PRAKTIKUM STOKASTIK
MODUL TEORI ANTRIAN
1.1. Tujuan Praktikum
Dari kegiatan praktikum ini, praktikan diharapkan :
1. Dapat memahami definisi dan manfaat dari mempelajari teori antrian.
2. Dapat membuat system simulasi sederhana dengan permasalahan
system antrrian yang terjadi dalam studi kasus industry.
3. Dapat memahami konsep dasar teori antrian sederhana khususnya pada
permasalahan layanan fasilitas tunggal.
1.2. Landasan Teori
1.2.1 Pengertian Teori Antrian
Teori antrian diciptakan pada tahun 1909 oleh ahli matematika dan
insinyur berkebangsaan Denmark yang bernama A.K Erlang. Menurut P. Siagian
(1987), suatu antrian adalah suatu garis tunggu dari nasabah (satuan) yang
memerlukan layanan dari satu atau lebih pelayanan (fasilitas layanan). Studi
matematikal dari kejadian atau gejala garis tunggu ini disebut teori antrian.
Kejadian garis tunggu timbul disebabkan oleh kebutuhan akan layanan melebihi
kemampuan (kapasitas) pelayanan atau fasilitas layanan, sehingga nasabah yang
tiba tidak bisa segera mendapat layanan disebabkan kesibukan pelayanan.
Dalam banyak hal, tambahan fasilitas pelayanan dapat diberikan untuk
mengurangi antrian atau untuk mencegah timbulnya antrian. Akan tetapi, biaya
karena memberikan pelayanan tambahan, akan menimbulkan pengurangan
keuntungan mungkin sampai di bawah tingkat yang dapat diterima. Sebaliknya,
sering timbulnya antrian yang panjang akan mengakibatkan hilangnya langganan
atau nasabah.
I – 1
1.2.2 Konsep-konsep Dasar Teori Antrian
Menurut Pangestu, dkk (1989), tujuan dasar model-model antrian adalah
untuk meminimumkan total dua biaya, yaitu biaya langsung penyediaan fasilitas
pelayanan dan biaya tidak langsung yang timbul karena para individu harus
menunggu untuk dilayani.
Sistem antrian sederhana ini mempunyai 2 bagian dasar, yaitu suatu
antrian tunggal dan sebuah fasilitas pelayanan tunggal, yang juga disebut sebagai
single channel. Berikut ini merupakan antrian dengan model singgle channel :
Gambar 1. Antrian Model Singgle Channel
Sistem antrian yang memiliki banyak model, secara umum memiliki 6 elemen
elemen pokok, yaitu (Pangestu, dkk., 1989) :
a. Sumber masukan (Input)
Sumber masukan dari suatu sistem antrian dapat terdiri atas suatu populasi
orang, barang, komponen atau kertas kerja yang datang pada sistem untuk
dilayani.
b. Pola kedatangan
Cara individu-individu dari populasi memasuki sistem disebut pola
kedatangan (arrival pattern). Individu-individu mungkin datang dengan
tingkat kedatangan (arrival rate) yang konstan ataupun acak/random (yaitu
beberapa banyak kedatangan individu-individu per periode waktu).
Distribusi probabilitas Poisson adalah salah satu dari pola-pola kedatangan
yang paling sering (umum) bila kedatangan-kedatangan didistribusikan secara
random. Hal ini terjadi karena distribusi Poisson menggambarkan jumlah
kedatangan per unit waktu bila sejumlah besar variabel-variabel random
mempengaruhi tingkat kedatangan. Bila pola kedatangan individu-individu
mengikuti suatu distribusi Poisson, maka waktu antar kedatangan atau
I - 2
Antri Fasilitas Pelayanan
Populasi Sumber Masukan Sistem Antrian Keluar
Individu-individu
Individu yang telah dilayani
interarrival time (yaitu waktu antara kedatangan setiap individu) adalah
random dan mengikuti suatu distribusi eksponensial (exponential
distribution).
c. Disiplin antrian/disiplin pelayanan
Disiplin antrian menunjukkan pedoman keputusan yang digunakan untuk
menyeleksi individu-individu yang memasuki antrian utnuk dilayani terlebih
dahulu (prioritas). Disiplin antrian yang paling umum adalah pedoman first
come first served (FCFS), yang pertama kali datang pertama kali dilayani.
Tetapi bagaimanapun juga ada beberapa tipe disiplin antrian lainnya yang
dapat termasuk dalam model-model matematis antrian.
Menurut Siagian (1987), ada 4 bentuk disiplin pelayanan yang biasa
digunakan dalam praktek, yaitu:
1. First come first served (FCFS) atau first in first out (FIFO), artinya lebih
dahulu datang (sampai) lebih dahulu dilayani. Misalnya antri membeli
tiket bioskop.
2. Last come first served (LCFS) atau last in first out (LIFO), artinya yang
tiba terakhir yang lebih dahulu keluar. Misalnya, sistem antrian dalam
elevator (lift) untuk lantai yang sama.
