7/25/2019 3_stRatified Random SampLing
1/38
3
Penarikan Sampel Acak Berstrata
Tuan, Dalam suatu puisi indah (The Vission of Sin) terdapat suatu
versi yang mengungkapkan Setiap kejadian kematian seseorang,
setiap kejadian satu adalah kelahiran. Dengan pengertian , hal ini
tidak dapat diperaya dan saya yakin !ah"a pada edisi selanjutnya
#nda telah mem!aanya Setiap kejadian kematian seseorang,
setiap kejadian $ $%$& adalah kelahiran.
Tentu saja nilai terse!ut dengan kesalahan yang sangat keil tapi
mengharuskan akurasi yang ukup untuk kumpulan puisi.
(Dalam suatu surat untuk Lord Tennyson)
Charles Babbage
3.1. PENGENALAN
Dari keseluruhan metode pengambilan sampel, pada umumnya prosedur yang
digunakan dalam survey adalah pengambilan sampel berstrata. Dalam pengambilan
sampel berstrata, populasi dari N unit dibagi menadi k bagian populasi yang disebut
strata, bagian populasi ke!" mempunyai Ni unit dimana i.#$, %,&.,k
Bagian ' bagian populasi tersebut tidak boleh saling tumpang tindih sehingga masing '
masing populasi terpisah, yaitu
'''' k=+++ ...%$(3.$.$)
uatu sampel diambil dari setiap strata ' strata yang independen, umlah sampel antar
strata ke 'i. *enadi ni dimana i.#$,%,&.,k yaitu
nnnn k =+++ ...%$(3.$.%)
+rosedur pengambilan sampel dengan ara ini dikenal denga pengambilan sampelberstrata. -ika sampel diambil seara aak dari setiap strata, prosedurnya dikenal dengan
pengambilan sampel aak berstrata.
Tuuan utama dalam stratiikasi adalah untuk membuat hubungan timbal balik yang
lebih baik dalam populasi sehingga dapat memberikan ukuran yang lebih tinggi untuk
keputusan relati.
/gar dapat terapai, hal ' hal yang harus dilakukan untuk menguinya dengan hati '
hati adalah
(i) Bentuk strata
(ii) -umlah strata yang akan dibuat
(iii) /lokasi umlah sampel antar masing ' masing strata.
7/25/2019 3_stRatified Random SampLing
2/38
(iv)/nalisis data dari ranangan stratiikasi.
0ita harus mempertimbangkan pertama dua hal setelah mengui dua hal yang terakhir
agar berhubungan dengan tori pengambilan sampel berstrata.
3.2. POKOK POKOK STRATIIKASI
+okok ' pokok stratiikasi yang mengikuti proses stratiikasi suatu populasi
dirangkum sebagai berikut
(i) trata harus tidak saling tumpang tindih dan harus saling terpisah dalam populasi.
(ii) tratiiaksi populasi harus dilakukan pada strata yang bersiat homogen dalam strata
tersebut dengan karakteristik tertentu.
(iii) +ada kenyataannya di lapangan, ketika hal ini sulit untuk distratakan dengan suatu
nilai karakteristik tertentu, maka kemudahan administrasi menadi dasar pemikiran
dalam stratiikasi.(iv) -ika akurasi batas untuk kepastian tiap ' tiap populasi diberikan, hal ini akan
menadi lebih baik dan terperaya untuk tiap ' tiap populasi sebagai suatu strata.
3.3. KE!NT!NGAN STRATIIKASI
+enggunaan stratiikasi memiliki banyak kegunaan. Beberapa prinsipnya adalah
sebagai berikut
(i) tratiikasi memberikan kemudahan administrasi. uatu badan oragnisasi
membentuk survey dapat berdiri dalam kantor ' kantor dengan bermaam ' maam
daerah administrasi dengan penelasan kepemilikan sah dengan maksud menadikan
organisasi lebih baik dengan hasil pekeraan yang lebih akurat.
(ii) tratiikasi dengan karakteristik alami membantu memperbaiki desain sampel.
ebagai ontoh , di area dan daerah survey terdapat banyak perbedaan tipe
permasalahan pengambilan sampel di daerah daratan, padang pasir, dan pegunungan
yang mempunyai perbedaan arak tempuh sehingga hal ini akan menadi lebih
mudah ika tiap ' tiap area dipisahkan dalam suatu strata.
(iii) tratiikasi seara praktek lebih eekti ketika terdapat nilai ' nilai ekstrim dalam
populasi yang dapat dibedakan ke dalam strata dengan maksud mengurangi
keragaman dalam strata. +emisahan dugaan menadi strata tersendiri dapatdikombinasikan ke dalam dugaan akurat untuk keseluruhan populasi.
(iv) tratiikasi memberikan kemungkinan penggunaan desain sampel yang berbeda '
beda pada strata yang berbeda ' beda.
+ada kenyataannya di lapangan, inormasi mengenai stratiikasi tidak seara
keseluruhan tersedia untuk setiap unit populasi. Dalam kasus tersebut, keseluruhan
populasi dibagi menadi beberapa strata mengikuti inomasi sebenarnya yang
tersedia dan beberapa pengambilan sampel yang dapat diperaya dalam perenanaan
pemilihan unit dalam strata tersebut digunakan.
(v) tratiikasi ukup me1akili keragaman kelompok dalam populasi yang
memberikan beberapa keterterikan atau eek yang besar.
