1

Zadatak 121 (Sara, gimnazija)

Za koje su realne vrijednosti broja x brojevi ( ) ( )log 2, log 2 1 , log 2 3x x

− + tri uzastopna

člana aritmetičkog niza (slijeda).

Rješenje 121

Ponovimo!

( ) ( )2 2 2

log log log log log log log 210 , , , .n

a a a n a a b a b a b a a b b= = ⋅ ⋅ = + − = − ⋅ ⋅ +

( ) ( ) ( ) ( )log

log l, .og loglog

aca f x g x f x g x

b bc

= = ⇒ =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ + Niz (slijed) je aritmetički ako je razlika svakog člana niza (osim prvog) i člana ispred njega stalna i iznosi d.

5 52 1 3 2 4 3 4 1, , , , , ... , . .6 .a a d a a d a a d a a d a a da d an n−− = =− = − = − = =

−−

, .21a a d nn n− = ≥

−

Broj d naziva se razlika (diferencija) aritmetičkog niza. Aritmetički niz je jednoznačno odreñen ako znamo prvi član a1 i razliku d. Svaki član aritmetičkog niza (osim prvog) jednak je aritmetičkoj sredini dvaju susjednih članova (prethodnika i sljedbenika):

1 1 2 12.1

a an na a a an n n n

+− +

= ⇒ ⋅ = +− +

Brojevi

( ) ( )log 2, log 2 1 , log 2 3x x

− +

tri su uzastopna člana aritmetičkog niza (slijeda) pa vrijedi:

( )( )

( )( )log 2 log 2 3 log 2 log 2 3

log 2 1 log 2 12 2

/ 2

x xx x

+ + + +− = ⇒ = ⋅− ⇒

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

2 log 2 1 log 2 log 2 3 log 2 1 log 2 2 3 2 1 2 2 3 .x x x x x x

⇒ ⋅ − = + + ⇒ − = ⋅ + ⇒ − = ⋅ +

Uvodimo zamjenu (supstituciju)

2 .x

t =

( ) ( ) ( ) ( )

22 1 2 2 3 2 2 2

1 2 3 2 1 2 6 2 1 2 6 0

2

x x

t t t t t t t tx

t

− = ⋅ +⇒ − = ⋅ + ⇒ − ⋅ + = ⋅ + ⇒ − ⋅ + − ⋅ − = ⇒

=

1 , 4 , 52

2 4 5 0 24 5 0 41 , 4 , 5

1,2 2

a b c

t tt t

b b a ca b c t

a

= = − = −

− ⋅ − =⇒ − ⋅ − = ⇒ ⇒ ⇒

− ± − ⋅ ⋅= = − = − =

⋅

( ) ( ) ( )2

4 4 4 1 5 4 16 20 4 36 4 61,2 1,2 1,2 1,22 1 2 2 2t t t t

− − ± − − ⋅ ⋅ − ± + ± ±⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

⋅

4 6 1051 12 2 1 .

4 6 2 122 22 2

t t t

tt t

+= = =

⇒ ⇒ ⇒− = −

= = −

2

Vraćamo se zamjeni (supstituciji).

• logaritmiramo

/ logjednadžbu

22 5 2 5 log 2 log5

5

xt x x x

t

=⇒ = ⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒

=

log 5log 2 log 5 log 2 l

1/

log 2og 5 log 5.2log 2

x x x x⋅⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒ =

• nema rješenja2

2 1 .1

xt x

t

=⇒ = − ⇒

= −

Vježba 121

Za koje su realne vrijednosti broja x brojevi ( ) ( )log 2 3 , log 2 1 , log 2x x

+ − tri uzastopna

člana aritmetičkog niza (slijeda).

Rezultat: log 5.2x =

Zadatak 122 (Vlado, srednja škola)

Razdijeli 280 bombona desetorici učenika tako da svaki idući dobije 2 bombona više. Koliko će dobiti prvi učenik?

Rješenje 122

Ponovimo! Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ + Niz (slijed) je aritmetički ako je razlika svakog člana niza (osim prvog) i člana ispred njega stalna i iznosi d.

5 52 1 3 2 4 3 4 1, , , , , ... , . .6 .a a d a a d a a d a a d a a da d an n−− = =− = − = − = =

−−

, .21a a d nn n− = ≥

−

Broj d naziva se razlika (diferencija) aritmetičkog niza. Aritmetički niz je jednoznačno odreñen ako znamo prvi član a1 i razliku d. Zbroj prvih n članova aritmetičkog niza dan je formulom

( )2 1 .12

ns a n dn = ⋅ ⋅ + − ⋅

Budući da svaki idući dobije 2 bombona više od predhodnog učenika, riječ je o aritmetičkom nizu (slijedu) čija je razlika 2. Uvrstimo poznate vrijednosti u formulu za zbroj prvih n članova aritmetičkog niza.

( )( )

10 , 2 , 28010

280 2 10 1 2 280 5 2 9 21 122 112

n d sn

a ans a n dn

= = =

⇒ = ⋅ ⋅ + − ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⇒= ⋅ ⋅ + − ⋅

280 5 2 18 280 10 90 10 90 2801 1 1a a a⇒ = ⋅ ⋅ + ⇒ = ⋅ + ⇒ ⋅ + = ⇒

10 280 90 10 190 10 190 19.1 1 1 / : 0 11a a a a⇒ ⋅ = − ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

Vježba 122

Razdijeli 140 bombona desetorici učenika tako da svaki idući dobije 2 bombona više. Koliko će dobiti prvi učenik?

Rezultat: 5.

3

Zadatak 123 (Marko, trgovačka škola)

Zadan je niz 3, 7, 11, ... . Odredite a31 i s18.

Rješenje 123

Ponovimo!

Niz (slijed) je aritmetički ako je razlika svakog člana niza (osim prvog) i člana ispred njega stalna i iznosi d.

5 52 1 3 2 4 3 4 1, , , , , ... , . .6 .a a d a a d a a d a a d a a da d an n−− = =− = − = − = =

−−

, .21a a d nn n− = ≥

−

Broj d naziva se razlika (diferencija) aritmetičkog niza. Aritmetički niz je jednoznačno odreñen ako znamo prvi član a1 i razliku d. Opći član aritmetičkog niza s prvim članom a1 i razlikom d ima oblik

( )1 .1a a n dn = + − ⋅

Zbroj prvih n članova aritmetičkog niza dan je formulom

( )2 1 .12

ns a n dn = ⋅ ⋅ + − ⋅

Zadani niz je aritmetički niz. 3 , 7 3 11 7 4.1a d= = − = − =

Računamo član a31 i zbroj s18.

