HƯỚNG DẪN

1. Sinh viên có thể làm theo nhóm, mỗi nhóm tối đa 5 sinh viên.

2. Về nội dung (tối thiểu) cho 1 sinh viên.

a. Xác suất: 2 lý thuyết + 4 bài tập.

b. Thống kê: 2 lý thuyết + 4 bài tập

c. Nhóm k người thì mỗi người thêm1 câu lý thuyết và 2 bài tập nữa.

1 sinh viên 2 sinh viên 3 sinh viên 4 sinh viên 5 sinh viênSố câu LT 4 5 6 7 8Số bài tập 8 10 12 14 16

3. Hình thức trình bày: office 2007, word, 13pt (phải ghi lại đề).

4. Trang bìa ghi rõ tên và mã số sinh viên của nhóm.

5. Thời gian nộp bài: 16/06/2015

6. Thu bài: các nhóm có thể nộp tại thư viện (khuyến khích các nhóm tự tập hợp lại và nộp 1 lần).

BÀI TẬP TIỂU LUẬN MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ 2015

PHẦN I. LÝ THUYẾT

Câu 1. Trình bày các định nghĩa của xác suất theo quan điểm cổ điển, hình học, thống kê? Cho ví dụ minh họa?

Câu 2. Trình bày công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes? Ý nghĩa của 2 công thức là gì? Cho ví dụ minh họa?

Câu 3. Trình bày khái niệm biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên? Cho ví dụ?

Câu 4. Khi nào các biến ngẫu nhiên được coi là độc lập hay phụ thuộc? Cho ví dụ?

Câu 5. Trình bày khái niệm về hàm mật độ và hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục? Mối liên hệ giữa hai hàm này? Cho một ví dụ minh họa?

Câu 6. Trình bày các tham số đặc trưng cho xu hướng trung tâm của biến ngẫu nhiên (trung bình, trung vị, mode)? Phân biệt, nêu ý nghĩa và trường hợp sử dụng?

Câu 7. Trình bày các tham số đặc trưng cho độ phân tán của biến ngẫu nhiên? Phân biệt, nêu ý nghĩa và trường hợp sử dụng?

Câu 8. Trình bày phân phối Poisson và công thức xấp xỉ phân phối Poisson cho phân phối Nhị thức? Cho ví dụ minh họa?

Câu 9. Trình bày các khái niệm về phân phối chuẩn? Nêu các ứng dụng của phân phối chuẩn?

Câu 10. Khi nào ta có thể tính xấp xỉ xác suất của phân phối Nhị thức bằng công thức của phân phối chuẩn? Nêu một vài công thức xấp xỉ thường dùng? Cho ví dụ để minh họa?

Câu 11. Tìm ít nhất 5 nhà toán học hoặc nhà khoa học có cống hiến trong lĩnh vực thống kê. Nêu các cống hiến của họ?

Câu 12. Với kiến thức của bạn về thống kê, hãy đưa ra một tình huống thực tế mà thống kê được áp dụng vào? Bạn có thể mở rộng kết quả ra như thế nào?

Câu 13. Hãy đưa ra một số ứng dụng của thống kê? Theo bạn một khoa học bất kỳ có thể phát triển được mà không sử dụng kiểm định giả thuyết hay không? Tại sao?

Câu 14. Thế nào là sai số chọn mẫu (sampling error) và sai số ngoài chọn mẫu (non-sampling error)? Cho ví dụ minh họa?

Câu 15. Trình bày các khái niệm về độ tin cậy, độ chính xác và khoảng tin cậy trong bài toán ước lượng khoảng tổng quát?

Câu 16. Trình bày các dạng khoảng ước lượng cho trung bình tổng thể? Giải thích rõ một trường hợp? Cho ví dụ minh họa?

Câu 17. Trình bày các khái niệm về kiểm định giả thuyết thống kê? Cho ví dụ để minh họa các khái niệm miền bác bỏ, sai lầm loại 1, loại 2 và mức ý nghĩa của kiểm định?

Câu 18. Trình bày kiểm định giả thuyết so sánh trung bình của tổng thể với 1 số?

Câu 19. Trình bày kiểm định giả thuyết so sánh tỷ lệ của tổng thể với 1 số?

Câu 20. Trình bày về khái niệm p_value trong bài toán kiểm định? Cho 2 ví dụ về việc tìm p_value trong 2 bài toán kiểm định?

PHẦN II. BÀI TẬP XÁC SUẤT

Chương 1

Bài 1. Một túi có 15 quả bóng chỉ phân biệt nhau qua màu sắc, gồm 10 quả đỏ và 5 quả xanh. Tôi cho 2 tay vào túi và lấy ra 2 quả bóng, mỗi tay một quả và sau đó ghi lại màu sắc của chúng

a) Tính ngẫu nhiên ở đây là gì?

b) Không gian mẫu là gì?

c) Biểu diễn biến cố quả bóng bên tay trái màu xanh qua các biến cố sơ cấp của không gian mẫu?

