Donošenje odluke u slučajevima kada verovatnoće mogućih ishoda nisu poznate ili se teško ocenjuju, ali je poznat dobitak, tj. gubitak koji nastaje prilikom odluke u uslovima realizacije nekog od mogućih ishoda.

Primer: Poljoprivrednik bira kulturu za sledeću godinu. Maline, kupine, lubenice, jabuke? Vremenski uslovi mogu biti odlični, dobri, loši. Planirani dobitak, u odnosu na uloženi novac je dat u tabeli

Vremenski uslovi

Kultura Loši Dobri Odlični

Maline -0,7 2,5 3,0

Kupine -0,5 2,0 3,5

Lubenice -0,2 1,6 2,4

Jabuke -0,1 1,5 1,9

Skup odluka: 𝑑1, 𝑑2, … , 𝑑𝑘 Skup ishoda: 𝜔1, 𝜔2, … , 𝜔𝑙

Korisnost izbora odluke 𝑑𝑖 prilikom realizacije ishoda 𝜔𝑗: 𝑢𝑖𝑗

Mogući ishodi

Odluke 𝜔1 𝜔2 𝜔3 … 𝜔𝑙

𝑑1 𝑢11 𝑢12 𝑢13 … 𝑢1𝑙

𝑑2 𝑢21 𝑢22 𝑢23 … 𝑢2𝑙

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮

𝑑𝑘 𝑢𝑘1 𝑢𝑘2 𝑢𝑘3 … 𝑢𝑘𝑙

Šta biste vi zasadili? Zašto?

Vremenski uslovi

Kultura Loši Dobri Odlični

Maline -0,7 2,5 3,0

Kupine -0,5 2,0 3,5

Lubenice -0,2 1,6 2,4

Jabuke -0,1 1,5 1,9

Valdov (maximin) metod – pesimistički metod

1. U okviru svake odluke se bira najmanja korisnost (sigurnosni nivo),𝑠𝑖 = min

𝑗∈ 1,2,…,𝑙𝑢𝑖𝑗

2. Bira se odluka koja ima najveći sigurnosni nivomax

𝑖∈ 1,2,…,𝑘𝑠𝑖 = max

𝑖∈ 1,2,…,𝑘min

𝑗∈ 1,2,…,𝑙𝑢𝑖𝑗

𝑑∗ = 𝑑 argmax𝑖∈ 1,2,…,𝑘

𝑠𝑖

Valdov metod

Vremenski uslovi

Kultura Loši Dobri Odlični 𝑠𝑖 max𝑖

𝑠𝑖

Maline -0,7 2,5 3,0 -0,7

Kupine -0,5 2,0 3,5 -0,5

Lubenice -0,2 1,6 2,4 -0,2

Jabuke -0,1 1,5 1,9 -0,1 -0,1

Optimistički (maximax) metod

1. U okviru svake odluke se bira njaveća korisnost (nivo optimizma),𝑜𝑖 = m𝑎𝑥

𝑗∈ 1,2,…,𝑙𝑢𝑖𝑗

2. Bira se odluka koja ima najveći nivo optimizmamax

𝑖∈ 1,2,…,𝑘𝑜𝑖 = max

𝑖∈ 1,2,…,𝑘max

𝑗∈ 1,2,…,𝑙𝑢𝑖𝑗

𝑑∗ = 𝑑 argmax𝑖∈ 1,2,…,𝑘

𝑜𝑖

Optimistički metod

Vremenski uslovi

Kultura Loši Dobri Odlični 𝑜𝑖 max𝑖

𝑜𝑖

Maline -0,7 2,5 3,0 3,0

Kupine -0,5 2,0 3,5 3,5 3,5

Lubenice -0,2 1,6 2,4 2,4

Jabuke -0,1 1,5 1,9 1,9

Hurvicov metod – metod optimizma-pesimizma

1. U okviru svake odluke se bira najveća (nivo optimizma) i najmanja (sigurnosni nivo) korisnost,

𝑜𝑖 = m𝑎𝑥𝑗∈ 1,2,…,𝑙

𝑢𝑖𝑗 𝑠𝑖= min𝑗∈ 1,2,…,𝑙

𝑢𝑖𝑗

2. Formira se linearna kombinacija ova dva elementa, α ∈ [0, 1]α𝑜𝑖 + (1 − 𝛼) 𝑠𝑖

3. Bira se odluka koja ima najveću vrednost linearne kombinacijemax

𝑖∈ 1,2,…,𝑘α𝑜𝑖 + (1 − 𝛼) 𝑠𝑖

𝑑∗ = 𝑑 argmax𝑖∈ 1,2,…,𝑘

α𝑜𝑖+(1−𝛼) 𝑠𝑖

Hurvicov metod

Vremenski uslovi

Kultura Loši Dobri Odlični α𝑜𝑖 + (1 − 𝛼) 𝑠𝑖

Maline -0,7 2,5 3,0 α3,0−0,7(1 − 𝛼)

Kupine -0,5 2,0 3,5 α3,5−0,5(1 − 𝛼)

