інтеграл та його застосування

Ю.Марчук Курс лекцій з математики

ПЕРВІСНА ТА ЇЇ ВЛАСТИВОСТІ При вільному падінні тіла пройдений за час t шлях s у фізиці визначають за формулою:

2

2qt

s =

Таку задачу можна розв'язати методом диференціювання. Продиференціюємо дану формулу: s'(t) = v(t) = q·t (похідною шляху s по часу t є швидкість v по часу t).

s(t) ⇒ s'(t) ⇒ v(t)=qt

Продиференціюємо отриману формулу: v'(t) = a(t) = q, q = const (похідною швидкості v по часу t є прискорення q по часу t).

v(t) ⇒ v'(t) ⇒ q Але частіше у фізиці зустрічається інша задача: за відомим прискоренням q визначити швидкість v і шлях s.

q ⇒ v'(t) ⇒ v(t)

v(t) ⇒ s'(t) ⇒ s(t)

Розв'язування задач такого типу здійснюється методом інтегрування. Інтегрування обернене до диференціювання.

д и ф е р е н ц і ю в а н н я

→ → s(t)

← v(t)

← q

і н т е г р у в а н н я

Функція F називається первісною для функції f на заданому інтервалі, якщо для всіх х з цього

інтервалу виконується рівність: F'(x) = f(x).

Інше визначення первісної: первісною функції f називається функція F, похідна якої дорівнює

даній функції f. Функція f може мати безліч первісних F. Усі первісні функції f записують так: F(x) + C Основна властивість первісної

Будь-яку первісну для функції f на заданому інтервалі можна записати у вигляді F(x) + C, де F(x) – одна із первісних для функції f(х) на заданому інтервалі, а С – довільна стала. Геометричний зміст основної властивості первісних функції f полягає в тому, що графіки первісних для функції f паралельні вздовж осі OY.

Т а б л и ц я п е р в і с н и х

Функція f Загальний вигляд первісних функції f

k = const kx + C

xn, n ϵ Z, n ≠ 1 C

n

xn

+

+

+

1

1

x

1 Cx +2

ах C

a

ах

+

ln

ех е

х +С

sin x – cos x + C


cos x sin x + C

x2

cos

1 tg x + C

x2

sin

1 – ctg x + C

ІНТЕГРАЛ, ЙОГО ФІЗИЧНИЙ І ГЕОМЕТРИЧНИЙ ЗМІСТ Множина всіх первісних функції f(x) на деякому інтервалі називається невизначеним інтегралом

цієї функції.

Запис: ∫ dxxf )(

∫ – знак інтеграла

f(x) – підінтегральна функція f(x)dx – підінтегральний вираз х – змінна інтегрування

∫ += CxFdxxf )()(

Множина всіх первісних функції f(х) на інтервалі [a; b] називається визначеним інтегралом цієї

функції.

Запис: ∫b

a

dxxf )(

∫ – знак інтеграла

a, b – межі інтегрування (a – нижня межа, b – верхня межа) f(x) – підінтегральна функція f(x)dx – підінтегральний вираз х – змінна інтегрування

В математиці існує формула Ньютона-Лейбніца, яка показує, що значення інтеграла на проміжку

[a; b] дорівнює різниці значень первісної підінтегральної функції, коли x = b і x = a :

)()()()( aFbFxFdxxfb

a

b

a

−==∫

Фізичний зміст інтеграла розкриває задача на знаходження маси неоднорідного стержня.

Формула обчислення маси неоднорідного стержня: ∫==

∞→

l

nn

dxxmm

0

)(lim ρ

Геометричний зміст інтеграла розкриває задача на знаходження площі криволінійної трапеції.

Формула обчислення площі криволінійної трапеції: ∫==

∞→

b

a

nn

dxxfSS )(lim


Криволінійна трапеція:

Криволінійна трапеція – це плоска фігура, обмежена графіком функції y = f(x) і віссю ОХ на заданому інтервалі [a; b].

ABCD – криволінійна трапеція.

