Chuyen de phan nguyen phan le cua vu phong.doc

Vò Hång Phong làng Bất lự-Hoàn Sơn-Tiên Du -B¾c Ninh

1

Chuyªn ®Ò 1 : Ph¬ng tr×nh cã chøa phÇn nguyªn

Vò Hång Phong GV THPT Tiªn Du 1, B¾c Ninh

Khi gÆp mét ph¬ng tr×nh cã chøa phÇn nguyªn chóng ta kh«ng chØ thÊy çi hay trong thuËt to¸n gi¶i ph¬ng tr×nh mµ cßn thÊy ë ®ã nh÷ng tÝnh chÊt thó vÞ cña phÇn nguyªn ®îc sö dông. Hi väng bµi viÕt nµy sÏ ®em l¹i nh÷ng ®iÒu míi l¹ vµ bæ Ých cho çc b¹n Tríc tiªn xin nh¾c l¹i mét vµi tÝnh chÊt cña phÇn nguyªn: Víi x,y, lµ çc sè thùc, m,n lµ sè nguyªn, Z lµ tËp hîp sè nguyªn ta kÝ hiÖu [x] là sè nguyªn lín nhÊt kh«ng vît qu¸ x ,®äc lµ phÇn nguyªn cña x, phÇn lÎ cña x lµ ][}{ xxx . Khi ®ã ta cã: TÝnh chÊt 1: xxx ][1

HÖ qu¶: 1}{0 x

Chøng minh: + do [x] là sè nguyªn lín nhÊt kh«ng vît qu¸ x nªn xx ][ + ta chøng minh ][1 xx b»ng ph¬ng ph¸p ph¶n chøng nh sau Gi¶ sö ][1 xx suy ra ][1][ xxx nh vËy 1][ x lµ sè nguyªn kh«ng vît qu¸ x, m©u thuÉn

víi ®Þnh nghÜa [x] là sè nguyªn lín nhÊt kh«ng vît qu¸ x + do xxx ][1 nªn 1][0 xx suy ra 1}{0 x TÝnh chÊt 2: 1][ nxnnx

Chøng minh:

+ nÕu nx ][ th× theo tÝnh chÊt 1 cã xxnx ][1 suy ra 1 nxn + nÕu 1 nxn th× sè nguyªn lín nhÊt kh«ng vît qu¸ x lµ n suy ra nx ][ TÝnh chÊt 3: nxnx ][][

Chøng minh: Gi¶ sö mx ][ th× theo tÝnh chÊt 2 cã 1 mxm 1 nmnxnm

nxnmnx ][][ TÝnh chÊt 4: víi Zx th× ][][ xx

víi Zx th× 1][][ xx Chøng minh: + víi Zx th× Zx nªn x lµ sè nguyªn lín nhÊt kh«ng vît qu¸ x vµ x lµ sè nguyªn lín nhÊt kh«ng vît qu¸ x nªn xx ][ ; xx ][ suy ra ][][ xxx +víi Zx th× theo tÝnh chÊt 1 cã xxx ][1 1][][ xxx ][1][ xxx suy ra 1][][ xx

TÝnh chÊt 5: víi 1n cã ][]1

[...]1

[][ nxn

nx

nxx

Chøng minh: Víi Rx tån t¹i Za sao cho )1;[ aax Chia nöa kho¶ng )1;[ aa thµnh n nöa kho¶ng nh sau:

)1

;[n

aa ; )2

;1

[n

an

a ;....; );1

[n

ka

n

ka

;...; )1;

1[

an

na

Khi ®ã x sÏ thuéc mét trong n nöa kho¶ng trªn


2

Gi¶ sö );1

[n

ka

n

kax

Víi kniZi 0; cã )1;1

[

an

ka

n

ix suy ra a

n

ix ][

Suy ra aknn

knx

nxx )1(][...]

