Embed Size (px)
Citation preview
BLOC I: VIBRACIONS I ONES
Moviment Vibratori Harmònic Simple
El moviment vibratori harmònic simple (MHS) és el més important de tots els
que es produeixen a la natura. Aquests són característics dels cossos elàstics
i produïts per forces proporcionals al desplaçament de les partícules que vibren
i dirigits sempre a la posició d’equilibri.
-A O A
F
x<0
F>0
-F
x>0
F<0
𝐹 = −𝑘 · ∆𝑥
El signe negatiu es conseqüència de
l’oposició que realitza la força respecte al
desplaçament
Característiques del MHS
• Px i Py són les projeccions damunt els diàmetres vertical i horitzontal
• A mesura que M recorre la circumferència l’ombra es mou per la línia amb MHS.
• Quan la partícula recorre una circumferència completa el temps equival al període (T) i a Px implica una vibració completa en l’eix OX. A partir d’aquí els moviments es repeteixen.
Per deduir les equacions del MHS utilitzarem la relació existent amb el moviment
circular. Aquestes seran funcions harmòniques que dependran del sinus i el
cosinus això implica que el MHS és una projecció d’un moviment circular.
P
-A O A
Py
Px
M
Equació del MHS. Elongació, període i freqüència.
• L’amplitud màxima (A) del MHS correspon al radi de la circumferència.
• A t=0 la partícula es troba a P0.
• A un temps “t” recorre una distància per la circumferència fins P.
• Això implica girar un angle θ que depèn de la velocitat angular i el temps (ω·t).
• A més implicarà un desplaçament sobre el diàmetre.
• Per tant deduirem
x = R · sin (ω · t)=A · sin (ω · t)
perquè el radi (R)=amplitud (A) del MHS.
• Si la projecció és sobre l’eix vertical l’equació
serà anàloga però desfasada 𝜋
2. Per tant:
y= A · cos (ω · t)
P0 t0
P t
X A -A
ω·t
Si a temps inicial (t0) existeix un angle recorregut ϕ per a P0 l’equació del MHS es veu modificada considerant aquest angle de desfasament:
x = A · sin (ω · t + ϕ)
P0 t0
P t
X -A
ω·t
A
• L’equació anterior serà l’expressió general a utilitzar.
• x : elongació. És la posició a qualsevol instant respecte de la posició d’equilibri.
• A: amplitud. És el valor màxim de l’elongació, ocorre quan ha transcorregut un quart de període a partir del pas de la partícula pel punt d’equilibri.
• (ω·t+ϕ): fase en qualsevol instant. Determina l’estat de vibració o fase de moviment. Permet calcular l’elongació en qualsevol instant.
• ϕ : fase inicial o constant de fase. Indica l’estat de vibració o posició angular per t=0.
• ω: freqüència angular. Representa la v. angular d’un hipotètic mov. circular projectat. Es mesura en rad/s o s-1. També es coneix com pulsació.
φ
• T: Període (s). És el temps que tarda el moviment a repetir-se. És a dir, es compleix que si x és l’elongació a l’instant t, també ho és a l’instant t+T. És l’interval de temps en què la partícula passa dos cops consecutius per la mateixa posició i mateix sentit.
x = A sin (ω·t+ ϕ) = A sin [ω(t+T)+ ϕ]
Cada vibració completa implica que la fase (ω·t+ ϕ) augmenta en 2π
radians i el temps en T segons. ω·t+ (ϕ +2π)= ω(t+T)+ ϕ operant obtenim:
ω·T = 2π T= 𝟐𝝅
𝝎
• f o ν: Freqüència o freqüència natural (Hz o s-1). És el nombre de vibracions completes quela partícula realitza en un segon. Representa la rapidesa amb què tenen lloc les vibracions.
f = 𝟏
𝑻 =
𝝎
𝟐𝝅
• Velocitat instantània és la que porta la partícula a qualsevol instant o punt de la trajectòria. S’obté derivant l’equació de moviment. És un moviment harmònic i es repeteix periòdicament. x =A · sin (ω · t + ϕ)
𝑣 =𝑑𝑥
𝑑𝑡= 𝐴 · ω · cos(ω · 𝑡 + ϕ)
• Es pot expressar d’acord amb l’elongació:
𝑣 = 𝐴 · ω · ± 1 − 𝑠𝑖𝑛2 𝜔 · 𝑡 + 𝜑 = ω · ± 𝐴2 − 𝐴2𝑠𝑖𝑛2 𝜔 · 𝑡 + 𝜑
= ±𝜔 · 𝐴2 − 𝑥2
per tant podem determinar que a cada punt de la trajectòria li correspon un valor de la velocitat. Cada volta que passi per un punt determinat durà la mateix velocitat. Els signes ± indiquen el sentit del moviment d’acord al criteri de signes.
El valor màxim de la mateixa serà al centre de la trajectòria i nul·la als extrems .
vmàx= ± ω · A
Velocitat del MHS. Càlcul d’A i φ
-A O A
v<0 v>0
• Sovint no coneixem les constants A i ϕ, però si les condicions inicials x0 i v0. A partir d’elles podem calcular l’amplitud i la fase inicial. De les equacions:
𝑥 = 𝐴 · sin(ω · 𝑡 + ϕ) ; 𝑣 = 𝐴 · ω · cos(ω · 𝑡 + ϕ)
• A t=0: 𝑥0 = 𝐴 · sinϕ ; 𝑣0 = 𝐴 · ω · cosϕ
per tant si les dividim:
tan𝜑 =𝜔·𝑥0
𝑣0
i de l’expressió de velocitat 𝑣0 = ±𝜔 · 𝐴2 − 𝑥2 i aïllant l’amplitud obtenim:
𝐴 = ± 𝑥02 +
𝑣02
𝜔2
De forma anàloga a la velocitat l’acceleració és periòdica i s’obté derivant l’expressió de la velocitat respecte del temps. Per tant, derivem l’expressió: 𝑣 = 𝐴 · ω · cos(ω · 𝑡 + ϕ)
a =𝑑𝑣
𝑑𝑡= −𝐴 · 𝜔2 · sin(ω · 𝑡 + ϕ)
i considerant l’elongació del MHS (x = A · sin (ω · t + ϕ)) podem deduir:
𝑎 = −𝑤2 · 𝑥
• L’acceleració és proporcional a l’elongació però de sentit contrari. És una relació pròpia del MHS i tot sistema que ho compleixi rep aquest nom.
• La constant de proporcionalitat d’a i x és el quadrat de la freqüència angular.
• L’acceleració és nul·la al centre i màxima als extrems al contrari que v.
F -A O A
a=ω2·A
v=0
a=-ω2·A
v=0
F
Acceleració del MHS
a=0
v=±ω·A
• És un moviment accelerat, positivament quan és dirigeix cap a la posició d’equilibri i negativament quan es dirigeix cap els extrems.
