1
@ Аграрно-економічний коледж ПДАА
МАТЕМАТИКА ON-LINE http://aekmatem.pl.ua/
Самостійна робота №2.
Тема: Розв’язування систем лінійних рівнянь різними методами.(2год.)
Методичні рекомендації:
Опрацювати рекомендовану літературу за планом:
1. Системи лінійних рівнянь: основні поняття.
2. Розв’язування систем лінійних рівнянь за формулами Крамера.
3. Розв’язування систем лінійних рівнянь матричним методом.
4. Умови сумісності та визначеності систем лінійних рівнянь.
Теорема Кронекера-Капеллі.
5. Метод Гаусса, його застосування до розв’язування систем
лінійних рівнянь.
1. Системи лінійних рівнянь: основні поняття.
Система m лінійних рівнянь з n невідомими х1, х2, ..., хn – це система
виду:
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxа
bxaxaxa
bxaxaxa
...
.............................................
...
...
2211
22222121
11212111
Коефіцієнти біля невідомих – це числа аij, (i=1,2,…m; j=1,2,…,n).
2
@ Аграрно-економічний коледж ПДАА
МАТЕМАТИКА ON-LINE http://aekmatem.pl.ua/
Вільні члени системи – це числа bi .
Однорідна система – це система рівнянь у якої всі вільні члени
дорівнюють нулю. В іншому випадку вона називається неоднорідною.
Неоднорідна система – це система рівнянь у якої хоча б один вільний
член відмінний від нуля.
Розв’язок системи ЛР – це впорядкований набір n чисел 00
2
0
1 ,...,, nххх ,
якщо при підстановці замість невідомих х1, х2, ..., хn усі рівняння системи
перетворюються в тотожності.
Сумісна система ЛР – це система яка має хоча б один розв’язок.
Несумісна СЛР – це система яка не має жодного розв’язку.
Визначена СЛР – це сумісна система яка має єдиний розв'язок.
Невизначена СЛР – це сумісна система яка має більше ніж один
розв'язок.
2. Розв’язування систем лінійних рівнянь за формулами Крамера.
Формули Крамера для розв’язування систем n лінійних рівнянь з n
невідомими мають вигляд:
1
1хх ,
2
2хх , ... ,
xn
nх ,
де - визначник системи, складений з коефіцієнтів системи, а
хnхx ,...,, 21 визначники, які утворюються з визначника системи відповідно
заміною стовпців при невідомих х та у вільними членами.
1. Якщо ∆≠0, то система має єдиний розв’язок.
2. Якщо ∆=0, а ∆х1, ∆х2, ..., ∆хn не дорівнюють нулю, то система рівнянь
розв’язку не має.
3
@ Аграрно-економічний коледж ПДАА
МАТЕМАТИКА ON-LINE http://aekmatem.pl.ua/
3. Якщо ∆=0, ∆х1=∆х2=...=∆хn=0, то система має безліч розв’язків.
Примітка. Метод Крамера зручно використовувати для розв’язування
систем 2,3,4 рівнянь відповідно з 2-ма, 3-ма, 4-ма невідомими, якщо
визначник системи ∆≠0.
- Якщо визначник системи ∆=0, то розв’язувати систему методом
Крамера не можна.
- Якщо кількість рівнянь і невідомих більше 4, то знаходити розв’язок
системи рівнянь за формулами Крамера важко.
3. Розв’язування систем лінійних рівнянь матричним методом.
Розв’язувати системи лінійних рівнянь можна і за допомогою
оберненої матриці. Цей метод отримав назву матричного. Якщо представити
систему лінійних рівнянь у матричному вигляді, зліва домножити обидві
частини рівняння на обернену матрицю до коефіцієнтів системи, то розв’язок
системи будемо шукати у вигляді добутку оберненої матриці на матрицю В:
ВАХ
ВААХА
ВАХ
1
11
Цей метод використовується тоді, коли кількість рівнянь і невідомих в
системі співпадають, крім того визначник коефіцієнтів системи повинен не
дорівнювати нулю.