ОСНОВНІ ВЛАСТИВОСТІ ІНТЕГРАЛА Властивості невизначеного інтеграла:

1. ∫ += CxFdxxF )()('

2. ∫ ∫ ∫+=+ dxxgdxxfdxxgxf )()())()((

3. ∫ ∫= dxxfkdxxkf )()(

4. Якщо F(x) – первісна для f(x), k і b – деякі числа, k ≠ 0, то ∫ ++=+ CbkxFk

dxbkxf )(1

)(

Властивості визначеного інтеграла:

1. ∫ ∫∫ ±=±

b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf )()())()((

2. Rkdxxfkdxxkf

b

a

b

a

∈= ∫∫ ,)()(

3. ∫ ∫∫ +=

c

a

b

c

b

a

dxxfdxxfdxxf )()()(

4. RkRpdttfk

dxpkxf

b

a

pkb

pka

∈∈=+∫ ∫+

+

,;)(1

)(

5. ∫∫ <−=

a

b

b

a

badxxfdxxf )(,)()(

6. ∫ =

a

a

dxxf .0)(

ОБЧИСЛЕННЯ ІНТЕГРАЛА Таблиця основних інтегралів:

1. )0,1(,1

1

>−≠+

+

=∫+

xnCn

xdxx

n

n

2. ∫ ∈≠>+= ),1,0(,ln

RxaaCa

adxa

x

x

3. ∫ += ;Cedxe xx

4. ∫ ∈+−= )(,cossin RxCxxdx

5. ∫ ∈+= )(,sincos RxCxxdx

6. ∫ +≠+= )2

(,cos

2nxCxtg

x

dxπ

π


7. ∫ ≠+−= )(,sin 2

nxCxctgx

dxπ

8. ∫ −∈+=

−

))1;1((,arcsin1 2

xCx

x

dx

9. ∫ ∈+=

+

)(,1

2RxCxarctg

x

dx

10. )0(,ln ≠+=∫ xCxx

dx

11. ∫ = ;0 Cdx

12. ∫ += ;Caxadx

13. ∫ += .Cxdx

Способи інтегрування:

1. Табличне інтегрування. Для обчислення інтегралів використовуються табличні значення.

2 .Заміна змінної. Використовується метод підстановки, який виражається формулою:

∫ ∫ == ).(,)('))(()( xtдеdxxxfdttf ϕϕϕ

3. Інтегрування частинами. ОБЧИСЛЕННЯ ПЛОЩ ПЛОСКИХ ФІГУР

Розглянемо визначення площі S плоскої фігури ВСЕ. Дана фігура обмежена графіками функцій y = f(x) і y = q(x) та прямою x = b. Нехай, S – шукана площа.

Введемо позначення: S1 – площа криволінійної трапеції ABCD (утворена графіком функції y = f(x)) S2 – площа криволінійної трапеції ABED (утворена графіком функції y = q(x)) Тоді шукану площу можна визначити через різницю площ криволінійних трапецій: S = S1 – S2.

Оскільки площу криволінійної трапеції можна обчислити за формулою ∫=b

a

dxxfS )( , тоді:

∫=b

a

dxxfS )(1

і ∫=b

a

dxxqS )(2

.

Звідси: ∫∫∫ −=−=

b

a

b

a

b

a

dxxqxfdxxqdxxfS ))()(()()(


Інші застосування інтеграла:

• у математиці:

Обчислення об'єму тіла: ∫=b

a

dxxSV )(

Обчислення об'єму кулі радіуса R: dxxRdxxSV

R

R

R

R

∫ ∫− −

−== )()(22

π

Обчислення об'єму кругового циліндра: ∫ ==

H

RSSdxV0

2, π

Обчислення об'єму піраміди: 2

2

2

0 0

2)(,)( x

H

SxSdxx

H

SdxxSV

H H

=== ∫ ∫

S – площа основи піраміди, H – висота піраміди

Обчислення об'єму тіла обертання: ∫ ===

b

a

xSRxfdxxfV )()(,)(222

πππ

Обчислення об'єму прямого кругового конуса: dxxH

RV

H

2

0

2

2

∫=

Обчислення об'єму тіла, утвореного обертанням параболічного сегмента з висотою Н і основою 2R

навколо осі симетрії: ∫=

H

xdxH

RV

0

2

π

• у фізиці:

Обчислення шляху за відомим законом зміни швидкості: ∫=

2

1

)(

t

t

dttvs

Обчислення роботи змінної сили: ∫ −=

b

a

силазміннаxFdxxFA )(,)(

Обчислення маси неоднорідного стержня та координати центра мас стержня:

∫=

2

1

)(

l

l

dllm ρ та ∫=

2

1

)(1

'

l

l

dlllm

x ρ

Обчислення кількості електрики: ∫=

2

1

)(

t

t

dttIQ

Education

інтеграл та його застосування