Wiskunde Graad 10 WebBoekDeur:Siyavula / Free High School Science TextsISBN: 978-1-920423-06-3Wiskunde Graad 10 WebBoekDeur:Siyavula / Free High School Science TextsISBN: 978-1-920423-06-3Siyavula/FreeHighSchoolScienceTextshetkopieregophierdieinhoud. DitisgelisensieeronderdieCreativeCommonsAttribution 3.0 lisensie (http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/).Vir kopiereg- en toeskrywingsinligting vir die modules in hierdie versameling, sien p.339.4FHSST Kern SpanMark Horner ; Samuel Halliday ; Sarah Blyth ; Rory Adams ; Spencer WheatonFHSST RedakteursJaynie Padayachee ; Joanne Boulle ; Diana Mulcahy ; Annette Nell ; Ren Toerien ; Donovan WhiteldFHSST BydraersSarah Abel ; Dr.Rory Adams ; Andrea Africa ; Matthew Amundsen ; Ben Anhalt ; Prashant Arora ; Amos Baloyi ; BonganiBaloyi ; Raymond Barbour ; Richard Baxter ; Tara Beckerling ; Dr.Sarah Blyth ; Sebastian Bodenstein ; Martin Bongers ;Gareth Boxall ; Stephan Brandt ; Hannes Breytenbach ; Wilbur Britz ; Graeme Broster ; Craig Brown ; Richard Burge ;Bianca Bhmer ; George Calder-Potts ; Eleanor Cameron ; Richard Case ; Sithembile Cele ; Richard Cheng ; FannyCherblanc ; Dr.Christine Chung ; Brett Cocks ; Stefaan Conradie ; Rocco Coppejans ; Tim Craib ; Andrew Craig ; TimCrombie ; Dan Crytser ; Dr.Anne Dabrowski ; Laura Daniels ; Jennifer de Beyer ; Deanne de Bude ; Mia de Vos ; SeanDobbs ; Buhle Donga ; William Donkin ; Esmi Dreyer ; Nicola du Toit ; Matthew Duddy ; Fernando Durrell ; Dr.Dan Dwyer ;Alex Ellis ; Tom Ellis ; Andrew Fisher ; Giovanni Franzoni ; Nina Gitau Muchunu ; Lindsay Glesener ; Kevin Godby ; Dr.Vanessa Godfrey ; Terence Goldberg ; Dr.Johan Gonzalez ; Hemant Gopal ; Dr.Stephanie Gould ; Umeshree Govender ;Heather Gray ; Lynn Greeff ; Carine Grobbelaar ; Dr.Tom Gutierrez ; Brooke Haag ; Kate Hadley ; Alex Hall ; Dr.SamHalliday ; Asheena Hanuman ; Dr.Nicholas Harrison ; Neil Hart ; Nicholas Hatcher ; Jason Hayden ; Laura Hayward ; ChoHee Shrader ; Dr.Fritha Hennessy ; Shaun Hewitson ; Millie Hilgart ; Grant Hillebrand ; Chris Holdsworth ; Dr.BenneHolwerda ; Dr.Mark Horner ; Robert Hovden ; Mfandaidza Hove ; Jennifer Hsieh ; Laura Huss ; Dr.Matina J. Rassias ;Rowan Jelley ; Grant Jelley ; Clare Johnson ; Luke Jordan ; Tana Joseph ; Dr.Fabian Jutz ; Brian Kamanzi ; Dr.LutzKampmann ; Simon Katende ; Natalia Kavalenia ; Paul Kim ; Dr.Jennifer Klay ; Lara Kruger ; Sihle Kubheka ; Andrew Kubik; Dr.Jannie Leach ; Nkoana Lebaka ; Dr.Tom Leinster ; Henry Liu ; Christopher Loetscher ; Amandla Mabona ; MalotheMabutho ; Stuart Macdonald ; Dr.Anton Machacek ; Tshepo Madisha ; Batsirai Magunje ; Dr.Komal Maheshwari ; MichaelMalahe ; Masoabi Malunga ; Masilo Mapaila ; Bryony Martin ; Nicole Masureik ; John Mathew ; Dr.Will Matthews ; JoEllenMcBride ; Dr Melanie Dymond Harper ; Nikolai Meures ; Riana Meyer ; Filippo Miatto ; Jenny Miller ; Abdul Mirza ; MapholoModise ; Carla Moerdyk ; Tshwarelo Mohlala ; Relebohile Molaoa ; Marasi Monyau ; Asogan Moodaly ; Jothi Moodley ;Robert Moon ; Calvin Moore ; Bhavani Morarjee ; Kholofelo Moyaba ; Emmanuel Musonza ; Tom Mutabazi ; David Myburgh ;Kamie Naidu ; Nolene Naidu ; Gokul Nair ; Bridget Nash ; Tyrone Negus ; Buntu Ngcebetsha ; Thomas ODonnell ; Dr.Markus Oldenburg ; Dr.William P. Heal ; Dr.Jaynie Padayachee ; Poveshen Padayachee ; Masimba Paradza ; Dave Pawson; Justin Pead ; Nicolette Pekeur ; Sirika Pillay ; Jacques Plaut ; Barry Povey ; Andrea Prinsloo ; Joseph Raimondo ; SanyaRajani ; Alastair Ramlakan ; Dr.Jocelyn Read ; Jonathan Reader ; Dr.Matthew Reece ; Razvan Remsing ; Laura Richter ;Max Richter ; Sean Riddle ; Dr.David Roberts ; Christopher Roberts ; Evan Robinson ; Raoul Rontsch ; Dr.Andrew Rose ;Katie Ross ; Jeanne-Mari Roux ; Mark Roux ; Bianca Ruddy ; Katie Russell ; Steven Sam ; Nathaniel Schwartz ; DuncanScott ; Helen Seals ; Relebohile Sefako ; Prof.Sergey Rakityansky ; Paul Shangase ; Cameron Sharp ; Ian Sherratt ; Dr.James Short ; Roger Sieloff ; Brandon Sim ; Clare Slotow ; Bradley Smith ; Greg Solomon ; Nicholas Spaull ; Dr.AndrewStacey ; Dr.Jim Stasheff ; Mike Stay ; Mike Stringer ; Masixole Swartbooi ; Tim Teatro ; Ben Thompson ; Shen Tian ; XolaniTimbile ; Robert Torregrosa ; Jimmy Tseng ; Tim van Beek ; Neels van der Westhuizen ; Frans van Eeden ; Pierre vanHeerden ; Dr.Marco van Leeuwen ; Pieter Vergeer ; Rizmari Versfeld ; Mpilonhle Vilakazi ; Ingrid von Glehn ; Tamara vonGlehn ; Kosma von Maltitz ; Helen Waugh ; Leandra Webb ; Dr.Dawn Webber ; Michelle Wen ; Dr.Alexander Wetzler ; Dr.Spencer Wheaton ; Vivian White ; Dr.Gerald Wigger ; Harry Wiggins ; Heather Williams ; Wendy Williams ; Julie Wilson ;Timothy Wilson ; Andrew Wood ; Emma Wormauld ; Dr.Sahal Yacoob ; Jean Youssef ; Ewald Zietsman ;Bydraers en redakteurs het n opregte poging gemaak om n akkurate en bruikbare hulpbron te produseer.Indien jyvoorstelle het, foute vind of bereid is om materiaal te skenk vir insluiting, moet asseblief nie huiwer om ons te kontak nie.Onsis van plan om te werk saam met almal wat bereid is om te help om hierdie n voortdurend veranderende hulpbron te maak!www.fhsst.org5Inhoudsopgawe1 Funksies en Graeke 11.1 Inleiding tot Funksies en Graeke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Alledaagse Gebruike van Funksies en Graeke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Hersiening. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3.1 Veranderlikes en Konstantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Ondersoek:Veranderlikes en Konstantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3.2 Relasies en Funksies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Ondersoek:Relasies en Funksies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3.3 Die Cartesiese Vlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3.4 Teken van Graeke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Ondersoek:Teken van Graeke en die Cartesiese vlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.5 Notasie vir Funksies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Hersiening. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Kenmerke van alle Funksies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4.1 Afhanklike en Onafhanklike Veranderlikes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4.2 Denisieversameling en Waardeversameling. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Versamelkeurdernotasie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Intervalnotasie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4.3 Afsnitte met die Asse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4.4 Draaipunte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4.5 Asimptote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4.6 Lyne van Simmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4.7 Intervalle waar Funksies vermeerder of verminder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119INHOUDSOPGAWE INHOUDSOPGAWE1.4.8 Diskrete en Kontinue Gedrag van n Graek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Waardeversameling en Denisieversameling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5 Graeke van Funksies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5.1 Funksies in die vorm y= ax +q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Ondersoek:Funksies van die vorm y= ax +q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Denisieversameling en Waardeversameling. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Afsnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Draaipunte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Simmetrie-asse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Skets van Graeke van die vorm f (x) = ax +q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Reguitlyn funksies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.5.2 Funksies van die Vorm y= ax2+q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Ondersoek:Funksies van die vorm y= ax2+q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Denisieversameling en Waardeversameling. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Afsnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Draaipunte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Simmetrie-asse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Trek Graeke van die vorm f (x) = ax2+q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Parabole. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.5.3 Funksies van die vorm y=ax+q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Ondersoek:Funksies van die vorm y=ax+q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Denisieversameling en Waardeversameling. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Afsnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Asimptote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Skets die Graeke van die vorm f (x) =ax+q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Hiperboliese funksies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.5.4 Funksies van die vorm y= ab(x)+q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Ondersoek:Funksies van die vorm y= ab(x)+q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Denisieversameling en Waardeversameling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Afsnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Asimptote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3610INHOUDSOPGAWE INHOUDSOPGAWESketse van Graeke van die vorm f (x) = ab(x)+q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Eksponensiele Funksies en Graeke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.6 Opsomming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.7 Hoofstukoefeninge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402 Getalpatrone 412.1 Getalpatrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.1.1 Ondersoek :Patrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.2 Algemene Getalpatrone. