Ch3 ma tran

hdxb_2009

MA TRẬNChương 3

Bài gi ng ả TOÁN ỨNG DỤNG TRONG TIN HỌC (Tài liệu cập nhật – 2009)

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ iSPACE137C Nguyễn Chí Thanh, P 9, Q 5, TP. Hồ Chí Minh

Web: ispace.edu.vn - Tel: 08.6.261.0303 - Fax: 08.6.261.0304

2

§1. Ma trận

- Khái niệm ma trận

- Ma trận vuông

- Các phép toán trên ma trận

A. MA TRẬN

TOÁN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009…

1. Khái niệm ma trận• Định nghĩa ma trận: Ma trận cấp mxn là bảng số thực hình chữ nhật có m dòng

và n cột .

11 1 1

1

1

... ...

... ...

... ...

j n

i ij in

m mj mn

a a a

a a aA

a a a

÷ ÷ ÷= ÷ ÷ ÷

M M M

M M M

Cột j

Dòng i

3

A. MA TRẬN


Ví dụ 1.

( )1 4 20 2 5A −=

A là ma trận thực cấp 2x3 gồm 2 dòng và 3 cột

11 12 13 21 22 231; 4; 2; 0; 2; 5a a a a a a= = = − = = =Phần tử của A:

Ví dụ 21 2 1

3 3 2

5 1 4

A

− ÷= − ÷ ÷

4

1. Khái niệm ma trậnA. MA TRẬN


Tập hợp tất cả các ma trận cấp mxn được ký hiệu là Mmxn(R)

Ma trận A có m dòng và n cột thường được ký hiệu bởi( )

nmijaA

×=

Ma trận có tất cả các phần tử là không được gọi là ma trận không, ký hiệu 0, (aij = 0 với mọi i và j).

Định nghĩa ma trận không

=

000

000A

5

1. Khái niệm ma trậnA. MA TRẬN


Nếu số dòng và cột của ma trận A bằng nhau và bằng n, thì A được gọi là ma trận vuông cấp n.

Định nghĩa ma trận vuông

2 1

3 2A

− = ÷

Tập hợp các ma trận vuông cấp n được ký hiệu bởi Mn(R)

6

2. Ma trận vuôngA. MA TRẬN


2 3 1 13 4 0 52 1 3 7

2 1 6 8

− ÷ ÷

− ÷ ÷−

Các phần tử a11, a22,…,ann tạo nên đường chéo chính của ma trận vuông A.

Ma trận đường chéo là ma trận có các phần tử nằm ngoài đường chéo chính bằng 0. Lúc đó ma trận đường chéo được ký hiệu: diag(a11, a22,…,ann) với aii là các phần tử nằm trên đường chéo chính.

7



Ma trận vuông được gọi là ma trận tam giác trên nếu

Định nghĩa ma trận tam giác trên

−

−=

200

630

312

A

( )ij n nA a

×=

ij 0, a i j= ∀ >

Ma trận vuông được gọi là ma trận tam giác dưới nếu

Định nghĩa ma trận tam giác dưới

2 0 0

4 1 0

5 7 2

A ÷= ÷ ÷−

( )ij n nA a

×=

ij 0, = ∀ <a i j

8



Ma trận chéo với các phần tử đường chéo đều bằng 1 được gọi là ma trận đơn vị, tức là (aij = 0, i ≠ j; và aii = 1 với mọi i).

Định nghĩa ma trận đơn vị

=

100

010

001

I

2. Ma trận vuông

Ma trận đơn vị cấp n được ký hiệu bởi In

9

A. MA TRẬN


3. Các phép toán ma trận

Hai ma trận bằng nhau nếu: 1) cùng cấp; 2)các phần tử ở những vị trí tương ứng bằng nhau (aij = bij với mọi i và j).

a. Hai ma trận trận bằng nhau

10

A. MA TRẬN


2393

01

42

×

−=TA

32904

312

×

−

=A

Chuyển vị của là ma trận cấp

nXm thu được từ A bằng cách chuyển dòng thành cột.