Bài 2. Một hộp chứa 4 viên bi, 3 đỏ và 1 trắng. Rút ngẫu nhiên ra 2 bi có hoàn lại. (nghĩa là lần đầu 1 bi được lấy ra, ghi lại màu sắc và trả lại hộp để rút tiếp lần 2)

a) Hãy viết 1 không gian mẫu gồm 4 biến cố từ phép thử trên?

b) Hãy viết một không gian mẫu gồm 16 biến cố từ phép thử trên?

c) Tính xác suất của mỗi biến cố trong 2 không gian mẫu vừa viết?

d) Xác suất để 2 viên bi lấy ra cùng màu là bao nhiêu?

e) Xác suất để lấy được 2 lần cùng 1 bi là bao nhiêu?

Bài 3. Cho hai biến cố A, B xung khắc. Chứng minh rằng:

Bài 4. Cha đẻ của lý thuyết xác suất và thống kê hiện đại Cardano đã khẳng định rằng “ nếu tung 1 cục xúc sắc ngẫu nhiên 3 lần thì xác suất một mặt bất kỳ xuất hiện ít nhất 1 lần là 50%”. Hãy chứng tỏ khẳng định trên là sai?

Bài 5. Tung ngẫu nhiên 2 cục xúc sắc.

a) Biết tổng số chấm 2 cục xúc sắc là 6. Xác suất để số chấm trên 2 cục xúc sắc chênh lệch nhau 2 đơn vị là bao nhiêu?

b) Biết số chấm trên 2 cục xúc sắc hơn kém nhau 4. Tính xác suất tổng số chấm là 8?

Bài 6. Chọn ngẫu nhiên 1 lá bài từ bộ bài tây 52 lá.

Gọi E là bc chọn được lá Át và F là bc chọn được lá rô.

Hai biến cố trên có độc lập không?

Bài 7. Giả sử ta rút ngẫu nhiên 1 lá từ bộ bài tây (rút gọn) gồm 16 lá:

A A A A 2 2 2 23 3 3 3 4 4 4 4

Rút ngẫu nhiên 1 lá bài. Gọi A: “rút được lá Át”H: “rút được lá cơ”, D: “rút được lá rô”

a) Tính các xác suất sau: P(A); P(D); P(H); P(A+D); P(A+H); P(D+H)

b) H và D có là 2 biến cố độc lập?

c) D và A có là 2 biến cố độc lập?

d) Rút ngẫu nhiên 3 lá từ bộ bài trên.

Tính xác suất để lá đầu tiên là Át Cơ, lá thứ hai là 2 rô, lá thứ ba là 3 bích. Tính xác suất để cả 3 lá đều là Át.

Bài 8. Bộ bài gồm 16 lá trong bài 2 được đảo lên một cách ngẫu nhiên. Sau đó ta lấy 3 lá từ phía trên bộ bài. Xác suất lá thứ 3 là lá Át? (Đáp số rất đơn giản)

Bài 9. Đồng xu đường kính 1 inch được ném ngẫu nhiên lên một cái bàn được kẻ ô với khoảng cách giữa các ô ngang và dọc là 2 inch. Tính xác suất đồng tiền nằm gọn bên trong một hình vuông mà không chạm phải bất cứ một cạnh nào của hình vuông?

Bài 10. Một viên xúc sắc 6 mặt được sơn 2 mặt đỏ (Red) và 4 mặt xanh (Green). Giả sử viên xúc sắc được chế tạo sao cho xác suất xuất hiện của cả 6 mặt là như nhau. Tung viên xúc sắc nhiều lần. Cho 3 dãy màu sau:

Dãy 1: RGRRG; Dãy 2: RGRRRG; Dãy 3: GRRRRR

Chọn một dãy màu, bạn sẽ được 25 USD nếu dãy màu bạn chọn xuất hiện khi tung (số lần tung không giới hạn).

Không cần tính toán gì cả, hãy giải thích xem bạn sẽ chọn dãy màu nào để có khả năng chiến thắng cao hơn.

Bài 11. Tung 3 cục xúc sắc chuẩn (6 mặt đánh số từ 1 đến 6). Gọi X1, X2, X3 là số chấm mặt ngửa của mỗi cục.

Tính các xác suất sau:

Bài 12. Một máy sản xuất các chi tiết, xác suất một chi tiết bị hư hỏng là 0,001. Các công nhân đóng gói mỗi hộp 10 chi tiết. Hãy tính xấp xỉ số lượng hộp không có; có 1 hoặc 2 chi tiết bị hư hỏng trong 10000 hộp được đóng gói.

Bài 13. Máy bay có thể bay với chỉ một động cơ. Giả sử cả 2 động cơ của máy bay được thiết kế hoạt động độc lập nhau và xác suất bị hỏng trong một chuyến bay bất kỳ của mỗi động cơ là 1%.Tính xác suất để máy bay không hoàn thành được chuyến bay vì lỗi của động cơ là?