• ( )

( )11 3 31 1 4 3 30 431 313 , 41

a a n dna a

a d

= + − ⋅⇒ = + − ⋅ ⇒ = + ⋅ ⇒

= =

3 120 123.31 31a a⇒ = + ⇒ =

• ( )

( ) [ ]2 1 1812 2 3 18 1 4 9 6 17 418 1823 , 41

ns a n dn

s s

a d

= ⋅ ⋅ + − ⋅⇒ = ⋅ ⋅ + − ⋅ ⇒ = ⋅ + ⋅ ⇒

= =

[ ]9 6 68 9 74 666.18 18 18s s s⇒ = ⋅ + ⇒ = ⋅ ⇒ =

Vježba 123

Zadan je niz 3, 7, 11, ... . Odredite a21.

Rezultat: 83. Zadatak 124 (Marko, trgovačka škola)

Napiši prva tri člana geometrijskog niza ako je a2 = 3 i a5 = 81.

Rješenje 124

Ponovimo!

, .n

a nn m na a am

a

−= =

Niz (an) je geometrijski niz ako je svaki član niza, počevši od drugog, jednak prethodnom članu pomnoženom s konstantom q ≠ 0, tj.

1 .a a qnn= ⋅

+

Broj q naziva se količnik (kvocijent) geometrijskog niza. Niz je geometrijski ako je omjer svakog člana i člana ispred njega stalan:

.1

an qan

=

−

Opći član geometrijskog niza s prvim članom a1 i količnikom q ima oblik

4

1 ., 11n

a a q nn−

= ⋅ ≥

Budući da je niz geometrijski, slijedi: 4

podijelimo 1jednadžbe

433 1 81 812 1481 3 3815 1 11

a

a

a qa a q

a qq q

q

a a

⋅ == ⋅ ⋅⇒ ⇒ ⇒ = ⇒

⋅= ⇒

= ⋅⋅ =

33 3 3327 27 27 33

/ 3 .q q q q q⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

Računamo prvi član a1 geometrijskog niza.

3 32 1 3 3 3 3 1.1 1 13 3/ : 3

a a qa a a

q q

= ⋅ =⇒ ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

= =

Prva tri člana geometrijskog niza glase: 1, 3, 9, ... .

Vježba 124

Napiši prva tri člana geometrijskog niza ako je a2 = 2 i a5 = 16.

Rezultat: 1, 2, 4, ... . Zadatak 125 (Maturantice, ekonomska škola)

Zadan je opći član aritmetičkog niza ( )2 4, .a n p p Rn = ⋅ + − ∈

a) Zapišite prvi član toga niza. b) Izračunajte vrijednost realnog broja p ako je zbroj prvih pet članova toga niza jednak 60.

Rješenje 125

Ponovimo!

, .1

n a c a cn

b d b d

⋅= ⋅ =

⋅

Niz (an) je aritmetički niz ako je svaki član niza, počevši od drugog, jednak prethodnom članu uvećanom za konstantu d, tj.

1 .a a dnn= +

+

Broj d naziva se razlika (diferencija) aritmetičkog niza. Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Zbroj prvih n članova aritmetičkog niza dan je formulom

.12

ns a an n= ⋅ +

a)

( )( )

2 42 1 4 2 2 4 2 21 1 11

a n pna p a p a p

n

= ⋅ + −⇒ = ⋅ + − ⇒ = + ⋅ − ⇒ = ⋅ − ⇒

=

( )2 1 .1a p⇒ = ⋅ −

b)

( ) ( )

( )

( )

2 1 41

2512 5 512

5

5 45

605

ns a an n

a p

a p

s

s a a

n

= ⋅ +⇒

= ⋅ + −

= ⋅ + −

=

= ⋅ + ⇒ ⇒

=

( ) ( )( )5

60 2 1 4 2 5 42

p p⇒ = ⋅ ⋅ + − + ⋅ + − ⇒

5

( ) ( )5 5

60 2 2 4 10 2 4 60 4 42 2

p p p⇒ = ⋅ + ⋅ − + + ⋅ − ⇒ = ⋅ ⋅ + ⇒

( ) ( ) ( ) ( )5 5 4 5 5 2

60 4 1 60 1 60 1 60 12 2 1 1 1 1

4

2p p p p⇒ = ⋅ ⋅ + ⇒ = ⋅ ⋅ + ⇒ = ⋅ ⋅ + ⇒ = ⋅ ⋅ + ⇒

( ) ( ) ( )60 10 1 10 1 / : 1060 10 1 60 1 6p p p p⇒ = ⋅ + ⇒ ⋅ + = ⇒ ⋅ + = ⇒ + = ⇒

6 1 5.p p⇒ = − ⇒ =

Vježba 125

Zadan je opći član aritmetičkog niza ( )2 4, .a n p p Rn = ⋅ + − ∈ Zapišite drugi član toga niza.

Rezultat: 2 .2a p= ⋅

Zadatak 126 (Matija, gimnazija)

Pri penjanju na neku planinu izmjereno je da na svakih 100 metara visine temperatura zraka pada za 0.7 °C. Na vrhu planine temperatura je iznosila 14.8 °C. Istodobno je bila 26 °C pri tlu na 0 metara nadmorske visine. Kolika je visina planine?

. 1500 . 1600 . 1700 . 18500A m B m C m D m

Rješenje 126

Ponovimo!

, .1

n a c a cn

b d b d

⋅= ⋅ =

⋅

Niz (slijed) je aritmetički ako je razlika svakog člana niza (osim prvog) i člana ispred njega stalna i iznosi d.

5 52 1 3 2 4 3 4 1, , , , , ... , . .6 .a a d a a d a a d a a d a a da d an n−− = =− = − = − = =

−−

, .21a a d nn n− = ≥

−

Broj d naziva se razlika (diferencija) aritmetičkog niza. Aritmetički niz je jednoznačno odreñen ako znamo prvi član a1 i razliku d. Opći član aritmetičkog niza s prvim članom a1 i razlikom d ima oblik

( )1 .1a a n dn = + − ⋅

Uočimo da je u zadatku zadan aritmetički niz za koji je

( )

( )

( )

0.7 minus jer temperatura pada

14.8 temperatura na vrhu planine .