Existeix una força que dirigeix la partícula cap aquest punt, és coneix com força recuperadora . 𝑭 = 𝒎 · 𝒂 = −𝒎 · 𝝎𝟐 · 𝒙 = −𝒌 · 𝒙
per tant aquesta força és directament proporcional a l’elongació i oposada a aquesta.
• Per cada oscil·lador en concret el producte “m·ω2“ és constant, l’anomenarem k , és característica de cada oscil·lador i rep el nom de constant recuperadora i es mesura en N/m.
• La freqüència angular i el període depenen de la massa de l’oscil·lador, per tant de la igualtat k = m· ω2 podem deduir:
𝜔 =𝑘
𝑚; 𝑓 =
𝜔
2𝜋=
1
2𝜋
𝑘
𝑚 ; 𝑇 =
1
𝑓= 2𝜋
𝑚
𝑘
Dinàmica del MHS
• Qualsevol sistema animat amb un MHS rep aquest nom perquè posseeix energia mecànica (Ec i Ep).
• Energia cinètica: 𝐸𝑐 =1
2𝑚 · 𝑣2 si
𝑣 = 𝐴 · ω · cos ω · 𝑡 + ϕ = ±𝜔 · (𝐴2−𝑥2)
per tant: 𝐸𝑐 =1
2𝑚 · 𝐴 · ω · cos ω · 𝑡 + ϕ 2 =
1
2𝑚 · 𝐴2 · ω2 · 𝑐𝑜𝑠2 ω · 𝑡 + ϕ
𝐸𝑐 =1
2 𝑘 · 𝐴2 · 𝑐𝑜𝑠2 ω · 𝑡 + ϕ
o també 𝐸𝑐 =1
2𝑚 · ω2 · (𝐴2−𝑥2) =
1
2𝑘 · (𝐴2−𝑥2)
• Per tant en un MHS l’Ec és periòdica depenent de l’elongació. El seu valor
màxim el troba en la posició d’equilibri. 𝐸𝑐 =1
2· 𝑘 · 𝐴2
• Energia potencial: és el treball que realitzem per traslladar l’oscil·lador des de la posició d’equilibri fins x vencent la força recuperadora. Aquest serà:
𝑊 = 𝐸𝑝 = 𝐹 · 𝑑𝑥 = 𝑘 · 𝑥 𝑑𝑥 =1
2· 𝑘 · 𝑥2
𝑥
0
𝑥
0
serà màxima quan l’elongació sigui igual a l’amplitud x = A. 𝐸𝑐 =1
2· 𝑘 · 𝐴2
Energia d’un oscil·lador mecànic
L’energia mecànica no depèn de la posició sinó només de les característiques de l’oscil·lador, k= m·ω2 i de l’amplitud, A.
Si no hi ha fregaments l’energia mecànica és manté constant. Per tant, l’amplitud també és constant.
Ec= ½ k · A2 Ep= ½ k · A2
És un sistema conservatiu. A mesura que augmenta l’Ep disminueix l’Ec i viceversa. Hi ha dos valors d’elongació on les dues energies
valen el mateix. 𝑥 = ±𝐴
2
La propagació de l’energia d’un oscil·lador harmònic a través d’un medi rep el nom d’ona harmònica.
Energia Mecànica: És la suma de les energies potencials i cinètiques:
𝐸𝑚 = 𝐸𝑐 + 𝐸𝑝 =1
2𝑘 · (𝐴2−𝑥2) +
1
2· 𝑘 · 𝑥2
• Massa oscil·lant: Suposem una molla de cte. elàstica k suspesa d’un extrem.
Pengem una massa m de l’extrem lliure i deixem descendir fins adquirir l’equilibri s’ha estirat una longitud l .
Per tant, exerceix una força recuperadora seguint la llei de Hooke (F=k·l). A l’equilibri es compleix m·g=k·l .
Si es desplaça la massa una distància x del punt d’equilibri F>m·g, per tant la massa s’accelera amb un mov. de pujada.
Per trobar l’acceleració del sistema, agafem de referència el punt
d’equilibri. 𝐹 = 𝑚 · 𝑎 = 𝑘 𝑙 + −𝑥 −𝑚 · 𝑔
com m·g = k·l 𝑚 · 𝑎 = 𝑘 · 𝑙 + 𝑘 · −𝑥 −𝑚 · 𝑔 = 𝑘 · −𝑥
𝑎 =𝑘· −𝑥
𝑚 és característica del MHS i s’oposa al desplaçament.
k depèn de la deformació que experimenta la molla fins aconseguir l’equilibri quan se li penja un pes. De m·g = k·l obtenim:
𝑘 =𝑚·𝑔
𝑙 substituint a la freqüència 𝑓 =
1
2𝜋
𝑘
𝑚 obtenim:
Exemples d’oscil·ladors mecànics: Massa oscil·lant subjecta a una molla i pèndol simple
k
m
𝑓 =1
2𝜋
𝑔
𝑙
• Pèndol Simple: Rep el nom un sistema format per una petita bola penjada d’un fil
inextensible que es mou sense fregament. Si el fil és relativament llarg (≈1m) l’angle θ corresponent a petites amplituds sigui molt petit.
Inicialment es troba en repòs així Pbola i Tcorda s’equilibren.
Quan el canviem a una posició A, es trenca aquest equilibri.
Podem deduir 𝐹𝑡 = −𝑚 · 𝑔 · sin 𝜃
El signe (-) s’encarrega de portar al pèndol
al punt d’equilibri per tant, és la força
recuperadora.
Si θ ≤ 14⁰(0,245 rad) podem aproximar: θ≈sin θ per tant podem substituir el sinus per l’angle cometent menys d’un 1% d’error.
De l’equació anterior 𝐹𝑡 = −𝑚 · 𝑔 · sin 𝜃 = −𝑚 · 𝑔 · 𝜃 = −𝑚 · 𝑔 ·𝑥
𝑙= −𝑘 · 𝑥 segons
Newton: 𝐹 = 𝑚 · 𝑎 relacionem i obtenim: 𝑚 · 𝑎 = −𝑘 · 𝑥 𝑎 =−𝑘·𝑥
𝑚
Descomponent el pes obtenim dues components.
𝐹𝑛 anul·lada per la tensió i
𝐹𝑡 perpendicular al fil i causant del moviment.
θ θ
l
T
m·g
l T
Fn
mg
θ
θ
x
Ft
x
l
Moviment Ondulatori. Característiques. • Ona: pertorbació produïda en medi i que es propaga a través d’ell.
• Si la pertorbació abasta a tots els punts del medi es coneix com ona viatgera (ones a l’aigua). Responsables de la informació que ens arriba als sentits.