( )mnij

T aA×

= b. Ma trận chuyển vị

( )nmij

aA×

=

Ví dụ

11


A. MA TRẬN


12

Ma trận vuông A thỏa aij = aji với mọi i = 1,….n và j =1,…,n được gọi là ma trận đối xứng (tức là, nếu A = AT)

Định nghĩa ma trận đối xứng

−

−=

073

741

312

A

Tính chất:a) (AT)T= A;b) AT = BT ⇔ A =B

3. Các phép toán ma trậnA. MA TRẬN


c. Phép nhân ma trận với một số.Nhân ma trận với một số, ta lấy số đó nhân với tất

cả các phần tử của ma trận.

−

=503

421A

−

=×1006

8422 A

Ví dụ

Tính chất:a) (αβ)A= α(βA);b) (αA)T =αAT


13

A. MA TRẬN


Tổng A + B:Cùng cấp

Các phần tử tương ứng cộng lại

d. Cộng hai ma trận

−

=

−

=741

623;

503

421BA

=+

1244

1002BA

Ví dụ


14

A. MA TRẬN


Tính chất:a) A + B = B + A;

c) (A + B) + C = A + ( B + C);b) A + 0 = A;

d) α(A + B) = αA + αB;

e) (α + β)A = αA + βA;

f) (A + B)T = AT + BT ;


15

A. MA TRẬN


e. Nhân hai ma trận với nhau( ) ; ( )pij m i pj nA a B b× ×= =

nmijcCAB ×== )( với pjipjijiij bababac +++= ...2211

1

21 2

** *

... ... ...

*

j

ji i ip

pj

ij

b

bAB a a a

b

c

= =

M

MM


16

11 12 13

21 22 23

1 2 22 1 4

3 0 14 1 0

2 4 3

c c cA B

c c c

− − ÷× = × = ÷ ÷ ÷ ÷

−=

−

=342

103

221

;014

412BA

Ví dụ

Tính AB

11c = ( )2 1 4−132

÷ ÷ ÷

2 1 ( 1) 3 4 2 7= × + − × + × =

12 13

21 22 23

7 c cc c c

÷


17

A. MA TRẬN


2 1 1;

4 1 3

− = = ÷ ÷ A B

Ví dụ

Tìm ma trận X, thỏa AX = B.

Xác định cấp của ma trận X là 2x1.

AX=B

aX

b = ÷

Đặt

2 1 14 1 3

ab

− ⇔ = ÷ ÷ ÷

2 14 3a ba b

− ⇔ = ÷ ÷+

2 14 3a ba b

− =⇔ + =2 1,3 3

a b⇔ = =2/ 3

Vaäy 1/ 3

X = ÷


18

A. MA TRẬN


a. A(BC) = (AB)C; b.A(B + C) = AB + AC;

e. α(AB) = (αA)B = A(αB).

d. ImA = A = AIm

Tính chất của phép nhân hai ma trận

c. (B+C)A = BA+CA;

Chú ý:

1. Nói chung BAAB ≠2. ACAB = CB =

0=AB 00 =∨= BA3.


19

A. MA TRẬN


( ) ( ) ( )1 2 4 3 8 53 4 2 1 20 13= ( ) ( ) ( )4 3 1 2 13 20

2 1 3 4 5 8=

( ) ( ) ( )1 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0= ( ) ( ) ( )1 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0=


20

A. MA TRẬN


f. Lũy thừa ma trận.

n

n

A A A A A= × ×L1442443

0Qui öôùc: A I= 2A A A= ×

3A A A A= × ×

Cho A là ma trận vuông cấp n. Khi đó


21

A. MA TRẬN


1 3.

0 1A

= ÷

Ví dụ

Tính A2; A3, từ đó suy ra A200

2 1 3 1 30 1 0 1

A A A = × = ÷ ÷

116

0 = ÷

3 2 1 6 1 30 1 0 1

A A A = × = ÷ ÷

119

0 = ÷

200 10 1

200 3A

× ⇒ = ÷


22

A. MA TRẬN


2 3.