3. Service in random order (SIRO), artinya panggilan didasarkan pada
peluang secara random, tidak soal siapa yang lebih dahulu tiba.
4. Priority service (PS), artinya prioritas pelayanan diberikan kepada yang
mempunyai prioritas lebih tinggi dibandingkan dengan yang mempunyai
prioritas lebih rendah, meskipun yang terakhir ini kemungkinan sudah
lebih dahulu tiba dalam garis tunggu. Kejadian seperti ini kemungkinan
disebabkan oleh beberapa hal, misalnya seseorang dengan keadaan
penyakit lebih berat dibanding dengan orang lain dalam suatu tempat
praktek dokter. Mungkin juga, karena kedudukan atau jabatan seseorang
menyebabkan dilayani terlebih dahulu atau diberi prioritas lebih tinggi,
tidak soal siapa yang terlebih dahulu masuk garis tunggu.
I - 3
d. Kepanjangan antrian
Banyak sistem antrian dapat menampung jumlah individu-individu yang
relatif besar, tetapi ada beberapa sistem yang mempunyai kapasitas terbatas.
Bila kapasitas antrian menjadi faktor pembatas besarnya jumlah individu yang
dapat dilayani dalam sistem secara nyata, berarti sistem mempunyai
kepanjangan antrian yang terbatas (finite).
e. Tingkat pelayanan
Waktu yang digunakan untuk melayani individu-individu dalam suatu
sistem disebut waktu pelayanan (service time). Waktu ini mungkin konstan,
tetapi juga sering acak (random). Jika waktu pelayanan konstan, maka waktu
yang diperlukan untuk melayani setiap pelanggan sama. Walaupun distribusi
Poisson dan distrubusi eksponensial adalah distribusi yang paling sering
digunakan untuk menggambarkan tingkat kedatangan dan waktu pelayanan,
tidak semua kedatangan dan pelayanan dapat secara tepat digambarkan oleh
distribusi tersebut.
f. Keluar (exit)
Sesudah seseorang (individu) telah selesai dilayani, dia keluar (exit) dari
sistem.
1.2.3 Model Antrian Dasar
Ada 4 model struktur antrian dasar yang umum terjadi dalam seluruh
sistem antrian, (Pangestu, dkk, 1989):
1. Single channel-single phase
Sistem ini adalah yang paling sederhana. Single channel berarti bahwa
hanya ada satu jalur untuk memasuki sistem pelayanan atau ada satu fasilitas
pelayanan. Single phase menunjukkan bahwa hanya ada satu stasiun
pelayanan atau sekumpulan tunggal operasi yang dilaksanakan. Rumus-rumus
yang digunakan yaitu:
Ls = Ws = P = Po = 1 -
I - 4
II-14
Lq = Wq = Pn =
Keterangan :
λ = Rata-rata tingkat kedatangan/jam
µ = Rata-rata tingkat Pelayanan/jam
Lq = Jumlah unit rata-rata yang diharapkan dalam antrian (unit)
Ls = Jumlah unit rata-rata yang diharapkan dalam sistem (unit)
Wq = Waktu menunggu rata-rata yang diharapkan dalam antrian (Jam)
Ws = Waktu menunggu rata-rata yang diharapkan dalam sistem (Jam)
P = Tingkat intensitas fasilitas pelayanan
Pn = Probabilitas kepastian n pelanggan dalam sistem
Po = Probabilitas tidak ada pelanggan dalam sistem
Secara umum sistem Single channel-single phase dimodelkan sebagai berikut:
Gambar 2. Struktur Antrian Single Channel-Single Phase
Keterangan :
M = Antrian ; S = Fasilitas Pelayanan (server)
2. Single channel-multiphase
Istilah multiphase menunjukkan ada dua atau lebih pelayanan yang
dilaksanakan secara berurutan (dalam phase-phase). Sebagai contoh : lini
produksi massa, pencucian mobil, tukang cat mobil, dan sebagainya. Rumus-
rumus yang digunakan yaitu:
Lq =
I - 5
L = P =
Keterangan :
Q = Jumlah server
Berikut ini merupakan gambaran secara umum dari sistem Single channel-
multiphase:
Gambar 3. Struktur Antrian Single Channel Multiphase
3. Multichannel-single phase
Sistem Multichannel-single phase terjadi ketika ada dua atau lebih fasilitas
pelayanan dialiri oleh antrian tunggal, seperti yang ditunjukkan oleh gambar 3.
