ЕлементиЕлементикомбінаторикикомбінаторики

ЗмістЗміст

Перестановки з Перестановки з пп елементів. елементів. Розміщення з Розміщення з пп елементів по елементів по kk. . Кількість розміщень з Кількість розміщень з пп елементів по елементів по kk. .

Комбінації з Комбінації з пп елементів по елементів по kk. . Кількість комбінацій зКількість комбінацій з п п елементів по елементів по

kk. .

ОЗНАЧЕННЯ :ОЗНАЧЕННЯ :

КОМБіНАТОРИКАКОМБіНАТОРИКА - розділ - розділ математики, у якому математики, у якому досліджується, кількість різних досліджується, кількість різних комбінацій (всеможливих комбінацій (всеможливих обоб’’єднань елементівєднань елементів), ), підпорядкованих тим чи іншим підпорядкованих тим чи іншим умовам, які можна скласти із умовам, які можна скласти із элементів, що належать даній элементів, що належать даній множині. множині.

Тема: Розміщення, перестановки і комбінації Тема: Розміщення, перестановки і комбінації (без повторень)(без повторень)

1.1. І правило комбінаторики.І правило комбінаторики.2.2. Правила суми і добуткуПравила суми і добутку3.3. Розміщення з Розміщення з n n елементів по елементів по kk. Кількість . Кількість

розміщень з розміщень з n n елементів по елементів по kk. . Перестановки з Перестановки з n n елементів. елементів.

4.4. Комбінації з Комбінації з nn елементів по елементів по kk. Кількість . Кількість комбінацій з комбінацій з nn елементів по елементів по kk

Основні правила комбінаторикиОсновні правила комбінаторики РозміщенняРозміщення ПерестановкиПерестановки КомбінаціїКомбінації ВисновкиВисновки

1.1. І правило комбінаторики:І правило комбінаторики: Якщо потрібно Якщо потрібно порахувати кількість варіантів, уточніть які порахувати кількість варіантів, уточніть які варіанти маються на увазі.варіанти маються на увазі.

2.2. Правила суми і добутку:Правила суми і добутку:

• • правило суми правило суми

• • правило добутку правило добутку

nmBA

BA

nB

mA

+=∪⇒

∅=∩==

nmBAnB

mA×=×⇒

==

Доведення:Доведення:

Нехай різні можливі вибори об'єкта а є aНехай різні можливі вибори об'єкта а є a 11...a...amm, а , а різні можливі вибори об'єкта різні можливі вибори об'єкта bb при виборі при виборі aa11єєbb i1i1,...,,...,bbinin, тоді всі можливі вибори пари {а, , тоді всі можливі вибори пари {а, bb}} утворюють прямокутну таблицю:утворюють прямокутну таблицю:

(a(a11,, bb1111), (a), (a11, b, b1212), . ), . . . . . ,(a. . ,(a11, , bb1n1n),),

(a(a22,, bb2121), (a), (a22,, bb2222)), , . . . . . . . . . . ,,(a(a22, b, b2n2n),),

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .(a(amm,, bbm1m1), (а), (аmm, , bbm2m2), . . . ), . . . .. ,(a,(amm, , bbmnmn).).

Ця таблиця, очевидно, складається з mn Ця таблиця, очевидно, складається з mn елементів.елементів.

РозміщенняРозміщення

РозміщеннямРозміщенням з з nn-елементів по -елементів по kk, , називається упорядкована називається упорядкована kk-елементна -елементна підмножина підмножина n-n-елементної множини в якій елементної множини в якій елементи не повторюються.елементи не повторюються.

Визначається формулою:Визначається формулою:

( )!!

kn

nAkn −

=

Приклад:Скількома способами чотири хлопці можуть запросити чотирьох із шести дівчат на танець?

Розв’язок: два хлопці не можуть одночасно запросити одну і ту ж дівчину. І варіанти, при яких одні і ті ж дівчата танцують з різними хлопцями рахуються, різними, тому:

3602

720)!46(

!64

6==

−=Α

Можливо 360 варіантів.

ПерестановкиПерестановки

Розміщення з n елементів по n називаються Розміщення з n елементів по n називаються перестановкамиперестановками з з nn елементів. елементів.

Визначається формулою: Визначається формулою: Рn =Рn = nn!!

Скільки різних шестизначних чисел можно скласти із цифр 0, 1, 2, 3, 4,5, якщо цифри в числі не повторюються?

Розв’язок:1) Найдем кількість всіх перестановок із цих цифр: P6=6!=7202) 0 не може стояти спереду числа, тому від цього числа необхідно відняти кількість перестановок, при яких 0 стоїть спереду.

А це P5=5!=120. P6-P5=720-120=600

РозміщенняРозміщення і і перестановкиперестановки обовобов’’язково враховують порядок язково враховують порядок

елементівелементів

ЗапамЗапам’’ятайятай

КомбінаціїКомбінації

КомбінаціяКомбінація з з nn по по kk – це будь-яка – це будь-яка k-k-елементна елементна підмножина підмножина nn-елементної множини в якій -елементної множини в якій не враховується порядок. не враховується порядок.

Визначається формулою:Визначається формулою:

.)!(!

!

knk

nC kn −

=

Доведення:Доведення:

)!(!!

!)!(

!

knkn

nknn

P

AC

n

k

nk

n −=−==

1206

10*9*8

!3)!*310(

!10310 ==

−=C

Скільки трьохкнопочних комбінацій існує на кодовому замку (всі три кнопки натискаються одночасно), якщо на ньому всього 10 цифр.