0 2

= ÷ A

Ví dụ

Tính A200

2 3 1 3/ 22

0 2 0 1A = = × ÷ ÷

12

0 1a = ÷

1 1Ta coù:

0 1 0 1

na na = ÷ ÷ 200200

200200

3002 2

0 2A

= ÷

×÷


23

A. MA TRẬN


Bài 1. Phép toán nào sau đây thực hiện được và tính toán kết quả:

2 1 0 1 1 3 2 1.

3 1 2 7 5 1 0 0a

− + ÷ ÷− −

1 2 1 2 3.

2 3 4 5 6b

− + ÷ ÷−

2 1 0 1. 3

3 1 2 7c

− − ÷−

1 3 2 1. 0

5 1 0 0d

÷−

1 0

1 2 4 1 6 0 1

. 0 3 0 3 5 2 4

2 4 1 2 4 3 3

3 1

e

÷− − ÷ ÷ ÷× ÷ ÷ ÷ − ÷ ÷− −

1 2 41 0 1

. 2 0 04 3 2

1 1 1

f

÷× ÷ ÷ − ÷−

B. BÀI TẬP


Bài 2. Cho 3 ma trận vuông A, B, C cấp n. Điều này sau đây luôn đúng?

( ) ( ))a AB C A BC= ( ))b A B C AB AC+ = +

( ) ( ) ( ))c A kB kA B k AB= = ) d AB BA=

B. BÀI TẬP


Bài 3. Cho

Phép toán nào sau đây thực hiện được? Và tính kết quả đó.

2 5 1 3 1 6 4;

3 0 4 0 2 7 5A B

− − = = ÷ ÷− −

.a A B+ .b A B× . Tc A B× . Td A B×

B. BÀI TẬP


Bài 4. Tìm x, y nếu

Bài 5. Tìm x, y, z, w thỏa:

1 36 .

5 3

x x

y y

= ÷ ÷ ÷

1 1 1 1.

0 1 0 1

x y x y

z w z w

× = × ÷ ÷ ÷ ÷

B. BÀI TẬP


Bài 6. Cho các ma trận A, B như sau:

a) Tính

b) Tìm ma trận X sao cho

2 1 1 2 1 0 ;

0 1 4 3 2 2A B

− − = = ÷ ÷− −

( ) 23 2 ; 2 ; .T T T TA B AA BB A A B B± − +

B. BÀI TẬP


2 TB X BA− =

Bài 7. Tìm số thực x, y, z, w biết rằng:

6 43

1 2 3

x y x x y

z w w z w

+ = + ÷ ÷ ÷− +

B. BÀI TẬP


Bài 9. Tính

Bài 10. Cho . Tính

Gợi ý: Áp dụng nguyên lý qui nạp.

20030 1

.1 0

÷−

1 2

0 1A

= ÷

.nA

B. BÀI TẬP


CHƯƠNG 3: MA TRẬN


3.1 Ma trận

3.2 Các ma trận

16- Khái niệm về ma trận

17- Số học ma trận

18- Chuyển vị và lũy thừa các ma trận

19- Thuật toán

20- Độ phức tạp của thuật toán

21- Đánh giá thời gian tính của một thuật toán

16- KHÁI NiỆM về MA TRẬN

Ma trận A (mxn):

m = n : MT vuông

2 ma trận (A=B)

m hàng & n cột.

Bảng hình chữ nhật

jiaPhần tử

Định nghĩa:

Xác định hàng (i) và cột (j) của phần tử bất kỳ:

Hàng 2 & cột 3.

3.1 Ma trận

A(3x3)

nA = nB, mA = mB

aij = bij

A = B =


17- SỐ HỌC về MA TRẬN

a/ PHÉP CỘNG (TỔNG CỦA CÁC MA TRẬN)

3.1 Ma trận

Điều kiện: các ma trận thành phần phải có cùng kích thước m x n.

