UNIDAD 2. Análisis de patrones numéricos y series de sucesiones simbólicas.

(De los patrones numéricos a la simbolización algebraica).

R.A. 2.1. Identificar los patrones y fenómenos de comportamiento lineal o no lineal a través de representaciones numéricas y gráficas.

Contenidos específicos

A. Pensamiento y lenguaje variacional

Situaciones variacionalesArgumentos variacionalesCódigos variacionales

B. Estrategias variacionales

ComparaciónSeriaciónPredicciónEstimación

C. Patrones de comportamiento

LinealNo lineal

PATRONES CONOCIDOS DE NÚMEROS

A veces los números forman patrones interesantes. Aquí mostramos los más comunes y cómo se forman.

Sucesiones aritméticas

Una sucesión aritmética se construye sumando un valor fijo cada vez.

Ejemplos:

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ...

Esta sucesión tiene una diferencia de 3 entre cada dos números consecutivos.

El patrón se sigue sumando 3 al último número cada vez.

3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, ...

Esta sucesión tiene una diferencia de 5 entre cada dos números consecutivos.

El patrón se sigue sumando 3 al último número cada vez.

Sucesiones geométricas

Una sucesión geométrica se construye multiplicando un valor fijo cada vez.

Ejemplos:

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ...

Esta sucesión tiene un factor 2 entre cada dos números consecutivos.

El patrón se sigue multiplicando el último número por 2 cada vez.

3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, ...

Esta sucesión tiene un factor 3 entre cada dos números consecutivos.

El patrón se sigue multiplicando el último número por 3 cada vez.

Sucesiones especiales

Números triangulares

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ...

Esta sucesión se genera con un patrón de puntos que forma un triángulo.

Añadiendo otra fila de puntos y contando el total se encuentra el siguiente número de la sucesión.

Números cuadrados

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ...

El siguiente número se hace elevando su posición al cuadrado.

El segundo número es 2 al cuadrado (22 o 2×2)

El séptimo número es 7 al cuadrado (72 o 7×7) etc.

Números cúbicos

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, ...

El siguiente número se calcula elevando su posición al cubo.

El segundo número es 2 al cubo (23 o 2×2×2)

El séptimo número es 7 al cubo (73 o 7×7×7) etc.

Números de Fibonacci

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...

El siguiente número se halla sumando los dos números delante de él.

El 2 se calcula sumando los dos números delante de él (1+1)

El 21 se calcula sumando los dos números delante de él (8+13)

El siguiente número de la sucesión sería 55 (21+34)

SUCESIONES Y SERIES

¿Qué es una sucesión?

Una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) una detrás de otra, en un cierto orden.

Finita o infinita

Si la sucesión sigue para siempre, es una sucesión infinita, si no es una sucesión finita

Ejemplos

{1, 2, 3, 4 ,...} es una sucesión muy simple (y es una sucesión infinita)

{20, 25, 30, 35, ...} también es una sucesión infinita

{1, 3, 5, 7} es la sucesión de los 4 primeros números impares (y es una sucesión infinita)

{4, 3, 2, 1} va de 4 a 1 hacia atrás

{1, 2, 4, 8, 16, 32, ...} es una sucesión infinita donde vamos doblando cada término

{a, b, c, d, e} es la sucesión de las 5 primeras letras en orden alfabético

{a, l, f, r, e, d, o} es la sucesión de las letras en el nombre "alfredo"

{0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s (sí, siguen un orden, en este caso un orden alternativo)

En orden

Cuando decimos que los términos están "en orden", ¡nosotros somos los que decimos qué orden! Podría ser adelante, atrás... o alternando... ¡o el que quieras!

Una sucesión es muy parecida a un conjunto, pero con los términos en orden (y el mismo valor sí puede aparecer muchas veces).

Ejemplo: {0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s. El conjunto sería sólo {0,1}

La regla

Una sucesión sigue una regla que te dice cómo calcular el valor de cada término.