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.2.1 Spesiale Reekse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Driehoeksgetalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Vierkantsgetalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Derdemagsgetalle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Fibonacci Getalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.3 Notasie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.3.1 Ondersoek :Algemene Formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.3.2 Patrone en Bewerings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.4 Opsomming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.5 Hoofstukoefeninge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483 Finansile wiskunde 513.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.2 Stel belang in Rente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.3 Enkelvoudige Rente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.3.1 Nie slegs een termyn nie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.3.2 Ander Toepassings van die Formule vir Enkelvoudige Rente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Enkelvoudige Rente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.4 Saamgestelde Rente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.4.1 Die geheel bestaan uit kleiner dele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.4.2 Die Krag van Saamgestelde Rente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.4.3 Ander Toepassings van Saamgestelde Groei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62Saamgestelde Rente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6311INHOUDSOPGAWE INHOUDSOPGAWE3.5 Buitelandse Wisselkoerse - (Nie in CAPS, ingesluit vir volledigheid) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.5.1 Hoeveel is R1 regtig werd? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64Ses van die een en n halfdosyn van die ander. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Terminologie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66Bespreking:Buitelandse Wisselkoerse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.5.2 Tussen-Geldeenheid Wisselkoerse - (nie in CAPS, ingesluit vir volledigheid) . . . . . . . . . . . . . . . 67Ondersoek:Tussen-Geldeenheid Wisselkoerse - Alternatiewe Metode . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.5.3 Vir verryking:Fluktuerende Wisselkoerse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.6 Buitelandse Verhandeling. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.7 Opsomming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.8 Hoofstukoefeninge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714 Rasionale getalle 734.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.2 Die oorhoofse beskouing van getalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.3 Denisie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.3.1 Rasionale getalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.4 Vorme van rasionale getalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.4.1 Ondersoek:Desimale getalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.5 Omskakeling tussen terminerende desimale getalle en rasionale getalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.5.1 Breuke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.6 Omskakeling tussen repeterende desimale breuke en rasionale getalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.6.1 Repeterende desimale notasie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.7 Opsomming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.8 Hoofstukoefeninge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785 Eksponensiale 815.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.2 Denisie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.3 Eksponentwette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.3.1 Eksponente, Wet 1:a0= 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83Toepassing van Wet 1:a0= 1, (a = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8312INHOUDSOPGAWE INHOUDSOPGAWE5.3.2 Eksponente, Wet 2:aman= am+n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83Toepassing van Wet 2:aman= am+n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.3.3 Eksponente, Wet 3:an=1an, a = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84Toepassing van Wet 3:an=1an, a = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.3.4 Eksponente, Wet 4:aman= amn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85Toepassing van Wet 4:aman= amn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.3.5 Eksponente, Wet 5:(ab)n= anbn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85Toepassing van Wet 5:(ab)n= anbn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.3.6 Eksponente, Wet 6:(am)n= amn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86Toepassing van Wet 6:(am)n= amn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87Ondersoek:Eksponensiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.4 Hoofstukoefeninge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886 Benadering van Wortelgetalle 916.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.2 Hoofstukoefeninge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 937 Irrasionale Getalle en Afronding 957.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957.2 Irrasionale Getalle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957.2.1 Ondersoek:Irrasionale Getalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 967.3 Afronding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 967.4 Hoofstukoefeninge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 978 Produkte en Faktore 998.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 998.2 Hersiening van vorige Werk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 998.2.1 Dele van Uitdrukkings. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 998.2.2 Produk van twee Binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1008.2.3 Faktorisering. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101Gemeenskaplike Faktore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101Ondersoek:Gemeenskaplike Faktore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101Verskil van twee Kwadrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10113INHOUDSOPGAWE INHOUDSOPGAWEHersien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1038.3 Meer Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1048.3.1 Ondersoek:Verskil van Derdemagte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1068.3.2 Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1068.4 Faktorisering van Kwadratiese Uitdrukkings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1068.4.1 Metode:Faktorisering van Kwadratiese Uitdrukkings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108Faktorisering van n Kwadratiese Drieterm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1108.5 Faktorisering deur Groepering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1118.5.1 Faktorisering deur Groepering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1128.6 Vereenvoudiging van Breuke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1128.6.1 Vereenvoudiging van Breuke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1148.7 Optel en Aftrek van Breuke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1148.8 Twee interessante Wiskundige Bewyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1158.9 Opsomming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1168.10Hoofstukoefeninge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1179 Vergelykings en Ongelykhede 1199.1 Strategie vir die Oplos van Vergelykings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1199.1.1 Metode:Herrangskikking van Vergelykings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119Ondersoek:Strategie vir die Oplos van Vergelykings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1209.2 Oplos van Linere Vergelykings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1209.2.1 Metode:Oplos van Linere Vergelykings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121Oplos van Linere Vergelykings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1259.3 Oplos van Kwadratiese Vergelykings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1269.3.1 Ondersoek:Faktorisering van n Kwadratiese Uitdrukking. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1269.3.2 Metode:Oplos van Kwadratiese Vergelykings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126Oplossing (wortels) van Kwadratiese Vergelykings. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127Oplos van Kwadratiese Vergelykings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1319.4 Ekponensile Vergelykings van die vorm ka(x+p)= m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1319.4.1 Ondersoek:Oplos van Eksponensile Vergelykings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1329.4.2 Algebraese Oplossing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132Metode:Oplos van Eksponensile Vergelykings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13314INHOUDSOPGAWE INHOUDSOPGAWEOndersoek :Eksponensile Getalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133Oplos van Eksponensile Vergelykings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1359.5 Linere Ongelykhede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1369.5.1 Ondersoek :Ongelykhede op n Getallelyn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1369.5.2 Linere Ongelykhede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1399.6 Gelyktydige Linere Vergelykings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1399.6.1 Oplos van Gelyktydige Vergelykings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1409.6.2 Graese Oplossing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1409.6.3 Oplossing deur Vervanging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142Gelyktydige vergelykings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1449.7 Vergelykings met Letterkofsinte (Lettervergelykings). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1449.7.1 Oplos van Lettervergelykings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1459.8 Wiskundige Modelle (Nie in CAPS - ingesluit vir volledigheid) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1469.8.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1469.8.2 Probleemoplossing Strategie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1479.8.3 Toepassing van Wiskundige Modellering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147Wiskundige Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1489.8.4 Opsomming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1499.8.5 Hoofstukoefeninge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14910Gemiddelde gradient 15110.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15110.2 Reguitlynfunksies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15110.2.1 Ondersoek:Gemiddelde Gradint - Reguitlynfunksie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15110.3 Paraboliese Funksie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15210.3.1 Ondersoek :Gemiddelde Gradint - Paraboliese Funksie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15310.3.2 Metode:Gemiddelde Gradint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15410.4 Gemiddelde Gradint van ander Funksies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15510.4.1 Gemiddelde Gradint van Eksponensile Funksies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15510.4.2 Gemiddelde Gradint van Hiperboliese Funksies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15610.5 Opsomming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15710.6Hoofstukoefeninge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15815INHOUDSOPGAWE INHOUDSOPGAWE11Waarskynlikheid 15911.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15911.2 Denisie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16111.2.1 Uitkomste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16111.2.2 Steekproefruimte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16111.2.3 Gebeurtenisse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16111.3 Ewekansige-eksperimente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16211.3.1 Venn diagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16211.3.2 Aktiwiteit:Venn-diagramme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16811.3.3 Ter afronding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16811.3.4 Waarskynlikheid in die Alledaagse Lewe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168Die Eenvoudigste Voorbeeld:Ewe Waarskynlike Uitkomste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169Waarskynlikheids modelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17011.3.5 Waarskynlikheids Identiteite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171Oefeninge met waarskynlikheids identiteite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17311.3.6 Onderling Uitsluitende Gebeurtenisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173Oefeninge met onderling uitsluitende gebeutrenisse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17411.3.7 Komplementre Gebeurtenisse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17511.3.8 Ewekansige Eksperimente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17611.4 Relatiewe Frekwensie vs.Waarskynlikheid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17711.5 Projek Idee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17911.6 Interpretasie van Waarskynlikheidswaardes - (nie in CAPS, maar ingesluit vir volledigheid) . . . . . . . . . . . 17911.7 Opsomming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18011.8Hoofstukoefeninge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18212Basiese beginsels van meetkunde 18512.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18512.2 Punte en Lyne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18512.3 Hoeke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18612.3.1 Meting van Hoeke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187Hoe om n gradeboog te gebruik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188Meting van Hoeke:gebruik n gradeboog om die volgende hoeke te meet . . . . . . . . . . . . . . . . 18816INHOUDSOPGAWE INHOUDSOPGAWE12.3.2 Spesiale Hoeke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188Hoeke groter as 360. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18912.3.3 Spesiale Hoekpare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19012.3.4 Parallelle Lyne wat gesny word deur Dwarslyne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191Hoeke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19512.4 Poligone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19812.4.1 Driehoeke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198Eienskappe van Driehoeke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199Ondersoek :Som van die hoeke van n driehoek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199Kongruente Driehoeke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201Gelykvormige Driehoeke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202Die Stelling van Pythagoras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202Driehoeke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203Vierhoeke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205Ander poligone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205Hoeke van Relmatige Poligone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20612.5 Opsomming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20612.6Hoofstukoefeninge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20712.6.1 Probleem met n Uitdaging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21113Meetkunde 21313.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21313.1.1 Navorsingsprojek:Die geskiedenis van Meetkunde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21313.2 Vierhoeke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21413.2.1 Trapesium. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21413.2.2 Parallelogram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21413.2.3 Reghoek. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21513.2.4 Rombus / Ruit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21513.2.5 Vierkant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21613.2.6 Vlier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21713.3 Veelhoeke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21813.3.1 Gelykvormigheid tussen Veelhoeke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21817INHOUDSOPGAWE INHOUDSOPGAWEBespreking:Gelykvormige Driehoeke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218Gelykvormigheid van Gelyksydige Driehoeke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222Veelhoeke gemeng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22213.4 Ondersoek:Denieer Poligone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22313.5 Bewyse en Vermoedens in Meetkunde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22313.6 Meting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22613.6.1 Area (Oppervlakte) van Poligone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226Poligone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22813.7 Reghoekige Prismas en Silinders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22913.7.1 Oppervlakarea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229Bespreking:Oppervlakareas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229Aktiwiteit:Oppervlakarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230Oppervlakareas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23013.7.2Scaling and surface area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23113.7.3 Volume. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23513.8 Right Piramides, Regte Kegels (Kels / Konusse), Sfere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23613.8.1 Oppervlakarea en Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24113.9 Transformasies:nie in CAPS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24213.9.1 Translasie van n Punt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242Bespreking :Vertikale Translasie van n Punt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242Bespreking:Horisontale Translasie van n Punt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24313.9.2 Reeksie van n Punt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245Reeksie in die x-as. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245Reeksie in die y-as. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246Reeksie in die lyn y= x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247Gevallestudie :Reeksie van n punt in die lyn y= x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248Bespreking :Transformasierels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250Transformasies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251Ondersoek :Berekening van Volume, Oppervlakte en Skaalfaktore van voorwerpe . . . . . . . . . . . 