PRAKTIKUM STOKASTIK

MODUL TEORI ANTRIAN

1.1. Tujuan Praktikum

Dari kegiatan praktikum ini, praktikan diharapkan :

1. Dapat memahami definisi dan manfaat dari mempelajari teori antrian.

2. Dapat membuat system simulasi sederhana dengan permasalahan

system antrrian yang terjadi dalam studi kasus industry.

3. Dapat memahami konsep dasar teori antrian sederhana khususnya pada

permasalahan layanan fasilitas tunggal.

1.2. Landasan Teori

1.2.1 Pengertian Teori Antrian

Teori antrian diciptakan pada tahun 1909 oleh ahli matematika dan

insinyur berkebangsaan Denmark yang bernama A.K Erlang. Menurut P. Siagian

(1987), suatu antrian adalah suatu garis tunggu dari nasabah (satuan) yang

memerlukan layanan dari satu atau lebih pelayanan (fasilitas layanan). Studi

matematikal dari kejadian atau gejala garis tunggu ini disebut teori antrian.

Kejadian garis tunggu timbul disebabkan oleh kebutuhan akan layanan melebihi

kemampuan (kapasitas) pelayanan atau fasilitas layanan, sehingga nasabah yang

tiba tidak bisa segera mendapat layanan disebabkan kesibukan pelayanan.

Dalam banyak hal, tambahan fasilitas pelayanan dapat diberikan untuk

mengurangi antrian atau untuk mencegah timbulnya antrian. Akan tetapi, biaya

karena memberikan pelayanan tambahan, akan menimbulkan pengurangan

keuntungan mungkin sampai di bawah tingkat yang dapat diterima. Sebaliknya,

sering timbulnya antrian yang panjang akan mengakibatkan hilangnya langganan

atau nasabah.

I – 1

1.2.2 Konsep-konsep Dasar Teori Antrian

Menurut Pangestu, dkk (1989), tujuan dasar model-model antrian adalah

untuk meminimumkan total dua biaya, yaitu biaya langsung penyediaan fasilitas

pelayanan dan biaya tidak langsung yang timbul karena para individu harus

menunggu untuk dilayani.

Sistem antrian sederhana ini mempunyai 2 bagian dasar, yaitu suatu

antrian tunggal dan sebuah fasilitas pelayanan tunggal, yang juga disebut sebagai

single channel. Berikut ini merupakan antrian dengan model singgle channel :

Gambar 1. Antrian Model Singgle Channel

Sistem antrian yang memiliki banyak model, secara umum memiliki 6 elemen

elemen pokok, yaitu (Pangestu, dkk., 1989) :

a. Sumber masukan (Input)

Sumber masukan dari suatu sistem antrian dapat terdiri atas suatu populasi

orang, barang, komponen atau kertas kerja yang datang pada sistem untuk

dilayani.

b. Pola kedatangan

Cara individu-individu dari populasi memasuki sistem disebut pola

kedatangan (arrival pattern). Individu-individu mungkin datang dengan

tingkat kedatangan (arrival rate) yang konstan ataupun acak/random (yaitu

beberapa banyak kedatangan individu-individu per periode waktu).

Distribusi probabilitas Poisson adalah salah satu dari pola-pola kedatangan

yang paling sering (umum) bila kedatangan-kedatangan didistribusikan secara

random. Hal ini terjadi karena distribusi Poisson menggambarkan jumlah

kedatangan per unit waktu bila sejumlah besar variabel-variabel random

mempengaruhi tingkat kedatangan. Bila pola kedatangan individu-individu

mengikuti suatu distribusi Poisson, maka waktu antar kedatangan atau

I - 2

Antri Fasilitas Pelayanan

Populasi Sumber Masukan Sistem Antrian Keluar

Individu-individu

Individu yang telah dilayani

interarrival time (yaitu waktu antara kedatangan setiap individu) adalah

random dan mengikuti suatu distribusi eksponensial (exponential

distribution).

c. Disiplin antrian/disiplin pelayanan

Disiplin antrian menunjukkan pedoman keputusan yang digunakan untuk

menyeleksi individu-individu yang memasuki antrian utnuk dilayani terlebih

dahulu (prioritas). Disiplin antrian yang paling umum adalah pedoman first

come first served (FCFS), yang pertama kali datang pertama kali dilayani.

Tetapi bagaimanapun juga ada beberapa tipe disiplin antrian lainnya yang

dapat termasuk dalam model-model matematis antrian.

Menurut Siagian (1987), ada 4 bentuk disiplin pelayanan yang biasa

digunakan dalam praktek, yaitu:

1. First come first served (FCFS) atau first in first out (FIFO), artinya lebih

dahulu datang (sampai) lebih dahulu dilayani. Misalnya antri membeli

tiket bioskop.

2. Last come first served (LCFS) atau last in first out (LIFO), artinya yang

tiba terakhir yang lebih dahulu keluar. Misalnya, sistem antrian dalam

elevator (lift) untuk lantai yang sama.

