D. 2sin x E. 2cos x

Solusi 1: [C]

2sinf x x

' 2sin cos sin 2f x x x x

1

lim ' 'h

h f x f xh

(Limit bentuk tak tentu 0 )

2lim sin 2 sin 2h

h x xh

1 1lim 2cos 2 sinh

h xh h

1sin

12 limcos 2 lim

1h h

hxh

h

10

1sin

12 limcos 2 lim

1h

h

hxh

h

2cos2 1 2cos2x x

Solusi 2: [C]

2sinf x x

' 2sin cos sin 2f x x x x

" 2cos 2f x x

1

lim ' 'h

h f x f xh

(Limit bentuk tak tentu 0 )

Misalnya 1

th

atau 1

ht

sehingga


1

lim ' 'h

h f x f xh

1lim ' 'h

f x t f xt

0

' 'limt

f x t f x

t

(definisi turunan kedua)

"( ) 2cos2f x x

Catatan:

Definisi turunan (pertama):

0' lim

t

f x t f xf x

t


Grafik 3 21 3

23 2

y x x x mempunyai garis singgung mendatar pada titik P dan Q , maka

jumlah ordinat dari titik P dan Q adalah ….

A. 2

3 B.

5

6 C.

3

2 D.

5

3 E.

8

3

Solusi: [C]

Misalnya titik 1 1,P x y dan 2 2,Q x y .

3 21 32

3 2y x x x

2 2' 3 2y x x

2 2' 3 2 0m y x x

2 1 0x x

1 22 1x x

3 2

1

1 3 8 22 2 2 2 6 4

3 2 3 3y

3 2

2

1 3 1 3 51 1 2 1 2

3 2 3 2 6y

1 2

2 5 9 3

3 6 6 2y y


Diketahui 23'f x x x a x b dengan 0 a b . Pernyataan yang BENAR mengenai fungsi

f adalah ....

(1) Jika x b , f a adalah nilai maksimum f. (3) Jika 0x , f merupakan fungsi turun.

(2) Jika 0x , f b adalah nilai minimum f. (4) Jika x b , f merupakan fungsi naik.

Solusi: [D]

Titik maksimum atau minimum pada saat ' 0f x .

Dari fungsi turunan 23'f x x x a x b dapat dibuat

visualisasinya seperti gambar di samping ini, sehingga

dapat diketahui bahwa ' 0f x tercapai pada

0, ,danx x a x b , dengan 0 a b .

Y

X a

'y f x

O b


Fungsi f dikatakan naik jika ' 0f x ( 'f x bernilai

positif) dan fungsi f dikatakan turun jika ' 0f x ( 'f x

bernilai negatif)

Fungsi 'f x negatif (bagian kurva terletak di bawah sumbu X) berada pada interval 0 x a

dan a x b . Hal ini menunjukkan bahwa fungsi f turun pada 0 x a dan a x b .

Fungsi 'f x positif (bagian kurva terletak di atas sumbu X) berada pada interval 0x atau

x b . Hal ini menunjukkan bahwa fungsi f naik pada 0x atau x b .

Pernyataan (4) benar.


Diketahui grafik fungsi 'f x seperti yang terlihat di atas. Sifat-sifat yang dimiliki oleh fungsi

f x adalah ....

(1) Saat 1x , f x turun.

(2) Saat 0 2x , f x naik.

(3) Garis singgung kurva f x di 1x sejajar dengan sumbu x.

(4) 2x merupakan titik ekstrem.

Solusi: [E]

Titik maksimum atau minimum pada saat ' 0f x .

Visualisasi fungsi turunan 'y f x dapat dilihat pada gambar yang diberikan. Untuk

' 0f x tercapai pada 1dan 2x x .

Fungsi f dikatakan naik jika ' 0f x ( 'f x bernilai positif) dan fungsi f dikatakan turun jika

' 0f x ( 'f x bernilai negatif)

Fungsi 'f x negatif (bagian kurva terletak di bawah sumbu X) berada pada interval 1x .

Hal ini menunjukkan bahwa fungsi f turun pada 1x .

