УПРАВЛІННЯ ОСВІТИ ВИКОНАВЧОГО КОМІТЕТУ ПОЛТАВСЬКОЇ МІСЬКОЇ РАДИ

ГРОМАДСЬКА ОРГАНІЗАЦІЯ ПЕДАГОГІЧНИЙ ЦЕНТР «АКАДЕМІЯ»

ПОЛТАВСЬКИЙ ПРИВАТНИЙ НАВЧАЛЬНО-ВИХОВНИЙ КОМПЛЕКС «ПАРОСТОК»

ПОЛТАВСЬКОЇ ОБЛАСТІ (ЗНЗ-ДНЗ)

Цілі вирази. Формули скороченого множення

7 клас

Ворона Наталія

Іванівна

вчитель математики

2015 рік

Тема уроку: Цілі вирази. Формули скороченого множення.

Мета: Узагальнити знання учнів по темі «Цілі вирази. Формули скороченого множення»; показати на прикладах значення даної теми в курсі математики; розширити знання учнів про використання формул скороченого множення на прикладах завдань підвищеної складності; розвивати навички використання теоретичних знань при розв’язуванні завдань; прищеплювати любов до математики.

Тип уроку: Урок узагальнення і систематизації знань.

Обладнання: медіа проектор, картки із завданнями.

Хід уроку:

І Організаційний момент.

ІІ Повідомлення теми та мети уроку.

Вчитель: Свого часу відомий мислитель Конфуцій сказав : Три шляхи ведуть до знань:

шлях роздумів – це шлях найблагородніший,

шлях наслідування – найлегший,

і шлях дослідження – найскладніший.

На попередніх уроках ви вивчили формули скороченого множення, навчилися застосовувати дані формули до перетворення виразів, розв’язування рівнянь, розкладання многочленів на множники. На сьогоднішньому уроці ми випробуємо свої знання трьома шляхами:

- Найлегшим, повторюючи основні теоретичні одиниці знань з даної теми, ще раз розглянемо найтиповіші приклади застосування формул скороченого множення.

- Найблагороднішим, тому що спробуємо оцінити значення даної теми в курсі математики.

- Найскладнішим, який вимагатиме від вас не лише знань, а й вмінь їх творчо застосовувати. Ми розглянемо завдання Всеукраїнської олімпіади з математики 2012 року для учнів 8 класу, яке розв'язується за допомогою формул скороченого множення.

(a

Формули скороченого множення(ab

Додавання,відніманняМноження Піднесення до степеня

Степінь

Дії над одночленами Дії над

многочленами

Одночлени Многочлени

Цілі вирази

ІІІ Актуалізація опорних знань.

Питання до учнів:

- Яке поняття в даній темі є ключовим?- Які вирази є цілими?- Які вирази називають одночленами, які – многочленами? Яке з цих понять є більш

ширшим?- Які арифметичні дії можна виконати над одночленами?- Які арифметичні дії можна виконати над многочленами?- Як поєднані арифметичні дії над одночленами і многочленами в формулах

скороченого множення?- Як би ви оцінили місце формул скороченого множення в даній темі? Чи можна

було б вважати цілісною тему «Цілі вирази» без формул скороченого множення?

Вчитель. Всі поняття теми певною мірою пов’язані між собою. Стрілочки, які пов'язують їх утворюють «мереживо», яке показує настільки переплетеними є знання в

математиці. Безпосереднє використання зазначених одиниць знань ви знайдете в курсі алгебри 8 класу.