1[][

(1) (v× vÕ tr¸i cã n k+1 sè h¹ng)

Víi 11; niknZi cã )2;1[ aan

ix suy ra 1][ a

n

ix

Suy ra )1)(1(]1

[...]1

[

akn

nx

n

knx (2) (v× vÕ tr¸i cã k-1 sè h¹ng)

Do );1

[n

ka

n

kax

nªn );1[ knaknanx suy ra 1][ knanx (3)

Tõ (1),(2),(3) suy ra ][1)1)(1()1(]1

[...]1

[][ nxknaakaknn

nx

nxx

TÝnh chÊt 6:Víi yx th× ][][ yx Chøng minh: Theo tÝnh chÊt 1 cã 1][ xx vµ yy ][

Ta chøng minh b»ng ph¬ng ph¸p ph¶n chøng nh sau: Gi¶ sö ][][ yx suy ra ][1][ yx yyxx ][1][ yx m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt yx

TÝnh chÊt 7:víi 1n th× 1}]{[0 nxn

Chøng minh: do 1}{0 x nªn nxn }{0 1}]{[0 nxn TÝnh chÊt 8: Víi 1n cã: 1][][][ nxnnxxn

+ n

xnxxn1

}{0][][

+ 1}{1

1][][

xn

nnxnnx

Chøng minh: do Zxn ][ nªn theo tÝnh chÊt 3 cã }]{[][})]{]([[][ xnxnxxnnx

Mµ theo tÝnh chÊt 7 cã 1}]{[0 nxn suy ra 1][][][ nxnnxxn

nxnxnxnxxn

1}{0100][][][

1}{1

11][1][][

xn

nnnxnnnxnxnnx

TÝnh chÊt 9:Víi 1, nm cã: + 1][][][][][ nmynxmnymxynxm

+ 1][][][][][ mynxmnymxnynxm Chøng minh: cã }]{}{[][][}]{][}{][[][ ynxmynxmynynxmxmnymx }]{}{[][][}]{][}{][[][ ynxmynxmynynxmxmnymx

Do 1}{};{0 yx nªn nmynxm }{}{0 ; mynxmn }{}{ Suy ra 1}]{}{[0 nmynxm ; 1}]{}{[ mynxmn Do vËy 1][][][][][ nmynxmnymxynxm 1][][][][][ mynxmnymxnynxm

TÝnh chÊt 10 víi Rxi cã : 1][...][][]..[][..][][ 212121 nxxxxxxxxx nnn

®¼ng thøc x¶y ra ë tõng chç lÇn lît lµ 0}]{..}{}[{ 21 nxxx ; 1}]{..}{}[{ 21 nxxx n

Chøng minh: cã }]{][...}{][}{][[]..[ 221121 nnn xxxxxxxxx

}]{..}{}[{][..][][ 2121 nn xxxxxx (1)


3

Do 1}{0 ix nªn nxxx n }{..}{}{0 21 suy ra 1}]{..}{}[{0 21 nxxx n (2)

Tõ (1) vµ (2) ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh Tæng qu¸t tÝnh chÊt 8,9,10 nh sau: BiÓu thøc ][...][][][..][][]....[ 21212121 nmnm yyyxxxyyyxxxP nhËn çc gi¸

trÞ nguyªn 1;...;1; mnn Chøng minh: BiÕn ®æi t¬ng tù tÝnh chÊt 8,9,10 ®îc: ZyyyxxxP nm }]{..}{}{}{..}{}[{ 2121 (1)

Cã myyyxxxn nm }{..}{}{}{..}{}{ 2121 nªn

1}]{..}{}{}{..}{}[{ 2121 myyyxxxn nm (2)

Tõ (1) vµ (2) suy ra P nhËn çc gi¸ trÞ nguyªn 1;...;1; mnn TÝnh chÊt 11: a) nÕu 0, yx th× ]][[][ yxxy

b) nÕu 0, yx th× ]][[][ yxxy c) nÕu yx 0 th× ][]][[][ xyxxy Chøng minh: do Zyx ]][[ nªn }]}{{}]{[}]{[[]][[})]{]})([{][([][ yxxyyxyxyyxxxy ]}{}]{[[]][[})]{]}([{}]{[[]][[ yxyxyxyyxyxyx

a) Víi 0, yx th× 0][ x mµ 0}{};{ yx nªn 0}]{[ yx ; 0}{ yx suy ra 0}{}]{[ yxyx 0]}{}]{[[ yxyx do vËy ]][[][ yxxy

b) Víi 0, yx th× 0][ x mµ 0}{};{ yx nªn 0}]{[ yx ; 0}{ yx suy ra 0}{}]{[ yxyx 0]}{}]{[[ yxyx do vËy ]][[][ yxxy

c) Víi yx 0 th× yx 0][ mµ 1}{};{0 yx suy ra ][}]{[ xyx vµ 0}{ yx suy ra ][}{}]{[ xyxyx ][]][[]}{}]{[[ xxyxyx (theo tÝnh chÊt 6) do vËy ][]][[][ xyxxy

