Історична довідка про Історична довідка про квадратні рівняння та методи квадратні рівняння та методи

їх розв’язуванняїх розв’язування

автор: Шершнєв Володимир Вікторович автор: Шершнєв Володимир Вікторович

Квадратні рівняння в історії Квадратні рівняння в історії людствалюдства

XIII-XVII ст. н.е.

VIII-IX ст. н.е.

VІ-V cт. до н.е

Європа

Близький Схід

Стародавня Індія

Стародавня Греція

Стародавній Вавилон2000 р. до н.е.

V-VI ст. н.е.

Квадратні Квадратні рівняння в рівняння в Давньому Давньому ВавилоніВавилоні

Вже приблизно за 2000 років до нашої ери вавилоняни знали, як розв’язвати квадратні рівняння. Розв’язування їх в Стародавньому Вавілоні було тісно пов'язане з практичними завданнями (вимірювання площі земельних ділянок, земельні роботи, військові потреби). Були відомі способи розв’язування як повних, так і неповних квадратних рівнянь.

Але багата теоретична основа математики Вавилона не Але багата теоретична основа математики Вавилона не

мала цілісного характеру і зводилася до набору мала цілісного характеру і зводилася до набору

розрізнених прийомів, позбавлених доказової бази. розрізнених прийомів, позбавлених доказової бази.

Систематичний доказовий підхід у математиці з'явився Систематичний доказовий підхід у математиці з'явився

тільки у греків.тільки у греків.

При розв’язуванні використовувалася геометрична термінологія При розв’язуванні використовувалася геометрична термінологія

(добуток ab називали площею, abc - об'ємом, і т. д.). Наведемо приклади (добуток ab називали площею, abc - об'ємом, і т. д.). Наведемо приклади

рівняньрівнянь,, які розвязували вавилоняни: які розвязували вавилоняни:

Вавилонський клинопис

Квадратні рівняння в СтародКвадратні рівняння в Стародавній авній ГреціїГреції

В Стародавній Греції у VI ст. до н. е. було дві наукові школи математиків:

Піфагорійці ( Піфагор) та Іонійці (Фале́с Міле́тський)

Картина Рафаеля Санті “Піфагорійці”

Квадратні рівняння в СтародКвадратні рівняння в Стародавній авній ГреціїГреції

ККвадратні рівняння вадратні рівняння уу стародавній Греції стародавній Греції розв'язувалися за допомогою геометричних побудов. розв'язувалися за допомогою геометричних побудов. Методи, які не пов'язувалися з геометрією, Методи, які не пов'язувалися з геометрією,

вперше наводить вперше наводить лише лише Діофант Александрійський у Діофант Александрійський у III ст.III ст. н.е. н.е. У своїх книгах «Арифметика» він наводить У своїх книгах «Арифметика» він наводить

приклади розв'язування неповних квадратних приклади розв'язування неповних квадратних рівнянь.рівнянь. Його книги з описом способів розв'язання повних Його книги з описом способів розв'язання повних

квадратних рівнянь до нашого часу не збереглисяквадратних рівнянь до нашого часу не збереглися..

Титульна сторінка книги “Арифметика”

Метод розв’язування квадратного Метод розв’язування квадратного рівняння рівняння

у Стародавній Греціїу Стародавній Греції Цей метод можна розглянути на прикладі Цей метод можна розглянути на прикладі

рівняння: урівняння: у22 + 6у – 16 = 0. + 6у – 16 = 0.

Рівняння можна перетворити на рівносильне Рівняння можна перетворити на рівносильне

уу22 + 6у = 16, або у + 6у = 16, або у22 + 6у + 9 = 16 + 9, + 6у + 9 = 16 + 9,

уу22 + 6у + 9 = 25. + 6у + 9 = 25.

Геометрично це означає, що можна побудувати Геометрично це означає, що можна побудувати

квадрат із стороноюквадрат із стороною поділеною на відрізки поділеною на відрізки

довжиною довжиною yy і 3 (див. рис. 1). і 3 (див. рис. 1). ППлоща цього квадрату лоща цього квадрату

складається з площ окремих його частин складається з площ окремих його частин

S=yS=y22+6+6yy+9. Але за умовою рівняння +9. Але за умовою рівняння S=S=25. 25.