7/25/2019 3_stRatified Random SampLing
3/38
(vi) tratiikasi uga memilih sampel seara ross setion yang lebih baik dengan
populasi dari yang tidak berstrata.
(vii) tratiikasi memberikan keputusan yang tepat dalam memperkirakan karakteristik
suatu populasi. 2ntuk dapat menapainya, populasi yang heterogen dibagi ' bagi
menadi beberapa populasi yang masing masing dalam strata adalah homogen.
-ika tiap ' tiap strata homogen, menggambarkan pengukuran dalam strata tersebutdari satu unit ke unit yang lain, estimasi yang lebih akurat diperoleh dengan
menggunakan sampel yang relati lebih besar.
3.". NOTASI
Diketahui " dinotasikan sebagai strata ' strata sebagai unit sampel dalam strata.
+enulisan simbol untuk tiap strata i.
i'
# umlah keseluruhan unit
in
# -umlah sampel unit
'' ii =
trata penimbang
ii 'nf =
raksi sampel dalam strata
Diketahui
ijy
adalah nilai unit ke ' dalam strata.
=i'
j
iiji 'y)
4ata ' rata strata
=in
j
iiji nyy
4ata ' rata sampel
( ) ( ) = i
i
'
j
i)iji 'yS $
%%
4ata ' rata varians
3.# Estimasi Rata$rata %an &arians P'p(lasi
*isalkan bah1a sebuah populasi N unit dibagi ke dalam k strata. 4ata!rata populasi
per unit dapat dituliskan seperti
7/25/2019 3_stRatified Random SampLing
4/38
Y=i
k
j
Ni y ijN=
i
k Ni YiN
=i
k
Wi Yi
ebuah pendugayst (st stratiikasi) untuk rata!rata populasi Y bisa dituliskan
seperti
yst=i
k y iNiN
(3.5 .1)
Di mana bentuk rumus di atas berbeda dengan semua rumus rata!rata sampel
umumnya
y=i
k
niyi/n(3.5.2)
T5645*/ 3.7.$
-ika di setiap strata penduga sampelyi adalah unbias dan sampel diambil seara
bebas di setiap strata berbeda, kemudianyst adalah penduga unbias bagi rata!rata dan
varians populasi, maka diperoleh
V(yst)=ik
Ni2
V(yi )N
2 =
i
k
Wi2V(yst)(3.5 .3)
Bukti kita punya
E (yst)=E {i
k
(Niyi/N)}
ik NiE (y i )
N =ik Ni Yi
N =Y(3.5.4 )
"ni menunukkan bah1ayst merupakan penduga yang unbias.
2ntuk memperoleh varians samplinngnya ,ingat bah1a pengambilan sampel
dilakukan seara bebas8independen di setiap strata, oleh karena itu, varians samplingnya
V(yst)=V(i
k N1y1N )=i
k
Wi2
V( y i)
7/25/2019 3_stRatified Random SampLing
5/38
T5645*/ 3.7.%
2ntuk sampling random stratiikasi dengan 964, penduga sampelyst merupakan
unbias dan varians samplingnya diperoleh dengan
V(yst)=i
k Ni(Nini )Si2
N2ni
=i
k (1fi ) Si2Wi2
ni(3.5.6)
Bukti 0etika di setiap strata sampel diambil seara aak sederhana (simple random
sampling), y merupakan penduga yang unbias terhadap Y dan sebab itu melalui
teorema 3.7.$ bisa ditunukkan bah1ayst merupakan penduga yang unbias terhadap Y
.
Lebih lanutnya, dengan mengaplikasikan teorema %.3.$ ke setiap strata individu,diperoleh
V(y i )=(Nin i ) Si
2
Ni n i
ubstitusikan nilai ke dalam rumus teorema 3.7.$, diperoleh
V(yst)=i
k Ni2V(yi )N
2 =
i
k Ni (Nini )Si2
N2ni
i
k
(1fi ) Wi2
S i2/ni
impulan $
-ika Yst=Ny st merupakan penduga total populasi bagi :, kemudian Yst
merupakan penduga yang unbias, sehingga diperoleh rumus varians samplingnya yaitu
V( Yst)=i
k Ni (Nini )S i2
n i
(3.7.;)
i
k
N2 (1fi )Wi
2Si2/ni
impulan %
7/25/2019 3_stRatified Random SampLing
6/38
-ika di setiap strata (nin)=(Ni
N) , maka varians yst dapat dituliskan seperti
V(yst)=
(Nn)
N ik NiSi
2
nN =
(1f)
n ik
WiS i2
(3.5.8
)
impulan 3
-ika di setiap strata ( nin)=(Ni
N) ,dan varians di semua strata memiliki nilai yang
sama yaitu Sw2
, hasilnya berkurang menadi
1fSw
2
V(yst)=(Nn ) Sw
2 /Nn=
impulan
Dengan stratiikasi random sampling, seara 964 sebuah penduga unbias variansyst diperoleh melalui ?
v (yst)=i
k
Ni(Nin i ) si2/N2ni
i
k Wi2si2
ni
i
k Wi si2
N (3.6.2)
+embuktiannya sudah elas.
