Системи лінійних рівнянь

Підготувалистуденти І курсу 6

групиАтаманенко Олена,Кучер Богдан, Мах Валерія

Лінійне рівняння – це рівняння, у якому невідомі величини мають перший степінь і між собою не перемножуються.

Система лінійних рівнянь має вигляд:

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

...

...............

...

...

2211

22222121

11212111

Розв’язок системи – це множина дійсних чисел а1, а2,… аn, підстановка яких у систему замість невідомих х1, х2, …,хn, перетворює кожне рівняння системи у тотожність.

Система лінійних алгебраїчних рівнянь, що має хоча б один розв’язок називається сумісною, а система, що не має розв’язку називається несумісною.

Він визначається за формулою:

Метод Крамера – це спосіб розв’язання квадратних систем лінійних алгебраїчних рівнянь із ненульовим визначником основної матриці.

,

– допоміжний визначник, який одержують з основного визначника ∆ (A)шляхом – заміни його k-го стовпця стовпцем вільних членів системи

Метод було створено Габріелем Крамером у 1750.

деnkX kk ,,...2,1,

)(

k

Габріель Крамер

( 31 липня 1704 – 4 січня 1752) –

швейцарський математик, учень і друг Йоганна Бернулі, один з творців лінійної алгебри.

Правило Крамера. Якщо основний визначник неоднорідної системи n в лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими не дорівнює нулю, то ця система має єдиний розв’язок, який знаходять за формулами

Де - допоміжний визначник, який одержують з основного визначника Δ(A) шляхом – заміни його k-го стовпця стовпцем членів системи.

)(A

,,...,2,1,)(

nkA

x kk

k

Приклад. Розв’язуємо за правилом Крамара систему рівнянь

Розв’язання. Задана неоднорідна система 3 лінійних алгебраїчних рівнянь з трьома невідомими. Основний визначник цієї системи

13

8

2

34

432

52

321

321

321

xxx

xxx

xxx

0314126010329

314

432

521

)(

A

Тому, згідно з правилом Крамара, задана система має єдиний розв’язок, який знайдемо за формулами

Спочатку знайдемо допоміжні визначники:

,,...,2,1,)(

nkA

x kk

,938481954010418

3113

438

522

1

,6252121601303224

3134

482

521

2

.318522446439

1314

832

221

3

Тепер за цією ж формулою знаходимо:

Отже, розв’язком цієї системи буде ( -3;2;1 )

,331

93

)(1

1

A

x ,231

62

)(2

2

A

x

.131

31

)(3

3

A

x

Матричний метод Якщо

позначити

....

,...

,

...

............

...

...

2

1

2

1

21

221

11211

22

nnnnnn

n

n

b

b

b

B

x

x

x

X

aaa

aaa

ааа

A

то згідно з правилом множення матриць та умовою рівності матриць одержимо запис системи лінійних алгебраїчних рівнянь

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

...

...............

...

...

2211

22222121

11212111

у матричній формі: AX = B

Якщо матриця А квадратна порядку n і її визначник ∆ (A) не дорівнює нулю, тоді, існує обернена до А матриця А-1 , тому можна рівність АХ=В помножити на А-1 зліва. Одержимо А-1Х= А-1В.

За означенням оберненої матриці маємо:A-1A=E,

Тому А-1Х= А-1В прийме вигляд: ЕХ= A-1B.Але множення матриці-стовпця Х на матрицю Е не змінює Х, тобто ЕХ=Х. Таким чином, одержуємо формулу: Х=А-1В. за якою і знаходять розв’язок системи

матричним методом.

Отже, матричний метод можна застосувати у випадку, коли квадратна матриця А має не рівний нулю визначник.

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

...

...............

...

...

2211

22222121

11212111

Для розв’язування неоднорідної системи з n невідомими матричним методом доцільно здійснювати такий порядок дій:

1)Записати основну матрицю системи А і знайти її визначник ∆(А).Якщо ∆(А)=0, то система розв’язку не має.

2)Якщо ∆(А)≠0, тоді знайти обернену матрицю А-1 до матриці А.

3)Помножити обернену матрицю А-1 на матрицю-стовпець вільних членів системи. Одержаний при цьому стовпець згідно з формулою Х=А-1В і буде розв’язком системи.

Приклад: знаходимо розвязок заданої системи матричним методом

Розв’язання .Основною матрицею заданої системи будуе матриця

2

1

1

2

2

321

31

321

xxx

xx

xxx

112

201

111

A

Визначник цієї матриці

Для запису оберненої матриці знайдемо алгебраїчні доповнення елементів матриці A:

62114

112

201

111

)(

A

1A

;211

2011

A

;011

1121

A

;220

1131

A

;312 A

;322 A

;332 A

;113 A;323 A

.133 A

Отже,

Тепер за формулою знаходимо розв’язок заданої системи:

.

131

333

202

6

11

A

BAX 1

1

1

1

6

6

6

6

1

21)1()3(11

23)1()3(1)3(

22)1(012

6

1

2

1

1

131

333

202

6

11BAX

ДЯКУЄМО ЗА УВАГУ !