Самостійна робота №2. Тема: Розв’язування ...Системи лінійних рівнянь: основні поняття. 2. Розв’язування

1

@ Аграрно-економічний коледж ПДАА

МАТЕМАТИКА ON-LINE http://aekmatem.pl.ua/

Самостійна робота №2.

Тема: Розв’язування систем лінійних рівнянь різними методами.(2год.)

Методичні рекомендації:

Опрацювати рекомендовану літературу за планом:

1. Системи лінійних рівнянь: основні поняття.

2. Розв’язування систем лінійних рівнянь за формулами Крамера.

3. Розв’язування систем лінійних рівнянь матричним методом.

4. Умови сумісності та визначеності систем лінійних рівнянь.

Теорема Кронекера-Капеллі.

5. Метод Гаусса, його застосування до розв’язування систем

лінійних рівнянь.

1. Системи лінійних рівнянь: основні поняття.

Система m лінійних рівнянь з n невідомими х1, х2, ..., хn – це система

виду:

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxа

bxaxaxa

bxaxaxa

...

.............................................

...

...

2211

22222121

11212111

Коефіцієнти біля невідомих – це числа аij, (i=1,2,…m; j=1,2,…,n).

2



Вільні члени системи – це числа bi .

Однорідна система – це система рівнянь у якої всі вільні члени

дорівнюють нулю. В іншому випадку вона називається неоднорідною.

Неоднорідна система – це система рівнянь у якої хоча б один вільний

член відмінний від нуля.

Розв’язок системи ЛР – це впорядкований набір n чисел 00

2

0

1 ,...,, nххх ,

якщо при підстановці замість невідомих х1, х2, ..., хn усі рівняння системи

перетворюються в тотожності.

Сумісна система ЛР – це система яка має хоча б один розв’язок.

Несумісна СЛР – це система яка не має жодного розв’язку.

Визначена СЛР – це сумісна система яка має єдиний розв'язок.

Невизначена СЛР – це сумісна система яка має більше ніж один

розв'язок.

2. Розв’язування систем лінійних рівнянь за формулами Крамера.

Формули Крамера для розв’язування систем n лінійних рівнянь з n

невідомими мають вигляд:

1

1хх ,

2

2хх , ... ,

xn

nх ,

де - визначник системи, складений з коефіцієнтів системи, а

хnхx ,...,, 21 визначники, які утворюються з визначника системи відповідно

заміною стовпців при невідомих х та у вільними членами.

1. Якщо ∆≠0, то система має єдиний розв’язок.

2. Якщо ∆=0, а ∆х1, ∆х2, ..., ∆хn не дорівнюють нулю, то система рівнянь

розв’язку не має.

3



3. Якщо ∆=0, ∆х1=∆х2=...=∆хn=0, то система має безліч розв’язків.

Примітка. Метод Крамера зручно використовувати для розв’язування

систем 2,3,4 рівнянь відповідно з 2-ма, 3-ма, 4-ма невідомими, якщо

визначник системи ∆≠0.

- Якщо визначник системи ∆=0, то розв’язувати систему методом

Крамера не можна.

- Якщо кількість рівнянь і невідомих більше 4, то знаходити розв’язок

системи рівнянь за формулами Крамера важко.

3. Розв’язування систем лінійних рівнянь матричним методом.

Розв’язувати системи лінійних рівнянь можна і за допомогою

оберненої матриці. Цей метод отримав назву матричного. Якщо представити

систему лінійних рівнянь у матричному вигляді, зліва домножити обидві

частини рівняння на обернену матрицю до коефіцієнтів системи, то розв’язок

системи будемо шукати у вигляді добутку оберненої матриці на матрицю В:

ВАХ

ВААХА

ВАХ

1

11

Цей метод використовується тоді, коли кількість рівнянь і невідомих в

системі співпадають, крім того визначник коефіцієнтів системи повинен не

дорівнювати нулю.

Зауваження. Метод зручний, якщо кількість невідомих не перевищує 4.

4. Умови сумісності та визначеності систем лінійних рівнянь.

Теорема Кронекера-Капеллі.

Сумісна система ЛР – це система яка має хоча б один розв’язок.

4



Несумісна СЛР – це система яка не має жодного розв’язку.

Визначена СЛР – це сумісна система яка має єдиний розв'язок.

Невизначена СЛР – це сумісна система яка має більше ніж один

розв'язок.

Теорема Кронекера-Капеллі (про існування розв’язку системи лінійних

рівнянь). Для того щоб система лінійних рівнянь була сумісною, необхідно і

достатньо, щоб ранг її основної матриці дорівнював рангу розширеної

матриці.

Якщо ранг основної матриці дорівнює рангу розширеної матриці і

дорівнює числу невідомих, то система має єдиний розв’язок.

Якщо ранг основної матриці дорівнює рангу розширеної матриці, але

менший числа невідомих, то система має безліч розв’язків.