26 temperatura na tlu1

d

an

a

= −

=

=

Računamo n broj članova zadanog niza.

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 11 1 1 11

/a a n d a n d a n d a a n d a an n nd

n= + − ⋅ ⇒ + − ⋅ = ⇒ − ⋅ = − ⇒ − = ⋅⋅ − ⇒

14.8 261 11 1 1 17.0.7

a a a an nn n n n

d d

− − −⇒ − = ⇒ = + ⇒ = + ⇒ =

−

Budući da je početna temperatura a1 izmjerena na 0 metara nadmorske visine, a konačna temperatura je a17, visina planine iznosi:

( )17 1 100 16 100 1600 .m m m− ⋅ = ⋅ =

Odgovor je pod B.

6

an

a1

Vježba 126

Pri penjanju na neku planinu izmjereno je da na svakih 100 metara visine temperatura zraka pada za 1.4 °C. Na vrhu planine temperatura je iznosila 29.6 °C. Istodobno je bila 52 °C pri tlu na 0 metara nadmorske visine. Kolika je visina planine?

. 1500 . 1600 . 1700 . 18500A m B m C m D m Rezultat: B. Zadatak 127 (Nevzat, srednja škola)

12 3 4 5 6 2011

1 2011 2011 2011 2011 2011 2011 ... 2011 , ?2010

xx

−+ + + + + + + + = =

Rješenje 127

Ponovimo! 0 1

,1 , .n m n m

a a a a a a+

= = ⋅ =

Niz (an) je geometrijski niz ako je svaki član niza, počevši od drugog, jednak prethodnom članu pomnoženom s konstantom q ≠ 0, tj.

1 .a a qnn= ⋅

+

Broj q naziva se količnik (kvocijent) geometrijskog niza. Zbroj prvih n članova geometrijskog niza je

1

1., 11

nq

s a qnq

−= ⋅ ≠

−

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

1.inačica 12 3 4 5 6 2011

1 2 011 2 011 2 011 2 011 2 011 2 011 ... 2 0112 010

x −+ + + + + + + + = ⇒

10 1 2 3 4 5 6 20112 011 2 011 2 011 2 011 2 011 2 011 2 011 ... 2 011

2 010

x −⇒ + + + + + + + + = ⇒

02 011 11

na lijevoj je strani 2 0122 011

članova geometrijskog niza12

a

q

n

= =

=

=

⇒ ⇒ ⇒

2012 2012 20122011 1 1 2011 1 1 2011 1 10

2011 12011 1 2010 2011 1 2010 2011 1 2010

x x x− − − − − −⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒

− − −

2012 20122011 1 1 2011 1 1 2012

2011 1 12010 2010 2010

/ 20102010

x xx

− − − −⇒ = ⇒ = ⇒ − = −⋅ ⇒

2012 201220111 .1 2011x x− −⇒ = ⇒ =

2.inačica

7

12 3 4 5 6 20111 2011 2011 2011 2011 2011 2011 ... 2011

2010

x −+ + + + + + + + = ⇒

( ) 12 3 4 5 6 20111 2011 2011 2011 2011 2011 2011 ... 2011

2010

x −⇒ + + + + + + + + = ⇒

20111u zagradi je 2011

2011članova geometrijskog niza

11

a

q

n

=

=

=

⇒ ⇒ ⇒

2011 20112011 1 1 2011 1 1

1 2011 1 20112011 1 2010 2010 2010

x x− − − −⇒ + ⋅ = ⇒ + ⋅ = ⇒

−

( )2011

2011 1 1 201/

11 2011 2010 2011 2011 1 1

2010 2011

020 0

xx⋅

− −⇒ + ⋅ = ⇒ + ⋅ − = − ⇒

2011 20112010 2011 2011 2011 1 2011 2011 1 1x x⇒ + ⋅ − = − ⇒ ⋅ − = − ⇒

2011 2011 20112011 2011 2011 2011 20111 1 2011x x x⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ = ⋅− − ⇒

1 2011 20122011 2011 2011 .x x⇒ = ⋅ ⇒ =

Vježba 127

12 3 4 5 6 2011

2011 2011 2011 2011 2011 2011 ... 2011 , ?2010

xx

−+ + + + + + + = =

Rezultat: ( )20112011 2011 1 .x = ⋅ −

Zadatak 128 (Ivana, srednja škola)

U geometrijskom nizu s pozitivnim članovima prvi je član jednak zbroju drugoga i trećega. Koliki je količnik toga niza?

Rješenje 128

Ponovimo!

Niz (an) je geometrijski niz ako je svaki član niza, počevši od drugog, jednak prethodnom članu pomnoženom s konstantom q ≠ 0, tj.

1 .a a qnn= ⋅

+

Broj q naziva se količnik (kvocijent) geometrijskog niza. Opći član geometrijskog niza s prvim članom a1 i kvocijentom q ima oblik

1 ., 11n

a a q nn−

= ⋅ ≥

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Da bi umnožak bio jednak nuli, dovoljno je da jedan faktor bude jednak nuli.

0 0 ili 0 il .i 0a b a b a b⋅ = ⇔ = = = =

Budući da je prvi član geometrijskog niza jednak zbroju drugog i trećeg, vrijedi jednadžba:

20 01 2 3 3 2 1 3 2 1 1 1 1a a a a a a a a a a q a q a= + ⇒ + = ⇒ + − = ⇒ ⋅ + ⋅ − = ⇒

8

( )2012 2 1 0

1 0 1 01 2 1 , 1 , 11 0

nema smislaaq q

a q q q qa b cq q

=+ − =

⇒ ⋅ + − = ⇒ ⇒ + − = ⇒ ⇒= = = −+ − =

( )1 , 1 , 1 2

1 1 4 1 1 1 1 42

4 1,2 1,22 1 21,2 2

a b c

q qb b a c

qa

= = = −− ± − ⋅ ⋅ − − ± +

⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒− ± − ⋅ ⋅ ⋅=

⋅

uvjet da članovi1 5

1

bud

1 5 1 5 5 12

u poziti.1,2 2 2 21 5

2 2

vni

q

q q q

q

− +=

− ± − + −⇒ = ⇒ ⇒ ⇒ = ⇒ =

− −=

Vježba 128

U geometrijskom nizu s pozitivnim članovima prvi je član jednak četvrtini trećega. Koliki je količnik toga niza?