Це означає що сторона цього квадрата Це означає що сторона цього квадрата yy+3=5 або +3=5 або

yy+3=-5 +3=-5 Отже уОтже у11 = 2, у = 2, у22 = – 8. = – 8.

y 3

3

y

S=y2 S=3y

S=3y S=9

y 3

3

y

Рис. 1

Квадратні рівняння в Індії Перші згадки про квадратні рівняння в Індії Перші згадки про квадратні рівняння в Індії

зустрічаються вже в 499 році в трактатзустрічаються вже в 499 році в трактатіі з астрономії з астрономії «Аріабхаттіам», написаний індійським астрономом и «Аріабхаттіам», написаний індійським астрономом и математиком Аріабхатою. В Давній Індії набули математиком Аріабхатою. В Давній Індії набули розповсюдження публічні змагання з розврозповсюдження публічні змагання з розв‘‘язуванняязування складних математичних задачскладних математичних задач Задачі, що розв’язуються за допомогою квадратних Задачі, що розв’язуються за допомогою квадратних

рівнянь, зустрічаються в роботах іншого індійського вченого рівнянь, зустрічаються в роботах іншого індійського вченого Брахмагупти. Брахмагупта запропонував універсальне Брахмагупти. Брахмагупта запропонував універсальне правило розв’язування квадратного рівняння виду правило розв’язування квадратного рівняння виду Його правило по суті співпадає з сучасним правилом Його правило по суті співпадає з сучасним правилом

розв’язування квадратного рівняння.розв’язування квадратного рівняння. 02 cbxax

Пам'ятник Аріабхаті на території індійського міжуніверситетського центру астрономії і астрофізіки

Квадратні рівняння в Індії

Задача знаменитого індійського математика Бхаскари:

Розділившись на дві зграї,Розділившись на дві зграї,забавлялись мавпи в гаї.забавлялись мавпи в гаї.Одна восьма їх в квадратіОдна восьма їх в квадратітанцювали, вельми раді.танцювали, вельми раді.А дванадцять на деревахА дванадцять на деревахпідняли веселий регіт,підняли веселий регіт,що навколо аж гуло.що навколо аж гуло.Скільки їх всього було?Скільки їх всього було?

Розв‘язування задачі Бхаскари:

Нехай було x мавп, тоді танцювали – мавп Складемо рівняння:

2

8

x

Відповідь: 16 , 48 мавп.

01264

2

xx

06412642 xx

0768642 xx

32

10247684644 22

D

acbD

162

3264

482

3264

2

1

x

x

xx

12

8

2

Квадратні рівняння на Близькому Сході

Арабський вчений Мухаммед аль-Хорезмі був автором слідуючих творів:Книга про індійську арифметику (або Книга про індійський рахунок);Коротка книга про числення алгебри і алмукабали;Астрономічні таблиці;Книга картини Землі;Книга про побудову астролябії;Книга про дії за допомогою астролябії;Книга про сонячний годинник;

Мухаммед аль-Хорезмі

(біля 780 — біля 850)

Сторінка Алгебри Аль-Хорезмі

Книга з алгебри Аль-Хорезмі (Кітаб мухтасаб

ал-джебр в-аль-мукабала) складається з двох

частин — теоретичної (теорія розв’язування

лінійних і квадратних рівнянь, деякі питання

геометрії) і практичної (застосування методів

алгебри в розв’язуванні господарських,

побутових, торгових і юридичних задач —

ділення спадку, складання заповітів, розподіл

майна, вимірювання земель, будівництво

каналів).

У теоретичній частині свого трактату Аль-

Хорезмі дає класифікацію рівнянь 1-й і 2-го

ступеня і виділяє шість їх видів:

квадрати дорівнюють кореням: ax2 =bx; квадрати

дорівнюють числу: ax2 =c;

корені дорівнюють числу: ax=c;

квадрати і корені рівні числу: ax2 +bx=c

квадрати і числа дорівнюють кореням: ax2 +c=bx;

корені і числа дорівнюють квадрату: bx+c= ax2 .

Така класифікація пояснюється вимогою, щоб в

обох частинах рівняння стояли додатні члени.

У своїх роботах Аль-Хорезмі не використовував

жодних символів, лише слова.Арабські математикиАрабські математики

Пам'ятник Аль-Хорезмі, Хіва (Узбекістан)

При розв’язуванні рівнянь дія аль-джебр (заповнення) означала перенесення від’ємного члена з однієї частини рівняння в іншу, і саме з цього терміну виникло сучасне слово «алгебра». Дія аль-мукабала (зіставлення) означала скорочення подібних членів в обох частинах рівняння. Алгебра Аль-Хорезмі поклала початок розвитку нової самостійної наукової дисципліни – алгебри. Ця книга була двічі перекладена в XII столітті на латинську мову і відіграла надзвичайно важливу роль у розвитку математики в Європі.

Квадратні рівняння в ЄвропіКвадратні рівняння в Європі Формули розв’язування квадратних Формули розв’язування квадратних

рівняннь в Європі вперше були викладені в 1202 рівняннь в Європі вперше були викладені в 1202

році італійським математиком Леона́рдо році італійським математиком Леона́рдо

Піза́нським (Фібоначчі).Піза́нським (Фібоначчі).