• I si la propagació està delimitada a una regió específica es coneix com ona estacionària (corda d’una guitarra). Expliquen el comportament dels àtoms i partícules subatòmiques.
• En una ona només es transmet l’energia de la partícula que origina el moviment. És coneix com centre emissor.
• L’energia es transmet elàsticament. (No hi ha deformacions permanents)
• Les partícules intermèdies no es desplacen mentre transmeten l’energia. Pols, tren d’ones, front d’ones i raig. Pols: és una pertorbació individual que es propaga a través del medi on pocs, o fins i tot només un, estan moviment en un instant determinat
Tren d’ones: és la propagació d’una pertorbació contínua on tots els punts del medi estan en moviment. És necessari
subministrar energia contínuament al centre emissor Front d’ona: és el lloc geomètric de tots els punts del medi afectats per la pertorbació en el mateix instant. Poden ser plans, cilíndrics i esfèrics. Raig: cadascuna de les direccions perpendiculars al front d’ona.
• Classificació de les ones Podem classificar-les en funció del tipus d’energia que es propaga, de la
direcció de propagació i vibració i de les dimensions en què es propaga l’ona.
• Energia de l’ona: -Ones mecàniques: Reben el nom de materials necessitat d’un medi per desplaçar-se. Si l’ona la produeix un oscil·lador harmònic reben el nom d’ones harmòniques materials. Les partícules no es desplacen però es mouen amb MHS. (Sonores, ones de l’aigua, corda).
Per originar-les necessitem: a) Font que la produeixi. b) Medi material que es pugi pertorbar. c) Característica física comuna a totes les partícules del medi. (Força
recuperadora de tipus elàstic que manté unides les partícules o una massa inerta). Ex. a una ona que es propaga per l’aigua la força recuperadora seria la gravetat.
- Ones electromagnètiques: es propaga l’energia electromagnètica produïda per oscil·lacions de càrregues elèctriques accelerades. No necessita d’un medi material per propagar-se. La seva existència la va predir Maxwell i confirmada per Hertz més tard aquest descobriment va permetre la consolidació de la radio, televisió, radar. Un exemple seria la llum.
• Direcció de propagació i vibració: Una ona porta associats dos moviments, el moviment de propagació o avanç de l’ona i el moviment vibratori de les partícules del medi
- Ones longitudinals: és quan la direcció de vibració de les partícules coincideix amb la direcció de propagació. Consisteix en una successió de contraccions i dilatacions del medi. Reben el nom d’ones de pressió. Ex. El so. - Ones transversals: és quan es propaga perpendicularment a la direcció en que vibren les partícules. És una successió de crestes i valls. • Dimensions en què es propaga l’energia de l’ona: - Ones unidimensionals: Es propaga l’energia en una dimensió. - Ones bidimensionals: Es propaga en un pla. Ex. Les ones a la superfície de l’aigua. - Ones tridimensionals: L’energia es propaga en 3D. Ex. El so.
• Longitud d’ona (λ): és la longitud que s’ha propagat l’ona en un període, és a dir, mentre el centre emissor ha efectuat una vibració completa. Per tant, es
dedueix: 𝜆 = 𝑣 · 𝑇 =𝑣
𝑓
v és la velocitat de propagació i f és la freqüència amb què es repeteix la pertorbació. Una altra definició: la distància entre dos punts consecutius d’una ona que estan en fase mateixa elongació, velocitat i acceleració. En una ona transversal és la distància entre 2 crestes o 2 valls consecutius, en una longitudinal entre 2 contraccions o 2 dilatacions consecutives.
• Amplitud: és l’elongació màxima amb la què vibren les partícules. Depèn de l’energia de l’ona.
• Velocitat de propagació: Depèn de l’elasticitat i rigidesa del medi. Es coneix també com velocitat de fase. Si el medi és homogeni i isòtrop serà la mateixa en les 3D. Factors característics: força recuperadora i massa inercial del medi,
en general es compleix: 𝑣 = 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑓𝑜𝑟ç𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑢𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎
𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙
- v d’ona transversal en una corda: 𝒗 =𝑭
𝜼 F : tensió de la corda
η: densitat lineal de la corda (massa per unitat de longitud)
Magnituds característiques de les ones
- v d’ona longitudinal en un sòlid: 𝒗 =𝑱
𝝆 J: mòdul de Young,
determina elasticitat del sòlid (Pa) ρ: densitat cúbica del sòlid (kg/m3)
- v del so en un gas: 𝒗 =γ·𝑹·𝑻
𝑴 γ: coeficient adiabàtic del gas (a l’aire
1.4) R: cte. gasos ideals (en Joules R= 8,31 J/mol·K) M: massa molar del gas.
- v d’una ona electromagnètica al buit: és un valor cte. v = 3·108 m/s
No confondre el moviment de propagació amb el moviment de vibració de les partícules que propaguen l’ona. La propagació es realitza amb la velocitat de fase, que és cte, i les partícules vibren entorn d’una posició d’equilibri sense traslladar-se amb ella. En el moviment ondulatori la freqüència representa el nombre d’ones que arriben per segon a un punt determinat
• Nombre d’ona, k: es defineix com el nombre de longituds d’ona que hi ha en
una distància de 2π: 𝒌 =𝟐𝝅
𝝀, com està relacionat amb la velocitat de fase i la
freqüència angular de v = λ·f i ω = 2π·f podem deduir: 𝒗 =𝝀· 𝝎
𝟐𝝅 i per tant:
𝒌 =𝝎
𝒗
També es pot definir com el nombre de longituds d’ona que hi ha en una
unitat de longitud: 𝒌 =𝟏
𝝀
• Les ones harmòniques o sinusoïdals es produeixen quan la partícula que l’origina ( o centre emissor) vibra amb moviment harmònic simple. L’estat de vibració d’una partícula és funció de la posició i del temps:
𝒚 = 𝒇(𝒙, 𝒕) = 𝒚 (𝒙, 𝒕) = 𝑨 cos (𝝎 · 𝒕 + 𝝋)
utilitzem cosinus perquè vibra a l’eix O/Y. Suposem un pols ondulatori que viatja a la dreta amb vona cte. Aquest pols es
mou al llarg de l’eix OX i el desplaçament transversal dels punts de la corda es mesura sobre l’eix OY.