Ejemplo: la sucesión {3, 5, 7, 9, ...} empieza por 3 y salta 2 cada vez:

¡Pero la regla debería ser una fórmula!

Decir que "empieza por 3 y salta 2 cada vez" no nos dice cómo se calcula el:

10º término,

100º término, o

n-ésimo término (donde n puede ser cualquier número positivo que queramos).

Así que queremos una fórmula con "n" dentro (donde n será la posición que tiene el término).

Entonces, ¿cuál sería la regla para {3, 5, 7, 9, ...}?

Primero, vemos que la sucesión sube 2 cada vez, así que podemos adivinar que la regla va a ser "2 × n". Vamos a verlo:

Probamos la regla: 2n

n Término Prueba1 3 2n = 2×1 = 22 5 2n = 2×2 = 43 7 2n = 2×3 = 6

Esto casi funciona... pero la regla da todo el tiempo valores 1 unidad menos de lo que debería, así que vamos a cambiarla un poco:

Probamos la regla: 2n+1

n Término Regla1 3 2n+1 = 2×1 + 1 = 32 5 2n+1 = 2×2 + 1 = 53 7 2n+1 = 2×3 + 1 = 7

¡Funciona!

Así que en vez de decir "empieza por 3 y salta 2 cada vez" escribimos la regla como

La regla para {3, 5, 7, 9, ...} es: 2n+1

Ahora, por ejemplo, podemos calcular el término 100º: 2 × 100 + 1 = 201

Notación

Para que sea más fácil escribir las reglas, normalmente lo hacemos así:

Entonces podemos escribir la regla para {3, 5, 7, 9, ...} en forma de ecuación, así:

xn = 2n+1

Ahora, si queremos calcular el 10º término, podemos escribir:

x10 = 2n+1 = 2×10+1 = 21

¿Puedes calcular el 50º término? ¿Y el 500º?

Ahora veamos algunas sucesiones especiales y sus reglas:

TIPOS DE SUCESIONES

Sucesiones aritméticas

El ejemplo que acabamos de usar, {3,5,7,9,...}, es una sucesión aritmética (o progresión aritmética), porque la diferencia entre un término y el siguiente es una constante.

Ejemplos

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ...

Esta sucesión tiene una diferencia de 3 entre cada dos términos.

La regla es xn = 3n-2

3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, ...

Esta sucesión tiene una diferencia de 5 entre cada dos términos.

La regla es xn = 5n-2

Sucesiones geométricas

En una sucesión geométrica cada término se calcula multiplicando el anterior por un número fijo.

Ejemplos:

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ...

Esta sucesión tiene un factor 2 entre cada dos términos.

La regla es xn = 2n

3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, ...

Esta sucesión tiene un factor 3 entre cada dos términos.

La regla es xn = 3n

4, 2, 1, 0.5, 0.25, ...

Esta sucesión tiene un factor 0.5 (un medio) entre cada dos términos.

La regla es xn = 4 × 2-n

Sucesiones especiales

Números triangulares

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ...

Esta sucesión se genera a partir de una pauta de puntos en un triángulo.

Añadiendo otra fila de puntos y contando el total encontramos el siguiente número de la sucesión.

Ejemplo:

El quinto número triangular es x5 = 5(5+1)/2 = 15,

y el sexto es x6 = 6(6+1)/2 = 21

Números cuadrados

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ...

El siguiente número se calcula elevando al cuadrado su posición.

La regla es xn = n2

Números cúbicos

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, ...

El siguiente número se calcula elevando al cubo su posición.

La regla es xn = n3

Números de Fibonacci

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...

El siguiente número se calcula sumando los dos que están antes de él.

El 2 se calcula sumando los dos delante de él (1+1)

El 21 se calcula sumando los dos delante de él (8+13)

La regla es xn = xn-1 + xn-2

Esta regla es interesante porque depende de los valores de los términos anteriores.

Por ejemplo el 6º término se calcularía así:

x6 = x6-1 + x6-2 = x5 + x4 = 5 + 3 = 8

SERIES

"Sucesiones" y "series" pueden parecer la misma cosa... pero en realidad una serie es la suma de una sucesión.