Зауваження. Метод зручний, якщо кількість невідомих не перевищує 4.
4. Умови сумісності та визначеності систем лінійних рівнянь.
Теорема Кронекера-Капеллі.
Сумісна система ЛР – це система яка має хоча б один розв’язок.
4
@ Аграрно-економічний коледж ПДАА
МАТЕМАТИКА ON-LINE http://aekmatem.pl.ua/
Несумісна СЛР – це система яка не має жодного розв’язку.
Визначена СЛР – це сумісна система яка має єдиний розв'язок.
Невизначена СЛР – це сумісна система яка має більше ніж один
розв'язок.
Теорема Кронекера-Капеллі (про існування розв’язку системи лінійних
рівнянь). Для того щоб система лінійних рівнянь була сумісною, необхідно і
достатньо, щоб ранг її основної матриці дорівнював рангу розширеної
матриці.
Якщо ранг основної матриці дорівнює рангу розширеної матриці і
дорівнює числу невідомих, то система має єдиний розв’язок.
Якщо ранг основної матриці дорівнює рангу розширеної матриці, але
менший числа невідомих, то система має безліч розв’язків.
5. Метод Гаусса, його застосування до розв’язування систем
лінійних рівнянь.
Метод послідовного виключення невідомих, або метод Гауса
ґрунтується на елементарних перетвореннях системи рівнянь:
1) Множення деякого рівняння на відмінне від нуля число,
2) Додавання до деякого рівняння системи іншого рівняння,
помноженого на деяке число,
3) Перестановка рівнянь.
За допомогою перетворення 2) можна з усіх рівнянь, крім першого
вилучити х1 (при умові, а11 0, якщо а11=0, то на місце першого рівняння
потрібно перемістити інше рівняння, в якому коефіцієнт при х1 0). Далі з
усіх рівнянь, крім перших двох, вилучимо х2 і т.д. в результаті одержимо
систему одного з двох видів:
5
@ Аграрно-економічний коледж ПДАА
МАТЕМАТИКА ON-LINE http://aekmatem.pl.ua/
mnmn
nn
nn
dxc
dxcxc
dxсxсxс
.............................................
...
...
22222
11212111
(3.8) або
m
r
rnrnrrr
nn
nn
p
p
pxcxс
рxсxс
рxсxсxс
0
.........
0
...
............................
...
...
1
22222
11212111
(3.9)
трикутний вигляд східчастий(трапецієвидний)
вигляд
Система (3.8) має єдиний розв'язок і розв’язується починаючи з
останнього рівняння, система (3.9) несумісна, якщо хоч одне рr+1,...рm 0, і
сумісна, невизначена, т/б має безліч розв’язків, якщо рr+1=...=рm=0.
Зауваження1. Даний метод називається алгоритмом Гауса. Він
складається з однотипних операцій і легко реалізується на сучасних ЕОМ.
Зауваження2. При розв’язуванні системи лінійних рівнянь методом
Гауса зручніше приводити до трикутного чи трапецієподібного вигляду не
саму систему рівнянь, а розширену матрицю цієї системи, т/б матрицю,
утворену приєднанням до матриці її коефіцієнтів стовпця вільних членів.
Виконуючи над рядками розширеної матриці елементарні перетворення,
приходимо до розв’язку даної системи.
Рекомендована література:
1. Бубняк Т.І. Вища математика: Навчальний посібник. – Львів:“Новий
світ–2000”,2004, с.9-17.
2. Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика: Навч. посібник. – К.:А.С.К.,
2001.- Розділ 1 § 1, 2, с.16-31.
6
@ Аграрно-економічний коледж ПДАА
МАТЕМАТИКА ON-LINE http://aekmatem.pl.ua/
3. Пастушенко С.М., Підченко Ю.П. Вища математика. Довідник для
студентів вищих навч.закладів: Навч. посібник. 2-е вид., виправлене і
доповн. -К.: Діал.,2003, с.24-37, 43-51.