impulan $
Dengan stratiikasi random sampling seara 964, penduga unbias bagi =( yst )
menadi
v (yst)=i
k WiS i2
ni(3.6 .3)
impulan %
Dengan stratiikasi random sampling seara 964, pendugan unbias bagi =(^Pst
)menadi
v ( ^Pst)=i
k (1fi )Wi2pi (1p i )
ni1(3.6 .4 )
3.- ALOKASI !K!RAN SA*PEL ,ALA* STRATA ANG BERBE,A
Dalam stratiikasi sampling, alokasi sampel ke strata yang berbeda!beda dilakukan
atas pertimbangan 3 aktor, yaitu
(i) Total unit!unit di dalam strata merupakan ukuran strata(ii) 0emampuan variable dalam strata
(iii) Biaya dalam melakukan observasi tiap unit sampling di dalam strata
uatu alokasi sampel yang bagus adalah di mana memaksimumkan ketelitian yang
dapat diperoleh dengan meminimumkan sumber atau dengan kata lain ukuran untuk suatu
alokasi adalah meminimumkan biaya untuk memperoleh varians atau meminimumkan
varians dengan biaya yang telah ditetapkan, dengan demikian yang paling eekti dalam
mengalokasikan sampel yaitu menggunakan sumber!sumber yang telah tersedia.
/da < metode alokasi ukuran sampel untuk strata yang berbeda dalam prosedur
sa8mpling stratiikasi, yaitu sebagai berikut
(i) /lokasi ama
(ii) /lokasi +roportional 8 /lokasi +erbandingan
7/25/2019 3_stRatified Random SampLing
9/38
(iii) /lokasi Neyman
(iv) /lokasi 6ptimum
3.-.1 !k(ran Sampel Sama %ari setiap Strata
ini adalah suatu kondisi yang sangat praktis dimana terkeadang digunakan untuk
alasan!alasan administrasi atau kera lapangan yang menyenangkan. Dalam metode ini, totalukuran sampel n dibagi sama rata diantara semua strata.
ni=n
k(3.7.1)
3.-.2 Al'kasi Pr'p'rsi'nal
eara umum alokasi ini dikenal sebagai alokasi proporsional yang seara murni
diusulkan oleh Bo1ley ($@%>). +rosedur alokasi ini dalam latihan biasa saa karena sangat
sederhana. 0etika tidak ada inormasi tambahan keuali
Ni, kemudian total unit!unit di
dalam tiap strata ke!" tersedia, maka pengalokasian sampel yang berukuran n ke setiap strata
yang berbeda dilakukan dalam proporsi ke setiap ukuran masing!masing strata ke!i.
ni=n Ni
N (ataufi) (3.7 .2)
"ni artinya bah1a raksi sampling di semua strata itu sama. Aal tersebut memberikan
sebuahself*"eighting sampel atau dikenal sebagai penimbang!sendiri sampel dimana angka!
angka estimasi bisa dibuat dengan melihat deraat ketelitian yang tinggi dan keepatan yang
bagus.3.-.3 Al'kasi Ne/man
+engalokasian total ukuran sampel ke dalam strata disebut dengan alokasi varians
minimum dan teori alokasi ini diberi hak kepada Neyman ($@3
7/25/2019 3_stRatified Random SampLing
10/38
*ungkin agak sulit menggunakan metode ini karena biasanya nilaiS i tidak
diketahui. Bagaimana pun, varians strata mungkin bisa diperoleh dari survey terdahulu atau
dari renana khususpilot survey. /lternative lainnya adalah mengadakan survey utama dan
menggunakan data yang telah terkumpul pada tahap pertama untuk memastikan alokasi yang
lebih baik digunakan pada tahap kedua.
3.-." Al'kasi Optim(m
+ada metode alokasi ini, ukuran sampel n dalam masing!masing strata telah
ditetapkan untuk meminimumkan
yV( st)
untuk biaya spesiik pengadaan survey sampel
atau meminimumkan biaya untuk nilai spesiik
yV( st)
. Dalam sampling stratiikasi
ungsi biaya sangat sederhana, yaitu
C=a+i
k
ni ci(3.7.5)
dimana, seperti yang tertera di atas bah1a biaya a merupakan konstanta danc i
merupakan rata!rata biaya survey per unit di dalam strata ke!" yang bergantung pada alam
dan ukuran unit!unit di dalam strata sendiri.
2ntuk menetapkan nilai optimum dari ni , kita perlu mempertimbangkan ungsi
berikut
y( st)+ C(3.7.6)
=V
dimana merupakan beberapa konstanta yang tidak dikenal.
+ertama!tama kita pilihni dan konstanta
untuk meminimumkan
,
perhitungannya gunakan metode kalkulus pengalian Lagrange.
Turunan terhadapni , diperoleh
Wi2
S i2
ni2 + ci=0(i=1,2, , k)
/tau
7/25/2019 3_stRatified Random SampLing
11/38
ni=WiSi
ci(3.7.7)
Dengan menumlahkan semua strata, diperoleh
n=i
k
(WiSi /ci)(3.7 .8)
Dari hubungan persamaan (3.;.;) dan (3.;.), diperoleh
ni=n (Wi S i/ci)
i
k
(Wi S i/c i)
=n Ni Si/ci
i
k
(Ni Si /ci)
(3.7.9)
+ada hubungan persamaan di atas (3.;.@) menunukkan hal!hal penting yang perlu
diperhatikan di dalam strata, kita ingin mengmabil sampel dalam umlah yang besar ika
(i) 2kuran strata lebih besar
(ii) trata memiliki variable yang lebih besar
(iii) Didalam strata biaya per unitnya lebih murah8 lebih sedikit
-ikac i sama dari strata ke strata, hubungan (3.;.@) akan memba1a pada alokasi
Neyman. ama halnya, ikaci dan
S i tidak berbeda dari strata ke strata maka
hubungan (3.;.@) akan memba1a pada alokasi proporsional.