Fungsi 'f x positif (bagian kurva terletak di atas sumbu X) berada pada interval 1 2x atau

2x . Hal ini menunjukkan bahwa fungsi f naik pada 1 2x atau 2x .

Semua pernyataan benar.


Jika 'P x menyatakan turunan dari suku banyak P x terhadap x, sisa pembagian P x oleh

2

x a adalah ....

A. 'P a x a P a C. 'P a P a x a P a E. 2

'P a x a P a

B. 2 'P a x a P a D. 2

'P a x a

Y

X 1

'y f x

O 2 2

3 3 1


Solusi: [A]

Ilustrasi:

Tentukan sisa pembagian polinom 3 24 7 25P x x x x yang dibagi oleh 2

2x .

Solusi:

3 24 7 25P x x x x

3 22 2 4 2 7 2 25 35P

2' 3 8 7P x x x

2' 2 3 2 8 2 7 21P

Karena pembagi adalah 2 22 4 4x x x berbentuk kuadrat, maka sisa pembagian polinom

P x oleh 2

2x berbentuk linear, yaitu S x ax b .

Pembagian panjang:

Sisa pembagian tersebut dapat ditentukan sebagai berikut.

' 2 2 2S x P x P

21 2 35 21 7S x x x

Kesimpulan:

Jika 'P x menyatakan turunan dari suku banyak P x terhadap x, sisa pembagian P x oleh

2

x a adalah 'P a x a P a .

39. SIMAK UI Matematika Dasar Kode 1, 2014

Jika 2 3f , ' 2 6f , 2 1g , ' 2 4g , dan

f x g xh x

f x g x

, maka ' 2 ....h

A. 15

4 B. 6 C.

15

2 D. 9 E. 12

Solusi: [C]

f x g xh x

f x g x

2

' ' ' ''

f x g x g x f x f x g x f x g x f x g xh x

f x g x

2

' 2 2 ' 2 2 2 2 ' 2 ' 2 2 2' 2

2 2

f g g f f g f g f gh

f g

2 2

6 1 4 3 3 1 6 4 3 1 18 2 2 3 30 15' 2

4 223 1h

2 3 2

3 2

2

2

8 (hasilbagi)

4 4 4 7 25

4 4

8 11 25

8 32 32

21 7

sisapembagian

x

x x x x x

x x x

x x

x x

x



Jika g x f r x s x , dengan r x dan s x masing-masing adalah fungsi yang dapat

diturunkan, maka " ....g x

A. "f r x s x

B. " ' ' ' " "f r x s x r x s x f r x s x r x s x

C. 2

" ' ' ' " "f r x s x r x s x f r x s x r x s x

D. ' ' " 'r x s x f r x s x f r x s x

E. 2

' ' " 'r x s x f r x s x f r x s x

Solusi: [C]

g x f r x s x

' ' ' 'g x f r x s x r x s x

" " ' ' ' ' ' " "g x f r x s x r x s x r x s x f r x s x r x s x

2

" " ' ' ' " "g x f r x s x r x s x f r x s x r x s x

41. SIMAK UI Matematika IPA Kode 1, 2014

Misalkan 1 2f , ' 1 1f , 1 0g , dan ' 1 1g . Jika cosF x f x g x , maka

' 1 ....F

A. 2 B. 1 C. 0 D. 1 E. 2

Solusi: [D]

cosF x f x g x

' ' cos sin 'F x f x g x g x g x f x

' 1 ' 1 cos 1 sin 1 ' 1 1F f g g g f

' 1 1 cos 0 sin 0 1 2 1F


Misalkan 0 1f dan ' 0 2f . Jika cosg x f x , maka ' 0 ....g

A. 2sin1 B. 0 C. sin 2 D. 1 E. 2

Solusi: [A]

cosg x f x

' sin 'g x f x f x

' 0 sin 0 ' 0g f f sin 1 2 2sin1


Misalkan turunan kedua dari 3 2f x ax bx cx di titik 1, 2 adalah 0 dan garis singgung di

titik 1, 2 tegak lurus dengan garis 2 3y x , maka pernyataan berikut yang BENAR adalah ....

