המחשב מדעי של לתאוריה לונדוןמבוא ערן תשע"גד"ר ־ ב' סמסטר

מדעי של לתאוריה מבואערן ד"ר ־ תשע"ג ־ המחשב

לונדון

I חלק

אינסופיות קבוצות של עוצמותקצרה: תזכרות

־ A,B קבוצות שתי עבור קבוצות: על שקילות יחס הגדרנוהפיכה. f : A→ B קיימת אם"ם A ≡I B

של העוצמה לה: ונקרא |A|ב־ נסמן A של השקילות מחלקת את.A

,|A| = n נסמן: אז A ≡I 1, 2, . . . , nש־ כך n ∈ N קיים אם.|A| = 0 נסמן אז A = ∅ אם או

סופית. קבוצה היא Aש־ נאמר הללו המקרים בשני

בת־מנייה קבוצה 1

סופית. קבוצה לא היא אם אינסופית קבוצה היא A.(...N,Q,R,N× N (למשל:

|N| = ℵ0 הגדרה:

.|N| = |Z| = |Q| = ℵ0 טענה:או סופית קבוצה היא A אם בת־מנייה היא A קבוצה הגדרה:

.|A| = ℵ0

|(0, 1)| = |R| 6= ℵ0 משפט:

קטעים בין עוצמות 2

?|(0, 1)| = |(12, 98)| ש־ מראים איךתשובה:

ש־ כך f (x) = ax+ b מהצורה לינארית פונקציה בוניםש־ נובע ומכך f (0) = 12 , f (1) = 98

,b = f (0) = 12

a+ b = f (1) = 98⇒ a = 98− b = 98− 12 = 86

הינה: (וההפיכה) הלינארית הפונקציה לכןעוצמה שווי הם הקטעים ששני ומכאן ־ f (x) = 86x+ 12

.f : (0, 1)→ (12, 98) הפיכה: פונקציה וקיימת היותמהקטעים אחד כל כאשר גם אותנו לשמש יכולה פונקציה אותה

סגורים. בקטעים או חצי־פתוח, חצי־סגור הואכללי: באופן

.|(a, b)| = |(c, d)| אזי: c < d וגם a < bו־ a, b, c, d ∈ R אם

קבוצות בין עוצמות 3

או גדולה B שעוצמת נאמר קבוצות. שתי A,B תהיינה הגדרה:סימון: .f : A→ B חח"ע פונקציה קיימת אם A לעוצמת שווה

.|A| ≤ |B|ולא |A| ≤ |B| אם A מעוצמת גדולה B שעוצמת נאמר הגדרה:

.|A| < |B| סימון: .B על שהיא g : A→ B פונקציה קיימת

קנטור־ברנשטיין־שרדר משפט 3.1

:A,B קבוצות שתי תהיינה

.|A| = |B| ⇐= |B| ≤ |A| וגם |A| ≤ |B| אםוקיימת חח"ע שהיא f : A → B קיימת אם אחרות: (במיליםחח"ע שהיא h : A → B קיימת אזי חח"ע שהיא g : B → A

ועל).

אם קבוצות, שתי לנו ונתונות במדיה ־ לזכור כדאי ־ ♣מהשניה חח"ע ופונקציה לשנייה מהראשונה חח"ע פונקציה מצאנו

עוצמה! שוות הן הקבוצות אזי ־ לראשונה

.|A| < |P (A)| מתקיים: A קבוצה לכל משפט:

.(|P (N)| = |R| (הערה:

II חלק

הגרפים תורת

בסיסיות הגדרות 4

זוגות של קבוצה Eו־ ריקה לא סופית קבוצה V תהא הגדרה:גרף קוראים אנחנו (V,E) לזוג .V מ־ שונים איברים של סדורים

מכוון.

היא Eו־ הגרף של (Vertices) הקודקודים קבוצת היא V.(Edges/Arcs) הצלעות קבוצת

אינו (V,E) הגרף אזי סדורים אינם Eב־ הזוגות אם הערה:

מכוון.

1

המחשב מדעי של לתאוריה לונדוןמבוא ערן תשע"גד"ר ־ ב' סמסטר

פרטים יותר עם דוגמאות בסיסיות, ממש דוגמאות (כמה למשל:בהמשך) יהיו

,E = 1, 2 , 1, 4 , 2, 3 ,V = 1, 2, 3, 4, 5מכוון. לא גרף הוא G = (V,E) הגרף

1 2 3

5 4

פשוטה: יותר דוגמא או,.E = (1, 2) , (3, 1) ,V = 1, 2, 3

מכוון. גרף הוא G = (V,E)

1 // 2

3

ff

לזכור: כדאיהיא המחדל ברירת אזי מדובר סוג איזה על מוזכר לא כאשר ♣

מכוון. לא גרףסוגריים עם Eב־ זוגות נראה מכוון, לא בגרף גם כלל, בדרך ♣

.(a, b)

.m = |E| ־ הצלעות מספר ,n = |V | ־ הקודקודים מספר סימון:

שכנים 4.1

u אז .u, v ∈ Eו־ מכוון לא גרף G = (V,E) יהא הגדרה:קודקודים זוג הם u, v והזוג ,u של שכן הוא vו־ v של שכן הוא