A t=0 la partícula es troba a x=0. En aquest instant l’elongació de la partícula és màxima (y=A). Per tant de l’equació anterior: 𝑦 (0,0) = 𝐴 cos (𝜔 · 0 + 𝜑) = 𝐴 ϕ = 0 Si el pols continua indefinidament, l’elongació de la partícula x=0 en qualsevol instant posterior serà: 𝑦 (0, 𝑡) = 𝐴 cos (𝜔 · 𝑡 + 𝜑) = 𝐴 cos (2𝜋 · 𝑓 · 𝑡) Si una altra partícula situada a una distància x de l’anterior començarà a
moure’s amb un retard t’ representat per: 𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴 cos 𝜔 𝑡 − 𝑡’ =
𝐴 cos [𝜔(𝑡 −𝑥
𝑣)] = 𝐴 cos (𝜔 𝑡 − 𝜔
𝑥
𝑣) = 𝐴 cos (𝜔𝑡 – 𝑘𝑥) = 𝐴 cos (2𝜋 𝑓 𝑡 – 𝑘 𝑥)
Equació de les ones harmòniques unidimensionals
Amb l’equació anterior podem calcular l’estat de vibració en qualsevol instant Si l’ona es propaga en sentit negatiu a l’eix OX la velocitat serà negativa per tant
l’equació de l’ona serà: 𝑦 (𝑥, 𝑡) = 𝐴 cos (2𝜋 · 𝑓 · 𝑡 + 𝑘 · 𝑥) Si la fase inicial no és zero expressarem l’equació d’ona de forma general:
𝑦 (𝑥, 𝑡) = 𝐴 cos (2𝜋 · 𝑓 · 𝑡 ± 𝑘 · 𝑥 – 𝜑𝑜)
on ϕo és la constant de fase i depèn de les condicions inicials.
Recordem: - L’equació d’ona permet calcular l’elongació o estat de vibració de qualsevol punt del medi en qualsevol instant.
-L’elongació depèn de dues variables per això rep el nom de funció d’ona.
- Si fixem el valor de x l’equació de l’ona ens dóna llavors el valor de l’elongació d’una partícula concreta en qualsevol instant.
- Si fixem el valor de t, l’equació de l’ona representa la forma de l’ona en qualsevol punt, en un instant determinat.
- En l’equació d’una ona no s’ha de confondre la velocitat de propagació o de fase amb la velocitat transversal de les partícules:
La velocitat de propagació en un medi determinat és constat: 𝑣 =𝜆
𝑇= 𝜆 · 𝑓
La velocitat transversal de vibració s’obté derivant l’equació de l’ona respecte de
t: 𝑣 =𝑑𝑦
𝑑𝑡
Periodicitat de les ones harmòniques L’equació d’una ona harmònica és doblement periòdica: respecte del temps, t, i
respecte de la posició, x. • Periodicitat en el temps: El valor de l’elongació d’una partícula x pren el mateix
valor en el temps t, t+T, t+2T. 𝑦 (𝑥, 𝑡) = 𝐴 cos (2𝜋 𝑓 𝑡 − 𝑘 𝑥) la mateixa partícula a t+nT 𝑦 𝑥, 𝑡 + 𝑛𝑇 = 𝐴 cos 2𝜋 𝑓 𝑡 + 𝑛𝑇 − 𝑘 𝑥 =∗ =
= 𝐴 cos 2𝜋 𝑓 𝑡 + 2𝜋 𝑛 − 𝑘 𝑥 = = 𝐴 cos 2𝜋 𝑓 𝑡 − 𝑘 𝑥 + 2𝜋 𝑛 = = 𝐴 cos (2𝜋 𝑓 𝑡 − 𝑘 𝑥) = 𝑦 (𝑥, 𝑡)
* f·T =1
Per tant es compleix que y (x,t) = y (x, t+nT) • Periodicitat en l’espai: L’estat de vibració d’una partícula x es repeteix a
distàncies múltiples de la longitud d’ona λ. Té el mateix valor a x, x+λ, x+2λ,... Substituïm a l’equació anterior.
𝑦 𝑥 + 𝑛 𝜆, 𝑡 = 𝐴 cos 2𝜋 𝑓 𝑡 − 𝑘 𝑥 + 𝑛 𝜆 = 𝐴 cos 2𝜋 𝑓 𝑡 − 𝑘 𝑥 + 𝑘 𝑛
= ∗ = 𝐴 cos 2𝜋 𝑓 𝑡 − 𝑘 𝑥 + 2𝜋 𝑛 = 𝐴 cos 2𝜋 𝑓 𝑡 − 𝑘 𝑥 = 𝑦 (𝑥, 𝑡)
*k= 2π/ λ Per tant es compleix que l’estat de vibració de les partícules és el mateix.
• Per tant, tots els punts d’un medi que disten nλ (n nombre enter) en la mateixa direcció de propagació estan en fase. Mateixa elongació o estat de vibració.
• Tots els punts que equidisten del centre emissor estan en fase entre si. Això permet definir el front d’ona: és el lloc geomètric de tots els punts que en un instant determinat estan en fase.
• Segons el front d’ona tenim: - Ones planes: Si són superfícies planes. Com a la superfície de l’aigua. - Ones circulars: si els fronts són circumferències concèntriques Formen ones bidimensionals. - Ones esfèriques: si són superfícies esfèriques. Formen ones 3D.
Els fronts d’ones circulars i plans es poden observar a l’aigua. Quan el centre emissor es troba a gran distància aquests es fan pràcticament plans els raigs són línies rectes paral·leles.
• Si el medi és homogeni i isòtrop, la direcció de propagació és sempre perpendicular al front d’ona. (Raig)
Propietats de les ones. Principi de Huygens
Els fenòmens ondulatoris tenen explicació senzilla i vàlida per a qualsevol mena d’ones, i a més a més permet explicar com es passa d’un front d’ona al següent i, per tant, com es propaga l’energia. S’explica mitjançant el Principi de Huygens:
Tot punt d’un front d’ona és centre emissor de noves ones
elementals, l’envoltant del qual és el nou front d’ona.
Aquest principi també permet explicar diferents propietats de les ones: reflexió, refracció, difracció, polarització i interferències. • Reflexió d’ones: Es defineix com el canvi de direcció dins el mateix medi que
experimenten les ones en incidir sobre una superfícies de separació entre dos medis. La reflexió d’ones compleix les següents lleis
conegudes com Lleis d’Snell: - L’angle d’incidència i l’angle de reflexió són iguals. - Els raigs incident i reflectit estan al mateix pla. Raig incident és la direcció de propagació de l’ona. Raig reflectit és la direcció en que es propaga l’ona reflectida. La normal (N) és la línia perpendicular a la superfície que reflecteix en el punt
d’incidència.
Angle d’incidència (Î) és l’angle format per la normal i el raig incident Angle de reflexió (r) és l’angle format per la normal i el raig reflectit. Quan un pols es transmet per una corda fixa per un extrem i arriba a aquest es
reflecteix, però invertint-se. Això indica que entre els dos hi ha un desfasament de 1800. L’explicació es basa en la tercera llei de Newton. Com la corda arriba realitzant una força cap amunt s’ha de produir una força igual però de sentit oposat, fent que el pols s’oposi.