(1) Nilai dari 22 3 6a b c (3) Jumlahan semua nilai a, b, dan c adalah 2

(2) f x naik pada interval 6 6

1 ,16 6

(4) f x turun pada 6 6

1 atau 16 6

x x

Solusi: [A]

3 2f x ax bx cx


2' 3 2f x ax bx c

" 6 2f x ax b

" 1 6 1 2 0f a b

3b a .... (1)

1, 2 3 2f x ax bx cx

3 22 1 1 1a b c

2a b c .... (2)

Gradien garis 2 3y x adalah 2

1

2m .

Syarat garis saling tegak lurus adalah 1 2 1m m , sehingga 1 2m .

21 ' 1 3 1 2 1 2m f a b c

3 2 2a b c .... (3)

Persamaan (3) – Persamaan (2) menghasilkan:

2 4a b .... (4)

Dari persamaan (1) dan (4) diperoleh:

2 3 4a a

4a

3 4 12b

4 12 2c

10c

(1) Nilai dari 2 22 3 2 4 3 12 10 32 36 10 6a b c

Fungsi f menjadi 3 24 12 10f x x x x

2' 12 24 10f x x x

(2) Fungsi f naik jika ' 0f x , sehingga

212 24 10 0x x

26 12 5 0x x

6 6 6 6

06 6

x x

6 6

1 16 6

x x

f x naik pada interval

6 61 ,1

6 6

(3) 2a b c

Jumlahan semua nilai a, b, dan c adalah 2

(4) f x turun pada 6 6

1 16 6

x

Pernyataan yang benar adalah (1), (2), dan (3).


Diketahui 3sin sin cosf x x . Jika

3" 0

cos sin 1 sin 1sin 2

fA , maka ....A

A. 3

2 B.

1

2 C. 0 D.

1

2 E.

3

2


Solusi: []

3sin sin cosf x x

3 2' cos sin cos 3sin cos cos cos sin( )f x x x x x

2 3' 3sin cos cos sin cos cos cos sin( )f x x x x x

dan seterusnya,-


Misalkan f x y f x f y untuk semua bilangan x dan y. Jika ' 0f ada, maka pernyataan

berikut yang BENAR adalah ....

(1) 0 1f (3)

0

1' lim

h

f hf a f a

h

(2) ' ' 0 ,f a f a f a R (4) ' 2 2 ' 2f x f

Solusi: [A]

(1) f x y f x f y

Jika 0x y , maka

0 0 0 0f f f

0 0 0 0f f f

0 0 1 0f f

0 0 0 1f f

Jadi, pernyataan 0 1f adalah benar.

(2) Kita memperoleh definisi turunan:

0' lim

h

f a h f af a

h

0

0' lim

h

f a h f af a

h

0

0' lim

h

f a f h f a ff a

h

0

0' lim

h

f h ff a f a

h

0

0' lim

h

f h ff a f a

h

0

0 0' lim

h

f h ff a f a

h

' ' 0f a f a f

Jadi, ' ' 0 ,f a f a f a R adalah pernyataan yang benar.


0' lim

h

f a h f af a

h

0

0' lim

h

f a h f af a

h

0

0' lim

h

f a f h f a ff a

h


0

0' lim

h

f h ff a f a

h

0

1' lim

h

f hf a f a

h

(Benar)


Cara 1:

f x y f x f y

f x x f x f x

2

2f x f x ' 2 2 2 'f x f x f x

' 2 'f x f x f x

Cara 2:

0

2 2' 2 lim

h

f x h f xf x

h

0' 2 lim

h

f x x h f x xf x

h

0' 2 lim

h

f x f x h f x f xf x

h

0' 2 lim

h

f x h f xf x f x

h

' 2 'f x f x f x

Cara 3

0

2 2' 2 lim

h

f x h f xf x

h

0' 2 lim

h

f x x h f x xf x

h

0' 2 lim

h

f x f x h f x f xf x

h

0' 2 lim

h

f x h f xf x f x

h

0

0' 2 lim

h

f x h f xf x f x

h

0

0' 2 lim

h

f x f h f x ff x f x

h

2

0

0 0' 2 lim

h

f h ff x f x

h

2

' 2 ' 0f x f x f



Pernyataan mengenai turunan fungsi yang BENAR adalah ....

