This article was downloaded by: [Southern Taiwan University of Science andTechnology]On: 22 October 2014, At: 04:30Publisher: Taylor & FrancisInforma Ltd Registered in England and Wales Registered Number: 1072954Registered office: Mortimer House, 37-41 Mortimer Street, London W1T 3JH,UK
Geodezijos DarbaiPublication details, including instructions forauthors and subscription information:http://www.tandfonline.com/loi/tgac18
ОБ ИСКЛЮЧЕНИИ ОШИБОКИСХОДНЫХ ДАННЫХ ПРИУРАВНИВАНИИИ. М. Скейвалас a , Jonas Skeivalas & JonasSkeivalasa Внльнюсскнй ишжсисрно·стронтельный щисппутКафедра геодезииPublished online: 27 Sep 2012.
To cite this article: И. М. Скейвалас , Jonas Skeivalas & Jonas Skeivalas (1976)ОБ ИСКЛЮЧЕНИИ ОШИБОК ИСХОДНЫХ ДАННЫХ ПРИ УРАВНИВАНИИ,Geodezijos Darbai, 8:1, 13-19, DOI: 10.1080/13921843.1976.10553157
To link to this article: http://dx.doi.org/10.1080/13921843.1976.10553157
PLEASE SCROLL DOWN FOR ARTICLE
Taylor & Francis makes every effort to ensure the accuracy of all theinformation (the “Content”) contained in the publications on our platform.However, Taylor & Francis, our agents, and our licensors make norepresentations or warranties whatsoever as to the accuracy, completeness,or suitability for any purpose of the Content. Any opinions and viewsexpressed in this publication are the opinions and views of the authors, andare not the views of or endorsed by Taylor & Francis. The accuracy of theContent should not be relied upon and should be independently verified withprimary sources of information. Taylor and Francis shall not be liable for anylosses, actions, claims, proceedings, demands, costs, expenses, damages,and other liabilities whatsoever or howsoever caused arising directly orindirectly in connection with, in relation to or arising out of the use of theContent.
This article may be used for research, teaching, and private study purposes.Any substantial or systematic reproduction, redistribution, reselling, loan,sub-licensing, systematic supply, or distribution in any form to anyone is
expressly forbidden. Terms & Conditions of access and use can be found athttp://www.tandfonline.com/page/terms-and-conditions
Dow
nloa
ded
by [
Sout
hern
Tai
wan
Uni
vers
ity o
f Sc
ienc
e an
d T
echn
olog
y] a
t 04:
30 2
2 O
ctob
er 2
014
GEODEZIJOS DARBAI, Vlll t., В76
УДК 528.115
ОБ ИСКЛЮЧЕНИИ ОШИБОК ИСХОДНЫХ ДАННЫХ
ПРИ УРАВНИВАНИИ
И. М. Скейвалас
Учет влияния ошибок исходных данных на точность уравненных ве
личин имеет важное значение для геодезической практики. На эту тему
опубликовано немало работ, тем не менее nопрос не является оконча
телыю решенным.
В работе [ IJ предложен новый метод нсключе•шя ошибок исходных данных. Основная идея заключается в разложешш невязок условных
уравнений w на 2 части, нз которых одна обусловлена ошибками только измерений, а другая- только ошнбi<аl\111 исходных дан11ых, т. с.:
w= Wx + Wu, ( 1 )
где wx- часть неnязкн, обусловленная ошиб1.:ами измсрениit, wн
часть неnязкн, обусловленная ошибками исходных данных. Невязкн (l)x
и w11 оnределяются так:
-1 - 1 w, Рх -~ Pu
(2) а~, р;;-1
Wu= -~--., w= -1 -1 W, 0х + "~• Рх +- Р"
где ах. au- соответственно стандарты ошибок измерений 11 ошибок исходных данных, Рх• Pu- веса результатов измерений и исходных данных
соответственно. Например, если невязка w вы•1исляется
где Х1, u1- соответственно результаты измерений и исходные данные, то
стандарты ах 11 а11 определяются (при независимости х 11 н):
n а2 =~а~
х ~ х' 1 1
m
0 2 = ~ 0 2 u ....;...,/ "1.