Lubenice -0,2 1,6 2,4 α2,4−0,2(1 − 𝛼)

Jabuke -0,1 1,5 1,9 α1,9−0,1(1 − 𝛼)

Sevidžov metod – metod kajanja

1. U okviru svakog ishoda se određuje vrednost kajanja kao razlika od najveće korisnosti tog ishoda

𝑟𝑖𝑗 = m𝑎𝑥𝑖∈ 1,2,…,𝑘

𝑢𝑖𝑗 − 𝑢𝑖𝑗

2. Na dobijene vrednosti se primenjuje Valdov metod. U okviru svake odluke se bira najveća vrednost kajanja,

𝜌𝑖 = m𝑎𝑥𝑗∈ 1,2,…,𝑙

𝑟𝑖𝑗

3. Bira se odluka koja ima najmanju vrednost maksimalnog kajanjamin

𝑖∈ 1,2,…,𝑘𝜌𝑖 = min

𝑖∈ 1,2,…,𝑘m𝑎𝑥

𝑗∈ 1,2,…,𝑙𝑟𝑖𝑗

𝑑∗ = 𝑑 argmin𝑖∈ 1,2,…,𝑘

𝜌𝑖

Sevidžov metod

Vremenski uslovi

Kultura Loši Dobri Odlični 𝜌𝑖 min𝑖

𝜌𝑖

Maline 0,6 0 0,5 0,6

Kupine 0,4 0,5 0 0,5 0,5

Lubenice 0,1 0,9 1,1 1,1

Jabuke 0 1 1,6 1,6

Laplasov metod – metod nedovoljnog razloga

1. Svi ishodi se posmatraju kao jednako verovatni

𝑝𝑗 =1

𝑙2. Sa takvom raspodelom se za svaku odluku računa očekivana

korisnost

𝑣𝑖 =

𝑗=1

𝑙

𝑝𝑗𝑢𝑖𝑗

3. Bira se odluka koja ima najveću očekivanu korisnostmax

𝑖∈ 1,2,…,𝑘𝑣𝑖

𝑑∗ = 𝑑 argmax𝑖∈ 1,2,…,𝑘

𝑣𝑖

Laplasov metod

Vremenski uslovi

Kultura Loši Dobri Odlični 𝑣𝑖 max𝑖

𝑣𝑖

Maline -0,7 2,5 3,0 1,6

Kupine -0,5 2,0 3,5 1,67 1,67

Lubenice -0,2 1,6 2,4 1,26

Jabuke -0,1 1,5 1,9 1,1

𝑝𝑗 1/3 1/3 1/3

Uslovi konzistentnosti

1. Potpuno poređenje odluka

2. Nezavisnost odlučivanja od promene redosleda odluka i ishoda

3. Nezavisnost odlučivanja od pozitivne linearne transformacije

4. Izdvajanje dominantnih odluka

5. Nezavisnost odlučivanja od irelevantnih odluka

6. Nezavisnost odlučivanja od dodavanja konstantne korisnosti

7. Nezavisnost odlučivanja od proširivanja tabele odlučivanja postojećom kolonom

8. Nezavisnost odlučivanja od permutovanih korisnosti odluka

Potpuno poređenje odluka

Podrazumeva poređenje bilo koje dve odluke po kriterijumu koji je svojstven tom metodu.

Definicija: Ako se odlukama 𝑑𝑚 i 𝑑𝑛 prema nekom kriterijumu mogu dodeliti vrednosti 𝑅𝑚 i 𝑅𝑛, respektivno, tada kažemo da je odluka 𝑑𝑚bolja od odluke 𝑑𝑛 ako je 𝑅𝑚 > 𝑅𝑛

Metod 𝑅𝑖

Valdov 𝑠𝑖

Optimistički 𝑜𝑖

Hurvicov α𝑜𝑖 + (1 − 𝛼) 𝑠𝑖

Sevidžov -𝜌𝑖

Laplasov 𝑣𝑖

Nezavisnost odlučivanja od promene redosleda odluka i ishoda

Podrazumeva nezavisnost izbora optimalne odluke od promene redosleda odluka kao i od promene redosleda ishoda. Permutacije redova i kolona u tabele odlučivanja ne utiču na izbor odluke.

Svi pomenuti metodi, trivijalno, zadovoljavaju ovaj uslov.

Metod

Valdov ✓

Optimistički ✓

Hurvicov ✓

Sevidžov ✓

Laplasov ✓

Nezavisnost odlučivanja od pozitivne linearne transformacije

Podrazumeva da se odnos dve odluke ne promeni prilikom pozitivne linearne transformacije korisnosti, 𝑎𝑢𝑖𝑗 + 𝑏, 𝑎 > 0

Metod 𝑅𝑖

Valdov 𝑎𝑠𝑖 + 𝑏

Optimistički 𝑎𝑜𝑖 + 𝑏

Hurvicov 𝑎 α𝑜𝑖 + 1 − 𝛼 𝑠𝑖 + 𝑏

Sevidžov −𝑎𝜌𝑖 + 𝑏

Laplasov 𝑎𝑣𝑖 + 𝑏

Izdvajanje dominantnih odluka

Ukoliko postoje dve odluke 𝑑𝑚 i 𝑑𝑛 takve da je 𝑢𝑚𝑗 > 𝑢𝑛𝑗 , ∀𝑗, tada važii da je 𝑅𝑚 > 𝑅𝑛

Metod

Valdov ✓

Optimistički ✓

Hurvicov ✓

Sevidžov ✓

Laplasov ✓

Nezavisnost odlučivanja od irelevantnih odluka

Podrazumeva da se odnos (preferencija) između dve odluke ne promeni uvođenjem nove odluke.