Total ukuran sampel n memerlukan untuk estimasi populasi dengan biaya C yang
diperoleh melalui
n=
(Ca)i
k
(Wi S i/ci)
i
k
(Wi Si ci)
(3.7.10)
-ika = telah ditetapkan8 sudah pasti, diperoleh
n=
(i
k
WiS i /ci)i
k
(WiS ic i)
V+i
k
WiS i2/N
(3.7.11)
Nilai varians strata dapat diperoleh dari survey pendahulu atau dari ukuran dalam tiap
strata. uatu pembuktian alternative alokasi dilakukan oleh tuart ($@7
7/25/2019 3_stRatified Random SampLing
12/38
*eminimumkan = untuk biaya yang sudah ditetapkan atau sebaliknya keduanya
ekuivalen terhadap hasil perkalian yang minimum
V'C
'=( Ain i )( c ini )(3.7.12)ekarang, dalam pertidaksamaan Cauhy!h1arts
(x i2 ) ( yi2)(xiy i)2
sehingga
(A i c i)2
( A ini ) ( c i ni ) +ersamaannya menadi ika dan hanya ika
y i proporsional terhadapx i
cini
A i
ni
=k!nstanta
Dimana ni " Ai /c i(3.7.13)
(i) +ada kasus A i=Wi2Si2
, dari hubungan (3.;.$3) ukuran sampel yang optimum di dalam
strata didapatkan pada hubungan (3.;.@).
(ii) +ada kasusc i=c dan A i=Wi
2Si2
, ukuran sampel yang optimum untuk alokasi Neyman
didapatkan uga dari hubungan di atas.
(iii) +ada kasusA i=Wi dan c i=c , alokasi proporsional uga diperoleh dari hubungan
di atas.
3.0 Peran%inan Presisi Stratified Random Sampling %enan Simple Random
Sampling
Pa%a aian ini kita akan mem(at s(at( peran%inan ilm( antara pen%(a
/an iasan/a men(nakan met'%e simple ran%'m samplin tanpa strati4ikasi %an
strati4ie% ran%'m samplin /an memper(nakan eraai skema al'kasi seperti
al'kasi pr'p'rti'nal %an al'kasi 'ptim(m. &arians pen%(a+estimat'r rata$rata
%in'tasikan %enanV
S#
, V%an
V .
TA5645*/ 3..$
-ika p diabaikan, tunukkan bah1a
V!pt$V$VS#(3.8 .1)
Bukti 0etika p diabaikan, kita memiliki
VS#=S2/n
V=i
k NiSi2
Nn =
i
k
Wi Si2/n
7/25/2019 3_stRatified Random SampLing
13/38
V!pt=(
i
k
NiSi)2
N2n
=(i
k
WiSi)2
/n
eak1/N
i dan $8N tidak berarti, kita bisa peroleh
NS2=
i
k
Ni S i2+
i
k
Ni(YiY)2
6leh karena itu, diperoleh
VS#=S2
n=
1
nN[
i
k
NiSi2+
i
k
Ni(YiY)2]
V+i
k
Ni(YiY)2/nN(3.8.2)
/tauVS#V= menghasilkan sebuah bilangan positi
Aal ini lah yang membuktikan bah1aV$VS#
6leh karena itu, dapat disimpulkan bah1a tingkat presisi8ketepatan yang tertinggi
dapat diperoleh dengan alokasi proporsi dibandingkan dengan simple random sampling.
Dengan ara yang sama
VV!pt= 1
nN
[
i
k
NiSi2(
i
k
NiS i)2
N
] 1nN(ik Ni (S iS )2)(3.8.3)Dimana S=
i
k
NiSi/N
a p!sitiv%&uantity
-uga VS#=V!pt+ [ik
Ni (S i S)2+i
k
Ni(YiY)2]nN (3.8 .4)
ehingga terbukti bah1a V!pt$V
6leh karena itu V!pt$V$VS#
0esimpulannya bah1a alokasi optimum Neyman memberikan hasil yang lebih baik
dibandingkan alokasi proporsional. 0ita amati dari persamaan (3..
7/25/2019 3_stRatified Random SampLing
14/38
kita mengubah dari simple random sampling ke stratiied random sampling dengan alokasi
Neyman, hasil keuntungan dalam ketepatan mengestimasi dipengaruhi dari % aktor, yaitu
(i) +erbedaan diantara rata!rata strata dan
(ii) +erbedaan diantara standar deviasi strata.
impulan -ika p diabaikan, terbukti bah1aV!pt$V$VS#
Contoh 3.$
%EEE petani pemilik lahan di 2ttar +radesh (india) dikelompokkan berdasarkan
ukuran masing!masing. Di ba1ah ini terdapat data umlah pemiliki lahan ( Ni ), rata!rata
1ilayah yang dimiliki setiap pemilik lahan ( Yi ) dan standar deviasi 1ilayah yang dimiliki
setiap pemilik lahan, yaitu sebagai berikut
N
o.
trata
-umlah
+emilik lahan
4ata!rata lahan yang
dimiliki
per pemilik lahan
tandar Deviasi lahan yang
dimiliki
per pemilik lahan
(Ni)( Yi )
($)
$ 3@< 7.< .3
% $ $>.3 $3.3
3 3$ %
7/25/2019 3_stRatified Random SampLing
15/38
$ % 3 < 7 > ; @
$
E $$
$
3
@
3
.;>
>
$.%@
@
7
$
$
$
.