25213.10Opsomming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25318INHOUDSOPGAWE INHOUDSOPGAWE13.11Hoofstukoefeninge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25314Trigonometrie 25914.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25914.1.1 Ondersoek:Geskiedenis van Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25914.2 Gebruik van Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26014.2.1 Bespreking:Gebruike van Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26014.3 Gelykvormigheid van Driehoeke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26014.3.1 Ondersoek:Verhouding van Gelykvormige Driehoeke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26114.4 Denisies van die Trigonometriese Funksies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26214.4.1 Ondersoek:Denisies van Trigonometriese Funksies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26314.4.2 Berekening van lengtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26714.5 Tweedimensionele Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26814.6 Die Trigonometriese Funksies vir Enige Hoek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26914.7 Oplos van Eenvoudige Trigonometriese Vergelykings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27214.8 Eenvoudige Toepassings van Trigonometriese Funksies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27314.8.1 Hoogte en Diepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27314.8.2 Kaarte en planne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275Toepassings van Trigonometriese Funksies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27714.9 Graeke van Trigonometriese Funksies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27714.9.1 Graek van sin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277Graek van sin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27714.9.2 Funksies in die vorm y= asin (x) +q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278Funksies van die vorm y= asin () +q: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279Gebied en Terrein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280Snypunte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28114.9.3 Graek van cos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281Graek van cos : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28114.9.4 Funksies in die vorm y= acos (x) +q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282Funksies van die vorm y= acos () +q: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283Gebied en Terrein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284Snypunte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28419INHOUDSOPGAWE INHOUDSOPGAWE14.9.5 Vergelyking van die Graeke van sin en cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28514.9.6 Graek van tan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285Graek van tan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28514.9.7 Funksies van die vorm y= atan (x) +q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287Funksies van die vorm y= atan () +q: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288Domein en Omvang. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289Snypunte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289Asimptote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289Graeke van Trigonometriese Funksies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28914.10Opsomming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29114.11Hoofstukoefeninge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29115Analitiese Meetkunde 29515.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29515.2 Afstand tussen Twee Punte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29515.3 Afstand tussen Twee Punte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29615.4 Berekening van die Gradint van n Lyn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29815.5 Middelpunt van n Lynstuk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30015.5.1 Opsomming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30215.5.2Hoofstukoefeninge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30216Statistiek 30516.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30516.2 Hersiening van Vorige Werk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30516.2.1 Data en Datainsameling. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306Die Doelwit van die Insameling van Primre Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306Kwalitatiewe Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307Kwantitatiewe Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30716.2.2 Metodes van Dataversameling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30716.2.3 Steekproef en Bevolking (Populasie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30816.3 Voorbeelde van Datastelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30920INHOUDSOPGAWE INHOUDSOPGAWE16.3.1 Datastel 1:Gooi van n Muntstuk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30916.3.2 Datastel 2:Gooi van n Dobbelsteen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30916.3.3 Datastel 3:Massa van n Brood. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31016.3.4 Datastel 4:Temperature Wreldwyd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31116.3.5 Datastel 5:Prys van Petrol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31216.4 Groepering van Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31316.4.1 Oefeninge:Groepering van Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31416.5 Opsomming van Data. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31516.5.1 Maatstawe van Sentrale Neiging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315Gemiddeld. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315Mediaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316Modus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31816.5.2 Maatstawe van Verspreiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319Variasiewydte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319Kwartiele. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320Interkwartielvariasiewydte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321Persentiele. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32216.5.3 Vyfgetalopsomming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32216.5.4 Houerstipping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32316.5.5 Oefeninge Opsomming van Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324Meer oor gemiddeld, modus en mediaan van gegroepeerde data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32616.6 Vooroordele en Foute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32716.7 Data Interpretasie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32716.8 Misbruik van Statistiek - slegs vir verryking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32816.8.1 Oefeninge Misbruik van Statistiek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32916.9 Opsomming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33116.10Oefeninge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331A Woordelys 335B Indeks van sleutelwoorde en terme 337C Toeskrywings 33921INHOUDSOPGAWE INHOUDSOPGAWE22Chapter 1Funksies en Graeke1.1 Inleiding tot Funksies en Graeke(seksie kortkode:W10000 )Funksies is wiskundige boustene wat toepassings het in masjienontwerp, die voorspelling van natuurrampe, die mediese veld,ekonomiese analise en vliegtuigontwerp.n Funksie het vir elke invoerwaarde net n enkele uitvoerwaarde.Dit is moontlik datn funksie meer as een inset van verskillende veranderlikes kan h, maar dan sal dit steeds net n enkele uitset h.Ons gaanegter nie in hierdie hoofstuk na sulke tipe funksies kyk nie.Een van die groot voordele van funksies is dat hulle ons toelaat om vergelykings te visualiseer deur middel van n graek. nGraek is bloot n tekening van n funksie en dit word gebruik as n ander voorstellingswyse in plaas van n tabel met getalle.In hierdie hoofstuk gaan ons leer hoe om funksies met rele getalle te skep en te verstaan; en hoe om graeke te lees en teteken.Funksies se toepassing omstrek groot wetenskap- en ingenieurs probleme tot alledaagse probleme.So, dit is nuttig om meerte leer van funksies.n Funksie is altyd afhanklikvan een of meer veranderlikes, soos tyd, afstand of n meer abstrakte entiteit.1.2 Alledaagse Gebruike van Funksies en Graeke(seksie kortkode:W10001 )n Paar tipiese voorbeelde van funksies waarmee jy moontlik bekend is: Hoeveel geld jy het as n funksie van tyd. Hier is tyd die inset vir die funksie en die uitset is die bedrag geld. Jy sal openige oomblik net een bedrag geld h. As jy verstaan hoe jou bedrag geld verander oor tyd, kan jy beplan hoe om jougeld beter te spandeer. Besighede teken die graekvan hulle geldsake oor tyd, sodat hulle kan sien wanneer hulle teveel geld spandeer.Sulke waarnemings is nie altyd duidelik deur slegs na die getalle te kyk nie.11.3 CHAPTER 1. FUNKSIES EN GRAFIEKE Die temperatuur is n voorbeeld van n funksie met veelvuldige insette, insluitend die tyd van die dag, die seisoen, diewolkbedekking, diewind, dieplekenveleander. Diebelangrikedingomintesien, isdat daarnet eenwaardevirtemperatuurisopnspesiekeplek,opnspesieketyd. Asonsverstaanhoedieinsettedietemperatuurbenvloed,kan ons ons dag beter beplan. Jou posisie is n funksie van tyd omdat jy nie op twee plekke op dieselfde tyd kan wees nie. Indien jy twee mense seposisie as n funksie van tyd sou teken of stip (plot), sal die plek waar die lyne kruis, aandui waar die mense mekaarontmoet. Hierdie idee word gebruik in logistiek n veld van Wiskunde wat probeer voorspel waar mense en items is,hoofsaaklik vir besigheid. Joumassaisnfunksievanhoeveel jyeetenhoebaieoefeningjydoen,maarelkepersoonseliggaamhanteerdieinsette anders en mens kan dan verskillende liggame voorstel as verskillende funksies.1.3 Hersiening(seksie kortkode:W10002 )Die volgende behoort bekend te wees.1.3.1 Veranderlikes en KonstantesIn Oorsig van vorige werk1, het ons gewerk met veranderlikes en konstantes.Om vinnig te hersien:n veranderlike kan enigewaarde aanneem in n stel getalle, indien die vergelyking konstant is.Gewoonlik word n veranderlike geskryf met n letter.n Konstante het n vaste waarde.Byvoorbeeld, die getal 1 is n konstante.Soms kan mens ook letters gebruik om konstantesvoor te stel in n funksie, as n plekhouer, omdat hulle soms makliker is om mee te werk.Ondersoek:Veranderlikes en Konstantes.Identiseer die veranderlikes en die konstantes in die volgende vergelykings:1. 