Ví dụ 3.1:

Lưu ý: Phép CỘNG ma trận có tính giao hoán A + B = B + A


1 3 5

2 3 0

0 2 7

3 1 0

8 0 2

1 3 5

+

4 .. ..

.. 3 ..

.. .. ..

=

17- SỐ HỌC về MA TRẬN (tt)

Ví dụ 3.2:

3.1 Ma trận


1 3 5

2 3 0

0 2 7

+

=


Ví dụ 3.3:

3.1 Ma trận

4 5 3

9 4 2

2 1 8

2 4 7

3 5 4

1 6 5

.. 4 ..

.. .. ..

.. .. ..-

1 3 5

2 3 0

0 2 7

-

=

Ví dụ 3.4:

4 5 3

8 4 6

1 3 8

2 4 7

3 5 4

1 6 5

.. .. ..

.. .. ..

.. .. ..+


17- SỐ HỌC về MA TRẬN (tt) 3.1 Ma trận

b/ PHÉP NHÂN (TÍCH CỦA CÁC MA TRẬN)

A (mxk) B (kxn)

C (mxn)

Điều kiện: cột …trái = hàng…phải

A

(mxk)

B

(kxn)

C=A.B

(mxn)



b/ PHÉP NHÂN - TÍCH CỦA CÁC MA TRẬN (tt)

Lưu ý: Phép TÍCH ma trận không có tính giao hoán

A.B ≠ B.A A.B.C = (A.B).C ≠ A.(B.C)

jia jib jicx


a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

a41 a42 a43

x =

A (4x3) B (3x2)

b11 b12

b21 b22

b31 b32

c11 c12

c21 c22

c31 c32

c41 c42C=AxB (4x2)

c11=a11.b11+a12.b21+a13.b31

c21=a21.b11+a22.b21+a23.b31

c12=a11.b12+a12.b22+a13.b32

c22=a21.b12+a22.b22+a23.b32


Phương pháp NHÂN ma trận:HÀNG X CỘT


1 0 4

2 1 1

3 1 0

0 2 2

2 4

1 1

3 0

x =

.. ..

.. ..

7 ..

.. ..


Ví dụ 3.5: Phương pháp NHÂN ma trận:HÀNG X CỘT

C31 = 3x2 + 1x1 + 0x3 = 7


1 0 4

6 2 3

3 5 0

0 2 3

2 3

4 1

3 0

x =

.. ..

.. ..

.. ..

.. ..

1 0 4

6 2 3

2 3 0

4 1 2

3 0 1

x =

.. .. ..

.. .. ..

.. .. ..


Ví dụ 3.6:

Ví dụ 3.7

3.1 Ma trận



Tham khảo Seminars





18- Chuyển vị và lũy thừa các ma trận



18- Chuyển vị và lũy thừa các ma trận (tt)

Chuyển vị



1 0 4

6 2 3

3 5 0

0 2 3 =

a/

.. .. .. ..

.. .. .. ..

.. .. .. ..

1 2 3 4

5 6 7 8

1 5

2 2

3 7

4 8













MA TRẬN 0 1`








Lũy thừa các ma trận












19- Thuật toán



19- Thuật toán (tt)




































20- Độ phức tạp của thuật toán



20- Độ phức tạp của thuật toán (tt)









21- Đánh giá thời gian tính của 1 thuật toán



21- Đánh giá thời gian tính của 1 thuật toán(tt)



























CÁM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý LẮNG NGHE !

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ iSPACE137C Nguyễn Chí Thanh, P 9, Q 5, TP. Hồ Chí Minh

Web: ispace.edu.vn - Tel: 08.6.261.0303 - Fax: 08.6.261.0304

TOÁN ỨNG DỤNG Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH HDXB-2009…

Kết thúc Chương 3:

MA TRẬN

Education

Ch3 ma tran