1
13
Dow
nloa
ded
by [
Sout
hern
Tai
wan
Uni
vers
ity o
f Sc
ienc
e an
d T
echn
olog
y] a
t 04:
30 2
2 O
ctob
er 2
014
Очевидно,
n
р -1 = ~ р-1 j Х ""'" Х· ' 1 1
m -1- :-1 -1
Рн -~Рн1 •
В дальнейшем примем, что ошибки измерений и ошибки исходных
данных случайны 11 имеют нормальное распределение.
Таким образом, если в уравнивание вместо невязок ro ввести новые невязки rox, то уравненные значения вероятностным образом будут свободны от ошибок исходных данных. Сказанное справедливо лишь тогда,
когда все невязкн независимы друг от друга. В этом случае решение
задачи было бы строгим. Определим, насколько увеличивает точность
уравненных величин предлагаемыi"1 метод [ 1] за счет элимшшрования
ошибок исходных данных.
Для этого произведем уравнивание геодезической сети по методу
наименьших квадратов с помощью коррелят. Уравненные значения х
определим:
(4)
где v- вектор-столбец поправок к измеренным значениям, Р- диаго
нальная матрица весов измеренных величин, А- матрица коэффициен
тов условных уравнений поправок, N =АР- 1Ат- матрица коэффициентов
нормальных уравнений коррелят, Т- знак транспонирования.
Используя (2), имеем:
(5)
• р;1 где Ех- диагональная матрица, элементами котарои явлнются с= _1 _ 1
Рх +Pu , -для тех невязок, при вычислении которых используются исходные дан·
ные; для остальных невязок с= 1.
Невязку ro можно выразить:
ro = Auu +Ах, (6)
где Au- матрица коэффициентов исходных данных (число строк ее рав
но числу невязок, а число столбцов- числу исходных данных во всей
сети), u- вектор-столбец значений исходных данных.
Таким образом, выражение (5)., учитывая (6), представим:
x=x-P-1ATN-1Ex(Auu+Ax) = (E-Q)x-Qнtl, (7)
где введены обозначения- Q=P 1-ATN-1ExA, Qu=P- 1ATN·- 1ExA11 .
14
Dow
nloa
ded
by [
Sout
hern
Tai
wan
Uni
vers
ity o
f Sc
ienc
e an
d T
echn
olog
y] a
t 04:
30 2
2 O
ctob
er 2
014
Определим корреляционную матрицу для выражения (7). Математическое ожидание для (7) будет:
Мх= (E-Q)Mx-QuMu,
где М- символ математического ожидания.
(8)
Тогда корреляционная матрица для уравненных величин х равна:
........ ....., ........ ,....,
Вх- =М{(х-Мх) (х-Мх)т}, (9)
где В- символ корреляционной матрицы.
Дальше, подставляя в формулу (9) выражения (7) и (8), опре
делим :
В х =М{ (Е -Q)~-Qu~н} { (E-Q)~-Qu~u} Т=
=М{ (Е -Q)~-Qu~u} {~т (E-Q)T -~~Q~}, ( 10)
где ~=х-Мх, ~u=н-Mu.
После математических преобразований следует
Вх- = (Е-Q)М(~~т) (E-Q)T-QuM(~u~т) (Е-Q)'Г -
- (E-Q)M (~~~)Q~ +QuM(~u~~)Q~ = (E-Q) Вх (Е -Q)T-
-- 2QuBu, x(E-Q)T+QuBuQ~. ( 11 )
При независимости результатов измерений х от исходных данных tl
корреляционная матрица Bu,x=O (что в nрактике имеет место). Тогда
выражение (11) примет вид:
( 12)
Формулу ( 12) можно получить и другим путем . А именно, заменяя
в условных уравнениях невязки ы новыми невязкамн ых, мы вторую
часть невязки ыu как бы вводим в исходные данные. Уравненные значе
IIИЯ nолучаются
x=x+v=x-P- 1ATN- 1{Au(u+vu) +Ах}, ( 13)
где Vu- вектор-столбец поnравок к исходным данным.
Поnравки Vu к исходным данным получаем путем расnределения невязки ыu между исходными да1111ыми согласно методу наименьших квад
ратов, т . е .