Bài 14. Rút ngẫu nhiên 50 bi, có hoàn lại từ hộp gồm 3 bi đỏ và 1 bi trắng. Tính xác suất bi rút ra không phải màu đỏ kể từ lần đầu tiên xuất hiện dãy 4 bi đỏ liên tiếp?

Bài 15. Bạn chơi một trò chơi với đối thủ mà cả 2 có cơ hội thắng ngang nhau. Xét các cặp biến cố sau.

a) “Thắng 3 ván trong 4 ván” so với “thắng 5 ván trong 8 ván”.

b) “Thắng ít nhất 3 trong 4 ván” so với “thắng ít nhất 5 trong 8 ván”.

Trong các cặp biến cố trên. Biến cố nào có khả năng xảy ra hơn trong mỗi cặp.

Bài 16. Hai người A, B nói rằng họ khả năng liên lạc với nhau nhờ thần giao cách cảm. Để kiểm tra, người ta cho 2 người A, B vào 2 phòng khác nhau. Mỗi lần, người ta sẽ đưa cho người A xem mỗi lần 1 tấm thẻ và người B cần phải viết ra đó là tấm thẻ vẽ hình gì tương ứng. Trên mỗi thẻ có thể là hình tròn, hình ngôi sao hoặc hình vuông với xác suất như nhau (cả A, B đều được thông báo điều này). Giả sử ta đưa cho người A xem 10 tấm thẻ. Xác suất để người B đoán đúng ít nhất 1 thẻ là bao nhiêu?

Bài 17. Vẽ một hình vuông có độ dài cạnh là 1 cm và 1 hình tròn có đường kính 1 cm nằm trong hình vuông. (khi này đường tròn sẽ nằm hoàn toàn trong hình vuông và tiếp xúc với các cạnh).

Bạn ném một chiếc phi tiêu ngẫu nhiên vào hình vuông sao cho khả năng nó rơi vào mọi điểm trong hình vuông là như nhau. Xác suất để phi tiêu rơi vào hình tròn là bao nhiêu? Ta có thể sử dụng phép thử này để tính gần đúng giá trị của số Pi như thế nào?

Bài 18. Một lô có 20 sản phẩm trong đó có 2 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên lần lượt 2 sản phẩm (xét cả hai trường hợp không hoàn lại và có hoàn lại). Tính xác suất để:

a. Cả hai sản phẩm đều là phế phẩm.

b. Trong hai sản phẩm lấy ra có 1 tốt.

c. Lần thứ 2 lấy được sản phẩm tốt.

Bài 19. Một người gọi điện thoại nhưng quên mất 3 số cuối của máy cần gọi. Anh ta chỉ nhớ 3 số đó tạo thành một số có 3 chữ số khác nhau và là số chẵn. Tính xác suất để người đó bấm ngẫu nhiên 1 lần đúng số cần gọi.

Bài 20. Xếp ngẫu nhiên 8 người vào 10 toa xe lửa. Tính xác suất để:

a. 8 người ở cùng một toa

b. 8 người ở 8 toa khác nhau.

c. A,B cùng ở toa đầu

d. A,B ở cùng một toa

e. A,B ở cùng một toa, ngoài ra không có ai khác.

Bài 21. Một loại sản phẩm trên thị trường chỉ do 3 nhà máy sản xuất, tỷ lệ sản phẩm của các nhà máy tương ứng là 50%, 30%, 20%. Tỷ lệ phế phẩm của các nhà máy tương ứng là 2%, 1% và 1%. Mua ngẫu nhiên một sản phẩm. Tính xác suất để:

a. Mua phải phế phẩm.

b. Mua phải phế phẩm. Tính xác suất phế phẩm này do nhà máy 1 sản xuất.

Bài 22. Một xí nghiệp có 3 ô tô. Khả năng có sự cố của mỗi ô tô tương ứng là 0,15; 0,2; 0,1. Tính xác suất để:

a. Cả 3 ô tô cùng bị hỏng.

b. Có ít nhất 1 ô tô hoạt động tốt.

c. Có không quá 2 hỏng.

Bài 23. Có hai thùng sản phẩm. Thùng loại 1 có 60% sản phẩm loại A, thùng loại 2 có 40% sản phẩm loại A. Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ một thùng.

a. Tính xác suất để được sản phẩm loại A.

b. Giả sử sản phẩm lấy ra là loại A. Theo ý bạn khả năng thùng đã chọn là loại 1 là bao nhiêu?

Bài 24. Một gia đình có 6 con, biết xác suất sinh con trai là 0,52. Tính xác suất để trong 6 con có:

a. Đúng 3 con trai.

b. Có không quá 3 con trai.

Bài 25. Trong một kỳ thi, giáo viên cho sinh viên 100 câu hỏi ôn tập. Sinh viên A đã làm được 80 câu, còn 20 câu không làm được. Khi vào thi giáo viên cho chọn ngẫu nhiên 3 câu để làm bài thi và quy ước nếu A làm được ít nhất 2 câu thì đậu. Tính xác suất để sinh viên A thi đậu.