Леонардо вивчав праці математиків країн Леонардо вивчав праці математиків країн

ісламу (таких як Аль-Хорезмі і Абу Каміл); ісламу (таких як Аль-Хорезмі і Абу Каміл);

завдяки арабським перекладам він ознайомився завдяки арабським перекладам він ознайомився

також з досягненнями античних та індійських також з досягненнями античних та індійських

математиків.математиків.

На основі засвоєних ним знань Фібоначчі На основі засвоєних ним знань Фібоначчі

написав ряд математичних трактатів. написав ряд математичних трактатів.

Успадковане від східних математиків вчення про

лінійні і квадратні рівняння стало основою

розвитку алгебри в Європі.

Леона́рдо Піза́нськийЛеона́рдо Піза́нський(близько 1170 — близько 1250)(близько 1170 — близько 1250)

Квадратні рівняння в ЄвропіКвадратні рівняння в Європі

Загальне правило розв’язування Загальне правило розв’язування

квадратних рівнянь зведених до вигляду квадратних рівнянь зведених до вигляду

хх22+bx=c+bx=c вперше було сформульоване в вперше було сформульоване в

Європі в 1544 р. німецьким вченим Європі в 1544 р. німецьким вченим

Міхаелем Штифелем. Міхаелем Штифелем.

З 1535 по 1547 Міхаель Штифель З 1535 по 1547 Міхаель Штифель

був протестантським пастором в був протестантським пастором в

Хольцдорфе. До цього періоду належать Хольцдорфе. До цього періоду належать

його головні праці в галузі математики. його головні праці в галузі математики.

Міхаель ШтифельМіхаель Штифель(близько(близько 1487 — 1567)1487 — 1567)

Квадратні рівняння в ЄвропіКвадратні рівняння в Європі ВВиведення формули розв’язування иведення формули розв’язування

квадратних рівнянь в загальном вигляді квадратних рівнянь в загальном вигляді

aaхх22+bx+bx++cc=0=0 з’явилось в роботах в роботах

французського математика Франсуа Віета, французського математика Франсуа Віета,

але Віет визнавав лише додатні корені але Віет визнавав лише додатні корені

квадратних рівнянь.квадратних рівнянь.

Вієт створив символіку математичної Вієт створив символіку математичної

мови, яка дала можливість проводити мови, яка дала можливість проводити

математичні дослідження з недосяжними математичні дослідження з недосяжними

раніше глибиною і узагальненням.раніше глибиною і узагальненням.

Символіка Вієта була відразу ж оцінена Символіка Вієта була відразу ж оцінена

науковцями різних країн Європи та в науковцями різних країн Європи та в

подальшому удосконалена. подальшому удосконалена. Франсуа́ Віє́т(1540-1603)

Квадратні рівняння в ЄвропіКвадратні рівняння в ЄвропіВ 17 ст. завдяки працям Декарта , Ньютона та інших вчених формулам В 17 ст. завдяки працям Декарта , Ньютона та інших вчених формулам

розв’язування квадратних рівнянь було надано сучасний вигляд.розв’язування квадратних рівнянь було надано сучасний вигляд.

Рене Декарт(1596-1650) Ісаак Ньютон

(1643-1727)

Список використаних джерелСписок використаних джерел 1.1. Булгаков П. Г., Розенфельд Б. А., Ахмедов А. А. Мухаммад ал-Булгаков П. Г., Розенфельд Б. А., Ахмедов А. А. Мухаммад ал-

Хорезми, ок. 783 — ок. 850. М.: Наука, 1983.Хорезми, ок. 783 — ок. 850. М.: Наука, 1983.2.2. Выгодский М. Я. Арифметика и алгебра в древнем мире. М., 1967.Выгодский М. Я. Арифметика и алгебра в древнем мире. М., 1967.3.3. Депман И. Я. История арифметики. (1965)Депман И. Я. История арифметики. (1965)4.4. История математики с древнейших времён до начала XIX столетия История математики с древнейших времён до начала XIX столетия

(под ред. А. П. Юшкевича), М., Наука, 1972.(под ред. А. П. Юшкевича), М., Наука, 1972.5.5. Матвиевская Г. П. Учение о числе на средневековом Ближнем и Матвиевская Г. П. Учение о числе на средневековом Ближнем и

Среднем Востоке. Ташкент: Фан, 1967.Среднем Востоке. Ташкент: Фан, 1967.6.6. Нейгебауэр О. Точные науки в древности. М., 1968.Нейгебауэр О. Точные науки в древности. М., 1968.7.7. Хрестоматия по истории математики. Арифметика и алгебра. Теория Хрестоматия по истории математики. Арифметика и алгебра. Теория

чисел. Геометрия / Под ред. А. П. Юшкевича. М., 1976.чисел. Геометрия / Под ред. А. П. Юшкевича. М., 1976.8. http://uk.wikipedia.org/