שכנים.תסומן: u קודקוד של השכנים קבוצת

.Γ (u) = v ∈ V, u, v ∈ Eשכן הוא v אזי (u, v) ∈ E אם מכוון. גרף G = (V,E) הגדרה:

.(v של שכן הוא uש־ הדבר פירוש (ואין .u של.Γ (u) = v ∈ V, (u, v) ∈ E :u של השכנים קבוצת

v קודקוד של דרגה 4.2

.v ∈ V ויהא מכוון לא גרף G = (V,E) יהא הגדרה:.deg (v) = |Γ (v)| כך: מוגדרת v של הדרגה

.v ∈ V ויהא מכוון גרף G = (V,E) יהא הגדרה:out− deg (v) = |u ∈ V, (v, u) ∈ E|in− deg (v) = |u ∈ V, (u, v) ∈ E|

.deg (v) = (in− deg (v)) + (out− deg (v))

מבודד. קודקוד הוא v אז deg (v) = 0 אם הגדרה:מכוונים). לא לגרפים וגם מכוונים לגרפים גם תקפה (ההגדרה

(Path) מסילה 4.3

הקודקודים סדרת לא), או (מכוון גרף G = (V,E) יהא הגדרה:0 ≤ i ≤ p− 1 לכל אם מסלול) (או מסילה היא v0, v1, . . . , vp

מתקיים:(בגרף (vi, vi+1) ∈ E או מכוון) לא (בגרף vi, vi+1 ∈ E

מכוון).אחת! מפעם יותר בסדרה המופיעה צלע ואין

פשוטה. מסילה זוהי אז שונים v0, . . . , vp הקודקודים כל אם

מעגל. זהו אז v0 = vpו־ p > 0 אםזהו אז שונים הם (v0 = vpל־ (פרט במעגל הקודקודים כל אם

פשוט. מעגל.p הוא v0, . . . , vp המסילה של אורכה

.0 מאורך מסילה הוא (כלשהו) בודד קודקוד הערה:המעגל אורך ־ מכוון לא בגרף .0 באורך מעגלים אין הערה:

.2 ־ ובמכוון ,3 לפחות הוא ביותר הקצר

vל־ uמ־ המרחק 4.4

.u, v ∈ V ו־ לא) או (מכוון גרף G = (V,E) יהא הגדרה:ביותר הקצרה המסילה אורך להיות מוגדר vל־ u בין המרחקאזי, כזאת אפשרות ואין במידה 1.d (u, v) ע"י: ומסומן vל־ uמ־

1 // 2 3 למשל: .d (u, v) =∞.d (2, 1) = d (1, 3) = d (3, 1) =∞

שני בין המקסימלי המרחק = גרף של קוטר הגדרה:בניהם שהמרחק הקודקודים שני את לוקחים כלומר, קודקודים.

הגרף. קוטר וזהו גדול הכי הואאינסוף. הוא הקוטר אזי קשיר אינו הגרף אם

וקשיר־חזק קשיר גרף 4.5

מכוון) (בגרף חזק וקשיר מכוון) לא (בגרף קשיר גרף של הרעיוןקודקוד. כל אל בגרף קודקוד מכל להגיע שניתן הוא

(תמיד) הוא הקוטר חזק, וקשירים קשירים בגרפים הערה: ־ ♣סופי. מספר

מכוון לא בגרף 4.5.1

קשיר. גרף הוא הגרף אזי מסילה יש קודקודים שני כל בין אם1 2 למשל:

מכוון בגרף 4.5.2

אזי כיוון) בכל (אחת מסילות שתי יש קודקודים שני כל בין אםקשיר־חזק. גרף הוא הגרף

1 22 2rr למשל:

וצלעות קודקודים השמטת 4.6

הוא G\ x .x ∈ V יהא גרף. G = (V,E) יהא הגדרה:והשמטת הקודקודים מקבוצת x השמטת ע"י Gמ־ המתקבל הגרףמשני אחד הוא (אם מהן. חלק הוא x אשר Eב־ הצלעות כל

הצלע). של הקודקודיםהגרף: הוא G\ 2 אזי , 1 2 3 הוא G אם למשל:לקודקוד שקשורות הצלעות כל ואת 2 את (השמטנו 1 3

הזה).e הצלע השמטת ע"י Gמ־ המתקבל הגרף הוא G\ e הגדרה:

שינוי). ללא נשארת הקודקודים (קבוצת הצלעות מקבוצת

. 1 2 זה G\ e אזי , 1e

2 הוא G אם למשל:

בכל כיוונים בשני ללכת שניתן מכיוון d (u, v) = d (v, u) מכוון: לא 1בגרף

לא הדבר מכוון, בגרף הפוך. בסדר רק הצלעות אותן דרך חוזרים ולכן צלע,את לדוגמא ניקח הנתון בגרף למשל:אבל d (1, 2) = 1 ו־2: 1 הקודקודיםצריך (כי d (2, 1) = 3 זאת לעומת