IV Розв'язування вправ. (Робота в мікрогрупах)

Клас поділяється на 4 різнорівневі групи. Кожна група одержує завдання на застосування формул скороченого множення. На виконання завдань відводиться 5-7 хвилин. По завершенні кожна група проводить захист своїх завдань.І група.( середній рівень складності)

Обчислити: а) 99∙ 101;б ¿

58∙ 62

; в) 772−672; г¿842−642;в ¿

7512−512

1604 .ІІ група( середній рівень складності)Розв'яжіть рівняння: а) х2−25=0 ;б ¿(х−3¿2=0 ;в) х2+14 х+49=0.ІІІ група(достатній рівень складності)Доведіть, що вираз набуває лише невід'ємних значень:а) х2+2 х+1 ;б ¿а2−16 а+64 ;в) х2−2 х+2.

VI група (завдання «високого» рівня)А) Доведіть, що значення виразу 172−112ділиться на 6;б ¿ Доведіть, що (3-1)(3+1)(32+22 ¿ (34+24 ) (38+28 ) (316+216 )=332−232.Вчитель: Завдання , яке отримала І група стосується дій над натуральними числами, але чи зможуть учні 5 класу розв’язати їх за 7 хвилин? Рівняння, які отримала ІІ група – квадратні. З таким видом рівнянь ви ознайомитися лише в 8 класі. Завдання ІІІ групи стосується теми «Квадратична функція», яка вивчатиметься лише в 9 класі, але маючи в арсеналі формули скороченого множення ви можете легко це зробити на рівні 7 класу. Яка ж історія виникнення формул скороченого множення?

VІсторична довідка. (повідомленя учнів, презентація)

Деякі формули скороченого множення знали ще стародавні вавилоняни, китайці, але не в прийнятому тепер символічному записі, а виражені словесно. Вчені стародавньої Греції подавали ці формули в геометричній формі. Наприклад, Евклід зображав формулу (a+b¿2=¿a2+b2+2 ab так:

b

a

b

a

a2

b2

Вчитель: Уявіть себе учнями стародавньої Греції і спробуйте знайти площу малого квадрата за поданим малюнком.

VI Самостійна робота.

Для учнів, які мають «середній» та Для учнів, які мають рівень навчальних досяг-«достатній» рівні навчальних досягнень. нень, що відповідає «високому».Розв'яжіть рівняння: Довести тотожність Діофанта :«Віднови записи» (1 учень працює на від- (а2+в2 ) (с2+d2 )=¿bc¿2

кидній дошці) А) х2+6 х−7=0;

❑❑+6 х+9−9−…=0 ;

(х+…¿2−16=0;

(х+3¿2−❑❑=0;

(х+…-4)(х+3+…)=0;

(х-…)(х+…)=0;

Х-1=…. або х+…=0;

х1=… х2=…

Відповідь: х1=…, х2=…

Б) х2+4 х−12=0

х2+4 х+4−…−12=0 ;

…………………………..

VII Розв'язування завдань олімпіадного типу (колективна робота).

Обчислити найпростішим способом:

1)8765412∙ 8765416 ∙8765418 ∙ 8765422−8765413 ∙8765415∙8765419 ∙8765421+6∙8765411∙

∙ 8765423.

a

a

b

b

?

Пояснення вчителя: Нехай х=8765417,тоді 8765412=(х-5), 8765416=(х-1), 8765418=(х+1), 8765422=(х+5), 8765413=( х-4), 8765415=( х-2), 8765419=( х+2), 8765421=( х+4), 8765411=( х-6), 8765415=( х+6).

Далі продовжують роботу на дошці учні, які мають рівень навчальних досягнень, що відповідає «високому».

2) 2011

2011201120112−201120112010 ∙ 20112011200012.

VIII Підсумок уроку. (Мікрофон)

- Чи потрібні формули скороченого множення?- В яких випадках використання формул скороченого множення дають можливість

спрощувати розв'язки?- Яке із завдань вам вдалося розв’язати найлегше? Яке викликало найбільше

затруднення?- Чи вдалося досягти мети уроку?- Чи справедливими є слова Конфуція?- Який шлях до знань, на вашу думку, найскладніший?