Sebagai contoh model ini adalah pembelian tiket yang dilayani oleh lebih dari
satu loket, pelayanan potong rambut oleh beberapa tukang rambut, dan
sebagainya. Rumus-rumus yang digunakan yaitu:
P = L = W =
I - 6
Lq = Pw =
Wq = Po =
Berikut ini merupakan gambaran secara umum dari sistem Multichannel-
single phase:
Gambar 3. Struktur Antrian Multichannel-Single Phase
4. Multichannel-multiphase
Sistem Multichannel-multiphase ditunjukkan oleh gambar 4. Sebagai
contoh, registrasi para mahasiswa di universitas, pelayanan kepada pasien di
rumah sakit mulai dari pendaftaran, diagnosa, penyembuhan sampai dengan
pembayaran. Pada umunya, jaringan antrian ini terlalu kompleks untuk
dianalisa dengan teori antrian, mungkin simulasi lebih sering digunakan untuk
menganalisa sistem ini.
Gambar 4. Struktur Antrian Multichannel-Multiphase
I - 7
Selain empat model struktur antrian di atas sering terjadi struktur
campuran (mixed arrangements) yang merupakan campuran dari dua atau lebih
struktur antrian di atas. Misal, ditoko-toko dengan beberapa pelayan
(multichannel), namun pembayaran hanya pada seorang kasir (single channel).
1.3 Studi Kasus
Pada praktikum kali ini akan dibahas mengenai permasalahan pada system
antrian sederhana single channel-single phase.
Suatu perusahaan manufaktur yang bergerak dalam bidang produksi air
mineral ingin melakukan evaluasi terhadap system produksi yang dilakukan
selama sebulan terakhir. Salah satu bahan evaluasi yang dijadikan prioritas utama
adalah terjadinya system antrian dalam salah satu proses produksi yaitu pengisian
air ke dalam botol produk. Proses produksi yang dilakukan mempunyai informasi
rata-rata kedatangan botol pada mesin filling sebesar 140 unit/jam. Mesin filling
tersebut mempunyai rata-rata tingkat pelayanan adalah 4,75 menit . Berdasarkan
permasalahan tersebut, perusahaan ingin mengetahui jumlah unit rata-rata yang
diharapkan dalam antrian (unit) dan sistem (unit), waktu menunggu rata-rata yang
diharapkan dalam antrian dan sistem, tingkat intensitas pelayanan, dan peluang
tidak adanya pelanggan dalam sistem.
1.3.1 Penyelesaian
Berikut ini merupakan penyelesaian pada permasalahan tersebut. Dalam
hal ini 4,75 menit adalah 285 detik.
a. Jumlah unit rata-rata yang diharapkan dalam antrian.
Lq =
b. Jumlah unit rata-rata yang diharapkan dalam sistem.
Ls =
c. Waktu menunggu rata-rata yang diharapkan dalam antrian
I - 8
Wq =
d. Waktu menunggu rata-rata yang diharapkan dalam system.
Ws =
e. Tingkat Intensitas Fasilitas Pelayanan
P =
Sehingga tingkat intensitas fasilitas pelayanan adalah 49%.
f. Probabilitas tidak terdapat pelanggan dalam system
Po = 1 - = 1 - atau 51%
Berikut ini merupakan penyelesaian menggunakan software Win QSB.
Pertama, membuka program Queuing Analysis pada WinQSB. Kemudian
memilih perintah new problem dan melakukan input data seperti pada gambar di
bawah ini.
Langkah selanjutnya adalah mengisi data entry seperti pada gambar di
bawah ini sesuai dengan studi kasus.
I - 9
Langkah terakhir adalah melakukan penyelesaian akhir dengan memilih
perintah solve and analyse dilanjutkan dengan solve the performance. Sehingga
akan diperoleh output sebagai berikut.
I - 10
1.3.2 Penyelesaian Software QM
Selain menggunakan software WinQSB, permasalahan sederhana tersebut
dapat diselesaikan dengan menggunakan software lainnya adalah QM
(Quantitative Method)
Membuka software QM dengan seperti gambar di bawah ini. Selanjutnya
lakukan input huruf sesuai permasalahan yang akan diselesaikan, dalam hal ini
pilih Queueing Theory dengan input variable L.
Tampilan selanjutnya meminta user untuk memilih metode antrian yang
digunakan, sesuai dengan permasalahannya maka dipilih Standar Single Server.
Proses selanjutnya adalah melakukan input terhadap permasalahan yang diketahui
seperti rata-rata kedatangan, dan rata-rata waktu pelayanan.
I - 11
Setelah data diinput, selanjutnya dilakukan proses untuk menghasilkan output
software dengan memilih Esc dilanjutkan dengan Run program sehingga akan
dihasilkan output software sebagai berikut.
a. Jumlah unit rata-rata yang diharapkan dalam antrian sebesar 0,47
b. Jumlah unit rata-rata yang diharapkan dalam system sebesar 0,96
c. Waktu menunggu rata-rata yang diharapkan dalam antrian sebesar 0,003
d. Waktu menunggu rata-rata yang diharapkan dalam system sebesar 0,006
e. Tingkat Intensitas Fasilitas Pelayanan sebesar 0,49. Sehingga tingkat
intensitas fasilitas pelayanan adalah 49%.
f. Probabilitas tidak terdapat pelanggan dalam system sebesar 0,51 atau 51%
I - 12