(1) Jika " 0f c atau tidak terdefinisi di c dan c ada di daerah asal f, maka f memiliki titik

belok di x c .


(2) Jika f x adalah fungsi linear dengan kemiringan positif dan ,a b adalah interval tertutup,

maka f x akan mempunyai maksimum pada interval tersebut di f b .

(3) Jika ' 0 0f maka f x merupakan fungsi konstan.

(4) Jika ' 0f c atau tidak terdefinisi di c dan c ada di daerah asal f, maka f memiliki titik kritis

di x c .

Solusi: [C]

Untuk menjawab soal ini, sebaiknya kita memulai dengan tahapan berikut.

Tahap 1:

Perhatikan pernyataan (3), pernyataan ini jelas salah. Sebagai penyangkalan misalnya

3 8f x x , sehingga 2' 3f x x dan 2' 0 3 0 0f , tetapi f x bukan merupakan fungsi

konstan.

Tahap 2:

Kalau pernyataan (3) salah akibatnya pernyataan (1) salah.

Tahap 3:

Sekarang perhatikan pernyataan (2): “Jika f x adalah fungsi linear dengan kemiringan positif

dan ,a b adalah interval tertutup, maka f x akan mempunyai maksimum pada interval

tersebut di f b ”. (Benar)

Tahap 4:

Pernyataan (4) : “Jika ' 0f c atau tidak terdefinisi di c dan c ada di daerah asal f, maka f

memiliki titik kritis di x c ”. (Benar)

Jadi, pernyataan yang benar adalah (2) dan (4).


Jika 2

2

2 , 3 0

2,0 3

x xf x

x x

, maka ....

(1) ' 2 2 8f f .

(2) f x simetris terhadap sumbu Y.

(3) Persamaan garis singgung di titik 2, 2P dan 2,6Q adalah sejajar.

(4) 1f x f x

Solusi: [A]

(1) 22f x x

' 2f x x

' 2 2 2 4f

2 2f x x

' 2f x x

Y

X

max ,b f b

O a b

y f x mx n min ,a f a


2 2 2 4f

Jadi, ' 2 2 4 4 8f f (Benar)

(2) f x simetris terhadap sumbu Y.

(3) 1 ' 2 2 2 4m f

2 ' 2 2 2 4m f

1 2m m

Karena gradien garis singgung yang melalui titik 2, 2P dan 2,6Q adalah sama, maka

kedua garis ini sejajar.

(4) Menentukan invers:

22f x x

22x y

2 2y x

2 2f x x

2 2x y

2 2y x

Jadi, 1f x f x



Misalkan grafik dari y f x melalui titik 1,3A

dan mempunyai turunan 2' 3 10y x , maka

garis singgung di titik A ....

(1) sejajar dengan garis 7 5x y (3) memotong sumbu Y di titik 0,10

(2) memtong sumbu X di titik absis 10

7 (4) tegak lurus dengan garis 7 35 0x y

Solusi: [E]

(1) Gradien garis 7 5x y adalah 7m

21 ' 1 3 1 10 7m y

Karena gradien 1 7m m , maka pernyataan bahwa: “garis singgung di titik A sejajar

dengan garis 7 5x y “ adalah pernyataan yang bernilai benar.

(2) Persamaan garis singgung (PGS):

3 7 1y x

7 10y x

Grafik memotong sumbu X jika y = 0, sehingga

Y

X

22y x

O

3 3

2 2y x


0 7 10x 10

7x

Garis singgung di titik A memotong sumbu X di titik dengan absis 10

7 adalah pernyataan

yang bernilai benar.

(3) Grafik memotong sumbu Y jika x = 0, sehingga

7 0 10 10y

Koordinat titik potongnya adalah 0,10 .

Garis singgung di titik A memotong sumbu Y di titik 0,10 adalah pernyataan yang benar.

(4) Gradien garis 7 35 0x y adalah 2

1

7m .

Karena 1 2 1m m , maka pernyataan garis singgung di titik A tegak lurus dengan garis

7 35 0x y adalah pernyataan yang bernilai benar.

Jadi, semua pernyataan bernilai benar.


