Спеціалізована школа Спеціалізована школа №52№52

Вчитель математики Мовчан А. В.Вчитель математики Мовчан А. В.

Способи усного розвСпособи усного розв’’язування язування квадратних рівнянь.квадратних рівнянь.

Здобувати знання – Здобувати знання – хоробрістьхоробрість

Збільшувати їх – мудрістьЗбільшувати їх – мудрістьА вміло використовувати – А вміло використовувати –

велике мистецтвовелике мистецтво

Квадратні рівняння – це фундамент, на Квадратні рівняння – це фундамент, на якому тримається величезна будівля якому тримається величезна будівля алгебри. В шкільному курсі математики алгебри. В шкільному курсі математики вивчаються формули, за допомогою вивчаються формули, за допомогою яких розвяких розв’’язують квадратні рівняння.язують квадратні рівняння.Але існують і інші способи Але існують і інші способи розврозв’’язування квадратних рівнянь, які язування квадратних рівнянь, які дозволяють дуже швидко розвдозволяють дуже швидко розв’’язати язати багато квадратних рівнянь.багато квадратних рівнянь.

Приклади рівняньПриклади рівнянь

016691988319 2 xx

016sin46sin3 2 xx

012

42

3 2 xtgxtg

xxx 42103255

Пригадаємо основні формулиПригадаємо основні формули

1) від чого залежить 1) від чого залежить кількість коренів кількість коренів квадратного рівняння?квадратного рівняння?

2) скільки коренів може мати 2) скільки коренів може мати квадратне рівняння?квадратне рівняння?

3) які формули коренів 3) які формули коренів квадратного рівняння ви квадратного рівняння ви знаєте?знаєте?

D >0

D =0

D<0

2 кореня

02 gpxxФормули коренів

1 коріньНемає коренів

;2

42

2,1 aacbbx

aackkx

2

2,1

2

1

при b=2k

ТеоремиТеоремиВієтаВієта--------------------------------------------------------ДаноДано

ОберненаОбернена--------------------------------------------------------ДаноДаноДля чиселДля чисел

0

,

2

21

gpxx

ð³âíÿííÿêîðåí³xx

gxxpxx

ìàºìî

gpxx

21

21

2,1 ,,

gxxpxx

Äîâåñòè

21

21

0

,

2

21

gpxx

ð³âíÿííÿêîðåí³xx

Äîâåñòè

Неповні квадратні рівнянняНеповні квадратні рівняння 1) скільки видів неповних 1) скільки видів неповних

квадратних рівнянь ви знаєте?квадратних рівнянь ви знаєте?

2) скільки коренів можуть мати 2) скільки коренів можуть мати неповні квадратні рівняння?неповні квадратні рівняння?

3) наведіть приклади 3) наведіть приклади неповних квадратних рівнянь.неповних квадратних рівнянь.

02 cbxax 0a

b=o b=o c=0c=0

b=0b=0c≠0c≠0

b≠0b≠0c=0c=0

02 ax

1корінь

x = 0

02 cax 02 bxax

abx

xbaxx

2

1 0,0)(

2 кореня,якщо

а і с мають різні знаки

Немє коренів, якщо а і с мають різні знаки.

2 кореня2 кореня

Способи усного розвСпособи усного розв’’язування язування квадратних рівнянь.квадратних рівнянь.

1) Спосіб “ коефіцієнтів ”1) Спосіб “ коефіцієнтів ”

2) Спосіб “ перекидання “2) Спосіб “ перекидання “

Спосіб “ коефіцієнтів №1 “Спосіб “ коефіцієнтів №1 “

02 cbxax Якщо а+в+с=0, тоЯкщо а+в+с=0, то

.,1 21 acxx

Спосіб « коефіцієнтів №1»

02 cbxax0 cba

, то

acxx 21 ,1

09134 2 xx

наприклад

49,1 21 xx

якщо

Спосіб “ коефіцієнтів №2 “Спосіб “ коефіцієнтів №2 “

02 cbxax Якщо в = а + с, тоЯкщо в = а + с, то

.,1 21 acxx

Спосіб “ коефіцієнтів №2 “Спосіб “ коефіцієнтів №2 “

02 cbxax

acxx

21 ,1b = a + cякщо

, то

07114 2 xx

47,1 21

xx

наприклад

Спосіб “ перекидання “Спосіб “ перекидання “

ЯкщоЯкщо

0 cba

0 cba

05112 2 xx010112 xx

21

02 cbxax

Спосіб “ перекидання “

якщо, то

наприклад

Його корені 10 і 1 ділемо на а=2

Відповідь: 5 і

РозвРозв’’яжи усно рівнянняяжи усно рівняння

1) 1) Визначити, в який спосіб Визначити, в який спосіб можна розвможна розв’’язати рівняння.язати рівняння.

2) 2) Знайти його корені усно.Знайти його корені усно.

3) Пояснити, як знайдені 3) Пояснити, як знайдені корені.корені.

0376 2 xx

07114 2 xx

0120001999 2 xx

016691988319 2 xx

0619841978 2 xx

032 2 xx

Перевір себеПеревір себе

19786

123

1

2

1

2

1

x

x

x

x

19991

1319

16691

471

2

1

2

1

2

1

x

x

x

x

x

x

23

69

31

62

2

1

x

x

013326313 2 xx

0208137345 2 xx

0391448839 2 xx

039978939 2 xx

1

2

3

4

31313;1

839391;1

345208;1

93939;1

Квадратні рівняння з великими коефіцієнтами

Складання рівнянь з раціональними Складання рівнянь з раціональними коренямикоренями

Застосовуючи відомі Застосовуючи відомі вам способи ви вам способи ви можете самі можете самі придумувати придумувати рівняння з рівняння з раціональними раціональними коренями.коренями.

Наприклад візьмемо Наприклад візьмемо рівняннярівняння 0652 xx

його корені 2 і 3

Його коефіцієнт с=6, він має дільники 1, 2, 3, 6Звідси маємо рівняння:

0156 2 xx

0352 2 xx0253 2 xx

0652 xx0156 2 xx

0352 2 xx0253 2 xx

ВисновкиВисновки Приведені вище способи Приведені вище способи

розврозв’’язування квадратних рівнянь язування квадратних рівнянь заслуговують на увагу, оскільки заслуговують на увагу, оскільки вони не містяться в підручниках з вони не містяться в підручниках з математики.математики.

Володіння цими способами допоможе Володіння цими способами допоможе учням швидко розвязувати багато учням швидко розвязувати багато різноманітних квадратних рівнянь, різноманітних квадратних рівнянь, що дасть можливість зекономити що дасть можливість зекономити час.час.