5. Метод Гаусса, його застосування до розв’язування систем

лінійних рівнянь.

Метод послідовного виключення невідомих, або метод Гауса

ґрунтується на елементарних перетвореннях системи рівнянь:

1) Множення деякого рівняння на відмінне від нуля число,

2) Додавання до деякого рівняння системи іншого рівняння,

помноженого на деяке число,

3) Перестановка рівнянь.

За допомогою перетворення 2) можна з усіх рівнянь, крім першого

вилучити х1 (при умові, а11 0, якщо а11=0, то на місце першого рівняння

потрібно перемістити інше рівняння, в якому коефіцієнт при х1 0). Далі з

усіх рівнянь, крім перших двох, вилучимо х2 і т.д. в результаті одержимо

систему одного з двох видів:

5



mnmn

nn

nn

dxc

dxcxc

dxсxсxс

.............................................

...

...

22222

11212111

(3.8) або

m

r

rnrnrrr

nn

nn

p

p

pxcxс

рxсxс

рxсxсxс

0

.........

0

...

............................

...

...

1

22222

11212111

(3.9)

трикутний вигляд східчастий(трапецієвидний)

вигляд

Система (3.8) має єдиний розв'язок і розв’язується починаючи з

останнього рівняння, система (3.9) несумісна, якщо хоч одне рr+1,...рm 0, і

сумісна, невизначена, т/б має безліч розв’язків, якщо рr+1=...=рm=0.

Зауваження1. Даний метод називається алгоритмом Гауса. Він

складається з однотипних операцій і легко реалізується на сучасних ЕОМ.

Зауваження2. При розв’язуванні системи лінійних рівнянь методом

Гауса зручніше приводити до трикутного чи трапецієподібного вигляду не

саму систему рівнянь, а розширену матрицю цієї системи, т/б матрицю,

утворену приєднанням до матриці її коефіцієнтів стовпця вільних членів.

Виконуючи над рядками розширеної матриці елементарні перетворення,

приходимо до розв’язку даної системи.

Рекомендована література:

1. Бубняк Т.І. Вища математика: Навчальний посібник. – Львів:“Новий

світ–2000”,2004, с.9-17.

2. Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика: Навч. посібник. – К.:А.С.К.,

2001.- Розділ 1 § 1, 2, с.16-31.

6



3. Пастушенко С.М., Підченко Ю.П. Вища математика. Довідник для

студентів вищих навч.закладів: Навч. посібник. 2-е вид., виправлене і

доповн. -К.: Діал.,2003, с.24-37, 43-51.

Завдання для виконання:

Розв’язати приклади згідно свого варіанту (№ варіанту – порядковий

номер по журналу).

Завдання. Розв’язати систему лінійних рівнянь методами Крамера,

матричним і Гаусса:

1.

.332

,523

,423

zyx

zyx

zyx

2.

.62

,832

,73

zyx

zyx

zyx

3.

.12

,643

,532

zyx

zyx

zyx

4.

.2223

,32

,42

zyx

zyx

zyx

5.

.5344

,923

,2

zyx

zyx

zyx

6.

.922

,733

,02

zyx

zyx

zyx

7.

.4

,3243

,52

zyx

zyx

zyx

8.

.1323

,34

,532

zyx

zyx

zyx

9.

.534

,122

,23

zyx

zyx

zyx

10.

.23

,045

,22

zyx

zyx

zyx

11.

.43

,1432

,12

zyx

zyx

zyx

12.

.10433

,022

,534

zyx

zyx

zyx

13.

.235

,143

,32

zyx

zyx

zyx

14.

.9533

,0324

,532

zyx

zyx

zyx

15.

.12

,134

,2

zyx

zyx

zyx

7



16.

.132

,72

,2

zyx

zyx

zyx

17.

.523

,032

,53

zyx

zyx

zyx

18.

.12

,643

,532

zyx

zyx

zyx

19.

.24

,123

,132

zyx

zyx

zyx

20.

.423

,12

,02

zyx

yx

zyx

21.

.423

,72

,5344

zyx

zyx

zyx

22.

.342

,623

,13

zyx

zyx

zyx

23.

.933

,023

,132

zyx

zyx

zyx

24.

.824

,234

,1

zyx

zyx

zyx

25.

.133

,0224

,632

zyx

zyx

zyx

26.

.024

,323

,1232

zyx

zyx

zyx

27.

.52

,032

,32

zyx

zyx

zyx

28.

.42

,43

,83

zyx

zyx

zyx

29.

.354

,2

,523

zyx

zyx

zyx

30.

.134

,4263

,42

zyx

zyx

zyx

Приклади розв’язування вправ.

Приклад 1. Розв’язати систему лінійних рівнянь методом Крамера:

.43

;3243

;52

zyx

yx

zyx

Розв’язання.

