Weibull Aplicada a La Fatiga

8/19/2019 Weibull Aplicada a La Fatiga

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I. ESTADÍSTICA APLICADA A LA FATIGA.

Como resultado de investigaciones empíricas se observo que piezas de igual dimensión, material,

tratamiento y trabajando bajo las mismas condiciones de carga fallan por fatiga a distintos valoresde tensión. Esto indica una dispersión en los valores de Límite de Fatiga de una pieza que hace

imposible el uso de un valor para diseño, más allá del coeficiente de seguridad usado. La soluciónes aplicar métodos estadísticos a los resultados de los ensayos para obtener valores coherentes y

reales, y así obtener la probabilidad de falla por fatiga.

Se ha enfatizado la naturaleza localizada de los mecanismos de fatiga. Las fisuras de fatigacomienzan en unos puntos débiles, y el proceso entero se restringe a la vecindad de estos puntos.

El material a una distancia corta de las fisuras permanece totalmente elástico. Hay una gransimilitud entre la fatiga y la fractura de materiales frágiles. Recordemos que la resistencia a la

fractura de los materiales frágiles depende de una distribución aleatoria de imperfecciones o puntos débiles; y la fractura ocurre cuando la tensión en uno o más de estos puntos alcanza la

resistencia de cohesión (una condición altamente localizada). También en la fatiga la fracturadepende de una distribución aleatoria de puntos débiles. Además, la cadena entera de sucesos que

preceden a la fractura de fatiga depende de una serie de procesos aleatorios y varía ampliamentede un de miembro a otro.

Ningún material tiene un único valor de vida en fatiga para una tensión determinada, aún bajo las

más cuidadosamente controladas condiciones. En fatiga (como en la fractura frágil), lavariabilidad o distribución de valores observados es muy grande. Por lo tanto la vida en fatiga de

un material puede solo ser tratada como una distribución de valores para especímenesindividuales.

Entonces, no hay una vida definida en fatiga, solo una distribución. Para poder diseñarnecesitamos tener valores para las propiedades que podamos manejar, aplicando un factorapropiado de seguridad. Pero para la fatiga tendremos que trabajar con distribuciones de muchos

valores, mediante el uso de métodos estadísticos. El factor de seguridad frecuentemente ha sidollamado un "factor de ignorancia", pues comúnmente ignoramos la posible variación de las

propiedades de los materiales y sus distribuciones.

Una distribución estadística aplicable al estudio de la fiabilidad en problemas relativos a la fatigay vida de componentes y materiales es la distribución de Weibull.

II. DISTRIBUCIÓN DE WEIBULL.

La distribución de Weibull no surge de la estadística clásica y usualmente no se incluye en los

textos de estadística elemental. Es mucho más probable que sea tratada y usada en trabajos queinvolucran resultados experimentales, particularmente con con!abilidad. Es una distribución

cambiante y asimétrica, es ampliamente usada en la ingeniería como modelo para la descripción



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del tiempo de duración de un componente. Esta distribución fue introducida por el cientí!co

sueco del mismo nombre, quien demostró que el esfuerzo al que se someten los materiales puedemodelarse mediante el empleo de esta distribución.

La distribución de Weibull complementa a la distribución exponencial y a la normal, que soncasos particulares de ésta. A causa de su mayor complejidad sólo se usa cuando se sabe deantemano que una de ellas es la que mejor describe la distribución de fallos o cuando se han

producido muchos fallos (al menos 10) y los tiempos correspondientes no se ajustan a unadistribución más simple. En general es de gran aplicación en el campo de la mecánica.

Aunque existen dos tipos de soluciones analíticas de la distribución de Weibull (método de los

momentos y método de máxima verosimilitud), ninguno de los dos se suele aplicar por sucomplejidad. En su lugar se utiliza la resolución gráfica a base de determinar un parámetro de

origen. Un papel especial para gráficos, llamado papel de Weibull, hace esto posible. El procedimiento gráfico, aunque exige varios pasos y una o dos iteraciones, es relativamente

directo y requiere, a lo sumo, álgebra sencilla.