V --P-IЛTN-1,_, u- u 11 u UIU t ( 14)
где Pu- диагональная матрица весов исходных данных (в общем слу
чае будет корреляционная матрица Bu), Au- матрица коэффициентов
исходных данных, Nu = AuP;;-1 А:,- матрица коэффициентов нормальных
уравнений коррелят для исходных данных. В отдельных случаях обрат
ная матрица N;;-1 может и не существовать, но это 11 не обязательно.
15
Dow
nloa
ded
by [
Sout
hern
Tai
wan
Uni
vers
ity o
f Sc
ienc
e an
d T
echn
olog
y] a
t 04:
30 2
2 O
ctob
er 2
014
Выражение ( 14) напишем:
vu =- Р;;- 1 А~ N;;-1 Euw =- Р-;;- 1 А~ N;;-1 Eu (Аuн +Ах), ( 15)
-1
Е ~ где u- диагональная матрица с элементами с= _ 1 _ 1 -для тех
Рх + Pu невязок, в которые входят исходные данные; д.'ISI остальных невя-
зок с=О.
Выражение ( 13)1 с учетом ( 15) можно записап.:
x=x-P-1ATN-11A u-A p-tATN-1 E (А н+Ах)+Ахl 1 ll u ll ll ll u u . J •
Так как AuP;;-1 А~= Nu. то последнее уравнение после математичесюtх преобразований примет вид:
Или иначе
х= (E-P-1ATN-1A+P-1ATN-1E11A)x
- (P-1ATN- 1A11 - P- 1ATN-- 1E11A11 ) t1. ( 16)
x={E-P- 1ATN-1(E-E11 )A}x-{P-- 1ATN- 1 (1:::-Ен)Ан}tt. (17)
Так как l:::x =Е- Eu, где Е- едшшчная матрица, то выражения (16) 11 ( 17) совпадают с (7).
При обычном уравнивании 1ПО методу на11меныш1х квадратов с по
мощью коррелят уравненные величщ1ы вычисляютсн:
x=x+v=x- P-1ATN- 1w=x- P-IATN- 1 (Л 11 tt +Ах)=
= (E-P- 1ATN-1A)x-P- 1ATN- 1Aut1. (18)
Корреляционная матрица для выражения ( 18) (определяется ана
логично ( 12)) равна:
( 19)
где обозначено Q'=P-1ATN-1A, Q~=P- 1 ATN-1Au.
Из ана.'!иза формул ( 16) и ( 18) видно, что их диагональные эле
менты
и (P-1ATN-1Au- p-IATN- 1 E 11A11 )и< (P-IATN-'Au)и. (21)
так как диагональные элементы матриц (Р- 1 АТN- 1 ЕнА) и (P-1ATN-'EuA11 )
являются положительными. Но уменьшение левой части неравенства
(21) проявляетсн в большей степени, чем увеличенне левой части не
равенства (20). Это происходит потому, что число нсход11ЫХ данных
всегда меньше числа измеренных величин, веледетвне чего в матрице
(Р- 1 ATN- 1 Е11А 11 ) меньше нулевых столбцов (строк), чем в матрице
16
Dow
nloa
ded
by [
Sout
hern
Tai
wan
Uni
vers
ity o
f Sc
ienc
e an
d T
echn
olog
y] a
t 04:
30 2
2 O
ctob
er 2
014
(P-1ATN-1EuA}. Отсюда следует, что диагональные элементы корреляционной матрицы (12} (Вх- }н всегда меньше по сравнению с (19} . (В- }н, т. е. (Вх- )н< (В- )н. Таким образом, точность уравненных вели-
х х
чин, получаемая в случае, когда исключаются ошибки исходных данных
[ 1], всегда больше точ1юспt, получаемой nр н нри менении обы•1tюго метода.
з ~c::r---+---tзr-----~ 2
/2'\
Рис. 1 Нивсл11р11ая сеть
Решим пример. Уравниваем по методу наименьших квадратов с но мощью коррелят нивелирную сеть, изображенную на рис. 1.
Для данной сети имеем:
(
-1+1+1 о о) А= О 0-1-1+1 , Au=
+ 1 о 0+ 1 о \ 1
( ~ ~ )' +1-1
1,0
Х=
h2
hз U= (Н 1 ) В =о2 Р- 1 =о 2 . н2 . х о о
h4
3,0
1,0
2,0 hs 1,0
2 Gcodczijos skyriaus dnrhai 17
Dow
nloa
ded
by [
Sout
hern
Tai
wan
Uni
vers
ity o
f Sc
ienc
e an
d T
echn
olog
y] a
t 04:
30 2
2 O
ctob
er 2
014
где а0 - стандарт единицы веса, х- вектор-столбец превышений, uвектор-столбец алтнту д.