Rezultat: 2. Zadatak 129 (Milena, gimnazija)

Na šahovsku ploču dimenzije 8x8 polja stavimo zrna riže. Na prvo polje stavimo tri zrna, na drugo dva zrna više nego na prvo, na treće dva zrna više nego na drugo i tako redom. Koliko smo ukupno stavili zrna riže na šahovsku ploču?

Rješenje 129

Ponovimo!

Niz (slijed) je aritmetički ako je razlika svakog člana niza (osim prvog) i člana ispred njega stalna i iznosi d.

5 52 1 3 2 4 3 4 1, , , , , ... , . .6 .a a d a a d a a d a a d a a da d an n−− = =− = − = − = =

−−

, .21a a d nn n− = ≥

−

Broj d naziva se razlika (diferencija) aritmetičkog niza. Aritmetički niz je jednoznačno odreñen ako znamo prvi član a1 i razliku d. Zbroj prvih n članova aritmetičkog niza dan je formulom

( )2 1 .12

ns a n dn = ⋅ ⋅ + − ⋅

Budući da na prvo polje šahovske ploče stavimo tri zrna riže, a na svako sljedeće dva zrna više riječ je o aritmetičkom nizu čiji je prvi član a1 = 3, a razlika d = 2. Šahovska ploča ima 64 polja pa je broj članova n = 64. Ukupan broj zrna riže na šahovskoj ploči jednak je sumi prvih 64 članova aritmetičkog niza.

( )( ) [ ]

3 , 2 , 641 642 3 64 1 2 32 2 3 63 264 6422 112

a d n

s sns a n dn

= = =

⇒ = ⋅ ⋅ + − ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⇒= ⋅ ⋅ + − ⋅

[ ]32 6 126 32 132 4 224.64 64 64s s s⇒ = ⋅ + ⇒ = ⋅ ⇒ =

Vježba 129

9

Na šahovsku ploču dimenzije 8x8 polja stavimo zrna riže. Na prvo polje stavimo tri zrna, na drugo pet zrna više nego na prvo, na treće pet zrna više nego na drugo i tako redom. Koliko smo ukupno stavili zrna riže na šahovsku ploču?

Rezultat: 10272. Zadatak 130 (MKN, gimnazija)

Prvi član geometrijskog niza je 16. Za treći i četvrti član tog niza vrijedi 3

.4 32a a= ⋅

Izračunajte sedmi član niza.

Rješenje 130

Ponovimo!

.n n

a an

b b

=

Niz (an) je geometrijski niz ako je svaki član niza, počevši od drugog, jednak prethodnom članu pomnoženom s konstantom q ≠ 0, tj.

1 .a a qnn= ⋅

+

Broj q naziva se količnik (kvocijent) geometrijskog niza. Opći član geometrijskog niza s prvim članom a1 i kvocijentom q ima oblik

1 ., 11n

a a q nn−

= ⋅ ≥

Ili ovako: Niz je geometrijski ako je omjer svakog člana (osim prvog) i člana ispred njega stalan:

.1

an qan

=

−

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Da bi umnožak bio jednak nuli, dovoljno je da jedan faktor bude jednak nuli.

0 0 ili 0 il .i 0a b a b a b⋅ = ⇔ = = = =

Najprije izračunamo količnik q geometrijskog niza.

( )3 3 33 2 3 2

4 3 1 1 1 / : jer je 02 2 112 1a a a q a q aa a aq q= ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ ≠= ⇒

2 20 03 3 33 2 3 2 2

0 0 3 32 2 2 0 02 2

/q q

q q q q q q

q q

= =

⇒ = ⋅ ⇒ − ⋅ = ⇒ ⋅ − = ⇒ ⇒ ⇒− = − =

nema smisla01,2 3.3 2

3 2

q

qq

=

⇒ ⇒ =

=

Tada sedmi član iznosi:

166

3 6 616 , 3 3 729 7291 2 16 16 167 7 7 762 646 27

41

a qa a a a

a a q

= =

⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒

= ⋅

729182.25.7 74

a a⇒ = ⇒ =

Vježba 130

10

Prvi član geometrijskog niza je 16. Za treći i četvrti član tog niza vrijedi 3

.4 32a a= ⋅

Izračunajte peti član niza.

Rezultat: 81. Zadatak 131 (Dino, gimnazija)

Opći član niza je 24.2 0.6 .a nn = − ⋅ Koliki je zbroj svih pozitivnih članova niza?

Rješenje 131

Ponovimo! 0 .,a b c a c b c> < ⇒ ⋅ < ⋅

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Niz (slijed) je aritmetički ako je razlika svakog člana niza (osim prvog) i člana ispred njega stalna i iznosi d.

5 52 1 3 2 4 3 4 1, , , , , ... , . .6 .a a d a a d a a d a a d a a da d an n−− = =− = − = − = =

−−

, .21a a d nn n− = ≥

−

Broj d naziva se razlika (diferencija) aritmetičkog niza. Aritmetički niz je jednoznačno odreñen ako znamo prvi član a1 i razliku d. Svaki član aritmetičkog niza (osim prvog) jednak je aritmetičkoj sredini dvaju susjednih članova (prethodnika i sljedbenika):

1 1 2 12.1

a an na a a an n n n

+− += ⇒ ⋅ = +

− +

Zbroj prvih n članova aritmetičkog niza dan je formulom

( )2 1 .12

ns a n dn = ⋅ ⋅ + − ⋅

Tražimo broj svih pozitivnih članova niza.

( )0 24.2 0.6 0 0.6 24.2 0.6 / :24.2 40.33.0.6a n n n nn > ⇒ − ⋅ > ⇒ − ⋅ > − ⇒ − ⋅ > ⇒ <−−

Pozitivnih članova niza ima četrdeset, n = 40. Provjerimo je li to aritmetički niz!