Metod

Valdov ✓

Optimistički ✓

Hurvicov ✓

Sevidžov x

Laplasov ✓

S obzirom na to da kod svih metoda sem kod Sevidžovog, odnos između dve odluke zavisi isključivo od korisnosti te dve odluke, dodavanje nove odluke neće promeniti odnos preferencija između dve odluke.

Kod Sevidžovog metoda odnos između odluka zavisi od nivoa kajanja koji se računa na osnovu korisnosti jednog ishoda. Tako da dodavanje nove odluke može da promeni odnos dve postojeće odluke.

Vremenski uslovi

Kultura Loši Dobri Odlični

Maline -0,7 2,5 3,0

Kupine -0,5 2,0 3,5

Lubenice -0,2 1,6 2,4

Jabuke -0,1 1,5 1,9

Kajsije -0,3 2,7 1,8

Nezavisnost odlučivanja od dodavanja konstantne korisnosti

Podrazumeva da se odnos između dve odluke ne promeni prilikom konstantnog uvećanja ili smanjenja korisnosti jednog ishoda.

Metod

Valdov x

Optimistički x

Hurvicov x

Sevidžov ✓

Laplasov ✓

Kod Sevidžovog metoda dodavanje konstante svakoj korisnosti jednog ishoda neće promeniti vrednosti kajanja, niti za taj niti za ostale ishode, takoda odnos odluka ostaje isti.

Kod Laplasovog metoda će doći do promene očekivane korisnosti zakonstantnu vrednost Τ𝑐 𝑙.

Kod ostalih metoda dodavanje konstante može da inficira izbor maksimalne ili minimalne korisnosti u okviru jedne odluke i time promeni odnos dve odlike.

Vremenski uslovi

Kultura Loši Dobri Odlični

Maline -0,7+2 2,5 3,0

Kupine -0,5+2 2,0 3,5

Lubenice -0,2+2 1,6 2,4

Jabuke -0,1+2 1,5 1,9

Nezavisnost odlučivanja od proširivanja tabele odlučivanja postojećom kolonom

Podrazumeva da odnos dve odluke ne promeni ukoliko se doda noviishod sa korisnostima koje su identične korisnostima nekog postojećeg ishoda.

Dodavanjem neke korisnosti koja već postoji u skupu korisnosti odluke se neće promeniti niti maksimum, niti minimum, niti će se dodati neki novi nivo kajanja, pa prva četiri metoda zadovoljavaju ovaj kriterijum. Međutim Laplasov metod nije indiferentan na dodavanje postojeće kolone jer se očekivana korisnost i-te odluke promeni za Τ𝑢𝑖𝑗 𝑙

Nezavisnost odlučivanja od permutovanih korisnosti odluka

Podrazumeva da smo indiferentni između dve odluke koje imaju jednake, a pritom permutovane, vrednosti korisnosti.

Permutovanje vrednosti korisnosti neće promeniti niti maksimum, niti minimum korisnosti odluke, tako da Valdov, optimistički i Hurvicov metod zadovoljavaju ovaj kriterijum. Isto važi i za Laplasov kriterijum jer suma korisnosti odluke ostaje ista nakon permutacije.

Sevidžov metod ne zadovoljava ovaj uslov jer permutacije korisnosti u okviru jedne odluke mogu da promene odnos kajanja unutar ishoda.

Vremenski uslovi

Kultura Loši Dobri Odlični

Maline -0,7 2,5 3,0

Kupine -0,5 2,0 3,5

Lubenice -0,2 1,6 2,4

Jabuke -0,1 1,5 1,9

Kajsije 1,5 -0,1 1,9

V O H S L

Potpuno poređenje odluka ✓ ✓ ✓ ✓ ✓

Nezavisnost odlučivanja od promene redosleda odluka i ishoda ✓ ✓ ✓ ✓ ✓

Nezavisnost odlučivanja od pozitivne linearne transformacije ✓ ✓ ✓ ✓ ✓

Izdvajanje dominantnih odluka ✓ ✓ ✓ ✓ ✓

Nezavisnost odlučivanja od irelevantnih odluka ✓ ✓ ✓ ✓

Nezavisnost odlučivanja od dodavanja konstantne korisnosti ✓ ✓

Nezavisnost odlučivanja od proširivanja tabele odlučivanja postojećom kolonom ✓ ✓ ✓ ✓

Nezavisnost odlučivanja od permutovanihkorisnosti ✓ ✓ ✓ ✓