7/25/2019 3_stRatified Random SampLing
16/38
=
==
7/25/2019 3_stRatified Random SampLing
17/38
-n!iased estimator dari =(
y
4) pada sampel strata adalah
+=
k
i
iii
k
i
stii
k
i
iiS, ns((yy(
''
n's(
'n
yv H8)$()(I
)$(
)()
$$()(
%%
%
(3.@.$)
0etelitian relati pada penarikan ontoh berstrata adalah
)(
)()(
st
stS,
yv
yvyv
(3.@.%)
-ika alokasi sampel ukup besar untuk tiap strata, yaitu n iJ 7E maka hubungan antar (3.@.$)
akan menadi,
+
=
H)(I)( %%
%
iiiiiiS, y(y(s('n
n'yv
Dalam prakteknya, ditemukan bah1a varians sampel tidak ukup untuk memperkeilstandar
deviasipada alokasi. -ika alokasinya proporsional, yaitu n$ # n9i ? kita dapat menulis s%,
dengan teknik analisis varians, yaitu
+=
H)(I %%
%%iiiiii y(y(s(s
menunukkan bah1a s%adalah -n!iased estimatorpada proporsi alokasi.
Contoh 3.3
-umlah lada yang terpilih sebagai sampel di suatu desa, yang dibagi menadi tiga strata dari
1ilayah Trivandium diberikan sebagai berikut,
trata
-umlah
desa
-umlah desa
sampel
-umlah lada yang
terpilih
$
7/25/2019 3_stRatified Random SampLing
18/38
$$7,
$7@, $%E
5stimasikan umlah total dari lada beserta standar errornya di 1ilayah Trivandum.0emudian estimasi pula tingkat ketelitiannyaK
+erhitungan yang relevan diberikan di table 3.%.
5stimasi umlah total lada yaitu
== k
iist y')$
7
Dan estimasi varians darist)
adalah
%@.@
7/25/2019 3_stRatified Random SampLing
19/38
5kman ($@7@) member solusi seara teori. Cohran($@>$) melakukan perobaan atau
penilitian guna membuktikan teori seara empirisme. ethi ($@>3) menurunkan solusi untuk
nilai optimum dari kasus strata populasi dan Aess, ethi dan Balakrishnan ($@>>) mena1ab
masalah ini dengan persamaan seara empiris. +ada bab ini akan diterangkan seara rini
tentang konsep ' konsep dari stratiikasi, meskipun hasilnya berupa pendekatan dan terbatas
pada penerapannya.
Dari k strata, mengandung nilai ' nilai subbagian dari y$, y%, . . . , yk!$ sehingga
!yyya k
7/25/2019 3_stRatified Random SampLing
20/38
H)(IH)(I %$%
$$
%%+
++
++ iiiiiiii )yS()yS(
(3.$E.3),
dan ,
$
%$
%
$$
%% H)(IH)(I
+
+
++
+
+
i
iiii
i
iiii
S
)yS(
S
)yS(
(3.$E.
7/25/2019 3_stRatified Random SampLing
21/38
3.11 *ENENT!KAN 9!*LA7 STRATA
Didalam konteks dalam pengambilan umlah strata, poin yang mesti diperhatikan adalah
(i) Bagaimana =(
y
st) berkurang pada saat k bertambahF
(ii) Bagaimana dengan biaya survei mempengaruhi umlah kF
Dalenius dan urney ($@7$), Dalenius ($@73), Cohran ($@>$), ethi ($@>3), dan Aess,
ethi, dan Balakrishman($@>>) membahas pertanyaan dan beberapa model yang telah
diusulkan untuk menentukan umlah strata. 2ntuk yang kedua yang berkenaan pengaruh
biaya pada umlah k melebihi > akan kurang eisien. Beberapa hasil yang telah diteliti seara
signiikan pada survei telah dibahas pada bagian atas.
Aal itu dapat ditunukkan dengan mudah bah1a stratiikasi menambah eisiensi ikaumlah strata bertambah. Batas atas dari strata adalah ukuran sampel sampai pada poin yang
terseleksi pada tiap strata. Tetapi dapat uga ditunukkan bah1a keragaman strata melebihi
yang seharusnya maka metode strata tidak eisien. Dalam survei skala besar, maka tidak
ukup eisien dengan menambah umlah strata sampai dengan kemungkinan umlah
maksimum karena akan berpengaruh pada biaya yang besar. Aal itu telah diperkirakan oleh
Dalenius ($@73) bah1a rasio varians estimasi dari rata ' rata populasi berdasarkan k strata
optimum terhadap k!$ strata optimum adalah (k!$)%8k%yaitu
%%
$ 8)$())(8( kkyVyV stkstk =
(3.$$.$)
Aubungan ini dapat dibuktikan oleh Cohran ($@>$) untuk nilai k#%, 3, dan
7/25/2019 3_stRatified Random SampLing
22/38
-umlah strata optimum kemudian dapat ditetapkan dengan baik.