La distribución de Weibull nos permite estudiar cuál es la distribución de fallos de uncomponente clave de seguridad que pretendemos controlar y que a través de nuestro registro de

fallos observamos que éstos varían a lo largo del tiempo y dentro de lo que se considera tiemponormal de uso. El método no determina cuáles son las variables que influyen en la tasa de fallos,

tarea que quedará en manos del analista, pero al menos la distribución de Weibull facilitará laidentificación de aquellos y su consideración, aparte de disponer de una herramienta de

predicción de comportamientos. Esta metodología es útil para aquellas empresas que desarrollan programas de mantenimiento preventivo de sus instalaciones.

En 1951, Weibull propuso que la expresión empírica más simple que podía representar una gran

variedad de datos reales podía obtenerse escribiendo: por lo que la fiabilidad será:

Por lo que la fiabilidad será:

siendo :

- parámetro inicial de localización (unidad de tiempos) 0 vida mínima y define el

punto de partida u origen de la distribución. Es el parámetro de translación, y se usa

cuando inicialmente, durante un periodo de tiempo , no se producen fallos y a partir de

ese instante la fiabilidad del producto se puede aproximar por la distribución de Weibull(caso > 0); o cuando hay fallos antes de empezar los ensayos (caso < 0).



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" - parámetro de escala o vida característica, extensión de la distribución a lo largo, del

eje de los tiempos. Cuando ( ) = " la fiabilidad viene dada por:

Entonces la constante representa también el tiempo, medido a partir de = 0, según lo cual, dado

que F (t) = 1 - 0,368 = 0,632, el 63,2 % de la población se espera que falle, cualquiera que sea el

valor de ya que como hemos visto su valor no influye en los cálculos realizados. Por esta razón

también se le llama usualmente vida característica.

- parámetro de forma y representa la pendiente de la recta describiendo el grado de

variación de la tasa de fallos.

Se ha podido demostrar que gran cantidad de representaciones de fiabilidades reales pueden ser

obtenidas a través de ésta ecuación que es de muy fácil aplicación.

En el estudio de la distribución se pueden dar las siguientes combinaciones de los parámetros deWeibull con mecanismos de fallo particulares:

a) = 0: el mecanismo no tiene una duración de fiabilidad intrínseca, y:

Si < 1 la tasa de fallos disminuye con la edad sin llegar a cero, por lo que podemos

suponer que nos encontramos en la juventud del componente con un margen de

seguridad bajo, dando lugar a fallos por tensión de rotura.

Si = 1 la tasa de fallo se mantiene constante siempre lo que nos indica unacaracterística de fallos aleatoria o pseudo-aleatoria. En este caso nos encontramos que ladistribución de Weibull es igual a la exponencial.

Si > 1 la tasa de fallo se incrementa con la edad de forma continua lo que indica que

los desgastes empiezan en el momento en que el mecanismo se pone en servicio.

Si = 3,44 se cumple que la media es igual a la mediana y la distribución de Weibull es

sensiblemente igual a la normal.

b) > 0: El mecanismo es intrínsecamente fiable desde el momento en que fue puesto en

servicio hasta que t = , y además:

Si < 1 hay fatiga u otro tipo de desgaste en el que la tasa de fallo disminuye con el

tiempo después de un súbito incremento hasta ; valores de ß bajos (~ 0,5) pueden

asociarse con ciclos de fatigas bajos y los valores de b más elevados (~ 0,8) con ciclosmás altos.



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Si > 1 hay una erosión o desgaste similar en la que la constante de duración de carga

disminuye continuamente con el incremento de la carga.

c) < 0. Indica que el mecanismo fue utilizado o tuvo fallos antes de iniciar la toma de

datos, de otro modo

Si < 1 podría tratarse de un fallo de juventud antes de su puesta en servicio, como

resultado de un margen de seguridad bajo.

Si > 1 se trata de un desgaste por una disminución constante de la resistencia iniciado

antes de su puesta en servicio, por ejemplo debido a una vida propia limitada que hafinalizado o era inadecuada.

III. REPRESENTACIÓN GRÁFICA.

Una forma simple de ver la distribución de los fallos y de esta forma poder analizar y decidir

sobre los resultados, es representar gráficamente la función de Weibull. Esta gráfica muestracomo varía respecto al tiempo (o en nuestro caso, el número de ciclos).

