Matematica Calcolo Combinatorio
Docente: Ivan Zivko 1
Matematica Capitolo 3
Calcolo combinatorio
Ivan Zivko
INTRODUZIONE
• Nel calcolo combinatorio vengono sviluppate delle tecniche per determinare, senza enumerazione diretta, il numero dei possibili risultati di un esperimento, o il numero degli elementi di un insieme.
Matematica 2
Matematica Calcolo Combinatorio
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INTRODUZIONE
• I padri del calcolo combinatorio e della probabilità possono essere considerati Blaise Pascal (1623-1662) e Pierre de Fermat (1601-1665).
Matematica 3
Esempio introduttivo• Le località A B C D sono collegate da diverse
strade come indicato:
• Un possibile percorso da A a D sarebbe “z2c”.
• Quanti diversi percorsi da A a D sarebbero possibili in totale?
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A B C D
z
x
y
1
2
a
b
c
d
e
N
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PRINCIPIO MOLTIPLICATIVO FONDAMENTALE
• Se un esperimento viene eseguito in k fasi successive e quest’ultime si possono effettuare rispettivamente in n1, n2, …,nk modi differenti, allora l’esperimento può essere effettuato in
modi differenti.
Matematica 5
knnnn ....21
PRINCIPIO MOLTIPLICATIVO FONDAMENTALE
• Esempio: le targhe automobilistiche di un paese sono composte per i primi due simboli da lettere scelte tra le 21 dell’alfabeto e per gli altri tra le 10 cifre arabiche.
• Quante targhe di 7 simboli è possibile costruire?
Matematica 6
T I 4 0 3 3 9
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DIAGRAMMI AD ALBERO
• Nel calcolo combinatorio si incontrano spesso problemi che possono essere capiti più facilmente con l’ausilio di diagrammi ad albero.
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DIAGRAMMI AD ALBERO
• Esempio: Marco e Claudio giocano a tennis, vince chi fa sue due partite consecutivamente o chi per primo vince tre partite. Il gioco prosegue fin quando uno dei due vince.
• Descrivere tutti i possibili esiti del gioco attraverso un diagramma ad albero.
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DIAGRAMMI AD ALBERO• Soluzione:
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DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE
• Definizione
• Si chiama disposizione con ripetizione di n elementi diversi a k a k( con k numero intero qualunque) ogni sequenza ordinata che si può formare con k degli n elementi, potendo uno stesso elemento figurare nella sequenza fino a k volte.
Matematica 10
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DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE• Esempio:
Matematica 11
0 A
24 7 154
1 32
7 ELEMENTIPresi a 3 a 3
DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE
Matematica 12
0 A
24 7 154
1
323224
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DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE
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0 A
24 7 154
1
32
32
24 32
DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE
• Teorema
• In ogni posizione potremo scegliere sempre tra tutti gli n elementi. Quindi dal principio moltiplicativo fondamentale segue:
knnnnnknD ....),(*
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DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE
• Esempio 2: quali terne di risultati (testa o croce) si possono ottenere lanciando tre volte una moneta?
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DISPOSIZIONI SEMPLICI
• Definizione
• Si chiama disposizione di n elementi diversi presi a k a k ogni sequenza ordinata che si può formare scegliendo k elementi fra gli n dati (k≤n).
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DISPOSIZIONI SEMPLICI
• Osservazione: il fattoriale di un numero n qualsiasi è definito come segue.
• Inoltre vale per definizione:
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123....)2()1(! nnnn
1!0
1!1
DISPOSIZIONI SEMPLICI• Esempio:
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0 A
24 7 154
1 32
7 ELEMENTIPresi a 3 a 3
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DISPOSIZIONI SEMPLICI
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0 A
7 154 1 24 32
DISPOSIZIONI SEMPLICI
• Teorema
• Nella prima posizione potremo scegliere tra n elementi, nella seconda tra (n-1) elementi, nella terza tra (n-2).... Nella k-esima posizione potremo scegliere quindi tra (n-k+1) elementi.
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DISPOSIZIONI SEMPLICI
• Teorema
• Quindi, dal principio moltiplicativo fondamentale segue che:
)!(
!)1(....)2()1()(
kn
nknnnnn,kD
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DISPOSIZIONI SEMPLICI
• Esempio 2: Sia E un insieme con gli elementi E={a; b; c}. Le possibili disposizioni semplici di classe 2 di questi 3 elementi sono soltanto le seguenti:
.,,,,, cbcabcbaacab
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DISPOSIZIONI SEMPLICI
• Esempio 3: un bambino ha 6 cartoncini con disegnate su ognuno una lettera tra A, B, C, D, E, F. Può inserirli in una scacchiera, ma solo 3 alla volta. Quante „paraole“ diverse di 3 lettere può creare?
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PERMUTAZIONI SEMPLICI
• Definizione
• Si chiama permutazione di n elementi diversi ogni sequenza ordinata che si può formare usando tutti gli n elementi.