ל־1). מ־2 להגיע

1 // 2

4

OO

3oo

כך. תמיד

2

המחשב מדעי של לתאוריה לונדוןמבוא ערן תשע"גד"ר ־ ב' סמסטר

תת־גרף 4.7

של תת־גרף הוא G′ = (V ′, E′) גרף, G = (V,E) יהא הגדרה:E′ ⊆ E ,∅ 6= V ′ ⊆ V וכן: גרף2 הוא אם G

.V ב־′ נמצאים קודקודיה שני ,E′ב־ צלע כל ועבורדוגמא:

והצלעות הקודקודים של בתת־קבוצה נמצאים בעיגול המוקפים (קודקודיםשורטטו...) לא E′ב־ נמצאים שלא

e הצלע בגלל תת־גרף אינו G′

a הוא מקודקודיה שאחד (e ∈ E′).a /∈ V ו־′

• •e

• •a

.G של פורש תת־גרף נקרא G′ אזי V ′ = V אם

השאר... וכל נוסחאות טענות, 5

מכוון: בגרף

|E| =∑v∈V

in− deg (v) =∑v∈V

out− deg (v)

מכוון: לא בגרף

∑v∈V

deg (v) = 2 · |E|

.∅ 6= S ⊆ V וקשיר. לא־מכוון גרף G = (V,E) יהא טענה:.Sב־ שכן יש uשל־ כך ,u /∈ S וגם u ∈ V קיים

.|V | = n עם לא־מכוון גרף G = (V,E) יהא טענה:.m = |E| ≥ n− 1 אז קשיר G אם

:n = |V | ,m = |E|ו־ מכוון לא גרף G = (V,E) עבורקשיר. אינו G אז m < n− 1 אם טענה:

מעגל. יש Gב־ אז n ≤ mו־ 3 ≤ n אם טענה:

V ב־′ נמצא שלא מקודקוד או אל צלע תהיה למשל שבו מצב אין 2כלומר,

עצים 6

הגדרות 6.1

מתקיים: תמיד בעץ עץ. נקרא מעגלים חסר קשיר גרף הגדרה:.|E| = |V | − 1 כלומר: ,m = n− 1

v ∈ V כאשר deg (v) = 1 אם עץ. G = (V,E) יהא הגדרה:עלה. נקרא v אז

n = m + k ומתקיים: יער נקרא מעגלים חסר גרף הגדרה:ביער)). (עצים הקשירות רכיבי מספר הוא k (כאשר

(מספר לפחות. אחד עלה ישנו |V | ≥ 2 עם עץ בכל 6.1 טענה.(2 לפחות הוא העלים

לעצים דוגמאות 6.2

•

• • •

• •

• • •

• • •

•

ומשפטים טענות 6.3

התכונות משלושת שתיים כל גרף. G = (V,E) יהא 6.2 טענההשלישית: את גוררת הללו

קשיר. G ¦

מעגלים. חסר G ¦

.(|E| = |V | − 1 (או: .m = n− 1 ¦

הוא G\ e .e ∈ Eו־ קשיר, גרף G = (V,E) יהא 6.3 טענהלמעגל. שייכת e אם"ם קשיר גרף

,G′ = (V ′, E′) .G של תת־גרף הוא G′ אם תזכורת:.G של פורש תת־גרף הוא G′ אז V ′ = V אם .G = (V,E)

פורש) עץ נקרא עץ שהוא (תת־גרף

פורש. עץ בו יש אם"ם קשיר הוא G = (V,E) 6.4 משפט

פורש. עץ הוא הזאת בקבוצה מינימלי איבר 6.5 טענה

3

המחשב מדעי של לתאוריה לונדוןמבוא ערן תשע"גד"ר ־ ב' סמסטר

דוגמא:הבא: הגרף את ניקח

• •

• • •

• •

• •

• • •

• •זהו המקווקו). (הקו עץ שיוצר תת־גרף לנו יש המקרים בשני(העץ הגרף של הקודקודים כל את מכיל שהוא מכיוון פורש עץפורש תת־גרף ־ מדויק יותר באופן או ,G של תת־גרף הוא עצמו(אותו בגרף מינימלי איבר שזהו ־ הטענה בדיוק זאת .(G שלאינו הגרף אזי ־ כזה איבר קיים לא אם בגרף. שקיים פורש עץ

קשיר!).למשל: או

• • •

• • •

• • •

הגרף. בתוך המקווקו) (הקו פורש עץ לנו יש זה במקרה גם

אם: ורק אם עץ הוא G גרף 6.6 טענה

Gמ־ כלשהי צלע של השמטה זו: בתכונה ומינימלי קשיר G ¦קשיר. שאינו גרף יוצרת

צלע של הוספת זו: בתכונה ומקסימלי מעגלים מכיל אינו G ¦מעגל. יוצרת Gל־ כלשהי

דו־צדדים גרפים 7

אם דו־צדדי גרף הוא G = (V,E) מכוון) (לא גרף 7.1 הגדרהוכך V1 ∪ V2 = V ,V1 ∩ V2 = ש־∅ כך V1, V2 ∈ V קיימות

3E ⊆ V1 × V2ש־או ,V1ב־ נמצאים קודקודיה ששני צלע אין אחרות: (במילים

(V2ב־ נמצאים ששניהם

|V1| = s, |V2| = t שבו השלם הדו־צדדי הגרף הוא Ks,t סימון:הללו. הקבוצות שתי בין האפשריות הצלעות כל הן והצלעות