• Refracció: consisteix en un canvi de la direcció de propagació i en el valor de la velocitat quan una ona arriba a la superfície de separació entre dos medis de propagació distints. També compleix la llei d’Snell però per la refracció:
- El quocient entre el sinus dels angles d’incidència i de refracció és igual al quocient entre les velocitats de propagació en els medis 1 i 2.
sin î
sin 𝑟=
𝑣1
𝑣2
• Difracció: Fenomen que es produeix quan un obstacle impedeix l’avanç d’una part del front d’ona. Els punts del front d’ona que no estan tapats per l’obstacle es converteixen en centres emissors de nous fronts, segons el ppi. de Huygens, aconseguint que l’ona voregi l’obstacle i es propagui per darrera.
• Polarització: es produeix quan la vibració es produeix en un únic pla respecte a
la direcció de propagació. Es diu que l’ona està polaritzada. A les ones transversals la direcció de propagació és perpendicular a la direcció de vibració de les partícules. Si a l’eix OY es propaga l’ona la vibració de les partícules hauria de ser sempre en el pla ZX.
Anomenem pla de polarització al format per la direcció de propagació i la direcció de vibració, per exemple, una ona transversal propagant-se per una corda.
Només les ones transversals es poden polaritzar. En les longitudinals no té sentit perquè la direcció de vibració i propagació coincideix. Les ones produïdes per un sol focus estan normalment polaritzades.
Les ones lluminoses estan produïdes per vibracions dels electrons sense que existeixi cap relació de fase. Per tant estan produïdes per diferents focus i no estan polaritzades.
• Interferències: Es defineix com la superposició de dues ones en un punt. Quan les ones que es superposen tenen les mateixes característiques (mateixa amplitud, freqüència i longitud d’ona) s’anomenen coherents.
Per aconseguir-les utilitzem un brollador de llum monocromàtica i el fem passar per una primera escletxa on es produeix una primera difracció amb la qual cosa es propaga a dues altres escletxes F1 i F2 que faran de focus emissors de les ones que interferiran. Obtenint el següent:
Apareixen una successió de zones brillants i fosques. Els punts brillants impliquen que les ones arriben a la pantalla en fase això implica una diferència de distàncies és múltiple sencer de la longitud d’ona.
𝑥2− 𝑥1 = 𝑛 𝜆 ,sent Ar= A1 + A2 = 2A
Si arriben en oposició de fase, el moviment resultant és nul. Això succeeix quan la diferència de distàncies és un nombre imparell de λ/2.
𝑥2− 𝑥1 = (2𝑛 − 1) 𝜆
2 , sent Ar= A1 - A2 = 0
Les interferències poden partir del mateix focus o de focus distints però arriben simultàniament a un mateix punt del medi on es propaguen. Una vegada sobrepassat el punt d’interferència, l’amplitud, la freqüència i la velocitat de cada ona són les mateixes que tindrien si no s’haguessin trobat.
Aprofundirem: L’ona resultant d’una interferència s’obté aplicant el Principi de Superposició:
Quan dues o més ones concorren en un mateix punt, la pertorbació resultant és igual a la suma de les pertorbacions que produirien cadascuna per separat.
Suposem dos focus F1 i F2 emissors d’ones coherents que interferiran al punt P distant x1 i x2 dels focus. La interferència depèn de la diferència 𝑑 = 𝑥2− 𝑥1
Definim les dues ones: 𝑦1 = 𝐴cos 2𝜋𝑓 𝑡 − 𝑘 𝑥 1
𝑦2 = 𝐴 cos (2𝜋𝑓 𝑡 − 𝑘 𝑥 2)
• Segons el Principi de Superposició: 𝑦 = 𝑦1+ 𝑦2 = 𝐴 cos (2𝜋𝑓 𝑡 − 𝑘 · 𝑥 1) + 𝐴 cos (2𝜋𝑓 𝑡 − 𝑘 𝑥 2) =
= 2𝐴 cos2𝜋𝑓 𝑡 − 𝑘 𝑥 1 + 2𝜋𝑓 𝑡 − 𝑘 𝑥 2
2cos
2𝜋𝑓 𝑡 – 𝑘 𝑥 1 − 2𝜋𝑓 𝑡 − 𝑘 𝑥 22
= 2𝐴 cos [𝑘 (𝑥2− 𝑥1)
2] cos [2𝜋𝑓 𝑡 − 𝑘
(𝑥2− 𝑥1)
2]
= 𝐴𝑟 cos [2𝜋𝑓 𝑡 − 𝑘 (𝑥2− 𝑥1)
2]
Per tant l’ona resultant: 𝑦 = 𝐴𝑟 cos [2𝜋𝑓 𝑡 − 𝑘 (𝑥2−𝑥1)
2]
On l’amplitud resultant és:
𝐴𝑟 = 2𝐴 cos 𝑘 𝑥2− 𝑥1
2= 2𝐴 cos
2𝜋
𝜆 𝑥2− 𝑥1
2= 2𝐴 cos [
𝜋
𝜆(𝑥2− 𝑥1)]
L’ona resultant té la mateixa f i λ i l’amplitud dependrà del focus emissors.
Valors màxims: De Ar = 2𝐴 cos [𝜋
𝜆(𝑥2− 𝑥1)] deduïm el valor màxim serà
2A, això es produirà quan 𝐜𝐨𝐬𝝅
𝝀𝒙𝟐− 𝒙𝟏 = 𝟏
𝝅
𝝀𝒙𝟐− 𝒙𝟏 = n π per
tant: (𝒙𝟐− 𝒙𝟏) = 𝒏 𝝀
Arribaran en fase en tots aquells punts que compleixin l’expressió anterior.
Valors mínims: La interferència destructiva i l’amplitud serà nul·la quan:
𝐜𝐨𝐬𝝅
𝝀𝒙𝟐− 𝒙𝟏 = 𝟎
𝝅
𝝀𝒙𝟐− 𝒙𝟏 = (𝟐𝒏 − 𝟏)
𝝅
𝟐 per tant:
(𝒙𝟐− 𝒙𝟏) = (𝟐𝒏 − 𝟏)𝝀
𝟐
Arribaran en oposició de fase en aquells punts que compleixin l’expressió anterior.
Transmissió d’energia En l’avanç, l’ona transporta l’energia en la direcció i sentit de propagació.
Aquesta transmet l’energia de l’oscil·lador harmònic. Una partícula de massa m, situada a l’eix de coordenades animada amb MHS tindrà la següent Em:
E = ½ k A2 = ½ m ω2 A2 = ½ m 4 π2 f2 A2 = 2 m π2 f2 A2
L’energia es propaga en forma d’ones esfèriques (superfícies concèntriques) amb una velocitat v.
A t1 l’energia s’haurà repartit entre totes les partícules a radi r1= v t1. De la mateixa manera a t2. Si no existeix fregament es compleix E1 = E2.