Завдання для виконання:
Розв’язати приклади згідно свого варіанту (№ варіанту – порядковий
номер по журналу).
Завдання. Розв’язати систему лінійних рівнянь методами Крамера,
матричним і Гаусса:
1.
.332
,523
,423
zyx
zyx
zyx
2.
.62
,832
,73
zyx
zyx
zyx
3.
.12
,643
,532
zyx
zyx
zyx
4.
.2223
,32
,42
zyx
zyx
zyx
5.
.5344
,923
,2
zyx
zyx
zyx
6.
.922
,733
,02
zyx
zyx
zyx
7.
.4
,3243
,52
zyx
zyx
zyx
8.
.1323
,34
,532
zyx
zyx
zyx
9.
.534
,122
,23
zyx
zyx
zyx
10.
.23
,045
,22
zyx
zyx
zyx
11.
.43
,1432
,12
zyx
zyx
zyx
12.
.10433
,022
,534
zyx
zyx
zyx
13.
.235
,143
,32
zyx
zyx
zyx
14.
.9533
,0324
,532
zyx
zyx
zyx
15.
.12
,134
,2
zyx
zyx
zyx
7
@ Аграрно-економічний коледж ПДАА
МАТЕМАТИКА ON-LINE http://aekmatem.pl.ua/
16.
.132
,72
,2
zyx
zyx
zyx
17.
.523
,032
,53
zyx
zyx
zyx
18.
.12
,643
,532
zyx
zyx
zyx
19.
.24
,123
,132
zyx
zyx
zyx
20.
.423
,12
,02
zyx
yx
zyx
21.
.423
,72
,5344
zyx
zyx
zyx
22.
.342
,623
,13
zyx
zyx
zyx
23.
.933
,023
,132
zyx
zyx
zyx
24.
.824
,234
,1
zyx
zyx
zyx
25.
.133
,0224
,632
zyx
zyx
zyx
26.
.024
,323
,1232
zyx
zyx
zyx
27.
.52
,032
,32
zyx
zyx
zyx
28.
.42
,43
,83
zyx
zyx
zyx
29.
.354
,2
,523
zyx
zyx
zyx
30.
.134
,4263
,42
zyx
zyx
zyx
Приклади розв’язування вправ.
Приклад 1. Розв’язати систему лінійних рівнянь методом Крамера:
.43
;3243
;52
zyx
yx
zyx
Розв’язання.
Знайдемо визначник системи:
.12513
15)1(1
131
5130
150
131
243
11213
8
@ Аграрно-економічний коледж ПДАА
МАТЕМАТИКА ON-LINE http://aekmatem.pl.ua/
Знайдемо визначники ,,, zух замінюючи відповідно стовпці при
невідомих х , у , z визначника стовпцем вільних членів:
,1221
27)1(1
021
027
115
134
243
11531
х
,0515
13)1(1
141
5150
130
141
233
15213
у
.361513
35)1(1
431
15130
350
431
343
51213
я
За формулами Крамера знаходимо x, y, z:
;112
12
xx ;0
12
0
yy .3
12
36
zz
Відповідь: (1; 0; 3).
Приклад 2. Розв’язати систему лінійних рівнянь матричним методом:
2297
1267
1133
321
321
321
ххх
ххх
ххх
.
Розв’язання.
Випишемо основну матрицю системи і знайдемо матрицю, обернену до
даної.
297
267
133
À
Обернена матриця знаходиться за формулою:
9
@ Аграрно-економічний коледж ПДАА
МАТЕМАТИКА ON-LINE http://aekmatem.pl.ua/
332313
322212
312111
1
det
1
AAA
AAA
AAA
AА ,
де detA- визначник матриці А, Аij - алгебраїчні доповнення всіх
елементів aij матриці А.
Обчислимо визначник матриці А:
3425442634236
297
267
133
det A
Знайдемо алгебраїчні доповнення Аij всіх елементів aij матриці А за
формулою ij
ji
ij MA )1( , де Мij – мінор елемента aij матриці А, тобто
визначник на одиницю меншого порядку, утворений з визначника матриці
викреслюванням i-го рядка та j-го стовпця.