( ) ( ) ( )2 2 24.2 0.6 24.2 0.6 1 24.2 0.6 11 1a a a n n nn n n⋅ = + ⇒ ⋅ − ⋅ = − ⋅ − + − ⋅ + ⇒

− +

48.4 1.2 24.2 0.6 0.6 24.2 0.6 0.6n n n⇒ − ⋅ = − ⋅ + + − ⋅ − ⇒

48.4 1.2 24.2 0.6 24.2 0.6 48.4 1.2 24.2 0.6 20.6 4. .6 2. 60 0n n n n n n+ −⇒ − ⋅ = − ⋅ + − ⋅ ⇒ − ⋅ = − ⋅ + − ⋅ ⇒

48.4 1.2 48.4 1.2 .n n⇒ − ⋅ = − ⋅ To je aritmetički niz. Sada je

1 , 24.2 0.6 1 23.61 140 , 24.2 0.6 40 0.240 40

n a a

n a a

= = − ⋅ =⇒

= = − ⋅ =

pa zbroj svih pozitivnih članova niza iznosi:

[ ] [ ]

40 , 23.6 , 0.21 40 4023.6 0.2 23.6 0.240 40 402

4

40

20 1 402

n a a

s ss a a

= = =

⇒ = ⋅ + ⇒ = ⋅ + ⇒= ⋅ +

20 23.8 476.40 40s s⇒ = ⋅ ⇒ =

11

Vježba 131

Opći član niza je 24.2 0.6 .a nn = − ⋅ Kolika je razlika a5 – a10?

Rezultat: 3. Zadatak 132 (Anamaria, srednja škola)

Prizemlje zgrade visoko je 4 metra, a svaki kat iznad prizemlja 3 metra. Zgrada ukupno ima 12 katova uključivši i prizemlje. Koliko je zgrada visoka?

Rješenje 132

Ponovimo!

Niz (slijed) je aritmetički ako je razlika svakog člana niza (osim prvog) i člana ispred njega stalna i iznosi d.

5 52 1 3 2 4 3 4 1, , , , , ... , . .6 .a a d a a d a a d a a d a a da d an n−− = =− = − = − = =

−−

, .21a a d nn n− = ≥

−

Broj d naziva se razlika (diferencija) aritmetičkog niza. Aritmetički niz je jednoznačno odreñen ako znamo prvi član a1 i razliku d. Opći član aritmetičkog niza s prvim članom a1 i razlikom d ima oblik

( )1 .1a a n dn = + − ⋅

Uočimo da je riječ o aritmetičkom nizu koji ima prvi član a1 = 4, a razliku d = 3. Tražena visina zgrade (računamo na kojoj se visini nalazi 12. kat) jednaka je:

( )( )

12 , 4 , 31 4 12 1 3 4 11 3 37.12 12 1211

n a da a a

a a n dn

= = = ⇒ = + − ⋅ ⇒ = + ⋅ ⇒ =

= + − ⋅

Zgrada je visoka 37 metara.

Vježba 132

Prizemlje zgrade visoko je 4 metra, a svaki kat iznad prizemlja 3 metra. Zgrada ukupno ima 16 katova uključivši i prizemlje. Koliko je zgrada visoka?

Rezultat: 49 m. Zadatak 133 (Matea, gimnazija)

Izračunajte zbroj prvih sto zajedničkih članova aritmetičkih nizova: 17, 21, 25, 29, 33, ... i 16, 21, 26, 31, 36, ...!

Rješenje 133

Ponovimo!

Niz (slijed) je aritmetički ako je razlika svakog člana niza (osim prvog) i člana ispred njega stalna i iznosi d.

5 52 1 3 2 4 3 4 1, , , , , ... , . .6 .a a d a a d a a d a a d a a da d an n−− = =− = − = − = =

−−

, .21a a d nn n− = ≥

−

Broj d naziva se razlika (diferencija) aritmetičkog niza. Aritmetički niz je jednoznačno odreñen ako znamo prvi član a1 i razliku d. Zbroj prvih n članova aritmetičkog niza dan je formulom

( )2 1 .12

ns a n dn = ⋅ ⋅ + − ⋅

12

Najmanji zajednički višekratnik dvaju ili više brojeva je najmanji broj koji je djeljiv sa zadanim brojevima. U zadanim nizovima

17, 21, 25, 29, 33, ... i 16, 21, 26, 31, 36, ... prvi zajednički član je a1 = 21. Razlika prvog aritmetičkog niza je

21 17 25 21 29 25 ... 4,1d = − = − = − = =

a drugoga 21 16 26 21 31 26 ... 52d = − = − = − = =

pa je razlika traženog aritmetičkog niza jednaka najmanjem zajedničkom višekratniku od d1 i d2.

4 5 20.1 2d d d d d= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =

Zbroj prvih sto zajedničkih članova zadanih aritmetičkih nizova iznosi:

( )( ) [ ]

100 , 21 , 201 1002 21 100 1 20 50 42 99 20100 10022 112

n a d

s sns a n dn

= = =

⇒ = ⋅ ⋅ + − ⋅ ⇒ = ⋅ + ⋅ ⇒= ⋅ ⋅ + − ⋅

[ ]50 42 1980 50 2 022 101100.100 100 100s s s⇒ = ⋅ + ⇒ = ⋅ ⇒ =

Vježba 133

Izračunajte zbroj prvih pedeset zajedničkih članova aritmetičkih nizova: 17, 21, 25, 29, 33, ... i 16, 21, 26, 31, 36, ...!

Rezultat: 25 550. Zadatak 134 (XY, gimnazija)

Zadan je niz (a + x)2, a2 + x2, (a – x)2, .... Dokazati da je to aritmetički niz.

Rješenje 134

Ponovimo!

( ) ( )2 22 2 2 2

2 2, .x y x x y y x y x x y y+ = + ⋅ ⋅ + − = − ⋅ ⋅ +

Niz (slijed) je aritmetički ako je razlika svakog člana niza (osim prvog) i člana ispred njega stalna i iznosi d.

5 52 1 3 2 4 3 4 1, , , , , ... , . .6 .a a d a a d a a d a a d a a da d an n−− = =− = − = − = =

−−

, .21a a d nn n− = ≥

−

Broj d naziva se razlika (diferencija) aritmetičkog niza. Aritmetički niz je jednoznačno odreñen ako znamo prvi član a1 i razliku d. Zakon distribucije množenja prema zbrajanju glasi:

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Treba provjeriti razliku izmeñu dva susjedna člana niza.

( )

( ) ( )( )

22 2 2 2 2 22

2 2 2 2 2 2 22

d a x a x d a x a a x x

d a x a xd a a x x a x

= + − + = + − + ⋅ ⋅ +⇒ ⇒

= − − += − ⋅ ⋅ + − −

2 2 22 2 2 22 2 2

.2 2 2 2

2

2 2 2 2 22 2

d a x a a x x d a x d a x

d a xd

a x a x

aa a x aa x d a xx x x

= + − − ⋅ ⋅ − = − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅⇒ ⇒ ⇒

= − ⋅ ⋅= − ⋅ ⋅ + − − = − ⋅ ⋅

+ − −

+ − −

Budući da je razlika jednaka niz je aritmetički.