3.12 *ETO,E PENGGOLONGAN STRATA
0etika kita bertemu dengan populasi yang beragam dan untuk memberikan gambaran agar
mudah di kerakan maka dengan strata dapat dipilih sampel pada tiap strata yang telah
dikelompokkan menurut karakteristiknya masing ' masing. Dalam penelitian, hal itu tidak
mungkin menduga varians rata ' rata. 2ntuk menduga parameter varians rata ' rata
dikelompokkan dalam strata berkelompok. *engelompokkan bagian tiap strata yang tidak
auh berbeda karakteristiknya disebut metode penggolongan strata.
Diberikan unit dalam keadaan berpasangan,ij
y
dan%j
y
, dimama adalah nilai dari $
sampai k8%, k merupakan umlahnya. 0emudian rata ' rata dari sampel adalah
)(%)()()(%$%$%$
%%
jjjjjj yy.y.y.yy. +=
%$%%
$$
%)$()$(
%%
%%
jjj
j
jjj
j
jj yyS
'
')S
'
')
++
+=
)()$(
)( %%%%%
%$%$ jj
j
jjj SS
'
')) +
+=
(3.$%.$)
+ada saat nilai sienya sama N, maka
+= %8
%%8
%)()()( %$
%$
k
j
jj
k
jstjj ))yVyy.
(3.%$.%)
"ni menunukkan bah1a seara kuantitati
%8
%)(%$
k
jjj yy
, digunakan pada saat
mengestimasi varians, kemudian
)( styV
. 0edua pernyataan dapat ditiadakan ika strata
dibentuk menadi kelompok dan perbedaan nilai tiap strata keil. Dengan kata lain
memasangkan data yang telah tersusun menunukkan persamaan sie total nilai y.
Aartley, 4ao, dan 0eier ($@>@) memberikan pernyataan sebuah metode yang berbeda
dengan ara di atas. *ereka menunukkan dengan mengestimasi rataan pada strata pada
regresi linier. *etode ini memberikan nilai bias yang lebih keil dalam mengestimasi varians,
dalam berbagai keadaan. Ouller ($@;E) uga mengembangkan konsep strata yang
menunukkan tidak bias pada =(
y
st) dengan satu unit per strata untuk sama dan tidaknyapeluang sampel terpilih.
7/25/2019 3_stRatified Random SampLing
23/38
3.12 STRATIIKASI SETELA7 SA*PEL TERSELEKSI :POST-
STRATIFICATION;
Dalam stratiikasi diasumsikan bah1a ukuran strata dan rame sampel pada tiap strata
tersedia. Bagaimanapun uga ada ontoh yang akhirnya tidak tersedia yang menunukkan
datar sampel , umur tiap individu tersedia, meskipun tidak ada perbedaan antara datar
sampelnya dengan umurnya. Dengan bermaam ' maam karakteristik yang ook untuk
distratiikasi, hal ini tidak mungkin terambilnya sampel. *aka post / stratifiation
bergantung pada pengklasiikasian populasi dan terambilnya sampel dari umlah unit dalam
strata. *asalah dari metode ini dibahas oleh Aansen, Aur1it, dan *ado1 ($@73). +rosedur
yang sederhana untuk menduga varians dengan metode ini diberikan oleh 9illiams ($@>%).
0ita akan mengui kebaikan dalam menentukan presisinya.
Diberikan asumsi bah1a Ni dan 9i (i # $, %, . . . , k) diketahui. -ika sampel
dipertimbangkan berdasarkan sampel berstrata, makanilai rata
y
dengan menggunakan
)(
=k
iii"
y(y
yang merupakan -n!iased estimatorbagi
). ebab untuk setiap nilai i
iiii )).ny..y.
=== )()Q()( $$%$(3.$3.$)
Dan
=== ))(y.(y. ik
iii
k
ii"
)()(
(3.$3.%)
2ntuk selanutnya kita akan mengira sie sampel yang besar dan tidak ada nilai n is (i #
$, . . . , k) yang E. *aka
= k
iiiiiki" S('nnnyV
%%)8$8$()....Q(
(3.$3.3)
Dengan menggunakan varians bersyarat maka rumus $.3.$E menadi
)....Q()....Q()( %$$%$ ki"k"" nny.VnnyV.yV
+=
)....Q( $%$ k" nnyV.
=
0arena nilai n"independen, maka
7/25/2019 3_stRatified Random SampLing
24/38
H)8$8$(I %%$ iik
iii S('n. =
%%)H8$)8$(I iik
i
ii S('n. =
(3.$3.E) telah memberikan solusi yang menarik dan
sederhana untuk masalah ini. Langkah!langkahnya adalah sebagai berikut
(i) 0onsep kuadrat dari sel
%ndengan n baris dan n kolom
(ii) +ilih n dengan peluang yang sama sehingga tidak ada dua sel pada kolom atau barisyang sama.
7/25/2019 3_stRatified Random SampLing
25/38
(iii) abung n baris ke dalam k strata sehingga strata ke i memiliki alokasi dari unitin
,
dan
(iv) abung n kolom ke dalam k strata sehingga strata ke memiliki alokasi unit
jn
.