Bài 26. Ba công nhân cùng sản xuất một loại sản phẩm. Biết xác suất để người thứ 1 và người thứ 2 làm ra chính phẩm là 0,9. Người thứ 3 làm ra chính phẩm là 0,8. Một người trong số đó làm ra 3 sản phẩm thì có 2 chính phẩm và 1 phế phẩm. Tính xác suất để người này làm 3 sản phẩm tiếp theo có 1 chính phẩm.

Bài 27. Một xí nghiệp sản xuất một loại sản phẩm, tỷ lệ phế phẩm của xí nghiệp là 5%. Một sản phẩm sản xuất ra được kiểm tra 2 lần độc lập nhau.

Lần 1: xác suất nhận biết đúng một chính phẩm là 90% và nhận biết sai một phế phẩm là 3%.

Lần 2: xác suất nhận biết đúng một chính phẩm là 95% và nhận biết đúng một phế phẩm là 98%.

Một sản phẩm được đưa ra thị trường nếu lần lượt qua hai trạm kiểm tra đều được coi là chính phẩm. Tính xác suất để:

a. Một phế phẩm được đưa ra thị trường.

b. Một chính phẩm bị loại trong quá trình kiểm tra.

c. Một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên trong số các sản phẩm chưa kiểm tra được đưa ra thị trường.

d. Một sản phẩm được đưa ra thị trường là phế phẩm.

Bài 28. Khả năng lãi cổ phiếu của công ty A đạt mức 10% trong năm tới phụ thuộc vào tỷ lệ lãi suất trên thị trường bất động sản như sau:

Lãi suất BĐS <1% 1%-5% >5%

Khả năng lãi cổ phiếu 10% 0.1 0.2 0.7

Số liệu cho năm tới như sau:

Lãi suất BĐS <1% 1%-5% >5%

P 0.3 0.5 0.2

a. Khả năng năm tới lãi suất của công ty A đạt mức 10% và lãi suất thi trường bất động sản đạt mức 5% là bao nhiêu.

b. Tìm xác suất lãi suất cổ phiếu công ty A đạt mức 10% trong năm tới.

Bài 29. Một nhà đầu tư phân loại các dự án trong một chu kỳ đầu tư thành 3 loại: ít rủi ro, rủi ro trung bình và rủi ro cao. Tỷ lệ các dự án các loại đó tương ứng là 20%; 45%; 35%. Kinh nghiệm cho thấy tỷ lệ dự án gặp rủi ro khi đầu tư tương ứng là 5%; 20%; 40%.

a. Tính tỷ lệ dự án gặp rủi ro trong kỳ đầu tư.

b. Nếu một dự án không gặp rủi ro sau kỳ đầu tư thì khả năng dự án đó thuộc loại rủi ro cao là bao nhiêu.

Bài 30. Một mô hình đơn giản về biến đổi giá chứng khoán như sau: trong một phiên giao dịch xác suất giá tăng lên 1 đơn vị là p; giảm một đơn vị là 1-p, sự thay đổi giá của các phiên giao dịch là độc lập.

a. Tính xác suất sau 3 phiên giao dịch giá tăng so với thời điểm ban đầu 1 đơn vị.

b. Giả sử sau 3 phiên giao dịch giá tăng hơn so với thời điểm ban đầu 1 đơn vị. Tính xác suất giá tăng trong phiên thứ 2.

Bài 31. Hai đấu thủ A và B chơi cờ. Xác suất A thắng là 0,6 trong mỗi ván, ai thắng được 1 điểm, thua được 0 điểm. Trận đấu kết thúc khi A được 3 điểm trước và A thắng trận, hoặc B được 5 điểm trước và B thắng trận. Giả sử các ván đấu chỉ có thắng – thua mà không có hòa.

a. Tính xác suất A thắng trận.

b. Gọi X là số ván đấu trong một trận, lập bảng phân phối xác suất cho X.

Bài 32. Tỷ lệ mắc bệnh B ở một vùng là 6%. Việc chẩn đoán bệnh B được tiến hành theo 2 bước. Nếu chẩn đoán lâm sàng kết luận có bệnh thì sẽ tiến hành xét nghiệm toàn bộ. Khả năng chẩn đoán đúng là 85% đối với người mắc bệnh, và sai đối với người không mắc bệnh là 2%. Xét nghiệm toàn bộ độc lập với chẩn đoán lâm sàng và khả năng kết luận đúng đối với người có bệnh là 99%, chỉ có 1% người không có bệnh bị kết luận là có bệnh. Kiểm tra ngẫu nhiên 1 người qua hai bước nêu trên, kết luận cuối cùng là người này có bệnh. Tính xác suất kết luận sai.

Bài 33. Hàng sản xuất xong được đóng thành từng kiện, mỗi kiện 10 sản phẩm. Kiện loại 1 có 5 sản phẩm loại A, kiện loại II có 3 sản phẩm loại A. Một người mua tiến hành kiểm tra như sau:

Lấy ngẫu nhiên mỗi kiện ra 3 sản phẩm để kiểm tra, nếu thấy có ít nhất 2 sản phẩm loại A thì kết luận đó là kiện loại I, ngược lại kết luận đó là kiện loại II.