2x2= 12. 3x + 4y= 73. y=5x4. y= 7x21.3.2 Relasies en FunksiesIndieverledehetjygesienveranderlikeskan relasies(verhoudings)hmetmekaar. Byvoorbeeld,Antonis2jaarouerasNaomi.Die relasie of verband tussen die ouderdomme van Anton en Naomi kan geskryf word as A = N+ 2, waar Anton seouderdom voorgestel word met A en Naomi se ouderdom voorgestel word met N.In die algemeen is n relasie n vergelyking met twee veranderlikes.Byvoorbeeld, y= 5x en y2+x2= 5 is relasies.In albeivoorbeelde is x en yveranderlikes en 5 is n konstante.Vir elke waarde van x sal jy n ander, unieke waarde vir ykry.Mens hoef nie relasies as vergelykings te skryf nie, dit kan ook weergegee word in woorde, tabelle of graeke. Byvoorbeeld,in plaas van y= 5x te skryf, kan mens s yis vyf keer so groot as x.Ons kan ook die volgende tabel gee:1"Review of Past Work":Section Letters and Arithmetic 2CHAPTER 1. FUNKSIES EN GRAFIEKE 1.3x y= 5x2 106 308 4013 6515 75Tabel 1.1Ondersoek:Relasies en FunksiesVoltooi die volgende tabel vir die gegewe funksies:x y= x y= 2x y= x + 212350100Tabel 1.21.3.3 Die Cartesiese VlakWanneer ons met funksies met rele getalle werk, is ons vernaamste stuk gereedskap n graek. Eerstens, indien ons tweerele veranderlikes het, x en y, kan ons gelyktydig vir hulle waardes toeken. Byvoorbeeld, ons kan s "x is 5 en yis 3. Netsooswatonsvir"xis5verkortdeurteskryf"x=5, kanonsookxis5enyis3verkortdeurtes(x; y)=(5; 3).Gewoonlik as ons dink aan rele getalle, dink ons aan n oneindige lang lyn en n getal as n punt op die lyn.Indien ons tweegetalleopdieselfdetydkies,kanonsietssoortgelyksdoen,maarnougebruikonstweedimensies. Onsgebruiknoutweelyne, een vir x en een vir y, met die lyn vir y, geroteer, soos in Figuur 1.1.Ons noem dit die Cartesiese vlak.31.3 CHAPTER 1. FUNKSIES EN GRAFIEKEFiguur 1.1:Die Cartesiese vlak bestaan uit n xas (horisontaal) en n yas (vertikaal).1.3.4 Teken van GraekeOm n graek van n funksie te teken, moet ons n paar punte bereken en stip op die Cartesiese vlak. Die punte word dan involgorde verbind om n gladde lyn te vorm.Komonskyknadiefunksie,f (x)=2x. Onskandanal diepunte(x; y)beskouwatsoisdaty=f (x),inhierdiegevaly= 2x.Byvoorbeeld (1; 2) , (2, 5; 5) , en (3; 6) stel sulke punte voor en (3; 5) stel nie so n punt voor nie, aangesien 5 = 23.Indien ons n kol op al die punte sit, asook al die soortgelyke punte vir alle moontlike waardes van x, sal ons die graek soosin Figuur 1.2 kry.4CHAPTER 1. FUNKSIES EN GRAFIEKE 1.3Figuur 1.2:Graek van f (x) = 2xDie vorm van die graek is baie eenvoudig, dit is bloot n reguitlyn deur die middel van die vlak. Hierdie "stippingstegniek" isdie sleutel tot die verstaan van funksies.Ondersoek:Teken van Graeke en die Cartesiese vlakStip die volgende punte en trek n gladde lyn deur hulle:(-6; -8), (-2; 0), (2; 8), (6; 16).1.3.5 Notasie vir FunksiesTot dus ver het ons gesien jy kan y=2x gebruik om n funksie voor te stel. Hierdie notasie raak verwarrend as jy met meeraseenfunksiewerk. nMeeralgemenemanieromfunksiesneerteskryf,isdeurdienotasief (x),tegebruik,waarf diefunksienaam en x die onafhanklike veranderlike is. Byvoorbeeld, f (x) = 2x en g (t) = 2t + 1 is twee verskillende funksies.Met fen gdie name en x en t die veranderlikes.As mens van f (x) praat, s mens f van x.Ons gaan albei notasies in hierdie boek gebruik.Oefening1.1: FunksienotasieIndienf (n)=n2 6n + 9,vindf (k 1)interme van k.51.3 CHAPTER 1. FUNKSIES EN GRAFIEKEOplossing van die OefeningStap 1.f (n) = n26n + 9f (k 1) = (k 1)26 (k 1) + 9(1.1)Stap 2.= k22k + 1 6k + 6 + 9= k28k + 16(1.2)Ons het nou die funksie vereenvoudig interme van k.Oefening 1.2:Funksienotasie As f (x) = x24, bereken b as f (b) =45.Oplossing van die OefeningStap 1.f (b) = b24maar f (b) = 45(1.3)Stap 2.b24 = 45b249 = 0b = +7 of 7(1.4)Hersiening1. Raai watter funksie, in die vorm y= ..., word voorgestel deur die waardes in die tabel.x 1 2 3 40 50 600 700 800 900 1000y 1 2 3 40 50 600 700 800 900 1000Tabel 1.36CHAPTER 1. FUNKSIES EN GRAFIEKE 1.4. KENMERKE VAN ALLE FUNKSIES2. Raai watter funksie, in die vorm y= ... , word voorgestel deur die waardes in die tabel.x 1 2 3 40 50 600 700 800 900 1000y 2 4 6 80 100 1200 1400 1600 1800 2000Tabel 1.43. Raai watter funksie, in die vorm y= ... , word voorgestel deur die waardes in die tabel.x 1 2 3 40 50 600 700 800 900 1000y 10 20 30 400 500 6000 7000 8000 9000 10000Tabel 1.54. Stipdievolgendepunte(1;2),(2;4),(3;6),(4;8),(5;10)opnCartesiesevlak. Verbinddiepunte. Kryjynreguitlyn?5. Indien f (x) = x +x2, skryf neer:a. f (t)b. f (a)c. f (1)d. f (3)6. Indien g (x) = x and f (x) = 2x, skryf neer:a. f (t) +g (t)b. f (a) g (a)c. f (1) +g (2)d. f (3) +g (s)7. Jy staan langs n reguit snelweg, n motor ry by jou verby en beweeg 10m elke sekonde.Voltooi die tabel hi-eronder, deur in te vul hoe ver die motor van jou af wegbeweeg het na 5,10 en na 20 sekondes.Tyd (s) 0 1 2 5 10 20Afstand (m) 0 10 20Tabel 1.6Gebruik die waardes in die tabel en teken n graek met die afstand op die y-as en tyd op die x-as.Kry die oplossing met die kortkodes:(1.)lxO (2.)lxc (3.)lxx (4.)lxa (5.)lxC (6.)lx1(7.)lxr1.4 Kenmerke van alle Funksies(seksie kortkode:W10003 )Daar is baie verskillende kenmerke van graeke wat die eienskappe van n spesieke funksie se graek beskryf.Hierdie eienskappe gaan behandel word in hierdie hoofstuk en is die volgende:71.4. KENMERKE VAN ALLE FUNKSIES CHAPTER 1. FUNKSIES EN GRAFIEKE1. Afhanklike en onafhanklike veranderlikes2. Denisie- en waardeversameling3. Afsnitte met die asse4. Draaipunte5. Asimptote6. Lyne/asse van simmetrie7. Intervalle waar die funksie toeneem/afneem8. Kontinue gedrag van funksiesSommigevandiewoordemagonbekendweesvirjou,maarelkebegripsal duidelikbeskryfword. Voorbeeldevan sommige van die eienskappe word gewys in Figuur 1.3.Figuur 1.3:(a) Voorbeeld van graek wat die eienskappe van n funksie illustreer (b) Voorbeeld van graek watdie asimptote van n funksie illustreer.Die asimptote is die stippellyne.1.4.1 Afhanklike en Onafhanklike VeranderlikesTot dusver het al die graeke wat ons gesien het twee veranderlikes, n x-waarde en n y-waarde. Die y-waardewordgewoonlikbepaaldeureenofanderverbandgebaseeropngegeweofgekose x-waarde. Onsnoemdiex-waardedie onafhanklikeveranderlike,omdatdiewaardevrylikgekieskanword. Dieberekendey-waardeisbekend as die afhanklike veranderlike, omdat die waarde afhanklik is van die gekose x-waarde.8CHAPTER 1. FUNKSIES EN GRAFIEKE 1.4. KENMERKE VAN ALLE FUNKSIES1.4.2 Denisieversameling en WaardeversamelingDiedenisieversameling(ookbekendasdiegebied) vannverbandisdiestel xwaardeswaarvoor daar teminsteeenywaardebestaan. Diewaardeversameling(ookbekendasdieterrein)isdiestel ywaardeswatbepaalkanworddeurteminsteeen xwaarde. Andersgestel,diedenisieversamelingisallemoontlikeinsetteen die waardeversameling is die alle moontlike uitsette.Die denisieversameling(ook bekend as die gebied) van n relasie is die stel x waardes waarvoor daar te minsteeenywaardebestaan. Diewaardeversameling(ookbekendasdieterrein)isdiestel ywaardeswat bepaalkan word deur ten minste een x waarde. Anders gestel, die denisieversameling is alle moontlike insette en diewaardeversameling is alle moontlike uitsette.n Ander voorbeeld is y= 2x.Vir enige waarde van x is daar n waarde vir y; die denisieversameling is dus allerelegetalle. Maaronsweetdiewaardevan y=2xkannooitkleinerofgelykaan0weesnie. Gevolglikisdiewaardeversameling alle rele getalle groter of gelyk aan 0.Daar is twee maniere om denisie- en waardeversameling van n funksie te beskryf, versamelingkeurdernotasieen intervalnotasie.Albei word gebruik in wiskunde en jy sal bekend moet wees met altwee.Versamelkeurdernotasien Versameling van sekere x waardes het die volgende vorm:x : voorwaardes, nog voorwaardes (1.5)Ons lees hierdie notasie as die stel van alle x waarvoor die voorwaardes waar is.Byvoorbeeld, die stel van allepositiewe rele getalle kan geskryf word as {x : x R, x > 0} en dit word gelees as die stel van alle x waardes,waar x n rele getal groter as nul is.IntervalnotasieHier skryf ons n interval in die vorm laer hakie, laer getal, kommapunt, hor getal, hor hakie.Ons gebruik tweetipes hakies, reghoekige hakies [; ] of ronde hakies (; ). n Reghoekige hakie beteken die getal word ingesluit bydieinterval ennrondehakiebetekendiegetal worduitgesluituitdieinterval. Hierdienotasiekanniegebruikword om heelgetalle in n interval te beskryf nie.Indien x n rele getal is groter as 2 en kleiner of gelyk aan 8, is x enige getal in die interval.