Вчитель:Хоч формули й холодні,Немов би без душі,Часом мовчазні,До світу байдужі,Але лиш уважнішеДо них придивись – І вмить ти відчуєш у них:Травневий спів у саду,Вранішній світанокМузику ВівальдіІ Шевченка вірш,Крик немовляти,І чарівний спів,Зоряне небо,І кохання земне,Майбутнє твоє,Рідну Вкраїну побачиш у нихІ Всесвіт безмежний,Який промовляє до нас через них.

Домашнє завдання: 1) №748, 756(а), 749 (а)-середній рівень; 2) №750(а), 760, 758(в) – достатній рівень; 3) №1078.

Література1. Програма для загальноосвітніх навчальних закладів: Математика 5-11 класи. –

К.:Шкільний світ,2001р.2. Лоповок Л. М. Збірник математичних задач логічного характеру, Київ:

Радянська школа, 1972. – 150 с. 3. Бобров С. П. Чарівний дворіг, Київ: Наукова думка, 1971 – 410 с.

Полтавський приватний навчально виховний заклад «Паросток»

М. Полтава

Розробка уроку математики

Тема: Функція у = х2, її властивості і графік.

Автор: учитель математики

Ворона Наталія Іванівна

2015 рік

Тема: Функція у=х2

Мета: - розширити уявлення учнів про функцію у= х2та її властивості;

- формувати вміння знаходити область визначення функцій, заданих

раціональним дробом, кусково–заданих функцій та будувати графіки цих

функцій, розв'язувати рівняння виду х2=а графічним способом;

- розвивати логічне мислення, самостійність, вміння об’єктивно проводити

самоконтроль власної діяльності; формувати графічну культуру;

- реалізувати міжпредметні зв’язки з геометрією, фізикою, історією;

- сприяти формуванню в учнів інтересу до вивчення алгебри, усвідомлення

значущості розглядуваної теми.

Обладнання: презентація, роздатковий матеріал, підручник (Мерзляк А. Г.,

Полонський В. Б., Якір М. С. Алгебра. 8 клас).

Хід уроку

1. Організаційний момент.

2. Повідомлення теми і мети уроку. Мотивація навчальної діяльності.

Вчитель: Віктор Гюго говорив, що розум людський має три ключі, які

все відкривають: знання, думка, уява. У практичній діяльності людини

математика має велике значення як прикладна наука. Кожна математична

теорія, формула, дякуючи думці та уяві науковців рано чи пізно знаходять

своє практичне застосування. Сьогодні на уроці розглянемо застосування

властивостей функції у=х2та її графіка при розв'язуванні завдань

підвищеного рівня складності, а також прикладне застосування функції.

На уроці нам також стануть в нагоді ключі людського розуму про які

говорив Гюго: знання, думка, уява. Визначте власну навчальну задачу на

урок і працюйте над її реалізацією. Самоконтроль власної діяльності –

шлях до успіху.

3. Актуалізація опорних знань.

Вчитель:

Йоган Гете говорив, що недостатньо лише отримати знання; треба знайти

їм застосування. Пригадаємо основні одиниці знань, які допоможуть у

досягненні мети.

Усно:

1) Яку функцію називають оберненою пропорційністю?

2) Що є графіком оберненої пропорційності?

3) Що є графіком функції у=х2 ?

4) Що є областю визначення ( значення) функцій у=х2, у=kx+b, y=kx ?

5) Знайти область визначення функцій: у= 8х+1

; у= 9х−6 ; у= 4

х2−4; у= х+5

|х|−3 .

6) Знайти розв'язки рівнянь: х−1х

=0 ; х2−1х−1

=0 ; х2−2хх

=0.

7) Встановіть відповідність між графіками функцій та рівняннями, що їх

задають:

1) У = 2х+1; 4) у = -2х-1;

2) у = -2х+1; 5) у = 2;

3) у = 2х-1; 6) у= - 2.

4. Практичне застосування функції у= х2 та її графіка

Вчитель : Історія розвитку науки відображає потреби певної епохи.