Misalkan turunan dari suatu fungsi 'y f x memiliki grafik seperti tampak pada gambar, maka

fungsi ....f x

(1) mencapai maksimum lokal di 1x

(2)

naik pada 1atau 7x x

(3) mencapai minimum lokal di 7x

(4) turun pada 1 7x

Solusi: [E]

Titik maksimum atau minimum pada saat

' 0f x .

Dari fungsi turunan 'y f x

seperti gambar

tersebut dapat diketahui bahwa ' 0f x tercapai

pada 1dan 7x x .

Fungsi f dikatakan naik jika ' 0f x ( 'f x

bernilai positif) dan fungsi f dikatakan turun jika

' 0f x ( 'f x bernilai negatif)

Fungsi 'f x negatif (bagian kurva terletak di bawah sumbu X) berada pada interval 1 7x .

Hal ini menunjukkan bahwa fungsi f turun pada 1 7x .

Fungsi 'f x positif (bagian kurva terletak di atas sumbu X) berada pada interval 1x atau

7x . Hal ini menunjukkan bahwa fungsi f naik pada 1x atau 7x .

(1) mencapai maksimum lokal di 1x (benar)

(2)

naik pada 1atau 7x x (benar)

(3) mencapai minimum lokal di 7x (benar)

(4) turun pada 1 7x (benar)


Y

X

'y f x

O

7

1

maks

'f x

y f x

min

7

1+

+



Jika 24 2f x x x , maka pernyataan berikut yang BENAR adalah ....

(1) f naik hanya untuk 2 2 atau 2 2x x .

(2) f turun untuk 2 2x .

(3) f terdefinisi hanya untuk 2 2x .

(4) f tidak garis singgung kurva f di 2x .

Solusi: [A]

24 2f x x x

2

2

2' 4

2 4

xf x x x

x

2 2

2

4

4

x x

x

2

2

2 4

4

x

x


2

2

2 40

4

x

x

2 20

2 2

x x

x x

2 2 atau 2 2x x

f naik hanya untuk 2 2 atau 2 2x x .


2

2

2 40

4

x

x

2 20

2 2

x x

x x

2 2x

f turun untuk 2 2x .

(3) f terdefinisi hanya untuk 2 2x .

(4) Tidak mempunyai garis singgung di 2x



Jika 3 23 9 6f x x x x terdefinisi pada 1, , maka ....

(1) f selalu turun (3) f cekung bawah pada 1,

(2) f tidak pernah naik (4) f cekung atas pada ,1

Solusi: [E]

3 23 9 6f x x x x

2' 3 6 9f x x x

" 6 6f x x

(1) Fungsi f turun jika ' 0f x , sehingga

23 6 9 0x x

2 2 3 0x x

2 2 2

2

2 2 2

2


Karena 2

2 4 1 3 8 0D , maka untuk setiap nilai x pada domain 1, selalu

memenuhi memenuhi pertidaksamaan kuadrat itu.

Dengan demikian, pernyataan: “f selalu turun” adalah pernyataan yang bernilai benar.

(2) Fungsi f tidak pernah naik jika ' 0f x , sehingga

23 6 9 0x x

2 2 3 0x x

Karena 2

2 4 1 3 8 0D , maka untuk setiap nilai x pada domain 1, selalu

memenuhi memenuhi pertidaksamaan kuadrat itu.

Dengan demikian, pernyataan: “f tidak pernah naik” adalah pernyataan yang bernilai benar.

(3) Fungsi f cekung bawah jika " 0f x , sehingga

6 6 0x

6 6x

1x atau ditulis 1,

Dengan demikian, pernyataan: “f cekung bawah pada 1, ” adalah pernyataan bernilai

benar.

(4) Fungsi f cekung atas jika " 0f x , sehingga

6 6 0x

6 6x

1x atau ditulis ,1

Dengan demikian, pernyataan: “f cekung atas pada ,1 ” adalah pernyataan bernilai

benar.

Jadi, semua pernyataan bernilai benar.


Diketahui 2 4 2f x x x x . Pernyataan berikut yang BENAR adalah ....

(1) f selalui naik pada daerah domainnya.

(2) f tidak pernah turun pada daerah domainnya, kecuali di 2x dan 2x .