(2; 8] (1.6)Dit is duidelik dat 2 die laer getal is en 8 die hor getal is. Die ronde hakie sluit 2 uit, omdat x groter as 2 is; diereghoekige hakie sluit 8 in, omdat x kleiner of gelyk aan 8 is.1.4.3 Afsnitte met die AsseDie afsnitte is die punte waar die graek die asse sny.Die x-afsnitte is die punte waar die graek die x-as sny endie y-afsnit is die punt waar die graek die y-as sny.91.4. KENMERKE VAN ALLE FUNKSIES CHAPTER 1. FUNKSIES EN GRAFIEKEIn Figuur 1.3(a), is A die y-afsnit en B, C en F is x-afsnitte.Jysaldieafsnittemoetuitwerk. Dieheel belangrikstedingomteonhou,isdatdiex-afsnitbyy=0lendiey-afsnit by x = 0.Byvoorbeeld, bereken die afsnitte van y= 3x+5.Vir die y-afsnit is x = 0.Dan is die y-afsnit yint= 3 (0)+5 = 5.Vir die x-afsnit y= 0.Dan word die x-afsnit bereken deur 0 = 3xint + 5 op te los, met die antwoord xint= 53.1.4.4 DraaipunteDraaipunte kom net voor in graeke van funksies waar die hoogste mag groter as 1 is.Byvoorbeeld, graeke vandie volgende funksies sal draaipunte h:f (x) = 2x22g (x) = x32x2+x 2h(x) =23x42(1.7)Daar is twee tipes draaipunte:n minimum en n maksimum.n Minimum is n punt op n graek waar die graekophou verminder en begin vermeerder. n Maksimum is n punt op n graek waar die graek ophou vermeerderen begin verminder.Hierdie word gellustreer in Figuur 1.4.Figuur 1.4:(a) Minimum (b) MaksimumIn Figuur 1.3(a) is E n maksimum draaipunt en D n minimum draaipunt.1.4.5 Asimptoten Asimptoot is n reguit of krom lyn, wat die graek sal benader, maar nooit raak nie.In Figuur 1.3(b), die y-as en die lyn h is albei asimptote, omdat die graek die lyne benader, maar nooit raak nie.10CHAPTER 1. FUNKSIES EN GRAFIEKE 1.4. KENMERKE VAN ALLE FUNKSIES1.4.6 Lyne van SimmetrienGraekweerspiel homself innsimmetrielyn. Hierdielynemagdiex-eny-asseinsluit. Byvoorbeeld, inFiguur1.5isdiesimmetrieomdie y-as. Die y-asisnsimmetrie-as,omdatdiegraekgereekteerwordindiey-as.Nie elke graek het n simmetrielyn nie.Figuur1.5: Demonstrasievannsimmetrieas. Diey-asisnsimmetrieas,omdatdiegraekweerspielisindie is y-as.1.4.7 Intervalle waar Funksies vermeerder of verminderToeonsnadraaipuntegekykhet,hetonsgesiendatgraekevannfunksiekanbeginofophouvermeerderofverminder by n draaipunt. As ons na die graek van Figuur 1.3(a) kyk,kan ons sien dat die graek vermeerderen verminder oor verskillende intervalle.Ons kan sien die graek se waarde neem af (die y-waardes verminder)van punt E tot punt D en dan vermeerder dit van punt D tot +.1.4.8 Diskrete en Kontinue Gedrag van n GraeknGraekiskontinuasdaargeensprongeindiegraekisnie. Byvoorbeeld,diegraekinFiguur1.3(a)wordbeskryf as kontinu, terwyl die graek in Figuur 1.3(b) n breek het by die asimptoot, wat beteken dit is diskontinu(diskreet).Waardeversameling en Denisieversameling1. Indiendiewaardeversamelingvandiefunksief (x)=2x + 5(-3; 0)is. Bepaal diedenisieversamelingvan f.111.4. KENMERKE VAN ALLE FUNKSIES CHAPTER 1. FUNKSIES EN GRAFIEKE2. As g (x) = x2+ 5 en x is tussen - 3 and 3, bepaal:a. die waardeversameling van g (x)b. die denisieversameling van g (x)3. Dui op die onderstaande graek die volgende aan:a. die x-afsnit(te)b. die y-afsnit(te)c. die deel waar die graek vermeerderd. die deel waar die graek verminder4. Dui op die onderstaande graek die volgende aan:a. die x-afsnit(te)b. die y-afsnit(te)c. die deel waar die graek vermeerderd. die deel waar die graek verminder12CHAPTER 1. FUNKSIES EN GRAFIEKE 1.5. GRAFIEKE VAN FUNKSIESKry die oplossing met die kortkodes:(1.)lxY (2.)lxg (3.)lx4 (4.)lx21.5 Graeke van Funksies(seksie kortkode:W10004 )1.5.1 Funksies in die vorm y= ax + qFunksiesmetdiealgemenevormy=ax + qword reguitlynfunksiesgenoem. Indievergelyking,y=ax + q,is a en qkonstantes en het verskillende invloede op die graek van die funksie. Die algemene graek van so nfunksie word gegee in Figuur 1.8 vir die funksie f (x) = 2x + 3.131.5. GRAFIEKE VAN FUNKSIES CHAPTER 1. FUNKSIES EN GRAFIEKEFiguur 1.8:Graek van f (x) = 2x + 3Ondersoek:Funksies van die vorm y= ax +q1. Op dieselfde assestelsel, trek die volgende graeke:a. a (x) = x 2b. b (x) = x 1c. c (x) = xd. d (x) = x + 1e. e (x) = x + 2Gebruik jou resultate om die invloed van verskillende waardes van qop die resulterende graek af te lei.2. Op dieselfde assestelsel, teken die volgende graeke:a. f (x) = 2.xb. g (x) = 1.xc. h(x) = 0.xd. j (x) = 1.xe. k (x) = 2.xGebruik jou resultate om die invloed van verskillende waardes van a op die resulterende graek af te lei.Jy behoort te vind dat die waarde van a die helling van die graek benvloed.Soos a vermeerder, vermeerder diehelling van die graek ook. Indien a > 0 sal die graek vermeerder van links na regs (opwaartse helling). Indiena < 0 sal die graek verminder van links na regs (afwaartse helling).Dit is hoekom daar na a verwys word as diehellingof die gradint van n reguitlynfunksie.Jy behoort ook te vind dat die waarde van q die punt bepaal waar die graek die y-as sny.Om hierdie rede, staanqbekend as die y-afsnit.Die verskillende eienskappe word opgesom in Tabel 1.7.14CHAPTER 1. FUNKSIES EN GRAFIEKE 1.5. GRAFIEKE VAN FUNKSIESa > 0 a < 0q> 0q< 0Tabel 1.7:Opsomming van algemene vorms en posisies van graeke van funksies in die vorm y= ax +qDenisieversameling en WaardeversamelingVirf (x)=ax + q, isdiedenisieversameling {x: x R}, omdatdaargeenwaardeisvanx Rwaarvoorf (x) ongedenierd is nie.Diewaardeversamelingvan f (x)=ax + qisook {f (x):f (x) R} omdatdaargeenwaardevan f (x) Rwaarvoor f (x) ongedenierd is nie.Byvoorbeeld, die denisieversameling van g (x) = x 1 is {x : x R} omdat daar geen waardes is van x Rwaarvoor g (x) ongedenierd is nie.Die waardeversameling van g (x) is {g (x) : g (x) R}.AfsnitteVir funksiesvandievorm, y =ax+q worddiemetodeomdieafsnittemet diex- eny-assetebereken,uiteengesit.151.5. GRAFIEKE VAN FUNKSIES CHAPTER 1. FUNKSIES EN GRAFIEKEDie y-afsnitte word as volg bereken:y = ax +qyint= a (0) +q= q(1.8)Byvoorbeeld, die y-afsnit van g (x) = x 1 word bepaal deur x = 0 te stel en dan op te los:g (x) = x 1yint= 0 1= 1(1.9)Die x-afsnit word as volg bereken:y = ax +q0 = a xint +qa xint= qxint= qa(1.10)Byvoorbeeld, die x-afsnit van g (x) = x 1 word gegee deur y= 0 in te stel en dan op te los:g (x) = x 10 = xint1xint= 1(1.11)DraaipunteDie graek van n reguitlynfunksie het nie draaipunte nie.Simmetrie-asseDie graeke van reguitlynfunksies het gewoonlik nie simmerie-asse nie.Skets van Graeke van die vorm f (x) = ax +qOm die graeke van die vorm f (x) = ax +qte skets, moet ons die volgende drie eienskappe vind:1. die teken van a2. y-afsnit3. x-afsnit16CHAPTER 1. FUNKSIES EN GRAFIEKE 1.5. GRAFIEKE VAN FUNKSIESSlegs twee punte word benodig om n reguitlyn te trek. Die maklikste punte is die x-afsnit (waar die lyn die x-assny) en die y-afsnit.Byvoorbeeld, skets die graek van g (x) = x 1.Merk duidelik die afsnitte.Eerstens bereken ons dat a > 0.Dit beteken die graek gaan n opwaartse helling h.Diey-afsnitwordbepaal deurx=0testel enisvroerberekenasyint= 1. Diex-afsnitwordbepaal deury= 0 te stel en is vroer bereken as xint= 1.Figuur 1.13:Graek van die funksie g (x) = x 1Oefening1.3: SketsnReguitlyngraekTekendiegraekvany =2x + 2.Oplossing van die OefeningStap 1. Om die y-afsnit te vind, stel x = 0.y = 2 (0) + 2= 2(1.12)Stap 2. Om die x-afsnit te kry, stel y= 0.0 = 2x + 22x = 2x = 1(1.13)171.5. GRAFIEKE VAN FUNKSIES CHAPTER 1. FUNKSIES EN GRAFIEKEStap 3.Reguitlyn funksies1. Skryf die y-afsnitte neer vir die volgende reguitlyngraeke:a. y= xb. y= x 1c. y= 2x 1d. y + 1 = 2x2. Gee die vergelyking van die graek wat hieronder geskets is:3. Sketsdievolgendeverbandeopdieselfdeassestelsel,merkdiekordinatevandieafsnitteduidelik: x +2y 5 = 0 en 3x y 1 = 0Kry die oplossing met die kortkodes:(1.)lxT (2.)lxb (3.)lxj18CHAPTER 1. FUNKSIES EN GRAFIEKE 1.5. GRAFIEKE VAN FUNKSIES1.5.2 Funksies van die Vorm y= ax2+ qDie algemene vorm en posisie van die graek van die funksie in die vorm f (x)=ax2+ q,wat ons n paraboolnoem, word gewys in Figuur 1.16.Hierdie is paraboliese funksies.Figuur 1.16:Graek van f (x) = x21Ondersoek:Funksies van die vorm y= ax2+q1. Trek die volgende graeke op dieselfde assestelsel:a. a (x) = 2.x2+ 1b. b (x) = 1.x2+ 1c. c (x) = 0.x2+ 1d. d (x) = 1.x2+ 1e. e (x) = 2.x2+ 1Gebruik jou resultate om die invloed van a af te lei.2. Trek die volgende graeke op dieselfde assestelsel:a. f (x) = x22b. g (x) = x21c. h(x) = x2+ 0d. j (x) = x2+ 1e. k (x) = x2+ 2Gebruik jou resultate om die invloed van qaf te lei.Voltooidievolgendetabelvanfunksiewaardesvirdiefunksies atot komjouselftehelpmetdiesketsevandiebogenoemde graeke:191.5. GRAFIEKE VAN FUNKSIES CHAPTER 1. FUNKSIES EN GRAFIEKEx 2 1 0 1 2a (x)b (x)c (x)d (x)e (x)f (x)g (x)h(x)j (x)k (x)Tabel 1.8Hierdie simulasie laat jou toe om die invloed van veranderende a- en q-waardes te visualiseer.In die simulasie isq=c. n Ekstra term, bx, is ook bygesit. Jy kan dit los as 0, of jy kan die kyk wat die invloed van bx op die graekis.Phet simulasie vir die skets van graeke (Simulasie:W10005 )Vanjougraekebehoort jyagtertekomdatabepaal of diegraek"glimlag"of "frons". Indiena 0 glimlag die graek.Dit word gellustreer in Figuur 1.18.Figuur 1.18:Kenmerkende vorms van parabole indien a > 0 of a < 0Jy behoort ook te vind dat die waarde van qbenvloed of the draaipunt bokant die y-as (q>0)of onderkant diey-as (q< 0) sal wees.Hierdie verskillende eienskappe word opgesom in .20CHAPTER 1. FUNKSIES EN GRAFIEKE 1.5. GRAFIEKE VAN FUNKSIESa > 0 a < 0q> 0q< 0Tabel 1.9:Die algemene vorms en posisies van funksies van die vorm y= ax2+qDenisieversameling en WaardeversamelingVir f (x)=ax2+ q,isdiedenisieversameling {x:x R},omdatdaarnienwaardeisvan x Rwaarvoorf (x) ongedenierd is nie.Die waardeversameling van f (x) = ax2+qhang af of die waarde van a positief of negatief is.Ons sal die tweegevalle afsonderlik hanteer.Indien a > 0 dan het ons:x2 0 (die kwadraat van n uitdrukking is altyd positief)ax2 0 (vermenigvuldiging met a, n positiewe getal, behou die volgorde van die ongelykheid)ax2+q qf (x) q(1.14)Dit s