6181229
261
11
11
A 0)1414(27
271
21
12
A
21426397
671
31
13
A 3)96(29
131
12
21
A
17627
131
22
22
A 6)2127(97
331
32
23
A
06626
131
13
31
A 1)76(27
131
23
32
A
3211867
331
33
33
A
Підставивши в формулу отримані алгебраїчні доповнення і значення
визначника матриці А, отримаємо обернену матрицю
10
@ Аграрно-економічний коледж ПДАА
МАТЕМАТИКА ON-LINE http://aekmatem.pl.ua/
1273
1
3
10
012
3621
110
036
3
11A .
Розв’язок системи будемо шукати у вигляді добутку оберненої матриці
на матрицю вільних членів:
ВАХ 1
3
1
1
211217
23
11
3
110
201112
2
1
1
1273
1
3
10
0121 ВАХ .
В результаті отримали розв’язок системи рівнянь: х1=-1, х2=-1, х3=3.
Відповідь: х1=-1, х2=-1, х3=3.
Приклад 3. Розв’язати систему лінійних рівнянь методом Гаусса:
473
6
17332
912
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
Розв’язання.
Випишемо розширену матрицю системи:
4
6
17
9
7311
1111
1332
1112
Поміняємо місцями перший та третій рядки матриці.
11
@ Аграрно-економічний коледж ПДАА
МАТЕМАТИКА ON-LINE http://aekmatem.pl.ua/
4
9
17
6
7311
1112
1332
1111
.
До другого та третього рівняння додамо перше рівняння помножене на
(-2), , а до четвертого - додамо перше помножене на (-1).
Отримаємо:
10
3
5
6
6220
3310
3510
1111
Поміняємо місцями другий і третій рядки матриці.
10
5
3
6
6220
3510
3310
1111
До третього рядка матриці додамо другий рядок, а до четвертого –
додамо другий помножений на (-2). Отримаємо:
4
2
3
6
12800
6800
3310
1111
До четвертого рядка додамо третій.
2
2
3
6
6000
6800
3310
1111
Поділимо третій рядок на 8, а четвертий на (-6). Отримаємо:
314
1
3
6
10004
3100
3310
1111
.
12
@ Аграрно-економічний коледж ПДАА
МАТЕМАТИКА ON-LINE http://aekmatem.pl.ua/
З останнього рівняння знаходимо невідому х4: 3
14 х .
З третього рівняння знаходимо невідому х3:
04
1
4
1
3
1
4
3
4
1
4
3
4
143 хх .
З другого рівняння отримаємо:
413033
133333 342 ххх .
З першого рівняння знаходимо:
3
124
3
164101
3
1161116 2341 хххх
Отже, .3
1,0,4,
3
12 4321 хххх
Відповідь: .3
1,0,4,
3
12 4321 хххх
Питання для самоконтролю:
Що називається системою m лінійних алгебраїчних рівнянь з n
невідомими?
Яка система лінійних рівнянь називається сумісною (несумісною)
визначеною (невизначеною)?
В чому полягає метод Крамера?
В якому випадку застосовуються формули Крамера?
Поясніть матричний метод розв’язування систем лінійних рівнянь?
Яка матриця називається оберненою до даної?
Сформулюйте алгоритм знаходження оберненої матриці?
Що називається рангом матриці? Як знаходиться ранг?
13
@ Аграрно-економічний коледж ПДАА
МАТЕМАТИКА ON-LINE http://aekmatem.pl.ua/
За яких умов однорідна система лінійних рівнянь має єдиний
нульовий розв’язок, безліч розв’язків?
Поясніть алгоритм методу Гаусса розв’язування систем лінійних
рівнянь?
Сформулюйте теорему Кронекера-Капеллі.
За яких умов однорідна система лінійних рівнянь має єдиний
нульовий розв’язок, безліч розв’язків?