Wykład 20: Równanielayer.uci.agh.edu.pl/~szkla/20-Schroedinger-17.pdf · Równanie falowe dla struny można wyprowadzić z równania Newtona, natomiast równanie falowe dla fal

01.06.2017 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka

1

Wykład 20: Równanie Schrödingera

Dr inż. Zbigniew Szklarski

Katedra Elektroniki, paw. C-1, pok.321

[email protected]

http://layer.uci.agh.edu.pl/Z.Szklarski/

mailto:[email protected]

http://layer.uci.agh.edu.pl/Z.Szklarski/


2

Równanie Schrödingera – jedno z podstawowych równań nierelatywistycznej mechaniki kwantowej (obok równania Heisenberga), sformułowane przez austriackiego fizyka Erwina Schrödingera w 1926 roku. W nierelatywistycznej mechanice kwantowej odgrywa rolę analogiczną do drugiej zasady dynamiki Newtona w mechanice klasycznej. (Wikipedia 2013)

Uogólnienie przez Schrödingera hipotezy de Broglie’a o falowej naturze materii dało początek mechanice kwantowej.Równanie Schrodingera, przypisuje poruszającej się swobodnie cząstce falę o określonej częstotliwości i długości, a rozwiązaniem tego równania jest funkcja opisująca przemieszczanie się tej fali. Funkcja taka nazywa sie funkcją falową. Funkcja ta jest często funkcją zespoloną i dopiero jej kwadrat ma sens fizyczny.

Fala de Broglie’a jest reprezentowana przez funkcję falową, która dla przypadku jednowymiarowego, dla cząstki swobodnej ma postać równania fali bieżącej.

W notacji zespolonej, jaką zwyczajowo stosuje się w mechanice kwantowej falę tę można zapisać jako: tikxAAetx tkxi sincos),( )(


3

EhhE

2

2oraz k

hp

m

pE

2

2

m

k

m

k

22

222

skoro wiec otrzymujemy tzw. związek dyspersyjny

Związek funkcji falowej z zachowaniem cząstki wyraża się za pośrednictwem gęstości prawdopodobieństwa –(prawdopodobieństwa na jednostkę długości osi X), znalezienia cząstki w pobliżu punktu o współrzędnej x w czasie t.

2* ),(),(),(),( txtxtxtx

tikxAAetx tkxi sincos),( )(*

gdzie

gdzie k i zgodnie z postulatami Einsteina i de Broglie’a są równe:

tikxAAetx tkxi sincos),( )(


4

rdtr 32

),(Dla przypadku trójwymiarowego:

wg interpretacji Maxa Borna jest to prawdopodobieństwo znalezienia

elektronu w chwili t w sześciennym pudełku o objętości d3r wokół

położenia wyznaczonego przez wektor r

Wynika stąd, że

1),( 32rr

dtJest to tzw. warunek normalizacyjny (normalizacja amplitudy A).

Funkcje falowe stosowane do opisu „cząstek” takich jak elektrony

to „fale prawdopodobieństwa”. Tam gdzie amplituda funkcji falowej

jest mała, prawdopodobieństwo znalezienia cząstki jest małe.

Funkcje falowe mają fazy co pozwala im interferować jak wszystkim

innym falom.

PRZYKŁAD


5

Funkcja falowa jest zdefiniowana jedynie w

obszarze 0 ≤ x ≤ L. Obliczyć stałą A korzystając z warunku normalizacji

x

L

nAx

2sin)(

Rozwiązanie

L

dxx0

21)(

L

nAt

2sin),( 222

r

L

dxxL

nA

0

22 12

sin

1sin2

2

0

22 duun

LA

n

podstawiamy otrzymując: u

L

n

2

uu 22 cos1sin skoro 222 sin21sincos2cos

uu 2cos2

1

2

1sin 2 więc


6

nuu

n

2

0

2sin4

1

2

1

12

2 L

AL

A2

?sin2

2

0

22 duun

LA

n

22

sin2

22

2

0

22 LAn

n

LAduu

n

LA

n

n

duu

2

0

2cos2

1

2

1

uu 2cos2

1

2

1sin 2


7

Poszukiwania odpowiedniego równania falowego.