vir ons dat vir alle waardes van x, is f (x) altyd groter as q. Dus indien a > 0, is die waardeversamelingvan f (x) = ax2+q, gelyk aan {f (x) : f (x) [q, )}.Soortgelyk, kanonsaantoonindiena 0 en a > 0 dan is qanegatief en in hierdie geval l die graek bo die x-as en sny dus nie diex-asnie. Indien,q>0ena 0 sal qaook positief wees, en sal die graek die x-as sny.Indien q= 0 het ons slegs een afsnit by x = 0.Byvoorbeeld, die x-afsnit van g (x) = x2+ 2 word gegee deur y= 0 te stel en dan:g (x) = x2+ 20 = x2afsnit + 22 = x2afsnit(1.19)22CHAPTER 1. FUNKSIES EN GRAFIEKE 1.5. GRAFIEKE VAN FUNKSIESHierdie antwoord is nie reel nie.Daarom het die graek van g (x) = x2+ 2 geen x-afsnitte nie.DraaipunteDiedraaipuntevanfunksiesvandievormf (x) =ax2+ qwordgegeedeur nadiewaardeversamelingvandiefunksietekyk. Onsweet dat indiena >0diewaardeversamelingvanf (x) =ax2+q, gelykisaan{f (x) : f (x) [q, )}enindiena 0, is die laagste waarde wat f (x) kan wees q.Ons los dan vir x op by die punt f (x) = q:q = ax2dp +q0 = ax2dp0 = x2dpxdp= 0(1.20) x = 0 by f (x) = q.Die kordinate van die (minimum) draaipunt is dan (0, q).Soortgelyk, indiena 0) of onder die x-as is (q< 0).HierdieeienskappewordopgesominTabel 1.10. Diesimmetrieasvir elkegraekwordaangetoonasdiestippellyn.a > 0 a < 0q> 0continued on next page28CHAPTER 1. FUNKSIES EN GRAFIEKE 1.5. GRAFIEKE VAN FUNKSIESq< 0Tabel 1.10:Die algemene vorms en posisies van funksies van die vorm y=ax+qDenisieversameling en WaardeversamelingDie funksie y=ax+q, is ongedenierd vir x = 0.Die denisieversameling is dus {x : x R, x = 0}.Ons kan sien dat y=ax+qherskryf kan word as:y =ax+qy q =axAs x=0 dan : (y q) (x) = ax =ayq(1.27)Dit wys dat die funksie ongedenierd is by y= q.Die waardeversameling van f (x) =ax+qis {f (x) : f (x) (; q) (q; )}.Byvoorbeeld,diewaardeversameling van g (x)=2x+ 2 is {x:x R, x =0},omdat g (x)ongedenierdis byx = 0.y =2x+ 2(y 2) =2xAs x=0dan : x (y 2) = 2x =2y2(1.28)Ons sien dat g (x) ongedenierd is by y= 2.Die waardeversamling is dus {g (x) : g (x) (; 2) (2; )}.AfsnitteVirfunksiesvandievormy=ax+ q, worddieafsnittemet diex-eny-asberekendeurx=0testel virdiey-afsnit en deur y= 0 te stel vir die x-afsnit.291.5. GRAFIEKE VAN FUNKSIES CHAPTER 1. FUNKSIES EN GRAFIEKEDie y-afsnit word as volg bereken:y =ax+qyafsnit=a0+q(1.29)Dit is ongedenierd omdat ons deur nul deel.Daar is dus geen y-afsnit nie.Byvoorbeeld, die y-afsnit van g (x) =2x+ 2 word gegee deur x = 0 te stel:y =2x+ 2yafsnit=20+ 2(1.30)Dit is egter ongedenierd.Die x-afsnit word bereken deur y= 0 te stel:y =ax+q0 =axafsnit+qaxafsnit= qa = q (xafsnit)xafsnit=aq(1.31)Byvoorbeeld, die x-afsnit van g (x) =2x+ 2 word gekry deur x = 0 te stel:y =2x+ 20 =2xafsnit+ 22 =2xafsnit2 (xafsnit) = 2xafsnit=22xafsnit= 1(1.32)AsimptoteDaaristweeasimptotevirdiefunksiesvandievormy=ax+ q. Netnherinnering, nasimptootisnlynwatdie graek van n funksie sal nader, maar nooit aanraak nie. Die asimptote word gevind deur na die denisiever-sameling en waardeversameling te kyk.Ons het gesien dat die funksie ongedefenieer was by x = 0 en vir y= q.Dus is die asimtote x = 0 en y= q.Byvoorbeeld, die waardeversameling van g (x) =2x+ 2 is {x : x R, x = 0}, omdat g (x) ongedenierd is byx=0. Ons het ook gesien dat g (x) ongedenierd is by y=2. Dus is die waardeversameling {g (x):g (x) (; 2) (2; )}.Hiervan kan ons aei dat die asimptote by x = 0 en y= 2 is.30CHAPTER 1. FUNKSIES EN GRAFIEKE 1.5. GRAFIEKE VAN FUNKSIESSkets die Graeke van die vorm f (x) =ax+qOm graeke van funksies van die vorm f (x) =ax+qte skets, het ons vier eienskappe nodig.1. Denisieversameling en waardeversamling2. Asimptote3. y-afsnitte4. x-afsnitteByvoorbeeld, die skets van die graek van g (x) =2x+ 2.Merk die afsnitte en asimptote.Ons het vasgestel dat die denisieversameling {x:x R, x =0} is en die waardeversameling {g (x):g (x) (; 2) (2; )} is.Die asimptote kan dus gevind word by x = 0 en y= 2.Daar is geen y-afsnit nie en die x-afsnit is xint= 1.Figuur 1.32:Graek van g (x) =2x+ 2Oefening 1.5:Skets n Hiperbool Skets die graek van y=4x+ 7.Oplossing van die OefeningStap 1. Die gebied is {x:x R, x =0} en die terrein is {f (x):f (x) (; 7) (7; )}.311.5. GRAFIEKE VAN FUNKSIES CHAPTER 1. FUNKSIES EN GRAFIEKEStap 2. Ons kyk na die gebied en die terrein om te bepaal waar die asimp-tote l.Van die gebied kan ons sien dat die funksie ongedenierdiswanneer x=0. Dusdaar iseenasimptoot byx=0. Dieander asimptoot wordgevindvanaf dieterrein. Diefunksieisongedenierd by y= q.Dus die tweede asimptoot is by y= 7Stap 3. Daar is geen y-afsnit vir graeke van hierdie vorm nie.Stap 4. Die x-afsnit is waar y= 0.Berekening van die x-afsnit gee:y =4x+ 70 =4x+ 77 =4xxint=47(1.33)Daar is dus een x-afsnit by_47, 0_.Stap 5. Al hierdie inligting gee ons die volgende graek:Hiperboliese funksies1. Gebruik graekpapier en teken die graek van xy= 6.a. L die punt (-2; 3) op die graek?Gee n rede vir jou antwoord.b. Hoekom is die punt (-2; -3) nie op die graek nie?c. As die x-waarde van n punt op die graek 0,25 is, wat is die ooreenstemmende y-waarde?d. Wat gebeur met die y-waardes as die x-waardes baie groot word?e. Met die lyn y= x as n lyn van simmetrie, watter punt is simmetries ten opsigte van (-2; 3)?32CHAPTER 1. FUNKSIES EN GRAFIEKE 1.5. GRAFIEKE VAN FUNKSIES2. Skets die graek van xy= 8.a. Hoe sal die graek y=83x + 3 vergelyk met die graek van xy= 8?Verduidelik jou antwoord.b. Skets die graek van y=83x + 3 op dieselfde assestelsel.Kry die oplossing met die kortkodes:(1.)lxB (2.)lxK1.5.4 Funksies van die vorm y= ab(x)+ qFunksiesvandievorm y=ab(x)+ qisbekendas eksponensilefunksies. Diealgemenevormvannfunksievan hierdie tipe word gewys in Figuur 1.34.Figuur 1.34:Algemene vorm en posisie van die graek van n funksie met die vorm f (x) = ab(x)+q.Ondersoek:Funksies van die vorm y= ab(x)+q1. Op dieselfde assestelsel, skets die volgende graeke:a. a (x) = 2.b(x)+ 1b. b (x) = 1.b(x)+ 1c. c (x) = 0.b(x)+ 1d. d (x) = 1.b(x)+ 1e. e (x) = 2.b(x)+ 1Gebruik jou antwoorde om n gevolgtrekking ten opsigte van die invloed van a te maak.2. Op dieselfde assestelsel, skets die volgende graeke:a. f (x) = 1.b(x)2b. g (x) = 1.b(x)1c. h(x) = 1.b(x)+ 0d. j (x) = 1.b(x)+ 1e. k (x) = 1.b(x)+ 2331.5. GRAFIEKE VAN FUNKSIES CHAPTER 1. FUNKSIES EN GRAFIEKEGebruik jou antwoorde om n gevolgtrekking ten opsigte van die invloed van qte maak.Jysougevindhetdatdiewaardevanabepaal dievormvandiegraek, ditwil s: CurvesUpwardsCU(a > 0) of Curves Downwards CD (a < 0).Jy sou ook gevind het die waarde van qbepaal die posisie van die y-afsnit.Hierdie verskillende eienskappe word opgesom in Tabel 1.11.a > 0 a < 0q> 0q< 0Tabel 1.11:Getabelleerde opsomming van algemene vorms en posisies van funksies van die vorm y= ab(x)+qDenisieversameling en WaardeversamelingVir y =ab(x)+q, isdiefunksiegedenieer vir allerelewaardesvanx. Dus, diedenisieversamelingis{x : x R}.Die waardeversameling van y= ab(x)+qword bepaal deur die teken van a.34CHAPTER 1. FUNKSIES EN GRAFIEKE 1.5. GRAFIEKE VAN FUNKSIESAs a > 0 dan:b(x) 0a b(x) 0a b(x)+q qf (x) q(1.34)Dus, as a > 0, dan is die waardeversameling {f (x) : f (x) [q; )}.As a < 0 dan:b(x) 0a b(x) 0a b(x)+q qf (x) q(1.35)Dus, as a < 0, dan is die waardeversameling {f (x) : f (x) (; q]}.Byvoorbeeld, die denisieversameling van g (x) = 3.2x+ 2 is {x : x R}.Vir die waardeversameling,2x 03 2x 03 2x+ 2 2(1.36)Dus is die waardeversameling {g (x) : g (x) [2; )}.AfsnitteVirfunksiesvandievorm, y=ab(x)+ q,worddieafsnittemetdie xen y-asberekendeur x=0testelvirdiey-afsnit en deur y= 0 te stel vir die x-afsnit.Die y-afsnit word as volg bereken:y = ab(x)+qyint= ab(0)+q= a (1) +q= a +q(1.37)Byvoorbeeld, die y-afsnit van g (x) = 3.2x+ 2 word gegee deur x = 0 te stel, om dan te kry:y = 3.2x+ 2yint= 3.20+ 2= 3 + 2= 5(1.38)351.5. GRAFIEKE VAN FUNKSIES CHAPTER 1. FUNKSIES EN GRAFIEKEDie x-afsnitte word bereken deur y= 0 te stel, soos volg:y = ab(x)+q0 = ab(xint)+qab(xint)= qb(xint)= qa(1.39)Dit het net n rele oplossing as een van beide a < 0 of q< 0.Anders, het die graek van die vorm y= ab(x)+qgeen x-afsnitte.Byvoorbeeld, die x-afsnit van g (x) = 3.2x+ 2 word gegee deur y= 0 te stel:y = 3 2x+ 20 = 3 2xint+ 22 = 3 2xint2xint=23(1.40)en dit het geen rele oplossing nie.Dus, die graek van g (x) = 3.2x+ 2 het geen x-afsnitte nie.AsimptoteDaar is een asimptoot vir funksies van die vorm y=ab(x)+ q. Die asimptoot kan bepaal word deur die analisevan die waardeversameling.Ons het gesien dat die terrein bepaal word deur die waarde van q. As a>0,dan is die terrein {f (x):f (x) [q; )}.Dit wys dat die funksiewaarde neig na die waarde van q as x .Dus die horisontale asimptoot l by y= q.Sketse van Graeke van die vorm f (x) = ab(x)+qOm graeke te skets van funksies van die vorm, f (x) = ab(x)+q, moet ons vier eienskappe bereken:1. Denisieversameling en Waardeversameling2. y-afsnit3. x-afsnitByvoorbeeld, skets die graek van g (x) = 3.2x+ 2.Merk die afsnitte.Ons het die denisieversameling bepaal om {x : x R} te wees en die waardeversameling om {g (x) : g (x) (2, )} te wees.Die y-afsnit is yint= 5 en daar is geen x-afsnitte.36CHAPTER 1. FUNKSIES EN GRAFIEKE 1.5. GRAFIEKE VAN FUNKSIESFiguur 1.39:Graek van g (x) = 3.2x+ 2Oefening1.6: SketsnEksponsileGraekSketsdiegraekvany= 2.3x+ 5.Oplossing van die OefeningStap 1. Diegebiedis: {x: x R}endieterreinis: {f (x) : f (x) (; 5]}.Stap 2. Funksies van hierdie vorm het een asimptoot.Dit l by y= q.Dusdie asimptoot van die graek is by y= 5Stap 3. Ons kry die y-afsnit waar x = 0.y = 2.3x+ 5y = 2.30+ 5y = 2 (1) + 5yint= 7(1.41)Daar is dus een y-afsnit by (0, 7).371.5. GRAFIEKE VAN FUNKSIES CHAPTER 1. FUNKSIES EN GRAFIEKEStap 4. Die x-afsnit l by y= 0.Berekening van die x-afsnit gee:y = 2.3x+ 50 = 2.3x+ 55 = 2.3x3xint=52xint= 0, 83(1.42)Dus daar is een x-afsnit