13

Vježba 134

Zadan je niz (a – x)2, a2 + x2, (a + x)2, .... Dokazati da je to aritmetički niz.

Rezultat: Dokaz analogan. Zadatak 135 (Maja, ekonomska škola)

Opći član aritmetičkog niza je an = 81, prvi član 4, a razlika 7. Potrebno je:

a) odrediti broj članova niza, b) odrediti sumu prvih n članova. Rješenje 135

Ponovimo!

Niz (slijed) je aritmetički ako je razlika svakog člana niza (osim prvog) i člana ispred njega stalna i iznosi d.

5 52 1 3 2 4 3 4 1, , , , , ... , . .6 .a a d a a d a a d a a d a a da d an n−− = =− = − = − = =

−−

, .21a a d nn n− = ≥

−

Broj d naziva se razlika (diferencija) aritmetičkog niza. Aritmetički niz je jednoznačno odreñen ako znamo prvi član a1 i razliku d. Zakon distribucije množenja prema zbrajanju glasi:

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Opći član aritmetičkog niza s prvim članom a1 i razlikom d ima oblik

( )1 .1a a n dn = + − ⋅

Zbroj prvih n članova aritmetičkog niza dan je formulom

( )2 1 .12

ns a n dn = ⋅ ⋅ + − ⋅

a) Računamo n broj članova niza tako da u formulu za opći član niza uvrstimo zadane vrijednosti za an, a1 i d.

( )

( )

81

4181 4 1 7 81 4 7 7 7 4 7 81

7

11

an

an n n

d

a a n dn

=

=⇒ = + − ⋅ ⇒ = + ⋅ − ⇒ − ⋅ = − − ⇒

=

= + − ⋅

( )7 84 7 / : 784 12.n n n⇒ − ⋅ = − ⇒ − ⋅ = ⇒ =−−

Niz ima 12 članova. b) Računamo sumu prvih 12 članova niza tako da u formulu za sumu prvih n članova niza uvrstimo zadane vrijednosti za n, a1 i d.

( )

( ) [ ]1

12

41 122 4 12 1 7 8 11 77 12 1

2

222

2 112

n

a

s sd

ns a n dn

=

=

⇒ = ⋅ ⋅ + − ⋅ ⇒ = ⋅ + ⋅ ⇒=

= ⋅ ⋅ + − ⋅

[ ]6 8 77 6 85 510.12 12 12s s s⇒ = ⋅ + ⇒ = ⋅ ⇒ =

Vježba 135

Opći član aritmetičkog niza je an = 46, prvi član 4, a razlika 7. Potrebno je odrediti broj članova niza.

Rezultat: n = 7.

14

Zadatak 136 (Maja, ekonomska škola)

Za koji x su brojevi 1 1 1

, ,1 2 4x x x+ − −

uzastopni članovi geometrijskog niza (slijeda)?

Rješenje 136

Ponovimo!

( )2 2 2

2, , .n n

a a a cx y x x y y a d b cn

b b db= − = − ⋅ ⋅ + = ⇒ ⋅ = ⋅

.a c a c

b d b d

⋅⋅ =

⋅

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ + Množenje zagrada

( ) ( ) .a b c d a c a d b c b d+ ⋅ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

Niz (an) je geometrijski niz ako je svaki član niza, počevši od drugog, jednak prethodnom članu pomnoženom s konstantom q ≠ 0, tj.

1 .a a qnn= ⋅

+

Broj q naziva se količnik (kvocijent) geometrijskog niza. Niz je geometrijski ako je omjer svakog člana i člana ispred njega stalan:

.1

an qan

=

−

Opći član geometrijskog niza s prvim članom a1 i količnikom q ima oblik 1 ., 11

na a q nn

−= ⋅ ≥

Neka su x i y pozitivni brojevi. Tada je njihova geometrijska sredina definirana izrazom

.G x y= ⋅

Niz je geometrijski ako je svaki član (osim prvog) geometrijska sredina dvaju susjednih članova.

211 1 1 1.

1

aan n a a a a a an nn n n na ann

+= ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅− + − +

−

Prema uvjetu zadatka brojevi 1 1 1

, ,1 2 4x x x+ − −

uzastopni su članovi geometrijskog niza pa vrijedi:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

21 1 1 1 1 2

1 4 222 1 4 1 42x x x

x x x x xx

= ⋅ ⇒ = ⇒ + ⋅ − = − ⇒− + − + ⋅ −−

2 24 4 4

2 244 44 4x x x x x xxx x x⇒ − ⋅ + − = − ⋅ + ⇒ − ⋅ − ⋅+ − = + ⇒

4 4 4 4 8.x x x⇒ − = ⇒ = + ⇒ =

Vježba 136

Za koji x su brojevi 1 1 1

, ,1 2 4x x x+ + +

uzastopni članovi geometrijskog niza (slijeda)?

Rezultat: x = 0. Zadatak 137 (Maja, ekonomska škola)

Četvrti član geometrijskog niza je 243, a količnik – 3. Potrebno je odrediti prvi član i zbroj prva 4 člana niza.

15

Rješenje 137

Ponovimo!

Niz (an) je geometrijski niz ako je svaki član niza, počevši od drugog, jednak prethodnom članu pomnoženom s konstantom q ≠ 0, tj.

1 .a a qnn= ⋅

+

Broj q naziva se količnik (kvocijent) geometrijskog niza. Niz je geometrijski ako je omjer svakog člana i člana ispred njega stalan:

.1

an qan

=

−

Opći član geometrijskog niza s prvim članom a1 i količnikom q ima oblik 1 ., 11

na a q nn

−= ⋅ ≥

Zbroj prvih n članova geometrijskog niza je

1

1., 11

nq

s a qnq

−= ⋅ ≠

−

Računamo prvi član geometrijskog niza tako da u formulu za opći član niza uvrstimo zadane vrijednosti za a4 i q.

( )

243 2434 43

3 3 243 3 243 271 11 3

1 4 1

a a

q q a a

na a q a a qn

= =

= − ⇒ = − ⇒ = ⋅ − ⇒ = − ⋅ ⇒

−= ⋅ = ⋅

27 243 27 243 9.1 1 / : 27 1a a a⇒ ⋅ = − ⇒ ⋅ = − ⇒ = −

Računamo sumu prva 4 člana niza tako da u formulu za sumu prvih n članova niza uvrstimo zadane vrijednosti za n, a1 i q.