3. Service in random order (SIRO), artinya panggilan didasarkan pada

peluang secara random, tidak soal siapa yang lebih dahulu tiba.

4. Priority service (PS), artinya prioritas pelayanan diberikan kepada yang

mempunyai prioritas lebih tinggi dibandingkan dengan yang mempunyai

prioritas lebih rendah, meskipun yang terakhir ini kemungkinan sudah

lebih dahulu tiba dalam garis tunggu. Kejadian seperti ini kemungkinan

disebabkan oleh beberapa hal, misalnya seseorang dengan keadaan

penyakit lebih berat dibanding dengan orang lain dalam suatu tempat

praktek dokter. Mungkin juga, karena kedudukan atau jabatan seseorang

menyebabkan dilayani terlebih dahulu atau diberi prioritas lebih tinggi,

tidak soal siapa yang terlebih dahulu masuk garis tunggu.

I - 3

d. Kepanjangan antrian

Banyak sistem antrian dapat menampung jumlah individu-individu yang

relatif besar, tetapi ada beberapa sistem yang mempunyai kapasitas terbatas.

Bila kapasitas antrian menjadi faktor pembatas besarnya jumlah individu yang

dapat dilayani dalam sistem secara nyata, berarti sistem mempunyai

kepanjangan antrian yang terbatas (finite).

e. Tingkat pelayanan

Waktu yang digunakan untuk melayani individu-individu dalam suatu

sistem disebut waktu pelayanan (service time). Waktu ini mungkin konstan,

tetapi juga sering acak (random). Jika waktu pelayanan konstan, maka waktu

yang diperlukan untuk melayani setiap pelanggan sama. Walaupun distribusi

Poisson dan distrubusi eksponensial adalah distribusi yang paling sering

digunakan untuk menggambarkan tingkat kedatangan dan waktu pelayanan,

tidak semua kedatangan dan pelayanan dapat secara tepat digambarkan oleh

distribusi tersebut.

f. Keluar (exit)

Sesudah seseorang (individu) telah selesai dilayani, dia keluar (exit) dari

sistem.

1.2.3 Model Antrian Dasar

Ada 4 model struktur antrian dasar yang umum terjadi dalam seluruh

sistem antrian, (Pangestu, dkk, 1989):

1. Single channel-single phase

Sistem ini adalah yang paling sederhana. Single channel berarti bahwa

hanya ada satu jalur untuk memasuki sistem pelayanan atau ada satu fasilitas

pelayanan. Single phase menunjukkan bahwa hanya ada satu stasiun

pelayanan atau sekumpulan tunggal operasi yang dilaksanakan. Rumus-rumus

yang digunakan yaitu:

Ls = Ws = P = Po = 1 -

I - 4

II-14

Lq = Wq = Pn =

Keterangan :

λ = Rata-rata tingkat kedatangan/jam

µ = Rata-rata tingkat Pelayanan/jam

Lq = Jumlah unit rata-rata yang diharapkan dalam antrian (unit)

Ls = Jumlah unit rata-rata yang diharapkan dalam sistem (unit)

Wq = Waktu menunggu rata-rata yang diharapkan dalam antrian (Jam)

Ws = Waktu menunggu rata-rata yang diharapkan dalam sistem (Jam)

P = Tingkat intensitas fasilitas pelayanan

Pn = Probabilitas kepastian n pelanggan dalam sistem

Po = Probabilitas tidak ada pelanggan dalam sistem

Secara umum sistem Single channel-single phase dimodelkan sebagai berikut:

Gambar 2. Struktur Antrian Single Channel-Single Phase

Keterangan :

M = Antrian ; S = Fasilitas Pelayanan (server)

2. Single channel-multiphase

Istilah multiphase menunjukkan ada dua atau lebih pelayanan yang

dilaksanakan secara berurutan (dalam phase-phase). Sebagai contoh : lini

produksi massa, pencucian mobil, tukang cat mobil, dan sebagainya. Rumus-

rumus yang digunakan yaitu:

Lq =

I - 5

L = P =

Keterangan :

Q = Jumlah server

Berikut ini merupakan gambaran secara umum dari sistem Single channel-

multiphase:

Gambar 3. Struktur Antrian Single Channel Multiphase

3. Multichannel-single phase

Sistem Multichannel-single phase terjadi ketika ada dua atau lebih fasilitas

pelayanan dialiri oleh antrian tunggal, seperti yang ditunjukkan oleh gambar 3.