Giả sử tiến hành kiểm tra 100 kiện trong đó có 60 kiện loại I và 40 kiện loại II. Tính xác suất mắc phải sai lầm khi kiểm tra 1 kiện.

Chương 2,3 RỜI RẠC

Bài 1. Luật Benford phát biểu rằng trong một lượng rất lớn các số thực ngoài đời, chữ số đầu tiên tuân theo luật phân phối với 30% là số 1, 18% là số 2 và nói chung:

Với D là chữ số đầu tiên của một phần tử chọn ngẫu nhiên.

Kiểm tra lại tính hợp lý của luật phân phối trên?

Bài 2. Có 2 kiện hàng. Kiện thứ nhất có 10 sản phẩm trong đó có 8 sản phẩm loại A; kiện thứ hai có 8 sản phẩm trong đó có 5 sản phẩm loại A. Lần đầu lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ kiện thứ nhất bỏ sang kiện thứ hai, sau đó lấy ngẫu nhiên từ kiện thứ hai ra 2 sản phẩm. Đặt X và Y lần lượt là các biến ngẫu nhiên chỉ số sản phẩm loại A trong các sản phẩm lấy ra ở lần thứ nhất, thứ hai.

Tìm luật phân phối xác suất của X và Y? Tính kỳ vọng và phương sai tương ứng?

Bài 3. Một kiện hàng chứa 8 sản phẩm trong đó có 3 sản phẩm xấu và 5 sản phẩm tốt. Lấy ngẫu nhiên từ kiện hàng ra 4 sản phẩm (không hoàn lại)

a) Tìm luật phân phối xác suất cho số sản phẩm xấu trong 4 sản phẩm lấy ra? Tính xác suất để trong đó có ít nhất 2 sản phẩm tốt?

b) Mang cả 4 sản phẩm này đi bán.Biết rằng bán một sản phẩm tốt lời được 50 ngàn đồng; còn nếu sản phẩm xấu thì lỗ 15 ngàn đồng. Tính lợi nhuận thu được trung bình và độ lệch chuẩn của lợi nhuận khi bán 4 sản phẩm trên?

Bài 4. Một lô hàng có rất nhiều sản phẩm với tỷ lệ hàng giả là 30%.

a) Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng ra 10 sản phẩm. Tính xác suất có nhiều nhất 2 sản phẩm giả?

b) Lấy ngẫu nhiên từng sản phẩm ra để kiểm tra cho đến khi nào gặp sản phẩm giả thì ngừng.

b1) Tìm luật phân phối xác suất và tính kỳ vọng của số sản phẩm thật đã kiểm tra.

b2) Tìm luật phân phối xác suất của số sản phẩm đã kiểm tra.

Bài 5. Các khách hàng mua xe gắn máy tại một đại lý, nếu xe có sự cố kỹ thuật thì được trả lại xe trong vòng 03 ngày sau khi mua và được lấy lại toàn bộ tiền mua xe. Mỗi chiếc xe bị trả lại như thế làm đại lý thiệt hại 250 ngàn. Có 50 xe vừa được bán ra, xác suất để một xe bị trả lại là 0,1.

a) Tìm kỳ vọng và phương sai của số xe bị trả lại? Tính xác suất để có nhiều nhất 2 xe bị trả lại?

b) Tìm kỳ vọng và độ lệch chuẩn của tổng thiệt hại mà đại lý phải chịu do việc trả lại xe?

Bài 6. Một công ty sử dụng một hình thức kiểm tra sản phẩm trước khi gửi đi. Hình thức này như sau: mỗi kiện hàng chứa 25 sản phẩm sẽ được chọn ra ngẫu nhiên 3 sản phẩm để kiểm tra. Nếu có bất kỳ một sản phẩm hỏng nào thì cả kiện sẽ bị gửi lại để kiểm tra toàn bộ. Nếu trong 3 sản phẩm không có sản phẩm nào hỏng thì cả hộp sẽ được gửi đi.

a) Tính xác suất một hộp có 3 sản phẩm hỏng được gửi đi.

b) Tính xác suất hộp chỉ có 1 sản phẩm hỏng bị trả về để kiểm tra toàn bộ.

Bài 7. Cứ mỗi buổi sáng, người quản lý lại kiểm tra sản phẩm của các dây chuyền sản xuất. Có hai dây chuyền sản xuất A và B tại nhà máy. Để quyết định xem, dây chuyền nào sẽ được kiểm tra, người quản lý sẽ tung đồng xu ngẫu nhiên. Sau đó, chọn ra ngẫu nhiên 3 sản phẩm từ dây chuyền đã chọn để kiểm tra. Tại dây chuyền A, xác suất mỗi sản phẩm bị hỏng là 0,1 và độc lập với tất cả các sản phẩm khác. Tại dây chuyền B, xác suất mỗi sản phẩm bị hỏng là 0,01 và cũng độc lập giữa các sản phẩm với nhau.

a) Tính xác suất, trong một sáng ngẫu nhiên, người quản lỳ không thấy sản phẩm bị lỗi nào?

b) Giả sử người quản lý không thấy sản phẩm hỏng nào. Tính xác suất các sản phẩm đã kiểm tra đến từ dây chuyền sản xuất A?