( )

44

99 411 3 1 81 13 9 93 4 43 1 4

41 11 4 11 1

nn

aa

q s sq

nq q

s a s anq q

==

= −= −− − −

= −⇒ ⇒ = − ⋅ ⇒ = − ⋅ ⇒= −− − −

− −= ⋅ = ⋅

− −

80 809 9 9 20 180.4 4 4 44 4

s s s s⇒ = − ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =−

Vježba 137

Četvrti član geometrijskog niza je 243, a količnik 3. Potrebno je odrediti prvi član niza.

Rezultat: a1 = 9. Zadatak 138 (Anto, gimnazija)

Zbroj prvih triju članova geometrijskog niza jednak je 7, zbroj njihovih kvadrata iznosi 21. Koji je to niz?

Rješenje 138

Ponovimo!

Niz (an) je geometrijski niz ako je svaki član niza, počevši od drugog, jednak prethodnom članu pomnoženom s konstantom q ≠ 0, tj.

1 .a a qnn= ⋅

+

Broj q naziva se količnik (kvocijent) geometrijskog niza.

16

Niz je geometrijski ako je omjer svakog člana i člana ispred njega stalan:

.1

an qan

=

−

Opći član geometrijskog niza s prvim članom a1 i količnikom q ima oblik 1 ., 11

na a q nn

−= ⋅ ≥

( ) ( ) ( ) ( )2, , , .2 ,n n ma a b a bn n n n n m

a b a b a b a b a b a a anb c cb

⋅ ⋅⋅ = ⋅ − ⋅ + = − = ⋅ = =

( )2 2 22 , .

a ca b a a b b a d b c

b d+ = + ⋅ ⋅ + = ⇒ ⋅ = ⋅

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ + Proširiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka pomnožiti istim brojem različitim od nule i jedinice

, 0 ., 1a a n

n nb b n

⋅= ≠ ≠

⋅

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )22 2 2 2

1 1 12 2

1 1 a a a a aa a aa a + + ⋅ + − = +⋅ − + = −+ + =

4 21

4 2 22 1 .a a a a a=− += + ++ ⋅

, , .1

a

n a c a d b c a dbncb d b d b c

d

⋅ + ⋅ ⋅= + = =

⋅ ⋅

Postavimo sustav jednadžbi.

( ) ( )

( )

( )

2 227 1 771 1 1 11 1 122 2 2 2 2 4 2 2 42 2 21 1 2121 1 1 1 11 1 1

a a q a q a q qa a q a q

a a q a q a q qa a q a q

+ ⋅ + ⋅ = ⋅ + + =+ ⋅ + ⋅ =⇒ ⇒ ⇒

+ ⋅ + ⋅ = ⋅ + + =+ ⋅ + ⋅ =

( )

( )

( )

( ) ( )

722 1 71 7 1 1 21 12 4 2 2 4 2 2 4 21 21 1 21 1 211 1

1/ 2

1

1

a q q aa q qq q

a q q a q q a q q

q q

⋅ + + = =⋅ + + =+ +⇒ ⇒ ⇒ ⇒

⋅ + + = ⋅ +

⋅

+ = +

+

⋅ + =

+

( )( )

( )2 2

7 74 2 4 21 21 1 212

metoda

sups 221 1titucije

q q q q

q qq q

⇒ ⇒ ⋅ + + = ⇒ ⋅ + + = ⇒+ +

+ +

( )

( )

( )

( ) ( )

4 2 4 2 4 249 1 49 1 1 2121 21

2 2 2 492 2 21 1

1/

491

q q q qq q

q q q q q q

⋅ + + ⋅ + ++ +

⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

+ + + + +

⋅

+

17

( ) ( ) ( ) ( )21

49

4 2 4 2 4 21 1 3 1 32 2 2 27 72 2 1 11 1

q q q q q q

q q q qq q q q

+ + + + + +⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

+ + ⋅ + ++ + + +

( ) ( )

2proširivanje razlomka, 12razlika kvad

4 21

rata 1

32 2 71 1

q q

q q q

q q

q qq

+ +⇒ ⇒ ⋅ = ⇒

+ + +

+

⋅ +

−

− +

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

4 2 2 4 2 21 1 1 13 3

2 4 22 2 2 7 71 11 1 1

q q q q q q q q

q q q qq q q q q q

+ + ⋅ − + + + ⋅ − +

⇒ = ⇒ = ⇒+ + ⋅ + ++ + ⋅ + + ⋅ − +

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )2 21 3 1 3 2 2

7 1 3 122 7 7

4 21

114 2

1

q qq q

q q

q

q q

q

q q q qq q

⋅ − +− +

⇒ = ⇒ = ⇒ ⋅ − + = ⋅ + + ⇒+++

+ +

+ ++ ⋅

2 2 2 27 7 7 3 3 3 7 7 7 3 3 3 0q q q q q q q q⇒ ⋅ − ⋅ + = ⋅ + ⋅ + ⇒ ⋅ − ⋅ + − ⋅ − ⋅ − = ⇒

2 2 24 10 4 0 4 10 4 0 2 2 2 0/ 5:q q q q q q⇒ ⋅ − ⋅ + = ⇒ ⋅ − ⋅ + = ⇒ ⋅ − ⋅ + = ⇒

( ) ( )2 , 5 , 2 22 5 5 4 2 22 5 2 0 2

4 1,2 2 22 , 5 , 21,2 2

a b c

q qq

b b a ca b c q

a

= = − =− − ± − − ⋅ ⋅⋅ − ⋅ + =

⇒ ⇒ ⇒ = ⇒− ± − ⋅ ⋅ ⋅= = − = =

⋅

5 3 81 15 25 16 5 9 5 3 4 4

1,2 1,2 1,2 5 3 24 4 42 24 4

q q

q q q

q q

+= =

± − ± ±⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ ⇒ ⇒

−= =

211.1

2 22

8

42

4

qq

qq

==

⇒ ⇒=

=

Postoje dva geometrijska niza. • Računamo prvi član a1 kada je količnik q = 2.

77 7 71 2 1.1 1 1 1 12 4 2 1 72 2 1

2

aa a a aq q

q

=⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =+ +

+ ++ +=

Prva tri člana geometrijskog niza glase: 1, 2, 4, …

• Računamo prvi član '1a kada je količnik

1.