למשל:|E| = s · t • •

• • •או:

1 3

2 4

,V1 = 1, 3 כאשר:. V2 = 2, 4

K2,2 = ש־ לומר ניתןאותו את לצייר ניתן .C4

⇐= הבא: באופן הגרף

1 2

4 3

.(n גודל מסדר המעגל גרף הוא ־ Cn)

משנה. אינו V1, V2 של שהסדר לציין רק 3חשוב

אבחנה:

דו־צדדי. גרף הוא עץ כל ¦

דו־צדדי. גרף הוא יער כל ¦

בו המעגלים כל אם"ם דו־צדדי הוא G = (V,E) גרף 7.2 משפטזוגי. מאורך הם

מישוריים גרפים 8

כך במישור לציירו ניתן אם מישורי הוא G גרף 8.1 הגדרהרק להפגש להן מותר ־ בפנימיהן תיחתכנה לא שצלעותיולצייר שניתן לכך אחת דוגמא רק שניתן (מספיק בקודקודים.

מישורי). שהוא לכך הוכחה וזאת כמישורי גרף

דוגמא::K4 את למשל ניקח

צלעות של מפגש קיים (כי .K4 של מישורית לא הצגה •זוהי •

• •בקודקוד). אינו שהוא

זאת: לעומת

מישורי. K4ש־ ומכאן ־ K4 של מישורית הצגה זוהי • •

• •

מישוריים. גרפים הם (והיערות) העצים כל 8.2 טענה

שלו. המישורית בהצגה נתבונן מישורי. גרף G יהא 8.3 הגדרה.(Face) פאה. תיקרא "מדינה" כל

מישורי גרף G יהא ־ (Euler ) אוילר משפט 8.4 משפטמתקיים: פאות f יש שבה G של מישורית בהצגה אזי קשיר,לזכור (חשוב .(k רשום לפעמים f (במקום n−m+ f = 2האינסופית). ה"מדינה" החיצונית, הפאה את גם מחשבים שאנחנו

אותו יש G מישורי גרף של המישוריות ההצגות בכל מסקנה:.(f = 2− n+m (כי: פאות מספר

צלעות, mו־ קודקודים n ≥ 3 עם מישורי גרף G יהא 8.5 משפט.m ≤ 3 · (n− 2) אזי:

קורטובסקי: משפטאו K3,3 של הומיומורף מכיל אינו הוא אםם מישורי הוא G גרףצלעות החלפת ע"י Hמ־ מתקבל H גרף של (הומיומורף .K5 של

בפנימיהן). זרות המתווספות המסילות כל כאשר במסילות

.5 ≥ שדרגתו קודקוד קיים מישורי גרף בכל 8.6 טענה

4

המחשב מדעי של לתאוריה לונדוןמבוא ערן תשע"גד"ר ־ ב' סמסטר

גרפים של צביעות 9

טבעי. מספר kו־ מכוון, לא גרף G = (V,E) יהא 9.1 הגדרההמקיימת f : V → 1, . . . , k פונקציה היא G של k־צביעהשל הצבע קוראים f (x) [ל־ f (x) 6= f (y) אז x, y ∈ E

.[x הקודקודמספר k־צביע. הוא Gש־ אומרים אז k־צביעה יש Gל־ אםביותר הקטן kה־ בתור מוגדר והוא χ (G) ע"י: מסומן הצבעים

k־צביע. הוא G שהגרף כך

2־צביע. הוא אםם דו־צדדי הוא גרף 9.2 הערה

דוגמא:

.χ (K4) = 4 •1 •2

•4 •3

:K4

.χ (Kn) = n

לצבעים, שמות לתת במקום למעלה. בשרטוט כמו 9.3 הערההצבע את שיסמל מספר נרשום קודקוד כל וליד אותם נמספר

שלו.

. χ (G) ≤ n אז |V | = n אם 9.4 טענה

Ca כי 2 < χ (Ca) המקרים (בשני χ (C5) = 3, χ (C7) = 3מסקנה: דו־צדדי), גרף אינו

1 ≤ l ∈ N χ (C2l+1) = 32 ≤ l ∈ N χ (C2l) = 2

אז v ∈ V לכל deg (v) ≤ r אם גרף. G יהא 9.5 משפט.χ (G) ≤ r + 1

:Brooks משפטאלא χ (G) ≤ r אז r היא בו המקסימלית והדרגה קשיר G אםχ (G) = אז G = Kr+1ש־ או אי־זוגי מעגל Gו־ r = 2 אם

.r + 1

6־צביע. הוא מישורי גרף כל 9.6 משפט

.χ (G) ≤ 4 :G מישורי בגרף הצבעים: 4 משפט 9.7 משפט

(דו־צדדים) בגרפים שידוכים 10

(תת־ M ⊆ E מכוון). (לא גרף G = (V,E) יהא 10.1 הגדרהאם [Matching] זיווג) (או שידוך תיקרא הצלעות) של קבוצה(ניסוח .e1 ∩ e2 = ∅ מתקיים (e1, e2 ∈M (כאשר e1 6= e2 לכל

.(1≥ קודקוד כל של דרגתו G′ = (V,E) בגרף אחר:

דוגמאות:• •

• •

G = C4

המלבן שבתוך (הקודקודים לשידוכים אפשרויות מספר הנה אזי,שונה): שידוך מסמל שירטוט כל השידוך, את מסמלים

•|M |=2

•

• •

•|M |=2

•

• •

•|M |=1

•

• •

•|M |=1

•

• •

•|M |=1

•

• •

• •

• •

הריק: השידוך את גם שישנו וכמובן

M יהא דו־צדדי. גרף 4G =(L·∪R,E

)יהא 10.2 הגדרה

M אזי |L| = |R| = |M ו־| |L| = |R| אם זה. בגרף שידוךמושלם. שידוך הוא

דוגמא:יוצרים בנקודות שמוקפים הקודקודים זוגותM בתור אותם נבחר אם כי מושלם. שידוךקודקוד אין מבניהם צלע שלשום נראה אזי

משותף...

• •

•L

•R

הדו־צדדי בגרף מושלם שידוך לקיום הכרחי תנאי 10.3 טענה

מתקיים: X ⊆ L שלכל הוא |L| = |R| שבו G =(L·∪R,E

)כאשר |N (X)| ≥ |X|

קבוצת ־ N (X)) N (X) = y ∈ R | ∃x ∈ X, (x, y) ∈ E.(X קודקודי של השכנים

ומספיק הכרחי תנאי :Hall של החתונה משפט 10.4 משפט

שלכל הוא G =(L·∪R,E

)בגרף |L| בגודל שידוך לקיום

.|N (X)| ≥ |X| מתקיים X ⊆ Lמושלם. שידוך הינו השיוך אזי |L| = |R| אם

A·∪B ⇒ A ∩B = ∅ זרות. קבוצות של איחוד פירושו

·∪4

5

המחשב מדעי של לתאוריה לונדוןמבוא ערן תשע"גד"ר ־ ב' סמסטר

III חלק

ההסתברות לתורת מבואהבדידה

בדידים) (מרחבים בסיסיות הגדרות 11

ריקה ולא סופית קבוצה הוא בדיד הסתברות מרחב 11.1 הגדרהאי־שלילי משקל מיוחס (x ∈ Ω) מאבריה אחד שלכל ,Ω

שמתקיים: כך ,x של ההסתברות הנראה Pr (x) ≥ 0

Pr (Ω) =∑x∈Ω

Pr (x) = 1

יקרא Ω .(Ω,Pr) ־ יסומנו Pr ולצדו ההסתברות מרחב סימון:המדגם. מרחב בשם גם

(0 ≤ Pr (x) ≤ 1 ,x ∈ Ω (לכל Pr : Ω→ [0, 1]

x ∈ לכל אם בדיד. הסתברותי מרחב (Ω,Pr) יהא 11.2 הגדרהעל האחידה ההתפלגות נקרא Pr אזי Pr (x) = 1

|Ω| מתקיים: Ω

הסתברות). = (התפלגות .Ω

W ⊆ Ω בדיד. הסתברות מרחב (Ω,Pr) יהא 11.3 הגדרהבסיסי. מאורע נקרא W אז |W | = 1 אם מאורע. נקראת

: (W מאורע כל (עבור נגדיר

Pr (W ) =∑x∈W

Pr (x)

הוגנת": "קוביה שנקרא מה את ניקח פשוטה: דוגמא־ Pr (i) = 1

6 מתקיים 1 ≤ i ≤ 6 לכל ,Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6הסתברות. מרחב הגדרנו

בהטלה: זוגי מספר לנו יצא שבו המאורע הוא W נגדיר:.Pr (W ) = Pr (2) + Pr (4) + Pr (6) = 1

6 + 16 + 1

6 = 12

A,B ⊆ Ω בדיד. הסתברות מרחב (Ω,Pr) 11.4 הגדרה.A ∩B = ∅ אם זרים מאורעות נקראים

אז זרים מאורעות A,B אם 11.5 טענה.Pr (A ∪B) = Pr (A) + Pr (B)

אזי: בזוגות5 זרים מאורעות A1, . . . , An אם 11.6 טענה

Pr

(n⋃

i=1

Ai

)=

n∑i=1

Pr (Ai)

.Pr (A) ≤ Pr (B) ⇐ A ⊆ B 11.7 טענה

לו. המשלים האירוע הוא A אז מאורע הוא A אם 11.8 הגדרה

.(Pr (Ω) = 1 (הערה: .Pr(A)

= 1− Pr (A) 11.9 טענה

אזי: מאורעות, A1, . . . , An יהיו 11.10 טענה

Pr

(n⋃

i=1

Ai

)≤

n∑i=1

Pr (Ai)

האיחוד). חסם נקרא (זה

וההדחה ההכלה משפט 11.1

אזי: מאורעות, A1, . . . , An יהיו

=

n∑i=1

Pr (Ai)−∑

1≤i1<i2≤n

Pr (Ai1 ∩Ai2) +

∑1≤i1<i2<i3≤n

Pr (Ai1 ∩Ai2 ∩Ai3)±

. . .+ (−1)n−1

Pr (A1 ∩ · · · ∩An)