Per tant: 2 𝑚1 𝜋2 𝑓2 𝐴1
2 = 2 𝑚2 𝜋2 𝑓2 𝐴2
2
on m1 i A1 corresponen a la massa i amplitud del front 1 i m2 i A2
al front 2.
Si m1 i m2 tenen un gruix dr amb densitat ρ deduïm: 𝒎𝟏 = 𝑺𝟏 𝒅𝒓 𝝆 = 𝟒 𝝅 𝒓𝟏
𝟐 𝒅𝒓 𝝆 𝒎𝟐 = 𝑺𝟐 𝒅𝒓 𝝆 = 𝟒 𝝅 𝒓𝟐𝟐 𝒅𝒓 𝝆
per tant de E1 = E2 d’on obteníem 𝟐 𝒎𝟏 𝝅𝟐 𝒇𝟐 𝑨𝟏
𝟐 = 𝟐 𝒎𝟐 𝝅𝟐 𝒇𝟐 𝑨𝟐
𝟐
es dedueix: 𝒓𝟏𝟐 𝑨𝟏
𝟐 = 𝒓𝟐𝟐 𝑨𝟐
𝟐 Això implica que la relació r·A és constant. En allunyar-se del centre emissor l’ona s’amorteix, l’amplitud disminueix i, per
tant, les partícules vibren amb menys energia perquè s’ha de repartir entre major nombre de partícules, aquest fenomen es coneix com Atenuació. Es produeix sobre tot en ones bidimensionals i tridimensionals. En la realitat, es perd energia pel fregament, viscositat i poca elasticitat, en aquesta cas el fenomen es coneix com Absorció.
• Intensitat: Anomenem intensitat d’un moviment ondulatori a la quantitat d’energia que travessa perpendicularment la unitat de superfície per unitat de temps. Es mesura en W/m2.
Com varia la intensitat en funció del front:
𝑰 =𝑬
𝑺 𝒕 =
𝑷
𝑺
𝐼1 = 𝐸1𝑆1 𝑡
=8 𝜋 𝑟1
2 𝑑𝑟 𝜌 𝜋2 𝑓2 𝐴12
4 𝜋 𝑟12 𝑡
= 2 𝜌 𝜋2 𝑓2 𝐴12 𝑑𝑟
𝐼2 = 𝐸2𝑆2 𝑡
=8 𝜋 𝑟2
2 𝑑𝑟 𝜌 𝜋2 𝑓2 𝐴22
4 𝜋 𝑟22 𝑡
= 2 𝜌 𝜋2 𝑓2 𝐴22 𝑑𝑟
Dividint membre a membre obtenim: 𝐼1
𝐼2=
𝐴12
𝐴22
Amb la deducció realitzada anteriorment (𝐴1
2
𝐴22 =
𝑟12
𝑟22
) podem concloure:
Ones Estacionàries Quan la propagació d’una ona no troba cap obstacle que reflecteixi les ones cap
al centre emissor considerem el medi obert. Si el tren d’ones es troba amb una frontera, la part reflectida interfereix amb la part incident, s’originen ones estacionàries. Per tant, interferència d’ones que es propaguen en la mateixa direcció però en sentit oposat. Per exemple, a les cordes d’una guitarra.
Reben el nom d’estacionàries perquè el perfil de l’ona no es desplaça pel fet que hi ha punts fixos o nodes on A=0 i
altres anomenat ventres on l’A és màxima.
Equació de les ones estacionàries.
Tenim una ona 𝑦1(𝑥, 𝑡) = 𝐴 cos (2𝜋𝑓 · 𝑡 – 𝑘 𝑥) ,en arribar al punt fix es reflecteix amb un canvi de fase de 180o de manera que en aquest
punt l’elongació serà 0. L’ona reflectida 𝑦2 𝑥, 𝑡 = −𝐴 cos 2𝜋𝑓 · 𝑡 + 𝑘 𝑥 .
𝑰𝟏𝑰𝟐=𝑨𝟏
𝟐
𝑨𝟐𝟐=𝒓𝟐
𝟐
𝒓𝟏𝟐
La superposició d’aquestes donarà l’ona estacionaria següent:
𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝑦1(𝑥, 𝑡) + 𝑦2(𝑥, 𝑡) = 𝐴 cos (2𝜋𝑓 𝑡 – 𝑘 𝑥) − 𝐴 cos (2𝜋𝑓 𝑡 + 𝑘 𝑥) =∗
= − 2 𝐴 sin2𝜋𝑓 𝑡 –𝑘 𝑥+2𝜋𝑓 𝑡 + 𝑘 𝑥
2sin
2𝜋𝑓 𝑡–𝑘 𝑥−2𝜋𝑓 𝑡–𝑘 𝑥
2=
= − 2𝐴 sin 2𝜋𝑓 𝑡 sin – 𝑘 𝑥 = 𝐴𝑟 sin (2𝜋𝑓 𝑡) 𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴𝑟 sin (2𝜋𝑓 𝑡)
∗ cos 𝐴 – cos 𝐵 = − 2 sin𝐴+𝐵
2· sin
𝐴−𝐵
2
Sent Ar= 2 A sin (k x) . Es tracta d’una equació d’un MHS. Tots els punts de la corda vibren sense que el perfil de l’ona es desplaci.
L’amplitud d’una ona estacionària depèn exclusivament de la localització de les partícules del medi.
Successió de nodes i ventres
La distància entre dos ventres consecutius o dos nodes consecutius és λ/2.
Nodes. En aquest cas Ar=0 sin kx =0 k x = n π sabent que k =2π/λ
2𝜋
𝜆𝑥 = 𝑛 𝜋; 𝑥 = 𝑛
𝜆
2
Contant des del punt P on es produeix la reflexió: n=0 x = 0 primer node n=1 x= λ/2 segon node
n=2 x = λ tercer node
Ventres. El punts de màxima amplitud s’obtenen quan sin 𝑘 𝑥 = 1
𝑘 𝑥 = 2𝑛 + 1𝜋
2 ;
2𝜋
𝜆𝑥 = (2𝑛 + 1)
𝜋
2
𝑥 =2𝑛 + 1 𝜆
4
n=0 x = λ/4 primer ventre n=1 x= 3λ/4 segon ventre
n=2 x = 5λ/4 tercer ventre
El So Formació del so: Per formar-lo necessitem d’una font sonora i en totes elles el
so es produeix per vibració d’algun objecte de forma periòdica sinó és periòdicament es diu soroll. L’altaveu mitjançant vibracions per impulsos elèctrics, la veu mitjançant la vibració de les cordes vocals, etc...
Propagació del so: Les ones sonores es propaguen gràcies a les molècules de l’aire que estan en moviment constant. Les molècules xoquen, i es transmeten així les oscil·lacions de pressió.
