Embed Size (px)
Citation preview
0a
0cbxax 2
Підготувала вчитель математики Макiївської загальноосвітньої школи І-ІІступенів № 36
Солодовник Людмила Василiвна
• Квадратні рівняння – це фундамент, на якому зводиться велична будівля алгебри. Квадратні рівняння знаходять широке застосування при розв’язуванні тригонометричних, показникових, ірраціональних рівнянь і нерівностей.
• В шкільному курсі математики вивчаються формули коренів, за допомогою яких можна розв’язувати будь-яке квадратне рівняння.
• Однак існують і інші прийоми розв’язування квадратних рівнянь, які дозволяють дуже швидко і раціонально їх розв’язувати.
0,ax 2 0x
корінь 1
0c
,0b
0c
,0b
0cax 2
,,a. с.
;,a. с.
нів, немає кореac
x
;,c a.
;,a c.
корені,
,
0022
0012
2
0021
0011
2 )1
21
0c
,0b
0bxax 2 a
bx
,0x
0,b)x(ax
корені 2
2
1
0D 0D
0D
корені 2
корінь 1
коренів немає
ac4bD 2
ac4bDде 2
,a2
Dbx 2,1
q4
p
2
px
2
2,1
0c
0b
1a
0qpxx 2
Теореми
Вієта Обернена
0qpxx
рівняння корені -xx
:Дано
2
2 1,
qxx
,pxx
:маємо
q,p,x,x
чисел для Дано
21
21
21
qxx
,pxx
:Довести
21
21
0qpxx
рівняння кореніxx
:Довести
2
2,1
ФРАНСУА ВІЄТ
1540-1603 Знаменита теорема, що встановлює зв’язок коефіцієнтів квадратного рівняння з його коренями, була оприлюднена в 1591 г.
Тепер вона носить ім’я Вієта.
Теорема Теорема ВієтаВієта
Теорема Вієта
Числа х₁ и х₂ є коренями квадратного рівняння aх² + bх + с =0тоді і тільки тоді, коли
х₁ + х₂ =
х₁ х₂ = ∙
По праву достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше, скажи, постоянства такого:
Умножишь ты корни — и дробь уж готова?
В числителе с, в знаменателе а
А сумма корней тоже дроби равна.
Хоть с минусом дробь, что за беда!
В числителе в, в знаменателе а.
à
b
à
c
m2b
a
acmmx
2
2,1
0a ,0cbxax 2
a
cx
,1x
,0cba )a
2
1
a
cx
,1x
,0cba )b
2
1
0a ,0cbxax 2
,m
nx
,n
mx
,nmb
,mnca)1
2
1
22
,n
mx
,m
nx
,nmb
,mnca )2
2
1
22
0a ,0cbxax 2
a
xx
x
0,acbxx
(ac),14bD
'1,2
1,2
'1,2
''2
2
РозвРозв’’язанняязання
Якщо представити дискримінант квадратного рівняння так:
То дане квадратне рівняння можна переписати таким чином:
корені записаного рівняння.
Корені даного рівняння:
Квадратні рівняння в Давньому Вавілоні
• Квадратні рівняння вміли розв’язувати близько 2000 років до нашої ери вавілоняни.
• Правило розв'язку квадратних рівнянь, викладене в вавілонських текстах, співпадає з сучасними, але невідомо, яким чином дійшли вавілоняни до цього правила.
Незважаючи на високий рівень Незважаючи на високий рівень розвитку алгебри в Вавілонії, в розвитку алгебри в Вавілонії, в клинописних текстах відсутні клинописних текстах відсутні понятття відпонятття від’ємного’ємного числа і числа і загальні методи розвзагальні методи розв’язування’язування квадратних рівнянь.квадратних рівнянь.
Квадратні рівняння в Індії 1.Перші згадування про квадратні рівняння в Індії зустрічаються вже в
499 році. В Давній Індії набули розповсюдження публічні змагання з розв‘язку складних задач.
2.Задача знаменитого індійського математика Бхаскари:
Обезьянок резвая стаяВсласть поевши, развлекаясь.Их в квадрате часть восьмаяНа поляне забавлялась. А 12 по лианам…Стали прыгать, повисая.Сколько было обезьянок,Ты скажи мне, в этой стае?
Розв‘язування задачі Бхаскари:
Нехай було x мавп,
тоді на галявині забавлялось – Складемо рівняння:
2
8
x
Відповідь: 16 , 48 мавп.
01264
2
xx
06412642 xx
0768642 xx
32
10247684644 22
D
acbD
162
3264
482
3264
2
1
x
x
xx
128
2
Квадратні рівняння в Європі1. Формули розв’язування квадратних рівняннь
в Європі вперше були викладені в 1202 роціу італійським математиком Фібоначчі.
2. Правило розв’язування квадратних рівнянь було сформульоване в Європі лише в 1544г. Штифелем.
3. Завдяки працям Декарта, Ньютона ,Вієта та інших вчених способу розв’язування рівнянь надано сучасний вигляд.
Коли рівняння розв'язуєш ти,
Отже:
Значення кореня слід перевірити.
В рівняння його обережно підстав.
Коли вірну рівність дістав,
То значення кореня ти відшукав.
Корінь у нього повинен знайти.