תלויים בלתי מאורעות 12

תלויים בלתי מאורעות הם Bו־ A .A,B ⊆ Ω יהיו 12.1 הגדרה.Pr (A ∩B) = Pr (A) · Pr (B) אם:

אם ,B במאורע בלתי־תלוי הוא A מאורע אחרות: במילים.A של ההסתברות את משנה לא B של התוצאה

מרחב נגדיר .Pr (X) > 0 עם ,X ∈ Ω תהא 12.2 הגדרההבא: באופן מצומצם, חדש, הסתברות

:(X,Q)

∀x ∈ X; Q (x) =Pr (x)

Pr (X)

פונקצית זאת Q) הסתברות מרחב אכן הוא (X,Q) 12.3 טענההחדשה). ההסתברות

.Ai ∩Aj = ∅ מתקיים: i 6= j לכל 5כלומר,

6

המחשב מדעי של לתאוריה לונדוןמבוא ערן תשע"גד"ר ־ ב' סמסטר

כאשר , במרחב מאורעות שני A,B יהיו 12.4 הגדרהמסומנת: B בהינתן A של המותנית ההסתברות .Pr (B) > 0

ע"י: ומוגדרת Pr (A|B)

Pr (A|B) =Pr (A ∩B)

Pr (B)

ההסתברות מה היא והשאלה Bב־ התוצאה מה לנו ידוע כלומר,.A של

השאלה ונשאלת התרחש B מאורע אם לנו ידוע אחרות: (במילים.(A של ההסתברות כעת מהי

בלתי־תלויים מאורעות הם Bו־ Aו־ Pr (B) > 0 אם 12.5 טענה.Pr (A|B) = Pr (A) אז:

כאשר ,A,B ⊆ Ω ובו הסתברות מרחב (Ω,Pr) יהא 12.6 משפטשקולים: הבאים הדברים אזי ,Pr (A) > 0,Pr (B) > 0

בלתי־תלויים. מאורעות הם Bו־ A .Pr (A|B) = Pr (A)

.Pr (B|A) = Pr (B)

מקריים משתנים 13

X תהא בדיד. הסתברות מרחב (Ω,Pr) יהא 13.1 הגדרהמקרי. משתנה תקרא f : Ω→ X כלשהי, קבוצה

ממשי. מקרי משתנה הוא f אז X = R אםמספרים לא שהם אובייקטים ולא מספרים של כלשהי לקבוצה אותנו מעבירה f כאשר כלומר,מספרים של לקבוצה אותנו תעברי f ממשי מקרי משתנה של במקרה וכו'... טעם צבע, כמו:

גיל...) משקל, תוצאה, (כמו:

של התוחלת ממשי. מקרי משתנה f : Ω→ R תהא 13.2 הגדרההבא: השוויון באמצעות ומוגדר E [f ] מסומנת f

E [f ] =∑x∈Ω

Pr (x) · f (x)

.µ = E [f ] מקובל: סימון

A ⊆ Ω בודד הסתברות מרחב (Ω,Pr) 13.3 הגדרה

הפונקציה: 13.4 הגדרה

χA (x) =

1 x ∈ A0 Otherwise

.A הקבוצה של המציין המקרי המשתנה תקראχA = fA : Ω→ 0, 1

.E [fA] = Pr (A) אזי: מציין, מקרי משתנה fA יהא 13.5 טענה

,f, g : Ω → R בדיד. הסתברות מרחב (Ω,Pr) 13.6 טענה.a, b, c ∈ R

: אזי

.E [f + g] = E [f ] + E [g] .1

.E [a · f ] = a · E [f ] .2

.E [a · f + b · g] = a · E [f ] + b · E [g] .3

.E [a · f + b · g + c] = a · E [f ] + b · E [g] + c .4

אזי: בלתי־תלויים מקריים משתנים הם f, g אם 13.7 טענה.E [f · g] = E [f ] · E [g]

אזי: מקריים, משתנים הם f1, f2, . . . , fn 13.8 טענהE [f1 + · · ·+ fn] =

∑ni=1E [fi]

ו־ f : Ω → Rו־ בדיד הסתברות מרחב (Ω,Pr) יהא סימון:הבא: באופן f = a המאורע את נסמן .a ∈ R

.f = a = x ∈ Ω; f (x) = a

למשל:הוגנות קוביות שתי של מרחב הוא שלנו שהמרחב נניח

.Pr ((i, j)) = 136 :i, j לכל ,Ω = (i, j) , 1 ≤ i, j ≤ 6

המכפלה סכום שבו המאורע את נגדיר אזי .f (i, j) = i·j:20 הוא

.Pr (f = 20) = 118 לכן: ,f = 20 = (4, 5) , (5, 4)

בדיד הסתברות במרחב ממשי מקרי משתנה f יהא 13.9 טענה6:(Ω,Pr)

E [f ] =∑a∈R

a · Pr (f = a)

שונות 14

.f של התוחלת סביב f ערכי לפיזור מדד מחפשים

בדיד הסתברות במרחב מקרי משתנה f יהא 14.1 הגדרהוהיא Var [f ] תסומן: f של השונות .E [f ] תוחלת עם (Ω,Pr)

ע"י: מוגדרת

Var [f ] = E[(f − E [f ])