Bài 8. Ba sinh viên tung đồng xu để quyết định xem ai sẽ trả tiền cà phê. Nếu cả 3 đều có kết quả giống nhau thì sẽ tung lượt khác. Trường hợp còn lại, thì sinh viên có kết quả khác so với 2 sinh viên còn lại sẽ phải trả tiền cà phê. Gọi X là số lần các sinh viên sẽ tung đồng xu cho đến khi có kết quả khác biệt.

a) Xác định phân phối xác suất của X? Tính kỳ vọng, phương sai của X?

b) Xác suất 3 sinh viên này phải tung ít nhất 2 lần là bao nhiêu?

Bài 9. Cho X là biến ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất:

X 1 2 3 4

P 0.4 0.3 0.1 0.2

a) Tính kỳ vọng E(X) và E(1/X)

b) Trong một trò chơi, người chơi được đề nghị mức thưởng như sau: nếu

thắng. Với X là biến ngẫu nhiên có phân phối ở trên. Bạn đề nghị người chơi chọn phương án nào? Tại sao?

Bài 10. Một sinh viên tham dự một kỳ thi. Trong đề thi gồm 10 câu, mỗi câu có 4 lựa chọn và chỉ có 1 lựa chọn đúng. Thí sinh sẽ vượt qua kỳ thi nếu làm đúng ít nhất 6 câu.

a) Giả sử sinh viên không học bài và chọn ngẫu nhiên trong cả 10 câu? Tính xác suất sinh viên thi đậu? Sinh viên phải thi ít nhất mấy lần để xác suất có ít nhất một lần đậu lớn hơn 95%? (các lần sau đề thi có cấu trúc như cũ và sinh viên cũng không học bài)

b) Giả sử sinh viên trả lời được 2 câu, các câu còn lại sinh viên trả lời bằng cách chọn ngẫu nhiên. Tính xác suất sinh viên thi đậu?

Bài 11. Tỷ lệ thuốc hỏng ở lô A là 0,1; lô B là 0,08 và lô C là 0,15. Giả sử mỗi lô có rất nhiều chai thuốc.

a) Lấy ngẫu nhiên 3 chai trong lô A. Tìm luật ppxs của số chai hỏng trong 3 chai. Tính xác suất có đúng 2 chai hỏng; có ít nhất 1 chai hỏng.

b) Phải lấy bao nhiêu chai ở lô A để xác suất có ít nhất một chai hỏng lớn hơn 90%?

c) Chọn ngẫu nhiên 1 trong 3 lô rồi lấy ra ngẫu nhiên 3 chai từ lô đã chọn. Tính xác suất để có ít nhất 1 chai hỏng.

d) Lấy ở mỗi lô một chai. Tìm luật phân phối xác suất của số chai hỏng trong 3 chai lấy ra.

e) Một cửa hàng nhận 500 chai lô A, 300 chai lô B và 200 chai lô C về bán. Một khách hàng mua ngẫu nhiên 1 chai. Xác suất khách hàng mua được chai tốt?

Bài 12.

a) Cho ba biến ngẫu nhiên X, Y, Z độc lập. Giả sử X~B(24; 0,1), Y~B(10; 0,1) và Z~B(17; 0,1). Tính P(X+Y+Z=4)

b) Cho hai bnn X, Y độc lập. Giả sử X~P(3) và Y~P(4). Tính P(X=2|X+Y=5)

c) Cho hai bnn X, Y độc lập. Giả sử X~N(7; 1,44) và Y~N(5; 0,81). Tính P(X+Y<9,5) P(X<Y) P(X>2Y)

Bài 13. Số lỗi trên một mét vuông vải là biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối Poisson. Kiểm tra một lô vải ta thấy có 98% bị lỗi. Vậy trung bình một mét vuông vải có bao nhiêu lỗi.

Bài 14. Một cửa hàng có 4 xe để cho thuê. Hàng ngày cửa hàng này phải tốn chi phí cố định cho mỗi xe là 8 USD. Mỗi chiếc xe được cho thuê với giá 20 USD một ngày. Giả sử nhu cầu thuê xe của cửa hàng trong một ngày có phân phối Poisson với trung bình 2,8.

a) Tìm luật phân phối xác suất cho lợi nhuận và tìm lợi nhuận trung bình của cửa hàng một ngày?

b) Tính xác suất cửa hàng không có đủ xe để đáp ứng nhu cầu khách hàng?

c) Công ty cần có bao nhiêu xe để xs không đáp ứng nhu cầu khách hàng nhỏ hơn 2%?