Розв’язок:Так як кнопки натискаються одночасно, то вибір цих трьох кнопок – комбінація. Звідци можливо:

варіантів.

При грі в доміно 4 гравця ділять порівну 28 костєй. Скількома способами вони можуть це зробити?

Розв’язок:

Перший гравець вибирає із 28 костєй. Другий із 28-7=21 костєй, третій 14, а четвертий гравець забирає інші кости. Отже, можливо:

147

721

728 ** CCC

Зробимо певні висновки:Зробимо певні висновки:

У випадку перестановок берутся всі элементи У випадку перестановок берутся всі элементи і змінююється тільки їх розташування.і змінююється тільки їх розташування.

У випадку розміщення береться тільки У випадку розміщення береться тільки частина элементів і важливо розміщення частина элементів і важливо розміщення элементів один відносно одного.элементів один відносно одного.

У випадку комбінації береться тільки частина У випадку комбінації береться тільки частина элементів і не має значеня розміщення элементів і не має значеня розміщення элементів один відносно одного.элементів один відносно одного.

Тема: Перестановки, розміщення, Тема: Перестановки, розміщення, комбінації (з повтореннями).комбінації (з повтореннями).

1. Розміщення з повторенням з 1. Розміщення з повторенням з n n елементів по елементів по kk . Кількість розміщень . Кількість розміщень з повторенням з з повторенням з n n елементів по елементів по kk ..

2. Перестановки з повтореннями. Їх 2. Перестановки з повтореннями. Їх кількість.кількість.

3. Комбінації з повторенням з 3. Комбінації з повторенням з nn елементів по елементів по kk . Кількість комбінацій . Кількість комбінацій з повторенням з з повторенням з nn елементів по елементів по kk ..

Розміщення(з повтореннями)Розміщення(з повтореннями)

Розміщення з повтореннямиРозміщення з повтореннями по m елементів n- по m елементів n-елементної множини A – це послідовність елементної множини A – це послідовність елементів множини A, що має довжину m. елементів множини A, що має довжину m.

Визначається формулою:Визначається формулою: mm

n n=Α~

125533

5

~

==Α

Скільки трьохзначних чисел можно скласти из цифр 1, 2, 3, 4, 5?

Розв’язок: Так як порядок цифр у числі має значення, цифри можуть повторяться, то це буде розміщення з повтореннями із пяти елементів по три, а їх число дорівнює:

ПрикладПриклад

Перестановки (з повтореннями)Перестановки (з повтореннями)

!!!

!),,,(

2121

rrn nnn

nnnn

=Ρ

rnnnn +++=

21,

, де n-кількість всіх элементів, n1,n2,…,nr - кількість однакових

элементів.

60!1!*2!*3

!6)1,2,3(6 ==Ρ

ПрикладПриклад

Комбінації(з повтореннями)Комбінації(з повтореннями)

Комбінації елементів якоїсь множини – це її Комбінації елементів якоїсь множини – це її підмножини. Але у множинах елементи не підмножини. Але у множинах елементи не повторюються, тому термін "повторюються, тому термін "комбінаціїкомбінації з з повтореннями", що склався в математиці, не повтореннями", що склався в математиці, не можна вважати вдалим.Розглядається це поняття можна вважати вдалим.Розглядається це поняття за допомогою перестановок із повтореннями. за допомогою перестановок із повтореннями.

( )n

nm

m

n Cnmnm

nkPC1

~

)!1(!!1

)1,(−+

=−−+=−=

120!3!*7

!10

)!14(!7

)!147(7

4

~

==−−+=C

ПрикладПриклад

В кондитерському магазині продається 4 видів тістечок: еклери, пісочні, наполеони і слойоні. Скількома способами можна купити 7 тістечок.

Розв’язок: Покупка не залежить од того, в якому порядку запаковують куплені тістечка в коробку. Покупки будуть різними, якщо вони відрізняються кількістю куплених тістечок хотя б одного вида. Отже, кількість різних покупок дорівнює числу комбінацій четирьох видів тістечок по сім:

Використані джерела:Використані джерела:

1.1. Є.П.Нелін.Є.П.Нелін.Алгебра 11клас: Підручник для Алгебра 11клас: Підручник для загальноосвітніх загальноосвітніх навчальних закладівнавчальних закладів. – . – Харків Харків <<Г<<Гіімназмназіія>>я>>,2011.-447 с. ,2011.-447 с.

2.2. Ерош И. Л. Дискретная математика. Комбинаторика — СПб.: Ерош И. Л. Дискретная математика. Комбинаторика — СПб.: СПбГУАП, 2001. — 37 c. СПбГУАП, 2001. — 37 c.

3.3. Андерсон Джеймс Дискретная математика и комбинаторика = Андерсон Джеймс Дискретная математика и комбинаторика = Discrete Mathematics with Combinatorics. — М.: «Вильямс», 2006. — С. Discrete Mathematics with Combinatorics. — М.: «Вильямс», 2006. — С. 960. — ISBN 0-13-086998-8 960. — ISBN 0-13-086998-8

4.4. Р. Стенли Перечислительная комбинаторика = Enumerative Р. Стенли Перечислительная комбинаторика = Enumerative Combinatorics. — М.: «Мир», 1990. — С. 440. — ISBN 5-03-001348-2 Combinatorics. — М.: «Мир», 1990. — С. 440. — ISBN 5-03-001348-2

5.5. Виленкин Н.Я. Популярная комбинаторика. — М.: Наука, 1975. Виленкин Н.Я. Популярная комбинаторика. — М.: Наука, 1975.