2q =

7'1 2 7 7 7 71 ' ' ' '

1 1 1 12 1 1 1 1 1 1 2 41 1 1 11 4 2 4 2 1 42 2 2

a

q qa a a a

q

=

+ +⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

+ ++ + + += + +

18

7 17' ' ' ' '1 1 1 4.1 1 1

7

1 17 7 1

4 4

7

4 4

a a a a a⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

Prva tri člana geometrijskog niza glase: 4, 2, 1, …

Vježba 138

Zbroj prvih triju članova geometrijskog niza jednak je 21, zbroj njihovih kvadrata iznosi 189. Koji je to niz?

Rezultat: 3, 6, 12, ... i 12, 6, 3, ...

Zadatak 139 (Ivan, gimnazija)

Ako pozitivni brojevi a1, a2, a3, … , an tvore aritmetički niz dokažite da vrijedi: 1 1 1 1 1

... .

1 2 2 3 3 4 1 1

n

a a a a a a a a a an nn

−+ + + + =

+ + + + +−

Rješenje 139

Ponovimo!

Niz (slijed) je aritmetički ako je razlika svakog člana niza (osim prvog) i člana ispred njega stalna i iznosi d.

5 52 1 3 2 4 3 4 1, , , , , ... , . .6 .a a d a a d a a d a a d a a da d an n−− = =− = − = − = =

−−

, .21a a d nn n− = ≥

−

Broj d naziva se razlika (diferencija) aritmetičkog niza. Aritmetički niz je jednoznačno odreñen ako znamo prvi član a1 i razliku d. Opći član aritmetičkog niza s prvim članom a1 i razlikom d ima oblik

( )1 .1a a n dn = + − ⋅

( ) ( ) ( )2

, .2 ,2 a b a ba b a b a b a a

n n n

+− ⋅ + = − = = +

Proširiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka pomnožiti istim brojem različitim od nule i jedinice

, 0 ., 1a a n

n nb b n

⋅= ≠ ≠

⋅

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

Budući da brojevi a1, a2, a3, … , an tvore aritmetički niz, vrijede jednakosti:

, , , ... , .2 1 3 2 4 3 1a a d a a d a a d a a dn n− = − = − = − =

−

Tada je:

• racionalizacija 2 1nazivnika

1 1 1

1 2 2 1 2 1 2 1

a a

aa a a a a aa= = = ⋅ =

+

−

−+ +

( ) ( )

2 1 2 1 2 1 .2 2

2 12 1

a a a a a a

a a da a

− − −= = =

−−

19

• racionalizacija 3 2nazivnika

1 1 1

2 3 3 2 3 2 3 2

a a

aa a a a a aa= = = ⋅ =

+

−

−+ +

( ) ( )

3 2 3 2 3 2 .2 2

3 23 2

a a a a a a

a a da a

− − −= = =

−−

• racionalizacija 4 3nazivnika

1 1 1

3 4 4 3 4 3 4 3

a a

aa a a a a aa= = = ⋅ =

+

−

−+ +

( ) ( )

4 3 4 3 4 3 .22

4 34 3

a a a a a a

a a da a

− − −= = =

−−

…

• racionalizacija 1nazi

1

v

1 1

1 1nika

1 1a a a a a an

a an n

a an nn nn n n

= =−

−= ⋅ =

+ + +− − −

−−

( ) ( )

1 1 1 .22

11

a a a a a an n nn n n

a a dn na an n

− − −− − −

= = =−

−−−

Dalje slijedi: 1 1 1 1

...

1 2 2 3 3 4 1a a a a a a a ann

+ + + + =+ + + +

−

3 2 4 3 12 1 ...a a a a a aa a n n

d d d d

− − −−−

= + + + + =

...2 1 3 2 4 3 1a a a a a a a an n

d

− + − + − + + −−

= =

...2 3 2 4 3 11 1a a a a aa a a a

d

a nnn

d

− + ++ − + −=

−− +

=−

=

( ) ( )( )

racionalizacija 1brojni

2

k

211 1

1 1a

a aa a a a ana nn n

d d d a ana an

−− −= = = ⋅ = =

⋅ +

+

+

( )( )

( )( )

( )( )

( )

1 1 11 1 1

1 1 1 1

1 1a a a n d a n d n dn

d a a d a a d a a d a an n n n

a a− + − ⋅ − + − ⋅ − ⋅= = = = =

⋅ + ⋅ + ⋅ +

−

⋅ +

( )

( )1 1 1

.

1 11

n n n

a a a aa a

d

n nd n

− ⋅ − −= = =

+ +⋅ +

20

Vježba 139

Ako pozitivni brojevi a1, a2, a3, … , a11 tvore aritmetički niz dokažite da vrijedi: 1 1 1 1 10

... .

1 2 2 3 3 4 10 11 1 11a a a a a a a a a a+ + + + =

+ + + + +

Rezultat: Dokaz analogan. Zadatak 140 (4A, TUPŠ)

Koji od navedenih geometrijskih redova ima konačan zbroj?

A. 3 – 9 + 27 – 81 + … B. 6 + 12 + 24 + 48 + … C. 8 – 12 + 18 – 27 + … D. 125 + 75 + 45 + 27 + …

Rješenje 140

Ponovimo!

Geometrijski red 2 3

...1 1 1 1 11

na q a a q a q a q

n

∞⋅ = + ⋅ + ⋅ + ⋅ +∑

=

konvergentan je (zbroj je konačan) onda i samo onda ako vrijedi

1.q <

A. 3 – 9 + 27 – 81 + …

Vrijedi:

9 27 81... 3 1.

3 9 27q

− −= = = = = >

−

Geometrijski red nema konačan zbroj.

B. 6 + 12 + 24 + 48 + …

Vrijedi: 12 24 48

... 2 1.6 12 24

q = = = = = >

Geometrijski red nema konačan zbroj.

C. 8 – 12 + 18 – 27 + …

Vrijedi:

12 18 27... 1.5 1.

8 12 18q

− −= = = = = >

−

Geometrijski red nema konačan zbroj.

D. 125 + 75 + 45 + 27 + …

Vrijedi:

75 45 27... .

125 75 40.6 1

5q = = = = <=

Geometrijski red ima konačan zbroj. Odgovor je pod D.

21

Vježba 140

Koji od navedenih geometrijskih redova ima konačan zbroj? A. 2 + 4 + 8 + 16 + … B. 3 – 6 + 12 – 24 + … C. 3 + 6 + 12 + 24 + … D. 8 + 4 + 2 + 1 + …

Rezultat: D.