*isalkan
ijn
menadi umlah sel dari strata ke i yang terpilih dalam sampel. 5stimator
(penduga) yang tak bias dari rata!rata populasi adalah sebagai berikut
=i j
ijijiju yn0ny 8$
(3.$
7/25/2019 3_stRatified Random SampLing
26/38
oodman dan 0ish ($@7E) menyarankan sebuah prosedur pemilihan yang dinamakan
pemilihan terkontrol, yang mempertimbangkan apa yang diperlukan yaitu bah1a kombinasi
tertentu dari unit!unit atau kombinasi yeng terpilih memiliki peluang yang lebih besar dalam
pemilihan dan peluang yang lebih keil dalam pemilihan untuk semua kombinasi yang tidak
terpilih. /ndaikan, dalam sebuah petak gandum, dianurkan untuk memilih sebuah sampelaak dan sederhana dari dua lahan untuk mengestimasi rata!rata hasil per hektar. Dalam
sampel, ada tiga kemungkinan (i) kedua lahan teririgasi, (ii) kedua lahan tidak teririgasi atau
(iii) satu lahan teririgasi dan yang lainnya tidak teririgasi. Tidak diragukan lagi, seluruh
sampel akan memberikan hasil estimasi yang tak bias dari rata!rata hasil, tetapi dua sampel
dari kemungkinan yang pertama akan melebihi perkiraan atau parameternya. 6leh karena itu,
dilakukanlah pengelompokan lahan ke dalam dua strata, pertama yaitu lahan teririgrasi dan
strata lainnya yaitu lahan yang tidak teririgasi, dan kemudian memilih sampel aak dan
sederhana dalam satu lahan dari tiap strata. ampel tersebut disebut sampel terpilih dan
lainnya dapat disebut sampel tidak terpilih. +ada tahapan ini, mungkin disebutkan bah1a
peluang beberapa atau semua kombinasi yang terpilih meningkat dan beberapa atau semua
kombinasi yang tidak terpilih berkurang. -adi, pemilihan sampel berstrata dapat dikatakan
suatu metode dari pemilihan terkontrol. Bagaimanapun uga, dalam hal ini 1aktu pemilihan
terkontrol digunakan dalam penambahan kontrol pada stratiikasi untuk memperkeil varians
yang mengestimasi parameter. Aess, 4iedel dan 0itpatrik ($@>$) menggambarkan metode
dan mendapatkan rumus untuk mengestimasi varians estimator dan varians yang
diestimasikan. +endekatan lainnya, menggunakan desain blok yang tidak sempurna, telah
dibahas oleh /vadhani dan ukhatme ($@;3). Dalam hal ini, kita dapat menggambarkan
metode untuk mengui bagaimana peluang dari sampel yang terpilih dapat ditingkatkan.
*isal /,B,C,D merupakan < lahan yang teririgasi dikumpulkan ke dalam strata " dan
misal a.,b,,d,e merupakan 7 lahan yang tidak teririgasi ke dalam strata "". /ndaikan, lebih
auh diketahui bah1a /,B,a dan b tidak diberi pupuk, memiliki kode E, dan lahan C,D,,dan e
diberi pupuk, memiliki kode $. +er1akilan masing!masing dari dua tipe pemberian pupuk
uga diperlukan, tetapi hanya satu unit (lahan) diambil dari tiap i srata. Dalam penumlahan
unit tiap strata, sebuah subsript mengindikasikan tipe aplikasi pemupukan. +ada pemilihan
terkontrol, suatu usaha dibuat untuk meningkatkan peluang dari sampel yang terpilih. alah
satu ara untuk menapainya adalah mengubah unit dalam strata "" agar sampel yang disukai
terpilih pertama. emua kemungkinan sampel dalam stratiikasi dan pemilihan terkontrol,
dengan peluang mereka adalah sebagai berikut
Tael 3.3 Sem(a Kem(nkinan Sampel %alam Strati4ikasi %an Pemili
7/25/2019 3_stRatified Random SampLing
27/38
r'l
I
II
A8
B8
61
,1
A8
B8
c1
%1
e1
EEa#
A88
A8c1
A8%1
A8e1
B8a1
B81
B8c1
B8%1
B8e1
8.8#
8.8#
8.8#
8.8#
8.8#
8.8#
8.8#
8.8#
8.8#
8.8#
61a8
618
61c1
61%1
61e1
,1a8
,18
,1c1
,1%1
,1e1
8.8#
8.8#
8.8#
8.8#
8.8#
8.8#
8.8#
8.8#
8.8#
8.8#
A8
B8
61
,1
61
,1
E1
A8
B8
A8c1
A8%1
B8%1
B8c1
61e1
61a8
,1a8
,18
8.28
8.8#
8.1#
8.18
8.18
8.1#
8.8#
8.28
Dalam pemilihan sampel berstrata, ika unit /E atau BEdiambil dari strata ", kita dapat
mengambil $ ,d$ , atau e$dari strata "" agar kedua tipe stratiikasinya sekarang ialah ukuran
sampel %. ama halnya, C$ atau D$(starat ") dengan aE atau bE (strata ""). +eluang atau
kombinasi yang dinginkan adalah E,7 S E,>P E,7 E,
7/25/2019 3_stRatified Random SampLing
28/38
++=ji
ji
ij
j
j
i
i
pp
yyp
p
y
p
y)V
%%
)(
(3.$7.%)
:ang berbeda dari pemilihan independent
Lati
7/25/2019 3_stRatified Random SampLing
29/38
3.3 =ariasi S,, yang bukan bernilai negative mengikuti distribusi eksponensiald2e i
2
.