Античні геометри століттями намагалися знайти розв'язки знаменитих задач:

про подвоєння куба, квадратуру круга, трисекцію кута. Коли стало

зрозумілим, що побудовою прямих і кіл розв'язати задачі не вдасться, то

вибір математиків впав на дослідження перетину прямого кругового конуса

площинами, які не проходять через його вершину і знаходяться під різними

кутами нахилу. В результаті цих перерізів і отримали параболу, гіперболу та

еліпс.

Е

А

ДГ

ВБ

Щоб дізнатися ім'я вченого, який вперше дістав криві параболи та

гіперболи необхідно знайти розв'язок системи рівнянь.

№ 355

Самостійне розв'язування.

Установіть графічно кількість розв'язків системи рівнянь:

1) {у=х2 ,у=2 ; 3) { у=х2 ,

х− у+6=0.

Один розв'язок Два розв'язки Жодного розв'язку

Архімед Менехм Апполоній

Систему 2) {у=х2 ,у=−2 розв'язати усно. Звернути увагу учнів на кількість

розв'язків рівняння виду х2=а в залежності від значення а (а>0, а<0,

а=0кожна ).

Вчитель: Саме Менехм в IV ст. до н. е. дістав криві, які ми називаємо

гіпербола, парабола, еліпс. Проте більше ніж століття дані криві не мали

своєї назви ( вказувався лише спосіб за допомогою якого одержували

певну криву). В історії науки вони також відомі як «триада Менехма».

Хто з учених ввів у науку поняття «парабола», «гіпербола»? Відповідь

на дане питання ви отримаєте, розв'язавши слідуюче завдання.

№2

Робота в парах. Розв'язування завдання проводиться у формі гри

«Дешифровщик». Кожна пара повинна побудувати графік функції та

знайти значення функції в одній точці. Правильний розв'язок дасть

відповідну літеру.

Дано функцію f ( х )={х2 , якщо х ≤ 2,

8х

, якщо х>2.

Побудуйте графік даної функції та знайдіть f(-1), f(4), f(-4), f(0), f(-3),

f(-2), f(10), f(6), f(3).

2 23

9 1 13

1 2 4 16 0 0,8

Й Л І А П О П О Н

f(-1) f(4) f(-4) f(0) f(-3) f(-2) f(10) f(6) f(3).

1 2 16 0 9 4 0,8 1 13

2 23

А П П О Л О Н І Й

Вчитель: Апполоній Пергський в ІІІ ст. до н.е. розробив загальну теорію

конічних перерізів, ввів сучасні назви парабола, гіпербола, еліпс, виклав

властивості цих кривих. “Гіпербола” походить від грецьк. ύπερβολή –

“надлишок”, “перевищення”; «еліпс» від грецького ελλειψιζ – “недостача”,

«парабола» від παραβολ - «наближення».

Як сказав Лейбніц:«Теорія без практики мертва, практика без теорії

неможлива». В якій галузі знайшла своє застосування парабола?

Про вченого, якому вперше вдалося знайти практичне застосування

параболи, знаменитий історик давнини Полібій писав: «Така чудова сила

однієї людини, одного дарування, вміло спрямована на будь-яку справу…

Римляни могли б швидко оволодіти містом, якби хто-небудь вилучив із

середовища сиракузян одного старця». Про кого йде мова, про якого

старця і про яке його відкриття ? На ці питання знайдемо відповіді,

розв'язавши наступне завдання.

№3

Робота в мікрогрупах . Учням пропонуються чотири графіки функцій,

три з яких відповідають запропонованим рівнянням. Натиснувши на

потрібний графік лівою кнопкою мишки ( слайд 9), учні одержують

відповіді на питання:

1) Хто з учених вперше застосував на практиці параболу?

2) Який прилад було винайдено?

3) Як застосували цей винахід?