Sebagai contoh model ini adalah pembelian tiket yang dilayani oleh lebih dari

satu loket, pelayanan potong rambut oleh beberapa tukang rambut, dan

sebagainya. Rumus-rumus yang digunakan yaitu:

P = L = W =

I - 6

Lq = Pw =

Wq = Po =

Berikut ini merupakan gambaran secara umum dari sistem Multichannel-

single phase:

Gambar 3. Struktur Antrian Multichannel-Single Phase

4. Multichannel-multiphase

Sistem Multichannel-multiphase ditunjukkan oleh gambar 4. Sebagai

contoh, registrasi para mahasiswa di universitas, pelayanan kepada pasien di

rumah sakit mulai dari pendaftaran, diagnosa, penyembuhan sampai dengan

pembayaran. Pada umunya, jaringan antrian ini terlalu kompleks untuk

dianalisa dengan teori antrian, mungkin simulasi lebih sering digunakan untuk

menganalisa sistem ini.

Gambar 4. Struktur Antrian Multichannel-Multiphase

I - 7

Selain empat model struktur antrian di atas sering terjadi struktur

campuran (mixed arrangements) yang merupakan campuran dari dua atau lebih

struktur antrian di atas. Misal, ditoko-toko dengan beberapa pelayan

(multichannel), namun pembayaran hanya pada seorang kasir (single channel).

1.3 Studi Kasus

Pada praktikum kali ini akan dibahas mengenai permasalahan pada system

antrian sederhana single channel-single phase.

Suatu perusahaan manufaktur yang bergerak dalam bidang produksi air

mineral ingin melakukan evaluasi terhadap system produksi yang dilakukan

selama sebulan terakhir. Salah satu bahan evaluasi yang dijadikan prioritas utama

adalah terjadinya system antrian dalam salah satu proses produksi yaitu pengisian

air ke dalam botol produk. Proses produksi yang dilakukan mempunyai informasi

rata-rata kedatangan botol pada mesin filling sebesar 140 unit/jam. Mesin filling

tersebut mempunyai rata-rata tingkat pelayanan adalah 4,75 menit . Berdasarkan

permasalahan tersebut, perusahaan ingin mengetahui jumlah unit rata-rata yang

diharapkan dalam antrian (unit) dan sistem (unit), waktu menunggu rata-rata yang

diharapkan dalam antrian dan sistem, tingkat intensitas pelayanan, dan peluang

tidak adanya pelanggan dalam sistem.

1.3.1 Penyelesaian

Berikut ini merupakan penyelesaian pada permasalahan tersebut. Dalam

hal ini 4,75 menit adalah 285 detik.

a. Jumlah unit rata-rata yang diharapkan dalam antrian.

Lq =

b. Jumlah unit rata-rata yang diharapkan dalam sistem.

Ls =

c. Waktu menunggu rata-rata yang diharapkan dalam antrian

I - 8

Wq =

d. Waktu menunggu rata-rata yang diharapkan dalam system.

Ws =

e. Tingkat Intensitas Fasilitas Pelayanan

P =

Sehingga tingkat intensitas fasilitas pelayanan adalah 49%.

f. Probabilitas tidak terdapat pelanggan dalam system

Po = 1 - = 1 - atau 51%

Berikut ini merupakan penyelesaian menggunakan software Win QSB.

Pertama, membuka program Queuing Analysis pada WinQSB. Kemudian

memilih perintah new problem dan melakukan input data seperti pada gambar di

bawah ini.

Langkah selanjutnya adalah mengisi data entry seperti pada gambar di

bawah ini sesuai dengan studi kasus.

I - 9

Langkah terakhir adalah melakukan penyelesaian akhir dengan memilih

perintah solve and analyse dilanjutkan dengan solve the performance. Sehingga

akan diperoleh output sebagai berikut.

I - 10

1.3.2 Penyelesaian Software QM

Selain menggunakan software WinQSB, permasalahan sederhana tersebut

dapat diselesaikan dengan menggunakan software lainnya adalah QM

(Quantitative Method)

Membuka software QM dengan seperti gambar di bawah ini. Selanjutnya

lakukan input huruf sesuai permasalahan yang akan diselesaikan, dalam hal ini

pilih Queueing Theory dengan input variable L.

Tampilan selanjutnya meminta user untuk memilih metode antrian yang

digunakan, sesuai dengan permasalahannya maka dipilih Standar Single Server.

Proses selanjutnya adalah melakukan input terhadap permasalahan yang diketahui

seperti rata-rata kedatangan, dan rata-rata waktu pelayanan.

I - 11

Setelah data diinput, selanjutnya dilakukan proses untuk menghasilkan output

software dengan memilih Esc dilanjutkan dengan Run program sehingga akan

dihasilkan output software sebagai berikut.

a. Jumlah unit rata-rata yang diharapkan dalam antrian sebesar 0,47

b. Jumlah unit rata-rata yang diharapkan dalam system sebesar 0,96

c. Waktu menunggu rata-rata yang diharapkan dalam antrian sebesar 0,003

d. Waktu menunggu rata-rata yang diharapkan dalam system sebesar 0,006

e. Tingkat Intensitas Fasilitas Pelayanan sebesar 0,49. Sehingga tingkat

intensitas fasilitas pelayanan adalah 49%.

f. Probabilitas tidak terdapat pelanggan dalam system sebesar 0,51 atau 51%

I - 12