Sucesión: {1,2,3,4}

Serie: 1+2+3+4 = 10

Las series se suelen escribir con el símbolo Σ que significa "súmalos todos":

FUNCIONES LINEALES Y NO LINEALES

FUNCION LINEAL

En geometría analítica y álgebra elemental, una función lineal es una función polinómica de primer grado, es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta. Esta función se puede escribir como:

donde m y b son constantes reales y x es una variable real. La constante m determina la pendiente o inclinación de la recta, y la constante b determina el punto de corte de la recta con el eje vertical y.

En el contexto del análisis matemático, las funciones lineales son aquellas que pasan por el origen de coordenadas, donde b=0, de la forma:

mientras que llaman función afín a la que tiene la forma:

EJEMPLO

Una función lineal de una única variable dependiente x es de la forma:

y=mx+b

que se conoce como ecuación de la recta en el plano x, y.

En la figura se ven dos rectas, que corresponden a las ecuaciones lineales siguientes:

y=0,5x+2

en esta recta el parámetro m es igual a 1/2 (correspondiente al valor de /la pendiente de la recta), es decir, cuando aumentamos x en una unidad entonces y aumenta en ½ unidad, el valor de b es 2, luego la recta corta el eje y en el punto y=2.

En la ecuación:

y=-x+5

la pendiente de la recta es el parámetro m=-1, es decir, cuando el valor de x aumenta en una unidad, el valor de y disminuye en una unidad; el corte con el eje y es en y=5, dado que el valor de b=5.

En una recta el valor de m se corresponde al ángulo theta de inclinación de la recta con el eje de las x a través de la expresión:

m=tan(theta).

Digamos que trabajas en el parque de diversiones y estas tratando de organizar paquetes de boletos para que la gente los compre. Si quieres crear un paquete, podrías saber a cuantas atracciones se puede subir alguien por cierta cantidad de boletos.

Si el paquete tiene 6 boletos, la persona que lo compre se puede subir a dos atracciones. Si el paquete tiene 12 boletos, la persona que lo compre se puede subir a cuatro atracciones. El número de atracciones es función del número de boletos. Usar el siguiente cuadro puede ayudar a la gerencia del parque de diversiones a crear paquetes de boletos.

x Atracciones y Boletos

1 32 63 94 127 21

Podemos crear una representación gráfica de esta información. ¿Cómo hacemos esto?

Con la ayuda de un gráfico. Un gráfico de una función puede mostrar la relación entre los valores de x y los valores de y.

Orientación

¿Recuerdas lo que es una función?

Una función es un conjunto de pares ordenados en el que un elemento del dominio esta emparejado exactamente con un elemento del rango. Existe una relación en cada reglaentre los valores del dominio y los valores del rango de una función.

En esta Sección, comenzaremos por un tipo específico de función llamado función lineal. La palabra “recta” hace referencia a la palabra “lineal”. Eso te puede ayudar a recordar que cuando se grafica una función lineal en un plano cartesiano, la gráfica será una línea recta.

Ya aprendiste como representar funciones con un conjunto de pares ordenados y con una tabla. Podemos tomar la información de pares ordenados o tablas y representar una función con un gráfico.

¿Cómo graficamos una función lineal?

Observa la siguiente tabla de valores y piensa en cómo podemos representar la función en un plano cartesiano.

Grafica la función lineal representada por los pares ordenados de la siguiente tabla en un plano cartesiano.

x y-4 5-2 30 12 -14 -3

Los pares ordenados que se muestran en la tabla son (–4, 5), (–2, 3), (0, 1), (2, –1) and (4, –3).

Dibuja esos cinco puntos en el plano cartesiano. Luego conéctalos como se muestra abajo.

Notas que el gráfico de esta función es una línea recta. Esto se debe a que es una función lineal.