Para representar gráficamente esta función se deben seguir los siguientes pasos:

1. Clasificar el tiempo o ciclos de cada muestra ( ) de menor a mayor.

2. Determinar los valores de probabilidad acumulada de fallo ( ). Estos valores se

determinan usando la siguiente fórmula:

Aunque otros autores dan la formula:

Donde: es el número de orden de fallo y el tamaño de la muestra.

3.

Conocidos y , se representan en el gráfico.

4. Una vez se ha hecho el gráfico, puede pasar que salga directamente una línea recta (en

cuyo caso = 0) o que salga una curva ( # 0). En este segundo caso existe un periodo

de tiempo entre t = 0 y t = en que ningún componente falla (si es positivo) o parte de



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las muestras fallan antes de ensayarlas (caso de negativo). El parámetro es aquel

valor que se le tiene que restar a todos los para que los puntos representados sigan una

recta.

Uno de los problemas fundamentales de la distribución de Weibull es la evaluación de los parámetros ( , ", ) de esta distribución. Para ello se dispone de dos métodos: a través

únicamente del cálculo mediante el método de los momentos o el de máxima verosimilitud, en elque intervienen ecuaciones diferenciales difíciles de resolver, por lo que se utilizan poco, y

mediante la resolución gráfica, que utiliza un papel a escala funcional llamado papel de Weibull ográfico de Allen Plait que es el que vamos a desarrollar.

Para estimar el parámetro $ se tiene que trazar una recta paralela que pase por el centro del arco

representado en el papel y que corte a este. El punto de corte de la recta paralela que hemosdibujado y el arco nos dará el valor del parámetro.

El parámetro " se estima usando el hecho de que este representa el tiempo para el cual la

probabilidad de fallo acumulada es de 63,2%. De este modo basta con ver para qué valor de ti la probabilidad de fallo es de 63,2%, y este será el valor del parámetro.

GRÁFICO LOGARÍTMICO.

El papel de Weibull está graduado a escala funcional de la siguiente forma:

En el eje de ordenadas se tiene: (Doble logaritmo neperiano)

En el eje de abscisas, tenemos:

Figura 1. Papel de Weibull.



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Figura 2. Lectura de los parámetros ! y en el papel de Weibull

IV. CÁLCULO Y ANÁLISIS DE FIABILIDAD A PARTIR DE WEIBULL.

Para calcular valores de fiabilidad o percentiles de fallo se recurre a la fórmula de la distribución

de Weibull, sustituyendo en esta los valores de los parámetros calculados. De esta forma, paracalcular los valores de fiabilidad utilizaremos la expresión:

Que en caso de querer calcular percentiles de fallos pasa a ser:

En el caso de querer saber en qué momento (o número de ciclos) se habrá producido el fallo de

un percentil de las muestras, lo único que se debe hacer es despejar de la formula anterior la

variable de tiempo . Haciendo esto, la expresión queda como:

Donde es el momento (o el número de ciclos) donde falla componentes.

Llegados a este punto se debe destacar que la formula anterior es la utilizada para determinar siun lote ensayado es OK o NG, para ello se calcula el para un percentil deseado, digamos el 5%

(p=0,05). Si el valor de es superior al target el lote es OK, en caso contrario el lote es NG. A



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parte de los valores de fiabilidad y percentiles calculados anteriormente, el análisis de la función

de distribución de Weibull nos permite conocer datos importantes de nuestro proceso.

En concreto, el valor del parámetro $ es el que nos da más información respecto de donde se

encuentra el error (en el caso de que no se supere el target).

Durante la aplicación de la distribución de Weibull podemos encontrar problemas de dos

tipologías diferentes: los originados por la variabilidad de los resultados, debido a que estamostrabajando con datos estadísticos, y los que son producto de las diferencias en el método de

cálculo usado.

Problemas de variabilidad: Los problemas que tienen su origen en la variabilidad de los

resultados numéricos se deben principalmente al hecho de que estamos trabajando con resultadosestadísticos, y por tanto su nivel de confianza dependerá en gran medida del número de muestras

ensayadas. En nuestro caso, usualmente se trabaja con los resultados de tres o cuatro muestras, ysi se tiene en cuenta que la mayoría de libros de estadística recomiendan tamaños entre 10 y

13muestras para conseguir resultados fiables, es fácil darse cuenta que los resultados obtenidosno siempre se correspondan con la realidad.