TÝnh chÊt 12: + nÕu 0 vµ ][][ yx th× yx1 + nÕu 0 vµ ][][ yx th× 01 yx

Tæng qu¸t: víi Rji ;; ; 0; ji

nÕu ][..][][][..][][ 22112211 nnmm yyyxxx

th× mnnnmm yyyxxx ..;...... 212122112211

Chøng minh: Víi ][][ yx th× }{}{}){]([}){]([ yxyyxxyx

+ khi 0 cã }{}{1 yx yx1 + khi 0 cã 0}{}{1 yx 01 yx + Cã nnmm yyyxxx .... 22112211

][..][][][..][][ 22112211 nnmm yyyxxx

}{..}{}{}{..}{}{ 22112211 nnmm yyyxxx

}{..}{}{}{..}{}{ 22112211 nnmm yyyxxx (1)

Do 1;0 ji yx nªn }{..}{}{}{..}{}{ 22112211 nnmm yyyxxx thuéc

kho¶ng mn ..;.. 2121 (2)

tõ (1) vµ (2) ta cã ®pcm Sau ®©y lµ çc vÝ dô VÝ dô 1: gi¶i ph¬ng tr×nh

}{3

22]

16

15[...]

16

3[]

16

1[ x

xxx

(1)


4

Lêi gi¶i Theo tÝnh chÊt 5 cã:

]2

1[]

16

1.8[]

8

7

16

1[...]

8

1

16

1[]

16

1[)1(

xxxxxVT

Do 1}{0 x nªn 3

25}{

3

22)1(

3

22 xVP

L¹i cã ZVT )1( nªn 8)1()1( VPVT

8]2

1[8)1(

xVT 17159

2

18

xx

15][ x hoÆc 16][ x

3

2}{8)1( xVP

Mµ }{][ xxx nªn PT(1) cã 2 nghiÖm 3

47x vµ

3

50x

VÝ dô 2 gi¶i ph¬ng tr×nh

3

25

9

17113

xx (*)

Lêi gi¶i Theo tÝnh chÊt 12 tõ PT(*) suy ra

33

25

9

1711.31

xx42 x

Suy ra 63

25

3

8

x

5(*)3

252

VP

x

Mµ VT(*) lµ sè nguyªn chia hÕt cho 3 nªn 3(*)(*) VPVT suy ra

33

25

19

1711

(*)x

x

PT

43

253

29

17111

x

x

5

14

5

11

11

35

11

26

x

x

5

14

11

26 x

VËy tËp nghiÖm cña PT(*) lµ

5

14;

11

26T


25

8165}{]][[

22422

x

xxxx (1)

Lêi gi¶i Theo tÝnh chÊt 1 cã 1][ 22 xx nªn 242222 )1(][ xxxxxx

Theo tÝnh chÊt 6 suy ra ][]][[ 2422 xxxx .

Ta cã 242424 }{][)1( xxxxxxVT (2)

Mµ 25

81650)

5

9(

22422

xxxx (3)

Tõ (2) vµ (3) suy ra )1()1( VPVT )1()1( VPVT dÊu “=” x¶y ra t¹i (2) vµ (3)

V× thÕ )1(PT

0)5

9(

][]][[

22

2422

x

xxxx

5

9 x

VËy PT(1) cã 2 nghiÖm 5

9x


5


6

22913025

6

310

6

15

3

154

2

xxxx

x (1)

Lêi gi¶i ¸p dông tÝnh chÊt 9 cã

6

33105

6

3105

6

310

6

310

6

3105)

6

1.(5

3

15.4)1(

xxxxxx

xVT (2)

Mµ 6

22913025

6

33100)145(

22

xxx

x (3)

Tõ (2) vµ (3) suy ra )1()1( VPVT )1()1( VPVT dÊu “=” x¶y ra t¹i (2) vµ (3)

Do ®ã

0)145(

5]6

310[]

6

1[5]

3

15[4

)1(2x

xx

x

PT 8,25

14 x

VËy PT(1) cã nghiÖm 8,2x

VÝ dô 5: gi¶i ph¬ng tr×nh

60

163][6

5

]5[

4

]4[

3

]3[

2

]2[ 22222

xxxxx

(*)

Lêi gi¶i Theo tÝnh chÊt 8 ta cã

2

1][2

2

]2[ 22

xx (1) ;