2]

.Var [f ] ≥ 0 מתקיים: f מקרי משתנה לכל 14.2 הערה

:f מקרי משתנה לכל 14.3 טענהVar [f ] = E

[f2]− E2 [f ]

.Var [af ] = a2 ·Var [f ] אזי: a ∈ R יהא 14.4 טענה

אזי: בלתי־תלויים, מקריים משתנים f, g יהיו 14.5 טענה.Var [f + g] = Var [f ] + Var [g]

מכפלה מרחבי 15

הסתברות מרחבי שני (Ω1, P1) , (Ω2, P2) יהיו 15.1 הגדרהמכפלה מרחוב הוא (Ω1 × Ω2,Pr) המכפלה מרחב בדידים.Ω1 × Ω2 הקרטזית המכפלה היא שלו האיברים שקבוצת בדיד.(x ∈ Ω1, y ∈ Ω2 כאשר (x, y) הסדורים הזוגות אוסף (כלומר:היא: זה מרחב על המוגדרת ההסתברות פונקצית

7. Pr (x, y) = P1 (x) · P2 (y)

f 6= a וכאשר היות אינסופית), קבוצה (שזו a ∈ Rה־ לגבי לדאוג מה 6אין

סופית. בקבוצה מדובר ולכן 0 היא ההסתברות אזי.Pr ((x, y)) = ... גם לרשום 7ניתן

7

המחשב מדעי של לתאוריה לונדוןמבוא ערן תשע"גד"ר ־ ב' סמסטר

(Ω1, P1) , (Ω2, P2) , . . . , (Ωk, Pk) יהיו 15.2 הגדרההמכפלה מרחב את נגדיר בדידים, הסתברות מרחבי

הבא: באופן (Ω1 × Ω2 × · · · × Ωk,Pr)

Pr (x1, . . . , xk) = P1 (x1) · P2 (x2) · · ·Pk (xk)

.xi ∈ Ωi כאשר

ב־ מהם אחד כל נסמן זהים, המרחבים k כל אם 15.3 הערההמקיים: מכפלה מרחב הוא

(Ωk,Pr

)אז אז (Ω, P )

Pr (x1, . . . , xk) =

k∏i=1

P (xi)

Pr (f = k) =(nk

)· ההתפלגות: עם מקרי למשתנה 15.4 הגדרה

בינומי. מקרי משתנה קוראים pk (1− p)n−k

.Pr (f = k) =(nk)

2n :p = 12 של במקרה

בהסתברות יסודיים אי־שוויונות 16

מרקוב אי־שוויון 16.1

f : Ω → Rו־ בדיד הסתברות מרחב (Ω,Pr) יהא 16.1 משפטמתקיים: λ > 0 לכל אזי אי־שלילי8 מקרי משנה

Pr (f ≥ λ · E [f ]) ≤ 1

λ

צ'בישב אי־שוויון 16.2

f : Ω → Rו־ בדיד הסתברות מרחב (Ω,Pr) יהא 16.2 משפטמתקיים: c > 0 לכל אזי מקרי, משתנה

Pr(|f − E [f ]| ≥ c

)≤ Var [f ]

c2

אי־השוויון: להצגת נוספת דרך

Pr(∣∣f − E [f ]

∣∣ ≥√λ ·Var [f ])≤ 1

λ

.f (x) ≥ 0 ,x ∈ Ω לכל 8כלומר:

צ'בישב: של אי־השוויון על קצר הסברהמרחק פירושו |x− a| אזי: , משתנה הוא xו־ a ∈ Rו־ נניח

ציר: על זה את נשרטט אם כלומר, ,aמ־ x של.−xב־ או xב־ aב־ מתרחקים אנחנו

• −x a x

הבא: הדבר לנו נתון אם כעתaמ־ x של שהמרחק הדבר פירוש אזי ,(c ∈ R) |x− a| ≥ c

:cל־ שווה או גדול להיות צריךoo • • • //

−c a c

שהמרחק מכיוון חוקי, איננו המקווקו בקו שנמצא מה כלומר,.(|x− a| c) c מ קטן a מ שלו

אי־שוויון מסוים, c שעבור זה צ'בישב של לאי־השוויון הקשרבהמשך...) (דוגמא cמ־ לסטייה ההסתברות את לנו חוסם צ'בישב

צ'בישב: של באי־השוויון להשתמש ניתן כיצדנסביר: ואז מדוגמא נתחיל

.E [f ] = 7n2 , Var [f ] = 35n

12 הוגנת: קוביה של הטלות n עבור,Pr(∣∣f − 7n

2

∣∣ ≥ c) ≤ 35n12·c2 באי־השוויון: נציב כעת

כלומר: מהתוחלת, הסטייה זאת c כאשר • • •

n 7n2

−c7n2

7n2

+c 6n

1־ים) (הכל n היא המינמלית התוצאה קוביות n בהטלתאת לנו חוסם צ'בישב א"ש 6־ים), (הכל 6n הוא והמקסימוםשני סך של הוא הוא (החסם השחורים הקטעים בשני ההסתברות