Problemas de cálculo: A parte del problema de la variabilidad de los resultados, nos

encontramos con un problema a la hora de obtener estos resultados. Como se ha visto, existendiferentes métodos para estimar los parámetros característicos de la función de Weibull, e incluso

dentro de un mismo método hay diferencias dependiendo del algoritmo de calculo que se use(métodos analíticos) o del tipo de regresión (métodos gráficos). Esto implica que para un mismo

conjunto de valores se pueden obtener diversos resultados diferentes; esta diferencia puede hacerque un mismo lote salga OK o NG dependiendo de quién lo calcule. Aunque estas diferencias

entre métodos se dan en todos los cálculos efectuados, estas se van incrementando a medida queaumenta la dispersión de la muestra y cuando aparecen valores que difieren del resto (sin ser

anomalías). También es conveniente destacar que este problema se ve incrementado por el hechode disponer de pocas muestras, ya que en el límite todos los métodos llevan a un mismo

resultado.

¿Por qué usar Weibull?

El uso de la función de distribución de Weibull en los estudios de fiabilidad de componentes sedebe principalmente a la gran diversidad de formas que este modelo puede tomar, dependiendo

de los valores de los parámetros característicos. Esto nos permite usar un mismo modelo,independientemente de en qué forma varíe la tasa de fallos del componente estudiado,

simplificando en gran medida la tarea de análisis de los resultados. Si no usáramos este modelo,cualquier análisis de los resultados obtenidos durante el ensayo de los componentes implicaría

necesariamente un estudio previo de los datos, para determinar cuál de los diferentes modelosexistentes se asemeja más a los datos obtenidos. Esto conllevaría un mayor tiempo de análisis y

una mayor probabilidad de error, debido a que una mala elección del modelo implicaría dar unresultado erróneo.



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Al aplicar Weibull, el estudio previo de los datos se reduce únicamente a una inspección visual en

busca de posibles datos anómalos que distorsionen los resultados.

¿Qué obtenemos al aplicar el modelo de Weibull?

Al aplicar Weibull se obtiene la distribución de fallos del conjunto de donde proviene la muestra,únicamente ajustando los parámetros del modelo al conjunto de componentes ensayados. Los

parámetros característicos de la función de Weibull se pueden extraer directamente de la muestra,usando para este fin diferentes métodos. Esto permite conseguir un modelo estadístico que

representa con mayor o menor exactitud la distribución de los fallos del conjunto o lote de donde provienen los componentes ensayados. Al conocer la distribución de los fallos, se puede

responder a preguntas del tipo: ¿Cuantos componentes fallarán durante el primer año?, ¿Cuántotiempo de garantía tendrá que tener el componente para que únicamente falle el 1% durante ese

periodo?, entre otros. A parte de las preguntas anteriores, el modelo obtenido también permiteresponder a preguntas tan importantes como: ¿El x% de los componentes del lote fallarán por

encima o por debajo del target? que es el criterio usado para decidir si un lote es OK o NG.

ReferenciasD. Socie; Fatigue-Life Prediction Using Local Stress-Strain Concepts. Experimental Mechanics,

February (1977).

Fatigue Design Subcommittee of Division 4 of SAE Iron and Steel Technical Committee; FatigueDesign Handbook. Society of Automotive Engineers, Inc. (1968).

Antonio Creus Sole; Fiabilidad y Seguridad. Su aplicación en procesos industriales. Marcombo

Boixareu Editores. Barcelona (1992).

J. Mothes, J. Torrens, Ibern; Estadística aplicada a la ingeniería. Ediciones Ariel. Esplugues deLlobregat (1970).

Dodson, Bryan. The Weibull Analysis Handbook. 2da ed. Milwaukee, Wisconsin. ASQ Quality

Press (2006).

Abernethy, Robert B. The New Weibull Handbook. 5ta ed. North Palm Beach, Florida (2006).

Walpole, Ronald E y Raymond Meyers. Probabilidad y estadística para ingenieros. 3ra ed.

México: Interamericana (1990).

Tamborero del Pino, José María. NPT 331: Fiabilidad: La distribución de Weibull. [En línea]

Disponible en:

http://www.insht.es/InshtWeb/Contenidos/Documentacion/FichasTecnicas/NTP/Ficheros/301a400/ntp_331.pdf [Consulta: 22 de julio de 2010]

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