(3) f terdefinisi hanya untuk 2atau 2x x .

(4) Persamaan garis singgung kurva f di titik 5,3 5 adalah 8 5 5 0y x

Solusi: [E]

2 4 2f x x x x

Domain f adalah 2 4 0x atau 2 2x x .

2

2

2

2' 1 4 2

2 4

xf x x

x

2 2 2

2

4 2 4

4

x x x

x

2 2

2

2 2 4 4

4

x x

x


2 2

2

2 2 4 40

4

x x

x

2 2x x f selalui naik pada daerah domainnya.

(2) f tidak pernah turun pada daerah domainnya, kecuali di 2x dan 2x .

(3) f terdefinisi hanya untuk 2atau 2x x .


(4) Titik 5,3 5 terletak pada kurva 2 4 2f x x x x

2 2

2

2 5 2 5 4 4 10 2 4' 5 8

15 4

m f

Persamaan garis singgung (PGS):

3 5 8 5y x

8 5 5 0y x



Diberikan fungsi 2 12

2

xf x

x

. Pernyataan berikut yang BENAR adalah ....

(3) f meminliki nilai maksimum di 6x (3) f meminliki nilai minimum di 2x

(4)

' 2 16f (4) 7

' 13

f

Solusi: [B]

2 12

2

xf x

x

22

2 2

2 2 1 12 4 12'

2 2

x x x x xf x

x x

2 22 2

4 3

2 4 2 2 2 4 12 2 2 2 4 12"

2 2

x x x x x x x xf x

x x

Nilai stasioner fungsi f dicapai jika ' 0f x , sehingga

2 4 12 0x x

6 2 0x x

6 2x x

(1) Karena

2

3

2 2 2 2 4 8 12 1" 2 0

22 2f

, maka f meminliki nilai maksimum di

6x .

(2)

2

2

2 4 2 12' 2 = tidakdidefinisikan

2 2f

(3) Karena

2

3

2 6 2 2 36 24 12 1" 6 0

22f

x

, maka f meminliki nilai minimum di

2x .

(4)

2

2

1 4 1 12 7' 1 =

91 2f

Pernyataan yang benar adalah (1) dan (3).

54. SIMAK UI Matematika, 2017

Jika 1 2danx x adalah akarakar 2 32 2 1 4 0x c x c , maka nilai maksimum 2 21 2x x ,

adalah....


A. 3

44

B. 3

34

C. 3

24

D. 3

24

E. 3

34

Solusi: [C]

22 2

1 2 1 2 1 22h x x x x x x

2 32 1 42

2 2

c c

231

42

c c

2 21' 2 3 3 2 1 0

2h c c c c

" 6 2h c

Nilai stasioner fungsi h dicapai jika ' 0h , sehingga

3 1 1 0c c

11

3c c

Karena " 6 1 2 4 0h , maka fungsi h mencapai maksimum.

2

3

max

1 9 31 1 4 1 4 2

2 4 4h

55. SIMAK UI Matematika, 2017

Jika 3 2sin3 4 5f x x x x x , maka ....

(1) ' 0 " 0 64f f (3)

"' 0 21

" 0 8

f

f

(2)

" 01

' 0

f

f

(4) "' 0 " 0 ' 0 15f f f

Solusi: [C]

3 2sin3 4 5f x x x x x

2' 3cos3 3 8 5f x x x x

' 0 3cos 0 0 0 5 8f

" 9sin 3 6 8f x x x

" 0 9sin 0 0 8 8f

'" 27 cos3 6f x x

'" 0 27 cos 0 6 21f

(1) ' 0 " 0 8 8 64f f (Benar) (3)

"' 0 21

" 0 8

f

f (Benar)

(2)

" 0 81

' 0 8

f

f

(Benar)

(4) "' 0 " 0 ' 0 21 8 8 21f f f


Semoga bermanfaat ...

Documents

TURUNAN FUNGSI - · PDF file1 | Phibeta 1000, Soal dan Solusi Turunan Fungsi, SIMAK UI TURUNAN FUNGSI 1. SIMAK UI Matematika Dasar 911, 2009 Jika kurva y x a x b .... 22 3