Знайдемо визначник системи:

.12513

15)1(1

131

5130

150

131

243

11213

8



Знайдемо визначники ,,, zух замінюючи відповідно стовпці при

невідомих х , у , z визначника стовпцем вільних членів:

,1221

27)1(1

021

027

115

134

243

11531

х

,0515

13)1(1

141

5150

130

141

233

15213

у

.361513

35)1(1

431

15130

350

431

343

51213

я

За формулами Крамера знаходимо x, y, z:

;112

12

xx ;0

12

0

yy .3

12

36

zz

Відповідь: (1; 0; 3).

Приклад 2. Розв’язати систему лінійних рівнянь матричним методом:

2297

1267

1133

321

321

321

ххх

ххх

ххх

.


Випишемо основну матрицю системи і знайдемо матрицю, обернену до

даної.

297

267

133

À

Обернена матриця знаходиться за формулою:

9



332313

322212

312111

1

det

1

AAA

AAA

AAA

AА ,

де detA- визначник матриці А, Аij - алгебраїчні доповнення всіх

елементів aij матриці А.

Обчислимо визначник матриці А:

3425442634236

297

267

133

det A

Знайдемо алгебраїчні доповнення Аij всіх елементів aij матриці А за

формулою ij

ji

ij MA )1( , де Мij – мінор елемента aij матриці А, тобто

визначник на одиницю меншого порядку, утворений з визначника матриці

викреслюванням i-го рядка та j-го стовпця.

6181229

261

11

11

A 0)1414(27

271

21

12

A

21426397

671

31

13

A 3)96(29

131

12

21

A

17627

131

22

22

A 6)2127(97

331

32

23

A

06626

131

13

31

A 1)76(27

131

23

32

A

3211867

331

33

33

A

Підставивши в формулу отримані алгебраїчні доповнення і значення

визначника матриці А, отримаємо обернену матрицю

10



1273

1

3

10

012

3621

110

036

3

11A .

Розв’язок системи будемо шукати у вигляді добутку оберненої матриці

на матрицю вільних членів:

ВАХ 1

3

1

1

211217

23

11

3

110

201112

2

1

1

1273

1

3

10

0121 ВАХ .

В результаті отримали розв’язок системи рівнянь: х1=-1, х2=-1, х3=3.

Відповідь: х1=-1, х2=-1, х3=3.

Приклад 3. Розв’язати систему лінійних рівнянь методом Гаусса:

473

6

17332

912

4321

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx


Випишемо розширену матрицю системи:

4

6

17

9

7311

1111

1332

1112

Поміняємо місцями перший та третій рядки матриці.

11



4

9

17

6

7311

1112

1332

1111

.

До другого та третього рівняння додамо перше рівняння помножене на

(-2), , а до четвертого - додамо перше помножене на (-1).

Отримаємо:

10

3

5

6

6220

3310

3510

1111

Поміняємо місцями другий і третій рядки матриці.

10

5

3

6

6220

3510

3310

1111

До третього рядка матриці додамо другий рядок, а до четвертого –

додамо другий помножений на (-2). Отримаємо:

4

2

3

6

12800

6800

3310

1111

До четвертого рядка додамо третій.

2

2

3

6

6000

6800

3310

1111

Поділимо третій рядок на 8, а четвертий на (-6). Отримаємо:

314

1

3

6

10004

3100

3310

1111

.

12



З останнього рівняння знаходимо невідому х4: 3

14 х .

З третього рівняння знаходимо невідому х3:

04

1

4

1

3

1

4

3

4

1

4

3

4

143 хх .

З другого рівняння отримаємо:

413033

133333 342 ххх .

З першого рівняння знаходимо:

3

124

3

164101

3

1161116 2341 хххх

Отже, .3

1,0,4,

3

12 4321 хххх

Відповідь: .3

1,0,4,

3

12 4321 хххх

Питання для самоконтролю:

Що називається системою m лінійних алгебраїчних рівнянь з n

невідомими?

Яка система лінійних рівнянь називається сумісною (несумісною)

визначеною (невизначеною)?

В чому полягає метод Крамера?

В якому випадку застосовуються формули Крамера?

Поясніть матричний метод розв’язування систем лінійних рівнянь?

Яка матриця називається оберненою до даної?

Сформулюйте алгоритм знаходження оберненої матриці?

Що називається рангом матриці? Як знаходиться ранг?

13



За яких умов однорідна система лінійних рівнянь має єдиний

нульовий розв’язок, безліч розв’язків?

Поясніть алгоритм методу Гаусса розв’язування систем лінійних

рівнянь?

Сформулюйте теорему Кронекера-Капеллі.

За яких умов однорідна система лінійних рівнянь має єдиний

нульовий розв’язок, безліч розв’язків?

Documents

Самостійна робота №2. Тема: Розв’язування ...Системи лінійних рівнянь: основні поняття. 2. Розв’язування