by (0, 83, 0).Stap 5. As ons dit alles bymekaarsit, gee dit die volgende graek:Eksponensiele Funksies en Graeke1. Skets die graeke van y= 2xen y=_12_xop dieselfde assestelsel.a. Is die x-as die asimptoot en/of simmetrie-as in albei graeke?Verduidelik jou antwoord.b. Watter graek word aangedui met die volgende vergelyking y= 2x?Verduidelik jou antwoord.c. Losdievergelyking2x=_12_xmetbehulpvannsketsopenkontroleerjouantwoorddeurmiddelvan translasie.d. Voorspelhoediegraek y=2.2xvergelykmet y=2xentekenvervolgensdiegraekvan y=2.2xop dieselfde assestelsel.38CHAPTER 1. FUNKSIES EN GRAFIEKE 1.6. OPSOMMING2. Die kurwe van die eksponensiele funksie fin die meegaande diagram sny die y-as by die punt A(0; 1).Diepunt B(2; 4) is op f.a. Bepaal die vergelyking van funksie f.b. Bepaal die vergelyking van h, die reeksie van die kurwe van fin die x-as.c. Bepaal die waardeversameling van h.Kry die oplossing met die kortkodes:(1.)lxk (2.)lx01.6 Opsomming(seksie kortkode:W10007 ) Jy behoort die volgende kenmerke van funksies te ken: Die gegewe of gekose x-waarde is bekend as die onafhanklike veranderlike want die waarde van x kanvrylikgekiesword. Dieberekendey-waardestaanbekendasdieafhanklikeveranderlikeaangesiendie waarde van y afhang van die gekose waarde van x. Diegebiedvannrelasieisdieversamelingvanal diex-waardeswaarvoordaartenminsteeeny-waarde bestaan volgens die funksievoorskrif. Die terrein is die versameling van al die y-waardes watverkry kan word deur ten minste een van die x-waardes te gebruik. Die afsnit is die punt waar die graek n as sny.Die x-afsnit(te) is die punt(e) waar die graek die x-assny en die y-afsnit(te) is die punt(e) waar die graek die y-as sny. Slegs vir graeke van funksies met n hoogste mag van groter as 1. Daar is twee tipes draaipunte:nminimumdraaipuntennmaksimumdraaipunt. nMinimumdraaipuntisnpuntopdiegraekwaardiegraekophou afneeminwaardeenbegintoeneem inwaarde. n Maksimumdraaipuntisnpuntop die graek waar die graek ophou toeneem in waarde en begin afneem in waarde. n Asimptoot is n reguitlyn of kurwe wat die graek van n funksie sal nader, maar nooit raak nie.391.7. HOOFSTUKOEFENINGE CHAPTER 1. FUNKSIES EN GRAFIEKE n Lyn ten opsigte waarvan die graek simmetries is. Die interval waar die graek toeneem of afneem. n Graek is kontinu as daar geen onderbreking in die graek is nie. Versamelingnotasie: nversamelingvansekerex-waardeshet dievolgendenotasie: {x: voorwaardes,meer voorwaardes} Intervalnotasie: hierskryfonsnintervalindievormlaerhakie,laergetal,kommapunt,horgetal,horhakie Jy moet die volgende funksies en hulle eienskappe ken: Funksies van die vorm y= ax +q.Dit is reguitlyne. Funksies van die vorm y= ax2+q.Dit staan bekend as paraboliese funksies of parabole. Funksies van die vorm y=ax+q.Dit staan bekend as hiperboliese funksies of hiperbole. Funksies van die vorm y= ab(x)+q.Hulle staan bekend as eksponensile funksies.1.7 Hoofstukoefeninge(seksie kortkode:W10008 )1. Gegee die funksies f (x) = 2x218 en g (x) = 2x + 6a. Skets fen gop dieselfde assestelsel.b. Bereken die snypunte van fen g.c. Gebruik dan jou graeke en hulle snypunte om vir x op te los wanneer:i. f (x) > 0ii.f(x)g(x) 0d. Gee die vergelyking van die reeksie van fin die x-as.2. Nadat nbal neergegooi is, isdiehoogtewat diebal terugbonselkekeerminder. Dievergelykingy =5.(0, 8)xtoondieverwantskaptussenx, dienommervandiebons, eny, diehoogtevandiebonsvirnspesieke bal.Wat is die benaderde hoogte van die vyfde bons tot die naaste tiende van n eenheid ?3. Markhet15muntstukkeinR5-enR2-stukke. Hyhet3meerR2-stukkeasR5-stukke. Hyhetnstelselvanvergelykingsopgestel omdiesituasietetoon, waarxdiehoeveelheidR5-stukkevoorstel enydiehoeveelheid R2-stukke voorstel.Hy het vervolgens die probleem graes opgelos.a. Skryf die sisteem van vergelykings neer.b. Skets die graeke op dieselfde assestelsel.c. Wat is die oplossing?Kry die oplossing met die kortkodes:(1.)lx8 (2.)lxX (3.)lx940Chapter 2Getalpatrone2.1 Getalpatrone(seksie kortkode:W10009 )Invorigejarehet jypatronegesienindievormvanprentjiesengetalle. Inhierdehoofstuksal onsmeerleervandiewiskundevanpatrone. Patroneisherkenbaarasherhalendereeksewatgevindkanwordindienatuur,vorms,gebeure,groepevangetalleenopbaieanderplekkeinonsdaaglikselewe. Byvoorbeeld,patronekangevind word in die sade van sonneblomme, sneeuvlokkies, geometriese patrone op lappieskomberse en tels enreekse getalle soos 0; 4; 8; 12; 16; ...2.1.1 Ondersoek :PatroneKan jy die patrone herken in die volgende reekse van getalle?1. 2; 4; 6; 8; 10; ...2. 1; 2; 4; 7; 11; ...3. 1; 4; 9; 16; 25; ...4. 5; 10; 20; 40; 80; ...2.2 Algemene Getalpatrone(seksie kortkode:W10010 )Reeksevangetallekaninteressantepatronebevat. Dievolgendeisnlysvandiemeesalgemenepatroneenhoe hulle gevorm word.412.2. ALGEMENE GETALPATRONE CHAPTER 2. GETALPATRONEVoorbeelde:1. 1; 4; 7; 10; 13; 16; 19; 22; 25; ... Hierdiereekshet nverskil van3tussenal diegetalle. Diepatroonwordgevorm deur elke keer 3 by te tel by die vorige getal.2. 3; 8; 13; 18; 23; 28; 33; 38; ... Hierdie reeks het n verskil van 5 tussen al die getalle.Die patroon word gevormdeur elke keer 5 by te tel by die vorige getal.3. 2; 4; 8; 16; 32; 64; 128; 256; ...Hierdiereekshetnfaktorvan2tussenal diegetalle. Dievolgendegetal indie reeks word gevorm deur die vorige een met 2 te vermenigvuldig.4. 3; 9; 27; 81; 243; 729; 2187; ...Hierdiereekshetnfaktorvan3tussenal diegetalle. Dievolgendegetal indie reeks word gevorm deur die vorige een met 3 te vermenigvuldig.2.2.1 Spesiale ReekseDriehoeksgetalle1; 3; 6; 10; 15; 21; 28; 36; 45; ...Hierdie reekse word gevorm deur n patroon van kolletjies wat n driehoek vorm. Deur nog n ry kolletjies aan teheg(waardieelkenuweryeenmeerkolletjiebevatasdievorigeeen)endiekolletjiestetel,isditmoontlikomdie volgende getal in die reeks te vind.Vierkantsgetalle1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81; ...Die waarde van n term in die reeks word gevind deur die posisie (pleknommer in die ry) te kwadreer.Die tweedegetal in die reeks is 2 kwadraat (22of2 2 ).Die sewende getal is 7 kwadraat (72of7 7 ) ens.Derdemagsgetalle1; 8; 27; 64; 125; 216; 343; 512; 729; ...Die waarde van n term in die reeks word gevind deur die posisie tot die derde mag te verhef.Die tweede getal indie reeks is 2 tot die mag 3 (23of2 2 2 ).Die sewende getal in die reeks is 7 tot die mag 3 (73of7 7 7) ens.Fibonacci Getalle0; 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; ...Die waarde van n term in die reeks word gevind deur die vorige twee getalle in die reeks bymekaar te tel. Die 2word gevind deur die vorige twee getalle in die reeks bymekaar te tel (1 + 1). Die 21 word gevind deur die tweegetalle voor die 2 in die reeks bymekaar te tel (8 + 13).Die volgende getal in die reeks sal 55 wees (21 + 34).Kan jy die volgende paar getalle vind?42CHAPTER 2. GETALPATRONE 2.2. ALGEMENE GETALPATRONEKhan Academy video oor getalpatrone - 1 (Video:W10011 )Oefening2.1: StudeertafelsGestel jyen3vriendebesluit omtestudeer vir wiskunde, endat julleomnvierkantigetafel sit. nPaarminutelatersluit2andervriendebyjulleaanenhullewil komsit. Omsitplektekryvirhulle, besluitjulleomntafel teskuifenditlangsjulletafel te sit sodat daar genoeg sitplek is vir die 6 van julle.Daarna besluitnog 2 van jou vriende om by julle aan te sluit en julle skuif n derde tafelsodat daar genoeg plek is vir 8 van julle.Figuur 2.2:Twee ekstra mense kan sit vir elke tafel wat hulle bysit.Ondersoekhoedieaantal menseomdietafelsverbandhoumet dieaantal tafels.Oplossing van die OefeningStap 1.Aantal tafels, n Aantal mense wat sitplek het1 4 = 42 4 + 2 = 63 4 + 2 + 2 = 84 4 + 2 + 2 + 2 = 10......n 4 + 2 + 2 + 2 +... + 2Tabel 2.1Stap 2. Ons kan sien dat met 3 tafels is daar plek vir 8 mense, met 4 tafelsisdaarplekvir10menseens. Onsbeginmet4menseenvoegelke keer 2 mense by.So, vir elke tafel wat bygevoeg word, is daarsitplek vir nog 2 mense.432.3. NOTASIE CHAPTER 2. GETALPATRONE2.3 Notasie(seksie kortkode:W10012 )Khan Academy video oor getalpatrone (Video:W10013 )Die nde-term vann reeksword geskryfas an. Sobyvoorbeeld,isdie eersteterm vann reeks a1en dietiendeterm van n reeks is a10. n Reeks hoef nie n patroon te volg nie,maar wanneer dit wel n patroon het,kan onsdit gewoonlik as n formule skryf om die nde-term, an, te bereken.In die reeks1; 4; 9; 16; 25; ... (2.1)waar die reeks bestaan uit die vierkante van heelgetalle, is die formule vir die nde-term:an= n2(2.2)Jy kan sien dat dit reg is deur te kyk na:a1= 12=1a2= 22=4a3= 32=9a4= 42=16a5= 52=25...(2.3)Dus, deur (2.2) te gebruik, kan ons n patroon van die vierkante van heelgetalle vorm.Ons kan ook n konstante verskil tussen die terme bepaal vir sekere patrone.Denisie: Konstante verskilDie konstante verskil is die verskil tussen opeenvolgende terme en word aagedui met dieletter d.Byvoorbeeld, beskou die reeks:10; 7; 4; 1; ....Om die gemeenskaplike verskil te vind, trek ons die betrokke termaf van die volgende term.7 10 = 34 7 = 31 4 = 3(2.4)44CHAPTER 2. GETALPATRONE 2.3. NOTASIEOefening2.2: Studeertafelvoortgesit.... Soosvoorheen,studeerjyen3vriendewiskunde, enjullesitrondomnvierkantigetafel. nPaarminute later besluit 2 ander vriende om by julle aan te sluit en wil kom siten julle sit n ekstra tafel by sodat al 6 van julle kan sit.Weereens besluitnog 2 van jou vriende om by julle aan te sluit en julle skuif n derde tafelsodat daar genoeg plek is vir 8 van julle soos in die prentjie:Figuur 2.4:Twee ekstra mense kan sit vir elke tafel wat hulle bysit.Vindnwiskundigeuitdrukkingvirdiegetal mensewatomntafelskansit. Gebruik dan die algemene formule om te bepaal hoeveel mense om12 tafels kan sit en hoeveel tafels is nodig sodat 20 mense kan sit.Oplossing van die OefeningStap 1.Aantal tafels, n Aantal mense wat kan