También puedes graficar una función lineal a partir de la ecuación que la representa. Esto tomará unos cuantos pasos más que si usáramos pares ordenados. Cuando tengas una ecuación, puedes usar la ecuación para crear una tabla. Luego, tomas algunos valores de la tabla, los dibujas en el plano y luego los conectas con una línea.

La ecuación y=2x−1 representa una función lineal. Grafica la función en un plano cartesiano.

Primero, usa la ecuación para crear una tabla y encontrar algunos pares ordenados de la función. Una buena idea es usar algunos valores de x− negativos, positivos y x− 0. Por ejemplo, puedes crear una tabla para encontrar el valor de y cuando x es igual a –2, –1, 0, 1, y 2. Tendrás que usar tu conocimiento sobre cálculo de números enteros para encontrar los valores de y− .

x y-2

-5 ←2x−1=2(−2)−1=−4−1=−4+(−1)=−5

-1

-3 ←2x−1=2(−1)−1=−2−1=−2+(−1)=−3

0 -1 ←2x−1=2(0)−1=0−1=0+(−1)=−11 1 ←2x−1=2(1)−1=2−1=12 3 ←2x−1=2(2)−1=4−1=3

Los pares ordenados que se muestran en la tabla son (–2, –5), (–1, –3), (0, –1), (1, 1) y (2, 3). Esta es una manera de representar una función usando una tabla.

Dibuja esos cinco puntos en el plano cartesiano. Luego conéctalos como se muestra abajo.

Responde las siguientes preguntas sobre funciones.

Ejemplo A

El grafico anterior, ¿es un gráfico positivo o negativo?

Solución: Positivo

Ejemplo B

En (-3, 4) el valor de x ¿es positivo o negativo?

Solución: Negativo

Ejemplo C

En (-6, -7), ¿Cuál es el valor de y ?

Solución: −7

ECUACIONES NO LINEALES

¿Alguna vez has cocinado galletas? No las puedes tocar cuando apenas han salido del horno, o te quemarás. No toma mucho tiempo para que se enfríen lo suficiente para que las puedas comer, pero se mantienen templadas por mucho tiempo. Y no se enfrían más que la temperatura ambiente. Si dibujamos una gráfica del enfriamiento de una galleta, se vería más o menos así:

Nota que la gráfica está muy empinada al principio y luego se nivela con el pasar del tiempo, hasta que las galletas están a temperatura ambiente. Esta es una función — hay una entrada y una salida, y al cambiar el tiempo (la entrada), también cambia la temperatura (la salida). Pero no es una función lineal, porque no sigue una línea recta. Una función que no es lineal se llama función no lineal — ¡Seguro es fácil de recordar! Hay muchos tipos de funciones no lineales. Vamos a explorar sólo algunos de ellos.

Funciones de Variación Inversa

Un tipo de función no lineal se llama variación inversa. En éstas funciones, la variable dependiente es igual a una constante multiplicada por la inversa de la variable independiente. En forma

simbólica, ésta es la ecuación , donde y es la variable dependiente, k es la constante, y x es la variable independiente. Compárala con la ecuación para una función que tiene variación directa entre las variables,

como la función proporcional con fórmula . La única diferencia es que se utiliza la inversa de la entrada.

Un ejemplo de una función inversa es la velocidad requerida para viajar entre dos ciudades en un lapso de tiempo dado.

Digamos que necesitas conducir desde Boston hasta Chicago, que son aproximadamente 1,000 millas. Entre más tiempo tienes, más lento puedes ir. Si quieres llegar en 20 horas, necesitas ir a 50 millas

por hora, porque . Pero si dispones de 40 horas para llegar, sólo tienes que promediar 25 millas

por hora, ya que . La ecuación para averiguar qué tan rápido debes conducir dada una cantidad

de tiempo es , o . Si te fijas, ésta es la misma forma que la fórmula de la función

de variación inversa, . Aquí está una tabla que muestra diferentes tiempos y velocidades que satisfacen la ecuación:

TiempoVelocidad (millas por hora)

1 1,000

5 200

10 100

15 66 2/3

16 62 1/2

20 50

40 25

Ahora, si graficamos esos puntos, veremos que la gráfica no es una línea recta.