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PERMUTAZIONI SEMPLICI
• Osservazione
• Ogni permutazione contieni tutti gli n elementi, quindi differisce dalle altre sequenze solo per l‘ordine degli elementi.
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PERMUTAZIONI SEMPLICI
• Esempio:
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0 A
24 7 154
1 32
7 ELEMENTIPresi a 7 a 7
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PERMUTAZIONI SEMPLICI
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0 A24 71541 32
7 ELEMENTIPresi a 7 a 7
0 241541 32
PERMUTAZIONI SEMPLICI
• Teorema
• Nella prima posizione potremo scegliere tra n elementi, nella seconda tra (n-1) elementi, nella terza tra (n-2).... Nella n-esima dovremo per forza mettere l‘ultimo elemento rimasto.
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PERMUTAZIONI SEMPLICI
• Teorema
• Quindi, dal principio moltiplicativo fondamentale segue che:
!12....)3()2()1()( nnnnnnP
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PERMUTAZIONI SEMPLICI
• Esempio 2: In quanti modi 7 persone si possono sedere su 7 sedie alineate?
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Permutazioni circolari
• Se l’allineamento degli n oggetti avviene su una circonferenza, avremo una permutazione circolare, il cui numero di possibilità si calcolerà come segue:
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!1)( nnPc
Permutazioni circolari• Esempio: in quanti modi 4 persone possono
prendere posto attorno ad un tavolo circolare?
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PERMUTAZIONI CON RIPETIZIONE
• Definizione
• Una permutazione di n elementi, di cui almeno due sono uguali, si dice permutazione con ripetizioni.
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PERMUTAZIONI CON RIPETIZIONE
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0 24
24 1 154
1 32
7 ELEMENTIPresi a 7 a 7
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PERMUTAZIONI CON RIPETIZIONE
Matematica 35
0 2424 1 1541 32
7 ELEMENTIPresi a 7 a 7
PERMUTAZIONI CON RIPETIZIONE
• Anche se scambiamo di posto due elementi potremmo ottenere la stessa disposizione:
Matematica 36
0 2424 1 1541 32 0 2424 1 1541 32
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PERMUTAZIONI CON RIPETIZIONI
• Teorema
• Il numero di permutazioni di n elementi di cui k1
sono uguali, k2 sono uguali,..., kn sono uguali è:
!!...!
!
21
,...,, 21
n
kkk
nkkk
nP n
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PERMUTAZIONI CON RIPETIZIONI• Esempio 2: Consideriamo la parola TROTTO. Quanti
anagrammi diversi potremmo creare scambiando tra di loro queste 6 lettere?
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COMBINAZIONI SEMPLICI
• Definizione
• Si chiama combinazione di n elementi diversi presi a k a k ogni insieme che si può formare scegliendo k elementi fra gli n dati (k≤n).
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COMBINAZIONI SEMPLICI
• Osservazione
• L‘ordine degli elementi non ha nessuna importanza!!
• Due combinazioni sono diverse quando differiscono per almeno un elemento.
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COMBINAZIONI SEMPLICI• Esempio:
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0 A
24 7 154
1 32
7 ELEMENTIPresi a 3 a 3
COMBINAZIONI SEMPLICI
Matematica 42
7 0 A 7 0A
!
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COMBINAZIONI SEMPLICI
• Esempio 2: dobbiamo scegliere due lettere tra A, B e C. Se non conta l’ordine con cui si scelgono, quante possibilità abbiamo?
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COMBINAZIONI SEMPLICI
• Teorema
• Le combinazioni semplici equivalgono alle disposizioni semplici togliendo però le varie permutazioni di ogni sequenza, in questo modo l‘ordine degli elementi non avrà più importanza.
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COMBINAZIONI SEMPLICI
• Teorema
)!(!
!
)(
),(),(
knk
n
kP
knDknC
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COMBINAZIONI SEMPLICI
• Osservazione
• Spesso si scrive:
• Ogni combinazione di n elementi a k a k determina automaticamente una combinazione „complementare“ di questi n elementi a n-k.
k
nknC ),(
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COMBINAZIONI CON RIPETIZIONI
• Definizione
• Si chiama combinazione con ripetizioni di n elementi diversi presi a k a k ogni insieme che si può formare scegliendo k elementi fra gli n dati, potendo uno stesso elemento figurare nella sequenza fino a k volte.
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COMBINAZIONI CON RIPETIZIONI
• Osservazione
• Due combinazioni sono diverse quando differisce qualche elemento o il numero delle volte che un elemento compare.
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COMBINAZIONI CON RIPETIZIONI
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0 A
24 7 154
1 32
7 ELEMENTIPresi a 3 a 3
7
A
COMBINAZIONI CON RIPETIZIONI
Matematica 50
7 0 7 0
!
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