1

1

KONSEP DASAR PROBABILITAS

TI2131 TEORI PROBABILITASMINGGU KE-3 & KE-4

2

Definisi 1

Probabilitas dari sebuah kejadian A adalah jumlah bobot dari tiap titik sampel yang termasuk dalam A. Selanjutnya:

0 < P(A) < 1, P(∅) = 0, dan P(S) = 1Lebih lanjut, jika A1, A2, A3, … adalah suatu runtunan kejadian-kejadian yang saling bebas, maka:

P(A1∩ A2∩ A3) = P(A1) + P(A2) + P(A3)

2

3

Definisi 2

Jika sebuah percobaan dapat menghasilkan Noutcome dengan peluang masing-masing sama, dan jika n dari outcome ini berhubungan dengan kejadian A, maka probabilitas terjadinya kejadian A adalah:

P(A) =

Jika A adalah kejadian munculnya lima kartu dengan gambar yang sama pada permainan poker maka berapa probabilitas A?

Nn

4

Teorema Aditif

Jika A dan B adalah 2 buah kejadian, maka:P(A ∪B) = P(A) + P(B) - P(A ∩B)

Jika A1,A2,…,An bersifat mutually exclusive, maka P(A1∪ A2 ∪ … ∪ An) = P(A1) + P(A2) +… +P(An)Jika A1, A2, … , An adalah partisi dari suatu semesta sampel, makaP(A1∪ A2 ∪ … ∪ An) = P(A1) + P(A2) +… +P(An)

= P(S)= 1

3

5

Teorema Aditif

Untuk tiga kejadian A, B, dan C, P(A ∪B ∪C) = P(A) + P(B) + P(B) - P(A ∩B) -

P(A ∩ C) - P(B ∩C) + - P(A ∩B∩C)Probabilitas Badu harus menjalani operasi katup jantung adalah 0,8 dan probabilitas Badu harus menjalani operasi pelebaran pembuluh darah 0,6 serta probabilitas Badu harus menjalani keduanya adalah 0,5. Berapa probabilitas Badu harus menjalani minimal salah satu operasi di atas?

6

Teorema Aditif

Jika A dan A* merupakan dua kejadian yang bersifat saling komplemen, maka:

P(A) + P(A*) = 1

4

7

Definisi Probabilitas Bersyarat

Probabilitas terjadinya kejadian B ketika telah diketahui bahwa kejadian A terjadi disebut dengan probabilitas bersyarat kejadian B atas kejadian A, disimbolkan dengan P(B|A). P(B|A) ini didefinisikan sebagai:

P(B|A) = ,jika P(A) > 0)(

)(AP

BAP ∩

8

Contoh: Probabilitas Bersyarat

Diberikan data sampel pemakaian merk shampo sebagai berikut:

Jika diketahui seseorang tersebut adalah laki-laki, maka berapa probabilitas ia memakai shampo sunsilk?

Sunsilk Clear Total Laki-laki 150 250 400 Wanita 400 200 600 Total 550 450 1000

5

9

Definisi: Kejadian Independen

Dua kejadian A dan B adalah independen jika dan hanya jika

P(B|A) = P(B) atau P(A|B) = P(A)Kejadian munculnya jenis gambar pada 2 pengambilan kartu adalah independen jika pada pengambilan pertama dilakukan pengembalian dan tidak indenpenden jika pada pengambilan pertama tidak dilakukan pengembalian.

10

Definisi: Kejadian Independen

Misal A adalah kejadian munculnya gambar spadepada pengambilan pertama dan B adalah kejadian munculnya gambar spade pada pengambilan kedua.P(A) = P(B) = 0,25. Jika dilakukan pengembalian, maka P(B|A) = P(B) = 0,25. Jika tidak dilakukan pengembalian maka P(B|A) = 12/51

6

11

Teorema: Aturan Multiplikatif

Jika dalam suatu percobaan kejadian A dan Bkeduanya dapat terjadi bersamaan, maka

P(A∩B) = P(A) P(B|A)Contoh: Terdapat dua buah kantong berisikan bola biru dan merah. Kantong pertama terdiri atas 3 bola merah dan 3 bola biru. Pada kantong kedua terdapat 2 bola merah dan 1 bola biru. Jika diambil satu bola dari kantong pertama secara acak dan tanpa melihat warnanya lalu bola tersebut dimasukkan ke dalam kantong kedua, berapa probabilitas jika diambil satu bola acak dari kantong kedua, warna bola ini adalah biru?

12

Teorema

Dua kejadian A dan B adalah independen (saling bebas) jika dan hanya jika:

P(A∩B) = P(A) P(B)Jika, dalam sebuah percobaan, kejadian A1, A2, …, Akdapat terjadi, makaP(A1∩A2 ∩ … ∩ Ak) = P(A1) P(A2|A1) P(A3|A1∩ A2)…

P(Ak| A1∩ A2∩ …∩ Ak-1)Jika kejadian A1, A2, A3, …, Ak saling bebas, maka.P(A1∩ A2 ∩ A3 ∩ … ∩ Ak) = P(A1) P(A2) P(A3)…P(Ak)

7

13

Contoh: Sebuah koin tidak seimbang sehingga probabilitas munculnya angka adalah dua kali lebih besar dari probabilitas munculnya gambar. Dari 3 kali pelemparan, berapa probabilitas munculnya 2 gambar?

14

Theorem of Total Probability

Jika kejadian-kejadian B1, B2, …, Bk membentuk partisi bagi semesta sampel S sedemikian hingga P(Bi) ≠ 0 untuk i = 1, 2, …, k, maka untuk tiap kejadian A dari S,

P(A) = )|()()(11

i

k

ii

k

ii BAPBPABP ∑∑

==

=∩

8

15

Aturan Bayes

Jika kejadian-kejadian B1, B2, …, Bk membentuk partisi bagi semesta sampel S sedemikian hingga P(Bi) ≠ 0 untuk i = 1, 2, …, k, maka untuk tiap kejadian A dalam S yang memenuhi P(A) ≠ 0,

P(Br|A) =

untuk r = 1, 2, …, k

)|()(

)|()(

)(

)(

11i

k

ii

rrk

ii

r

BAPBP

BAPBP

ABP

ABP

∑∑==

=∩

∩

16

Contoh PemakaianAturan Bayes

Suatu perusahaan memiliki 3 buah pabrik B1, B2, dan B3 yang masing-masing memasok sebanyak 30%, 25%, dan 45% kebutuhan perusahaan. Dari data masa lalu diketahui tingkat cacat produk yang dihasilkan masing-masing pabrik berturut-turut adalah 2%, 3%, dan 2%.

Jika diambil sebuah produk jadi di kantor perusahaan, berapa probabilitas produk tersebut adalah cacat?Jika produk yang diambil adalah cacat, berapa probabilitas produk tersebut berasal dari pabrik B2?