Una parte importante de las funciones y sus gráficas es la tasa de cambio. ¿Qué está pasando con la tasa de cambio en ésta gráfica? Cuando el tiempo está cerca de 0, un pequeño cambio en el tiempo produce una caída significante en la tasa en el que necesitas conducir. Si tienes muy poco tiempo, digamos 1 hora, tendrías que viajar a 1000 millas por hora para lograrlo, y creo que eso es ilegal. Pero si tienes disponible tan sólo otra hora más, puedes reducir la velocidad a 500 millas por hora.

Ahora mira el centro de la gráfica. La gráfica se vuelve plana — el cambio de una hora no provocará mucha diferencia en la velocidad. Si tú manejas por 15 horas, necesitarás ir a casi 67 mph, Añade una hora extra y ésta vez la velocidad requerida cae a sólo 4 millas por hora.

La tasa de cambio en ésta gráfica no es constante. Empieza muy alto, y la gráfica es muy empinada. Pero conforme la tasa de cambio disminuye, la gráfica se nivela. Funciones Cuadráticas

Otro tipo de función no lineal es la función cuadrática. En una función cuadrática, la variable independiente (x) se multiplica a sí misma. Veamos la función cuadrática más simple, que tiene la ecuación y = x2. Una tabla de valores de x y y de ésta función se vería así:

x y

-3 9

-2 4

-1 1

0 0

1 1

2 4

3 9

En una gráfica, estos valores forman una línea curva con forma de U llamada parábola.

Todas las funciones cuadráticas forman una parábola en una gráfica. La parábola puede abrir hacia arriba (así – U) o hacia abajo (así – ∩). Puede ser amplia o angosta, simétrica sobre el eje y o acostada en uno de los cuadrantes. Las funciones cuadráticas son usadas para describir cosas con curvas simétricas suaves, como el botar de una pelota o el arco de un puente.

Una función cuadrática puede tener la ecuación y = x2. Pero otras fórmulas de funciones cuadráticas son más complejas — éstas son llamadas ecuaciones cuadráticas:

y = ax2 + bx + c

y = (ax + b)(cx + d)

y = a(x+b)2 + c

Lo importante que hay que notar es que en cada ecuación, la variable independiente está

multiplicada por sí misma. Las letras a, b, c y d son coeficientes — su presencia en la ecuación modifica la silueta y localización de la parábola. La gráfica de abajo muestra la función de la altura contra el tiempo de una pelota que lanzas al aire y la atrapas.

Basado en la gráfica, ¿cuál de las siguientes declaraciones es verdadera? A) Entre más alta está la pelota, más lentamente se mueve.B) La pelota viaja a una velocidad constante.C) La pelota se eleva más rápido de lo que cae.D) La pelota cae más rápido de lo que se eleva. Funciones Exponenciales

Otro tipo de función no lineal es la función exponencial. En éstas funciones, la variable

independiente es un exponente en la ecuación. La fórmula de la función exponencial tiene la forma y = abx. Como x es el exponente, si b es mayor que 1, la salida crecerá muy rápido por cada pequeño incremento del valor de entrada. Las funciones exponenciales son usadas en cosas relacionadas con el crecimiento o la disminución de una población o la descomposición radiactiva. Aquí hay una tabla que muestra los valores de x y y para la ecuación y = 2x.

x y

-2 0.25

-1 0.5

0 1

1 2

2 4

3 8

La gráfica de ésta función se ve así:

Puedes ver por qué el término matemático "exponencial" se ha vuelto popular para describir

cambios rápidos y explosivos.

Las letras a y b en la ecuación de la función exponencial son coeficientes que forman la base del exponente x. Esta gráfica interactiva te permite manipular los valores de la ecuación y = abx. Haz clic y arrastra los controles deslizantes llamados a y b y nota el gran efecto que provocan pequeños cambios. En las funciones exponenciales, poco significa mucho.