+opulasinya dibagi ke dalam % strata pada titik tertentuE2
,dan sampel aak berstrata
berukuran n yang diambil dengan alokasi proporsional. Cari)( st2V
sebagai suatu ungsi
dari . Cari uga nilai optimum dariE2
yang akan meminimumkan nilai varians
3.< =ariasi y mengikuti distribusi retangulardalam interval (a,aPd). "ntervalnya dibagi ke
dalam sub interval k stara berukuran sama. Dari tiap strata, sebuah sampel aak dan
sederhana berukuran nk unit diambil. *isal$V
dan%V
menadi varians untuk sampel
berstrata dan sampel bukan berstrata berukuran n, buktikan bah1a
%
%$ 8 = kVV
3.7 2ntuk populasi normal N(E,$), (y) merupakan ordinat pada y dan 1 merupakan
penimbang antara$y
dan%y
. -ika distribusinya memotong pada$y
dan%y
, tunukan
bah1a rata!rata * dan varians
%Spada perpotongan distribusinya yaitu
*#
"yfyf 8)V()(W %$ , dan
%
%
%$%%$$% )H()(I)()($"
yfyf
"
yfyyfyS
=
3.> uatu populasi dibagi ke dalam % strata berukuran%$dan''
dan standar deviasinya
%$danSS
. Biaya surveinya tetap dan persamaannya yaitu C#%%$$
nn +. /sumsikan
bah1a%$danSS
hampir sama dan p nya dapat diabaikan, tunukan bah1a
%
%%$$%%$$ )8()(8 '''''VV optprop ++=
-ika%$ '' =
, hitung ketelitian peningkatan relati dengan alokasi proporsional ketika
$8 $% = dan %
7/25/2019 3_stRatified Random SampLing
30/38
3.; +eneliti ingin mengambil sampel aak berstrata dengan mengikuti asumsi yaitu
Stratai' iS i3
:%alam Rs.;
1
2
"88
)88
18
28
"
5
(i) +erkirakan nilai
nn 8$dan
nn 8%yang meminimumkan biaya total
C#%%$$ nn +untuk menyari nilai
)( styV
(ii) +erkirakan total sampel yang diperlukan , dengan menggunakan alokasi
6ptimum, untuk membuat
)( styV
#$,ketika p diabaikan.
(iii) +erkirakan uga biaya survey
3. etelah sampel pada latihan 3.; diambil, ditemukan bah1a biaya penelitian sebenarnya
4s. % per unit pada stara $ dan 4s. $E pada strata %.
(i) Berapa besarnya biaya penelitian yang berubah dari nilai yang diharapkan
(ii) -ika biaya penelitiannya diketahui naik, bagaimana bisa dihasilkan nilai
)( styV
#$
untuk perkiraan biaya yang telah diberikan pada latihan 3.;
3.@ 2ntuk memperkirakan rata!rata hasil penangkapan ikan di 1ilayah tertentu di pesisir
"ndia, sepanang pesisir dibagi ke dalam dua strata geograi dengan umlah yang sama
pada pusat penangkaran ikan. Di antara seumlah besar pusat pada tiap strata, sebuah
sampel aak dan sederhana dari kelima pusat dan uga pada tiap pusat dipilih, keluar
seumlah unit, 3 unit dipilih dengan pemilihan sampel aak dan sedehana (4) untuk
menatat berat dari hasil penangkapan. Datanya adalah sebagai berikut
S N' P(sat Besarn/a penankapan /an terpili
7/25/2019 3_stRatified Random SampLing
31/38
:k;
1 2 3
Strata I
Strata II
1
2
3
"
#
1
2
3
"
#
)18
25-
110-
125-
0)8
180#
01-
528
#11
58)
-#"
"11
52
#33
3#-
5#)
-3)
)1)
320
558
)00
#1#
"0-
1138
)#)
508
52)
185
"12
-3)
Carilah perkiraan rata!rata hasil penangkapan per unit, untuk di pesisir, beserta standar
error nya. 2ntuk seumlah pusat yang terpilih, berapakah selisih optimum di antara %
strata ketika umlah dari unit yang terpilih pada pusat adalah 3 dan , >!$7, dan $7 ke atas pada masing!masing. ebuah sampel aak dan sederhana
dari tiap strata dipilih, dan umlah kebun apelnya diatat pada desa yang terpilih.
-umlah kebun apel untuk beragam strata adalah
Strata 9(mla< t'tal 9(mla< %esa
/an terpili
#
)
-
0
5
121
11#
123
183
)3
1"
1"
1"
1"
1"
"202
1133"
2585
#-#3
18882
:##20#3;2
:"3223)"; 2
:1202))#; 2
:18130-2; 2
:250#"#); 2
520 12# #2220
3.$3 2ntuk suatu survei sosial ekonomi seluruh desa dalam suatu 1ilayah, termasuk yang
tidak berpenghuni, dikelompokkan ke dalam < strata berdasarkan ketinggian diatas
permukaan lautdn kepadatan populasinya. Dari tiap strata, dipilih $E desa dengan 4
94. Datanya dalam umlah anggota rumah tangga pada tiap sampel desa adalah
Strat
a
T'tal
>(mlaml peker>a
9(mla3).
ingh,4avindra. Some ontri!utins to the theory of onstrution of strata,+h.D
Thesis,"./8.4.".,Ne1 Delhi,($@>;).
tephan,O.O,.YThe e2peted value and variane of the reiproal and other
negative po"er of a positive Aernoulli variate, /nn.*ath.tatist.,$>,7E!
>$,($@,%3@!%3, ($@%3).
9illiams, .A.,Y+n the variane of an estimator "ith post stratifiation , -.
/mer. tatist./sso.,7;,>%%!>%;,($@>%).