Per tant, es produeixen una sèrie de compressions i enrariments (on la pressió i la densitat són inferiors) que es propaguen constituint així una ona sonora viatgera que és de tipus longitudinal. És a dir, el fluid es mou enrere i endavant al llarg de la direcció de propagació de l’ona.
Velocitat de propagació de les ones sonores: Recordem les diferents expressions en funció del medi.
Gas: 𝒗 = 𝜸 𝑹 𝑻
𝑴
Propietats de les ones sonores - Reflexió: La repetició del so originada per la reflexió s’anomena ressò. Per a
que aquest es produeixi l’obstacle ha d’estar situat a 17 m com a mínim. Sinó es produeix reverberació que és la persistència d’un so a un local com a conseqüència de la reflexió a parets. El sonar utilitza aquest fenomen per la detecció submarina.
Líquid: 𝒗 = 𝑩
𝝆 Sòlid: 𝒗 =
𝑱
𝝆
L’oïda humana distingeix dos sons consecutius, quan els percep amb una desena de segon de diferència. Per tant, per percebre’l l’obstacle haurà d’estar com a mínim a 17m.
- Difracció: En passar per petites obertures i obstacles aquest pot dispersar-se.
- Interferències: Aquestes poden existir quan arriben dues sonores a un mateix punt. Poden ser destructives o constructives. Les primeres són responsables de la formació de nodes a auditoris i es produeixen quan la diferència de la
distància recorreguda és (2𝑛 − 1)𝜆
2 quan aquesta és 𝑛 𝜆 és de tipus
constructiu.
Percepció del so • Els detectors de so transformen l’energia de l’ona en altre tipus d’energia.
L’element fonamental d’un detector és un diafragma que vibra amb la mateixa freqüència de les ones que percep.
• Oïda: Percep moltes freqüències i moltes qualitats de so. En arribar a l’orella converteix els canvis de pressió en impulsos nerviosos, després processats i analitzats al cervell. Es divideix en tres parts: orella externa, mitjana i interna.
- Externa: Pavelló auditiu que recull les ones, canal auditiu per on viatgen fins el timpà fent-lo vibrar.
- Mitjana: 3 ossets: martell, enclusa i estrep. Transmeten les vibracions del timpà fins l’orella interna.
- Interna: Plena d’un líquid aquós per on es transmeten les vibracions fins a les cèl·lules sensibles a la membrana basilar. Es transmeten al cervell produint la sensació de so.
Les freqüències pròximes a 20000 Hz prop de la membrana basilar i les freqüències més baixes es detecten més endavant. El rang audible per una persona va des dels 20 Hz fins els 20000 Hz. Per sota i damunt no podem sentir les diferents freqüències.
La major sensibilitat es troba entre els 1000-5000 Hz. Els ancians són menys
sensibles a freqüències majors de 1000Hz
1. Objectivament el so són ones mecàni- ques, longitudinals i de pressió. Subjecti- vament, és la sensació que ens produeix en l’oïda la vibració esmentada abans.
2. Els límits d’audició són els comentats anteriorment, de 20-20000Hz coneguts com llindar inferior i llindar superior.
3. Ones sòniques o sons: Ones mecàniques longitudinals i de pressió, on la freqüència està compresa dins els límits d’audició. Greu si la freqüència és baixa i agut si es alta.
Ones infrasòniques o infrasons: Freqüència inferior a 20 Hz. Produïdes per oscil·ladors de grans dimensions. Ex. terratrèmol.
Ones ultrasòniques o ultrasons: Freqüència superior al límit d’audició. Poden arribar fins a 108 Hz. En aquestes condicions la longitud d’ona pot ser de l’ordre de 5·10-5 m, semblant a la longitud d’ona de la llum visible.
Qualitats del so • Anteriorment hem estudiat que la resposta auditiva té lloc a l’oïda i que
aquesta varia d’una persona a una altra. Tenim, per tant, unes propietats físiques objectives i mesurables relacionades amb uns efectes subjectius que depenen de l’individu. Són sonoritat, to i timbre relacionades a la intensitat, freqüència i forma de l’ona respectivament.
• Sonoritat: és la qualitat per la qual es perceben els sons amb major o menor força. Aquesta depèn de l’amplitud de l’ona, de la distància i de la intensitat. Per exemple, la força que fem un cop, a una corda de la guitarra serà més fort com més gran és la separació o amplitud d’aquesta, les campanes grans sonen
més fort que les petites i en funció del cop, i si estem allunyats menys se sent. La relació sonoritat-intensitat és tal que a intervals iguals de sonoritat
corresponen múltiples iguals en la intensitat. La sonoritat a una freqüència determinada s’expressa en fons, és la mesura de les percepcions de molta gent.
El llindar d’audició és la intensitat més baixa per una freqüència determinada equival a zero fons. Aquest llindar és de 10-12W/m2. La intensitat màxima que suportem és d’1W/m2. Aquesta fluctua, per tant, entre 10-12 – 1 W/m2. Es compleix que Imàx= 1012 I0
Escala decibèlica és l’escala que utilitzem per comparar els nivells d’intensitat. Es coneix també com llindar d’audició humana. Es tracta d’una escala logarítmica:
𝛽 = 10 log𝐼
𝐼0; 𝐼 = 𝐼0 10
𝛽
10
on β: nivell d’intensitat mesurat en decibels (dB); I: intensitat d’un so determinat I0: intensitat llindar. L’escala en un principi es va definir en bels, en honor a Alexander Graham Bell, inventor del telèfon. Però en ser més aviat gran es va substituir per l’actual.
El volum que mesura l’oïda humana no és directament proporcional a la intensitat de l’ona sonora . En comptes d’això un so deu vegades més intens que un altre serà percebut com el doble d’un altre. Un increment de 10 n decibels equival a un augment en la intensitat en un factor de 10n.
To: To és la qualitat del so que depèn de la freqüència. Pel to dividim el so en aguts, quan el nombre de vibracions és gran i greus quan és petit. La corda d’un violí és més agut que la corda d’una viola. Una persona adulta té un to més greu que un nen.
Timbre: és la qualitat per la qual es distingeixen dos sons de la mateixa sonoritat i del mateix to. Aquest efecte està relacionat amb la forma de l’ona.
Quan emetem un so fonamental en tocar un instrument qualsevol s’originen altres més febles acompanyant-lo, reben el nom de sobretons o harmònics.
Quan més complexa sigui una ona, major nombre d’harmònics té.
Comparant l’ona del diapasó amb les altres ones observem que les ones són periòdiques, però no sinusoïdals, per tant no tenen forma harmònica. Si són del mateix to, aquests harmònics seran els responsables del diferent timbre de l’ona, és a dir, aporten detalls relatius a la forma de l’ona.