הקטעים),קוביות שתי של הטלה עבור חסם למצוא רוצים היינו אם למשל,

אזי: מ־10, גדול יותר תהיה התוצאה של כך בלתי־תלויות,

Pr (|f − 7| ≥ 3) ≤ 70

12 · 9= 0.6481

ל־10, להגיע כדי מהתוחלת 3 של מרחק צריכים אנחנו כיאת גם כלומר הכיוונים, שני את לנו חוסם צ'בישב א"ש אבלסימטריה שיש בגלל אבל ,Pr (f ≥ 10) את וגם Pr (f ≤ 4)

המבוקשת: התוצאה את ולקבל ב־2 לחלק יכולים אנחנו

Pr (f ≥ 10) = Pr (f ≤ 4) ≤ 0.324

לכך ההסתברות את לחסום הצלחנו צ'בישב באמצעות כלומר,קטנה ההתסברות 10 מ־ גדולה תהיה הקוביות בהטלת שהתוצאה

.0.324 ל־ שווה אוהיא: לכך המדויקת ההסתברות אגב,

אפשרויות: 6 ישנן כי , 136 · 6 = 6

36 = 16 = 0.166666 . . .

.( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , )מרקוב א"ש מידה, באותה חסם, זהו אבל מדויק, לא שזה נכון

מדויק... פחות חסם נותן

הגדולים המספרים של החלש החוק 17

הגדולים המספרים של החלש החוק 17.1 משפט

ושווי (µ) תוחלת שווי תלויים בלתי משתנים f1, . . . , fn יהיויהא ,Sn =

∑ni=1 fi נסמן: אחידה], התפלגות [עם (α) שונות

:ε > 0

limn→∞

Pr(∣∣∣snn− µ

∣∣∣ ≥ ε) = 0

8

המחשב מדעי של לתאוריה לונדוןמבוא ערן תשע"גד"ר ־ ב' סמסטר

IV חלק

פונקציות של גידול קצב

log על רקע קצת 18

היא הכוונה אזי אחרות יצוין לא אם הזה, אם החלק בכל הערה:.log2 ־ 2 בסיס על logל־

הגדרה 18.1

.loga n = b⇔ n = ab או ,loga n = b אזי: n = ab אם.log2 a = b⇔ a = 2b שלנו: במקרה

log של בסיסיות נוסחאות 18.2

loga a = 1 (1)

loga 1 = 0 (2)

loga (n ·m) = loga n+ logam (3)

loga

(mn

)= logam− loga n (4)

loga (mn) = m · loga n (5)

aloga n = n (6)

loga (m+ n) 6= logam+ loga n לזכור: חשוב

בסיסיות הגדרות 19

f של (O) גדול או היא g .f, g : N→ R+ תהיינה 19.1 הגדרהn0 ≤ n שלכל כך c, n0 > 0 קבועים קיימים אם g = O (f) ־

9.g (n) ≤ c · f (n) מתקיים:

f של (Ω) אומגה היא g f, g : N → R+ תהיינה 19.2 הגדרהלהגדרה (בניגוד d, n0 > 0 קבועים קיימים אם g = Ω (f) ־n0 ≤ n שלכל כך (d > ש־0 מתעקשים אנחנו כאן הקודמת

.g (n) ≥ d · f (n) מתקיים:

־ f של (Θ) תטא היא g f, g : N → R+ תהיינה 19.3 הגדרהn0 ≤ n שלכל כך c1, c2, n0 > 0 קבועים קיימים אם g = Θ (f)

c2 · f (n) ≥ g (n) ≥ c1f (n) מתקיים:

ההגדרה. מן נובע c > ש־0 9זה

ממהגדרות): הפוכות הן האותיות שכאן ♥ (שימו מסכמת טבלהc1, c2, n0 > 0 f, g : N→ R+

f (n) ≤ c1 · g (n) f = O (g)f (n) ≥ c2 · g (n) f = Ω (g)

c1 · g (n) ≥ f (n) ≥ c2 · g (n) f = Θ (g)

ומשפטים נוסחאות טענות, 20

אזי f = O (g) ∧ g = O (h) אם f, g, h : N → R 20.1 טענהטרינזיטיבי). הוא O היחס אחרות: (במילים .f = O (h)

.f = Θ (g) ⇐ g = Θ (f) 20.2 טענה

שלכל כך c קיים אם כלומר, חסומה, פונקציה f אם 20.3 הערה.f = O (1) אזי f (n) ≤ c ,n ∈ N

סטירלינג נוסחת 20.1

√2πn

(ne

)n· e(

112·n−

1360·n2 ) ≤ n! ≤

√2πn

(ne

)n· e(

112·n )

כאן שואף שהוא יודעים ואנחנו היות כקבוע כאן משמש e...ה־לאחד.

יותר מרוכך ניסוח 20.1.1

n! = Θ(√

2πn ·( en

)n)יותר: מדויק וניסוח

limx→∞

n!√2πn ·

(en

)n = 1

ושימושיים חשובים דברים כמה 20.2

log2 (n!) = Θ (n · log2 n)

Hn = Θ log2 n

n! = Θ(√

2πn ·(ne

)n)ההרמוני). (הטור Hn = 1 + 1

2 + 13 + · · ·+ 1

n

באתר: למצוא ניתן נוספים סיכומיםhttp://www.letach.net

9