Анализ произведем для двух вариантов точности исходных данных.
А именно:
1 в 2p-l 2(1,0 ) . u=CJo u =cro 1,0 '
2 в - 2 р-1 - 2 ( 0,2 ) . u-cro -ао 0,2 .
Производя математические операции, которые здесь опускаем, диа
гональную часть корреляцношюi"l матрицы ( 12) (Вх-) 11 вычисляем (после исключения ошибок исходных данных, т. с. после нснравлення невязок):
0,72 0,97
1. D-=(B-)11=CJ2 0,62 х х о
0,86 0,66
0,54 0,64
2. D-x=(Bx:);i=CJ~ 0,60 0,59
0,56
Аналогично вычисляем диагональную часть J.;орре.'lяцнонной мат
рицы (19) (Вх-) 11 для обоих вариантов (когда oшнGI\IIIICXoдныx данных !le нсJ.;лючаются):
0,88 1,28
1. D х =(В х )11=а~ 0,64 1,10
0,80
0,56 0,64
2. D х = (В х ) в= а~ 0,60 0,61
0,58
Выводы
1. Сравнивая дисперсионные матрицы D-x и D х уравненных вели
чин в обоих вариантах, видим, что метод исключеш1я ошибок исходных
данных увеличивает точность отдельных уравненных величин примерно
18
Dow
nloa
ded
by [
Sout
hern
Tai
wan
Uni
vers
ity o
f Sc
ienc
e an
d T
echn
olog
y] a
t 04:
30 2
2 O
ctob
er 2
014
на 30% (когда точность исходных данных невелика, т. е. в первом ва
рианте). При точности исходных данных, значительно превышающих
точ1юсть измере11ных величин, нрактнческого различия между диспер-
' С\юlшымн матрицами Dх-и D х не существует (второй вариант) ..
2. Если обратиться к формуле (2), то видно, что при соотношении
весов измеренных величин и нсход11ых данных е= ~ >8, ошибки ис-Рх
ходных данных составляют примерно 10% всей невязки. В этом случае
ошибки исходных данных практически не оказывают влИяния на точ
lюсть уравненных величин. Это подтверждают и практические иссле
дования.
Внльнюсскнi1 rшжсrrсрно·стронтельный щrсппут
Кафедра геодезии
ЛИТЕРАТУРА
Вручено
4.VI.\975
1. С к ей в а л а с И. М. Оценка точносп1 юмереннi'r пр н учете распрсделешrя ошнбок
IICXOДIIЫX BCЛIIЧIIII. J1JB. вузов. feoiJeЗIIЯ 11 аэрофоТОСЪС,\IКQ, ВЬIП. 6, \967.
APIE PRADINII) DUOMENI) KLAIDI) ELIMINAVIMJ\ ISLYGINANT
Jonas S k е i v а 1 а s
REZIUM~
Darbe analiztюjamas islygintч dydziч tikslнmas tam atvejtti, kai pradiniч dttomcnч klaidos climinttojamos pagal mctod<! [1]. Irodoma, kad sitю atvcjн islygiпiпю rezнltatai Ьнs didcsпio tikslнmo, negн islyginant, kai pradiniч dttomenч klaidos nera elimirнюjamos.
Pateikiamas praktinis pavyzdys.
OF ТНЕ ELIMINATION OF INIТIAL DATA ERRORS IN ADJUSTMENT
Jonas S k е i v а 1 а s
SUMMARY
The ассшасу of adjнsted valttcs when initial data errors are eliminated Ьу the mcthod [ 1] is analyscd in the рарег. The adjнstment results are proved to Ье of а higher precision in tl1is case than thosc oblained without climinating the crrors in thc initia\ data.
An actual examplc is submittcd.
19
Dow
nloa
ded
by [
Sout
hern
Tai
wan
Uni
vers
ity o
f Sc
ienc
e an
d T
echn
olog
y] a
t 04:
30 2
2 O
ctob
er 2
014
Recommended