Aquestes ones es poden considerar com suma d’ones harmòniques senzilles. Aquesta expressió rep el nom d’anàlisi de Fourier. Fer el procediment invers s’anomena síntesi de Fourier i és la base dels sintetitzadors moderns on es produeixen sons mecànicament en comptes
d’utilitzar instruments musicals. El resultat obtingut són sons de timbre molt variat.
Ressonància Acústica Consisteix en un augment de la intensitat d’un so com a conseqüència de la formació d’una interferència constructiva o una ona estacionaria produïda per la vibració d’un objecte amb la mateixa freqüència que una font sonora. Per exemple l’entrada d’aire en un tub tancat vibrant en ressonància amb un diapasó, o dos diapasons sobre una caixa. En el primer cas es produirà ressonància sempre i quan
l’alçada de la columna sigui (2𝑛 − 1)𝜆/4. Si el tub és obert l’alçada haurà de ser (2𝑛 − 1)𝜆/2. Per tant les ressonàncies es produeixen cada 𝜆/2.
Efecte Doppler Rep aquest nom un fenomen que consisteix en el canvi de la freqüència del so
a partir del moviment relatiu de la font sonora (vf) i l’observador (vo). Podem trobar-nos 3 situacions diferents: l’observador es mou i la font està en repòs, la font es mou i l’observador està en repòs i l’observador i la font estan en moviment.
Observador en moviment i font en repòs. A les velocitats esmentades anteriorment li hem d’afegir la velocitat del so (v)
i la freqüència de la font(f). Si l’observador s’aproxima a la font rebrà més fronts d’ona per unitat de temps que en repòs, per tant la velocitat relativa de
l’observador serà: 𝑣’ = 𝑣 + 𝑣0
si l’observador s’allunya rebrà menys fronts d’ona per unitat de temps per tant la velocitat relativa de l’observador serà: 𝑣’ = 𝑣 − 𝑣0
com la longitud d’ona no varia la freqüència escoltada per l’observador serà:
si 𝜆 =𝑣
𝑓 podem deduir
𝑓’ = 𝑣’
𝜆=𝑣 ± 𝑣0
𝜆 𝑓’ = 𝑓 ·
𝑣 ± 𝑣0𝑣
L’observador està en repòs i la font en moviment. Com la font es troba en moviment els fronts d’ona aniran acumulant-se en la direcció d’avanç de la font fent que la longitud d’ona sigui inferior, en canvi, en l’altra direcció la longitud d’ona va augmentant. Per tant, en primer cas com la longitud d’ona serà menor
podem deduir per tant el següent: 𝜆’ = 𝜆–𝑣𝑓𝑓
Si la font s’allunya la longitud d’ona serà major, així doncs l’expressió quedarà:
𝜆’ = 𝜆 +𝑣𝑓
𝑓
Com sabem que 𝑓’ =𝑣
𝜆 obtenim: 𝑓’ =
𝑣
𝜆 ±𝑣𝑓
𝑓
= 𝑓 ·𝑣
𝑣 ± 𝑣𝑓
Signe (-) si la font s’apropa, signe (+) si la font s’allunya.
La font i l’observador estan en moviment. (Cas general) Podem calcular la freqüència percebuda en dues etapes combinant les
equacions anteriors: 𝑓’ = 𝑓 ·𝑣
𝑣 ± 𝑣𝑓·𝑣 ± 𝑣
0
𝑣 operant obtenim:
𝑓’ = 𝑓 ·
𝑣 ± 𝑣0𝑣 ± 𝑣𝑓
Hem de tenir en compte les següents regles: Aproximació relativa: la freqüència augmenta. Això significa que augmenta el
numerador i disminueix el denominador la velocitat de l’observador sumarà i la de la font restarà +v0, -vf.
Allunyament relatiu: la freqüència disminueix. Això significa que disminueix el numerador i augmenta el denominador la velocitat de l’observador restarà i la de la font sumarà -v0, +vf.
Aplicacions de l’efecte Doppler. És un fenomen que es manifesta en totes les ones i per això té nombroses
aplicacions. - Radar o cinemòmetre: per mesurar la velocitat dels automòbils. Un feix
d’ones surt del radar en direcció a un automòbil que passa per la carretera. Les ones reflectides a l’automòbil tindran una freqüència diferent i per tant podrem calcular la velocitat del cotxe en aquell moment.
El cotxe actua com a font mòbil i es produeix l’efecte Doppler per duplicat. Una vegada del radar al cotxe i una altra de la sortida de l’ona reflectida de tornada al cotxe patrulla. L’ordinador farà el càlcul i dependrà de les veloci- del cotxe patrulla tats i del cotxe en qüestió.
- Sonar: Per detectar els bancs de peixos, també es fonamenta en aquest efecte.
- Càlcul de la velocitat relativa d’astres i galàxies: Aplicant l’efecte Doppler a les ones electromagnètiques que ens envien les diferents galàxies i mesurem el canvi de la freqüència podem observar la velocitat que duu aquesta. Si la galàxia s’allunya la freqüència disminueix i aquest fenomen es coneix com corriment cap al vermell.
Limitacions de l’efecte Doppler. - Quan l’observador s’allunya a més velocitat que la del so perquè l’ona no
podrà arribar mai. - Si el focus es mou a més velocitat que la del so, on aplicant l’equació
obtindríem una freqüència negativa la formació d’una ona de xoc. On les crestes de les ones s’acumulen de manera que l’amplitud de l’ona es fa més gran. Aquesta pot augmentar la pressió tant com per trencar vidres, danyar l’oïda, causar el soroll d’un avió que sobrepassa la velocitat del so, de deixar els solcs de les llanxes a la superfície de l’aigua.
Contaminació Acústica Sorolls per damunt de 120 dB causen dolor si sobrepassen els 140 dB poden
danyar el timpà i provocar sordesa. Exposicions prolongada per damunt de 60 dB poden provocar pèrdues parcials en certs intervals de freqüències.
Per tant sorolls ambientals superiors a 65 dB de zones transitades o les músiques de pubs i discos. L’ús d’auriculars està fent augmentar diferents problemes d’audició entre la població més jove.
Resumint: - Provoca la pèrdua gradual de l’audició i interfereix en el son i la capacitat de concentració.
- Pot originar alteracions fisiològiques en el sistema cardiovascular (augment de la tensió arterial, arrítmies).
- Trastorns en l’aparell digestiu i augment de la secreció d’adrenalina
(agressivitat). - Danya el sistema nerviós.
Per evitar-lo: - Utilitzar protectors de l’oïda (taps) - Construir les diferents vies de major circulació fora de les zones residencials. - Insonoritzar els edificis en la mesura del possible. - Instal·lar barreres acústiques en zones de molt de trànsit rodat. - Potenciar una bona educació ambiental, fomentant el gust pel silenci i pels
sons naturals i musicals.