Równanie falowe dla struny można wyprowadzić z równania Newtona, natomiast równanie falowe dla fal elektromagnetycznych można wyprowadzić z równań Maxwella.

Kwantowego równania falowego dla cząstki swobodnejnie da się otrzymać z równań mechaniki klasycznej.

Obliczając pochodne (po t i x) wyjściowego równania

zespolonego fali:)(),( tkxiAetx

)1(),(),(

),(

)( txiAeit

tx

tx

tkxi

otrzymujemy:

)(),( tkxiikAex

tx


8

)2(),(),( 2

),(

)(2

2

2

txkAekx

tx

tx

tkxi

Druga pochodna po x:

Ze związku dyspersyjnego k wyliczamy

i podstawiamy do (2) otrzymując:

mk

22

)3(),(2),(

2

2

txm

x

tx

)4(),(),(1

),(t

txi

t

tx

itx

Z pierwszej pochodnej po czasie (1) wynika że:

Podstawiając (4) do (3)t

txmi

x

tx

),(2),(2

2

stąd

),(

),(txi

t

tx

m

k

2

2


9

Jest to ogólne równanie Schrödingera dla cząsteczki swobodnej o

stałej energii kinetycznej E (nie uwzględniamy energii spoczynkowej).

t

txi

x

tx

m

),(),(

2 2

22


10

Gdy na cząstkę działa siła:

Jeżeli na cząstkę działa siła określona przez energię potencjalną V(x) zależną od położenia cząsteczki, to wówczas zachowana jest energia całkowita cząstki

)(2

)(2

xVm

pxVEE kc czyli jej energia kinetyczna

)(2

2

xVEm

pE ck

uwzględniając to w obliczeniach , otrzymujemy równanie

),()(),(

2 2

22

txxVEx

tx

m


11

),(),()(),(

2 2

22

txEtxxVx

tx

m

Zgodnie z postulatem Einsteina oraz E

więc ostatecznie otrzymujemy:

)5(),(

),()(),(

2 2

22

at

txitxxV

x

tx

m

Jest to ogólne równanie Schrödingera dla cząsteczki poruszającej się w potencjale V(x).

Lub inaczej:

)5(),(

),(ˆ

),(),()(

2 2

22

bt

txitxH

t

txitxxV

xm

nhamiltonia

t

txitx

),(),(


12

Hamiltonian jest operatorem działającym na funkcję falową.

Wartości własne tego operatora reprezentują energię zgodnie z klasyczną formułą:

)(2

2

xVm

pE

Problem rozwiązania równania Schrödingera sprowadza się do znalezienia funkcji własnych i wartości własnych hamiltonianu.


13

Rozwiązanie równania Schrödingera

Aby rozwiązać to cząstkowe równanie różniczkowe szukamy

rozwiązania w postaci iloczynu funkcji, z których każda zależy

tylko od jednej zmiennej występującej w równaniu. Jest to tzw.

metoda separacji zmiennych.

)()(),( txtx

Rozwiązanie takie istnieje o ile energia potencjalna nie zależy w sposób jawny od czasu tzn. można ją zapisać tylko jako V(x).

)5(),(

),()(),(

2 2

22

at

txitxxV

x

tx

m


14

podstawiając to rozwiązanie do (5a):(ogólnego równania Schrödingera)

)()(),( txtx

dt

tdxitxxV

dx

xdt

m

)()()()()(

)()(

2 2

22

)()( tx dzieląc obustronnie przez otrzymujemy:

)6()(

)()(

)(

)(

1

2 2

22

dt

td

t

ixV

dx

xd

xm

Lewa strona równania (6) nie zależy od t, a prawa nie zależy od x. Wynika stąd, że wspólna dla obu stron równania wartość musi być stała. A stała jest dla cząstki

)5(),(

),()(),(

2 2

22

at

txitxxV

x

tx

m

jej energia całkowita.