Bài 15. Một phân xưởng có 12 máy: 5 loại A, 4 loại B và 3 loại C. Xác suất sx được sp đạt tiêu chuẩn tương ứng của từng loại máy là 98%, 96% và 90%.

a) Chọn ngẫu nhiên 1 máy và cho máy đó sản xuất 3 sản phẩm. Tìm luật ppxs cho số sp đạt tiêu chuẩn trong 3 sản phẩm sản xuất ra.

b) Giả sử cả 3 sản phẩm do máy được chọn sản xuất ra đều đạt tiêu chuẩn. Nếu cho máy đó sản xuất tiếp 3 sản phẩm nữa thì xác suất để cả 3 sản phẩm này đạt tiêu chuẩn là bao nhiêu?

Bài 16. Một xí nghiệp có 2 máy. Trong ngày hội thi mỗi công nhân sẽ bốc thăm ngẫu nhiên 1 máy và sau đó sản xuất ra 100 sản phẩm. Nếu trong 100 sản phẩm sản xuất ra có từ 60 sản phẩm loại A trở lên thì công nhân sẽ được thưởng. Giả sử đối với công nhân X, xác suất để sản xuất sản phẩm loại A tương ứng với từng máy lần lượt là 0,57 và 0,6. Tính xác suất để công nhân được thưởng?

Bài 17. Một ký túc xá có 1000 sinh viên, căn tin KTX phục vụ bữa trưa 2 lần liên tiếp. Số chỗ ngồi của căn tin tối thiểu là bao nhiêu để tỷ lệ sinh viên không có chỗ ngồi thấp hơn 0,01?

Chương 2,3 LIÊN TỤC

Bài 1. Báo The Saigon Times vừa hoàn thành một nghiên cứu trên các khách hàng. Theo nghiên cứu, 75% các ấn bản bán được cho các khách hàng đăng ký mua còn 25% là do khách hàng mua tại quầy báo. Nghiên cứu cũng cho thấy độ tuổi của các khách hàng đặt mua có phân phối chuẩn với trung bình 44,5 và độ lệch chuẩn 7,42 trong khi tuổi của các khách hàng mua tại quầy có phân phối chuẩn với trung bình 36,1 và độ lệch chuẩn 8,20.

a) Tòa soạn muốn chạy một slogan quảng cáo với nội dung “80% khách hàng đăng ký có độ tuổi từ ___ đến ___. Hãy hoàn thành câu quảng cáo trên với khoảng đối xứng xung quanh trung bình.

b) Tỷ lệ khách hàng mua báo tại quầy có độ tuổi nằm trong khoảng câu a) là bao nhiêu?

c) Tỷ lệ toàn bộ khách hàng của The Saigon Times có độ tuổi nằm trong khoảng của câu a) là bao nhiêu?

Bài 2. Tỷ lệ sinh viên đăng ký chương trình CLC là 98%. Gọi F là tỷ lệ sinh viên đăng ký tham gia chương trình CLC trong 100 sinh viên được chọn ngẫu nhiên. Hãy xác định kỳ vọng và độ lệch chuẩn của F?

Bài 3. Tiền thưởng hàng năm của một doanh nhân có phân phối chuẩn với trung bình 65 triệu và độ lệch chuẩn 12,5 triệu. Mức thưởng này là độc lập giữa các năm. Tính xác suất tiền thưởng trung bình của một doanh nhân sau 5 năm nhỏ hơn 50 triệu?

Bài 4. Cholesterol ở một bé trai 14 tuổi có phân phối xấp xỉ chuẩn với trung bình 170 và độ lệch chuẩn 30.

a) Tính xác suất một bé trai 14 tuổi ngẫu nhiên có cholesterol cao hơn 230?

b) Ở một trường trung học có khoảng 300 bé trai ở độ tuổi 14, tính xác suất có ít nhất 8 bé có cholesterol cao hơn 230?

PHẦN III. BÀI TẬP THỐNG KÊ

Chương 6

Bài 1. Một tỉnh được chia thành 2 khu vực: nông thôn và thành thị. Tổng dân số của tỉnh là 271.076 với 46.760 người sống ở khu vực thành thị. Tổng số nam của tỉnh là 139.699 trong đó có 23083 sống ở thành thị. Tổng số người chưa lập gia đình của toàn tỉnh là 112.352 trong đó có 36.864 là nữ giới ở vùng nông thôn. Ở khu vực thành thị số người chưa lập gia đình là 21.072 trong đó có 12.149 là nam giới.

Hãy lập một bảng thống kê về dân số của tỉnh theo cả 3 tiêu chí khu vực, giới tính và tình trạng hôn nhân.

Bài 2. Trong một dây chuyền sản xuất liên tục, trọng lượng các sản phẩm có phân phối chuẩn với trung bình 800 g và độ lệch chuẩn 300 g. Một mẫu ngẫu nhiên 16 sản phẩm được lấy ra từ dây chuyền.

a) Xác suất để trọng lượng trung bình các sản phẩm lấy ra lớn hơn 900 g là bao nhiêu? Ý nghĩa của kết quả này là gì?

b) Tìm phân vị mức 95% của trung bình mẫu. ( hay tìm a biết )

Bài 3. Chọn ngẫu nhiên 2 chữ từ các chữ của từ Management, chọn không hoàn lại.Tính tỷ lệ xuất hiện chữ M trong mỗi mẫu. Xác định phân phối của tỷ lệ chữ M trong các mẫu trên?