Побудувати графік функції:

1) У = 8 х+8х2+ х

; 2) у= х3+ х2

х+1; 3) у = х4−4 х2

х2−4.

Особливу увагу учнів при побудові графіків необхідно звернути на область

визначення кожної функції.

1 відповідь – Архімед;

2 відповідь – параболічне дзеркало;

3 відповідь – розповідь про відкриття Архімеда.

Розповідь про відкриття Архімеда

Інженерний геній Архімеда з особливою силою проявився під час

облоги Сиракуз римлянами в 212 року, коли йому виповнилося вже 75 років.

Навіть під час облоги Архімед не давав спокою римлянам: римський флот

спалили захисники міста за допомогою дзеркал і відполірованих до блиску

щитів, сфокусованих на сонячні промені за наказом Архімеда.

Архімед – першим зумів застосувати оптичні властивості параболи на

практиці. Якщо спрямувати таке параболічне дзеркало на Сонце, то всі

відбиті промені пройдуть через фокус параболи, і температура в фокусі

виявиться настільки великою, що за допомогою сонячних променів можна

буде закип’ятити воду, розплавити свинець і інше. Звідси й походить

назва”фокус”, що на латині означає “вогнище”.

Вчитель: Минали тисячоліття

перш ніж нові вимоги епохи змусили Кеплера, Ньютона повернутися до

математичних здобутків Апполонія. Коли виявилося, що тіло, кинуте під

кутом до горизонту описує траєкторію, що є параболою, планети рухаються

по еліпсу, інтерес до даних кривих різко зріс, і праці Аполлонія були

продовжені на новому математичному рівні.

Відомий письменник Л.Толстой говорив: «Знання тільки тоді знання, коли

вони одержані зусиллями своєї думки, а не пам’яттю». Тому зараз, виконаємо

завдання, яке потребуватиме від вас вміння застосувати знання по даній темі

та вміння аналізувати, логічно мислити. Спробуємо себе в ролі науковців.

№364 (а)

Колективна робота

Технологія «Мозковий штурм». Орієнтовані питання для обговорення:

- В чому особливість даного рівняння?

- Як знайти область допустимих значень даного рівняння?

- Що є графіком даного рівняння?

Побудуйте графік рівняння:

у−х2

¿¿

Звернути увагу учнів на умову рівності дробу нулеві та область допустимих

значень дробу.

Вчитель: Видатний математик, механік О.М. Крилов говорив, що рано чи

пізно будь-яка правильна математична ідея знаходить застосування в тій чи

іншій справі. Парабола набула широкого застосування не лише в астрономії,

фізиці, техніці, військовій справі, але й архітектурі.

 

 

Малюнок 2 Бібліотека з дахом у формі параболи, норвезьке містоТромсьо

Малюнок 1 Параболічна сонячна електростанція в Каліфорнії, США

Малюнок 1 Падіння баскетбольного м'яча

Малюнок 3 Параболічна орбіта супутника

5.Підведення підсумків. Рефлексія.

Інтерактивна вправа «Незакінчене речення». Вчитель формулює

незакінчене речення і пропонує учням завершити його.

- Сьогодні на уроці ми дізналися…;

- Найважливішим для мене було…;

- Сьогодні я добре навчився…;

- Цікавою інформацією для мене є….

- Чи допомогли вам на уроці три ключі людського розуму «знання, думка,

уява» про які говорив Віктор Гюго?

Домашнє завдання: № 360, 362, 366.

Література

1. Програма для загальноосвітніх навчальних закладів: Математика 5-11

класи. – К.:Шкільний світ,2001р.

2. Мерзляк А.Г., Полонська В. Б. Якір М.С. Алгебра .підручник для 8 кл.

загальноосвітніх навчальних закладів. -Х:Гімназія,2008 р.-251 с.

3. Вільна енциклопедія «Вікіпедія».

4. Конфорович А.Г. Колумби математики, Київ: Радянська Україна,

1982. - 223 с