15

Prawa strona równania:

Edt

td

t

i

)(

)(

)7()()(

1)(tE

iEt

idt

td

Rozwiązaniem równania (7) jest funkcja tet )(

Aby obliczyć : tedt

td

)(

zatem

iEEe

ie tt

Ostatecznie poszukiwana funkcja zależna od czasu dana jest wzorem

8sincos)(

tE

itE

et

iEt

dt

td

t

ixV

dx

xd

xm

)(

)()(

)(

)(

1

2 2

22


16

Lewa strona równania (6)

)6()(

)()(

)(

)(

1

2 2

22

dt

td

t

ixV

dx

xd

xm

ExVdx

xd

xm )(

)(

)(

1

2 2

22

)9()()()()(

2 2

22

xExxVdx

xd

m

Jest to równanie Schrödingera niezależne od czasu – energia potencjalna V(x) jest stała w czasie.


17

Poprawne fizyczne rozwiązania równania Schrödingera istnieją tylko dla niektórych wartości energii E – są to tzw. wartości własne.

Każdej wartości własnej odpowiada funkcja własna (x).

Funkcje własne i ich pochodne muszą mieć następujące właściwości:

muszą być – skończone, jednoznaczne i ciągłe.

Rozwiązaniem ogólnego równania Schrödingera (5a) jest zatem funkcja falowa:

Eti

extx

)(),(

Każdej funkcji własnej (x) odpowiada funkcja falowa (x,t):

tEi

nn

n

extxtxtx

)(),(.., ),,( ),,( 21

)5(),(

),()(),(

2 2

22

at

txitxxV

x

tx

m


18

tEi

nn

n

extx

)(),( gdzie n – to liczba kwantowa.

Skoro każda funkcja falowa jest rozwiązaniem równania Schrödingera, więc kombinacja liniowa tych rozwiązań też jest rozwiązaniem tego równania.

tEi

nn

n

extxtxCtxCtx

)(),(C.. ),(),(),( n2211

gdzie C1,…Cn to stałe.

Żądanie liniowości zapewnia, że będziemy mogli dodawać do siebie funkcje falowe tworząc charakterystyczną dla fal interferencję konstruktywną i destruktywną.


19

Rozwiązanie równania dla cząsteczki swobodnej

Dla cząsteczki swobodnej można założyć, że V(x) = 0 zatem równanie (9) przybierze postać:

)10()()(

2 2

22

xEdx

xd

m

Szukamy rozwiązania w postaci xAex )(

Po podstawieniu do równania (10) otrzymujemy: 2

22 2

2

mEiE

m


20

Zatem szukane rozwiązanie ma postać:

xmE

ixmE

i

BeAex22

22

)(

Np. dla rozwiązania „+” mamy:

x

mEix

mEAAex

xmE

i

22

22

sin2

cos)(2

skoro kpmE

2

2więc ostatecznie

)11(sincos)( kxikxAAex ikx


21

Rozwiązanie dla równania Schrödingera zależnego od czasu ma postać

Eti

extx

)(),(

lecz zgodnie z postulatem Einsteina

E

a zatem rozwiązanie to można zapisać:

tiextx )(),( co po uwzględnieniu (11) daje:

)sin()cos(),( )( tkxiAtkxAAetx tkxi lub

)(

),(

Etpxi

Aetx

Jest to równanie fali bieżącej.

Documents

Wykład 20: Równanielayer.uci.agh.edu.pl/~szkla/20-Schroedinger-17.pdf · Równanie falowe dla struny można wyprowadzić z równania Newtona, natomiast równanie falowe dla fal