Chương 7

Bài 1. Gọi là các giá trị khi chọn mẫu ngẫu nhiên kích thước 3 từ tổng thể có trung

bình và phương sai . Xét hai ước lượng điểm cho trung bình sau đây:

Trong hai ước lượng trên, ước lượng nào là tốt hơn.

Bài 2. Cho X là biến ngẫu nhiên có phân phối Nhị thức. Chứng minh rằng:

a) là ước lượng không chệch của p

b) là ước lượng chệch của p.

Bài 3. Chọn ngẫu nhiên 40 sinh viên từ các sinh viên của FTU2. Ta thấy mức lương khởi điểm trung bình là 1050 $ và độ lệch chuẩn mẫu hiệu chỉnh là 160 $. Hãy tìm mức ý nghĩa của phát biểu cho rằng lương trung bình khởi điểm của sinh viên FTU2 là hơn 1000$. Xác định p_value?

Bài 4. Chọn ngẫu nhiên 1 mẫu gồm 100 người có xe hơi ở HCM thì thấy trung bình 1 năm họ đi khoảng 23.500 km với độ lệch chuẩn 3.900 km. Giả sử quãng đường của xe đi có phân phối xấp xỉ chuẩn.

a) Tìm khoảng tin cậy 99% cho quãng đường một xe hơi tại HCM chạy trung bình một năm?

b) Ta cần phải điều tra một mẫu cỡ bao nhiêu để có thể khẳng định với độ tin cậy 99% rằng quãng đường trung bình một xe đi sai lệch tối đa 100km so với trung bình?

Bài 5. Một mẫu ngẫu nhiên gồm 20 sinh viên để điều tra về điểm kiểm tra toán thì thấy trung bình là 72 và độ lệch chuẩn mẫu là 4. Giả sử điểm kiểm tra của sinh viên có phân phối chuẩn. Hãy tìm khoảng ước lượng 95% cho phương sai tổng thể?

Bài 6. Hàm lượng nicotin chứa trong các điếu thuốc có phân phối chuẩn với phương sai là 1,13

(mg)2 . Xét bài toán kiểm định giả thuyết với giả thuyết không là và đối thuyết là

với mức ý nghĩa 5%. Biết rằng khi chọn ngẫu nhiên 8 điếu thuốc ta thấy độ lệch

chuẩn mẫu hiệu chỉnh là 1,8.

Bài 7. Ta cần lấy mẫu cỡ bao nhiêu để ước lượng trung bình tổng thể ở độ tin cậy 95% khi biết sai số là 5 và độ lệch chuẩn mẫu hiệu chỉnh xấp xỉ 20?

Bài 8. Giả sử ta muốn ước lượng tỷ lệ các gia đình có từ 2 con trở lên trong vùng. Một mẫu ngẫu nhiên gồm 144 gia đình trong vùng cho thấy có 48 gia đình có từ 2 con trở lên. Tìm khoảng ước lượng 95% cho tỷ lệ gia đình có từ 2 con trở lên trong cả vùng?

Chương 8

Bài 1. Ở Mỹ, mức độ chấp nhận tối đa cho việc tiếp xúc với vi sóng là 10 (microwatt/cm 2). Có thông tin cho rằng một chiếc ti vi lớn có thể làm mức bức xạ vi sóng trung bình vượt khỏi ngưỡng an toàn. Chọn ngẫu nhiên một mẫu cỡ 25 cho thấy trung bình mẫu là 10,3 và độ lệch chuẩn hiệu chỉnh là 2.0. Hãy cho kết luận về ý kiến trên với mức ý nghĩa 10%?

Bài 2. Điều tra khả năng chống ăn mòn của một loại ống nước bằng thép, người ta chôn 16 mẫu ống trong đất trong vòng 2 năm. Sau đó người ta đo khả năng thâm nhập tối đa của nước các mẫu này, đơn vị là mil. Sau khi đo, ta có mẫu với mức độ thâm nhập trung bình là 52,7 và độ lệch chuẩn hiệu chỉnh là 4,8. Loại ống nước này sẽ được sử dụng nếu mức độ thâm nhập trung bình của loại này không vượt quá 50 mil. Hãy cho kết luận về loại ống nước này với mức ý nghĩa 5%? Tính xác suất sai lầm loại 2 nếu thực sự mức độ thấm nước của loại ống thép này là 52?

Bài 3. Công ty sản xuất vỏ xe muốn quảng cáo rằng quãng đường trung bình của vỏ xe do công ty sản xuất là trên 35. Người ta chọn ngẫu nhiên 10 mẫu vỏ xe và cho thử nghiệm với điều kiện thử nghiệm được mô phỏng tương tự như đường thông thường. Trung bình mẫu đạt được là 41 và độ lệch chuẩn hiệu chỉnh là 3,59. Hãy kiểm định ở mức ý nghĩa 3%?