3

2][3

3

]3[ 22

xx (2)

4

3][4

4

]4[ 22

xx (3) ;

5

4][5

5

]5[ 22

xx (4)

Céng vÕ víi vÕ (1),(2),(3) vµ (4) ta ®îc 60

163][4(*) 2 xVT (5)

Mµ 02 x nªn 0][ 2 x suy ra 60

163][6

60

163][4 22 xx (6)

Tõ (5) vµ (6) suy ra (*)(*) VPVT (*)(*) VPVT dÊu “=” x¶y ra t¹i (1),(2),(3),(4),(6)

Do ®ã

0][

1}{5

4

1}{4

3

1}{3

2

1}{2

1

(*)

2

2

2

2

2

x

x

x

x

x

PT 1}{5

4 22 xx

5

21

15

2

x

x

VËy tËp nghiÖm cña PT(*) lµ )1;5

2[]

5

2;1(

T


7

6

2]4[]2[][

]7[ 2

222

2

xxxx

x(1)

Lêi gi¶i


6

DÔ thÊy Rxxxx ;02]4[]2[][ 222

TH1: víi 7

10 2 x th× 170 2 x vµ 1

7

60 2 x suy ra 0]

7

6[]7[ 22 xx

Khi nµy 0)1()1( VPVT suy ra 7

10 2 x tho¶ m·n (1)

VËy

7

1;

7

1x lµ nghiÖm cña (1)

TH2: víi 7

12 x cã 17

62 x suy ra 1]7

6[)1( 2 xVP (2)

®¼ng thøc x¶y ra 1]7

6[ 2 x 2

7

61 2 x

7

8

7

1 2 x

Theo tÝnh chÊt 10 cã 2]4[]2[][]42[]7[ 2222222 xxxxxxx suy ra 1)1( VT (3)

®¼ng thøc x¶y ra 2}]4{}2{}[{ 222 xxx 3}4{}2{}{2 222 xxx

Tõ (2) vµ (3) suy ra )1()1( VPVT

(*)3}4{}2{}{2

7

8

7

1

222

2

xxx

x(I)

3}4{}2{}{2 222 xxx (*) Theo tÝnh chÊt 4 chuyªn ®Ò 2 cã }]{[}{}}{{ xnxnxn

Suy ra 3}}{4{}}{2{}{2(*) 222 xxxBPT

3}]4[{}{4}]{2[}{2}{2 22222 xxxxx (1)

Do 1}{0 2 x nªn

TH1: 4

1}{0 2 x th×

2

1}{20 2 x ; 1}{40 2 x suy ra

0}]{2[ 2 x ; 0}]{4[ 2 x

3}{72)1( 2 x7

3}{

7

2 2 x (lo¹i v× 4

1}{0 2 x )

TH2: 2

1}{

4

1 2 x th× 1}{22

1 2 x ; 2}{41 2 x suy ra

0}]{2[ 2 x ; 1}]{4[ 2 x

31}{72)1( 2 x7

4}{

7

3 2 x

Suy ra 2

1}{

7

3 2 x

TH3: 4

3}{

2

1 2 x th× 2

3}{21 2 x ; 3}{42 2 x suy ra

1}]{2[ 2 x ; 2}]{4[ 2 x

33}{72)1( 2 x7

6}{

7

5 2 x

Suy ra 4

3}{

7

5 2 x

TH4: 1}{4

3 2 x th× 2}{22

3 2 x ; 4}{43 2 x suy ra

1}]{2[ 2 x ; 3}]{4[ 2 x


7

34}{72)1( 2 x 1}{7

6 2 x

Suy ra 1}{7

6 2 x

Tõ 4 trêng hîp suy ra

1;

7

6

4

3;

7

5

2

1;

7

32x

HÖ (I)

1;7

6

4

3;

7

5

2

1;

7

3}{

7

8

7

1

2

2

x

x

1;

7

6

4

3;

7

5

2

1;

7

32x

1;

7

6

4

3;

7

5

2

1;

7

3

7

3;

2

1

7

5;

4

3

7

6;1x

VËy tËp nghiÖm PT ®· cho lµ

1;

7

6

4

3;

7

5

2

1;

7

3

7

1;

7

1

7

3;

2

1

7

5;

4

3

7

6;1T

Bµi tËp: gi¶i ph¬ng tr×nh

1) 33

12]][[

x

xx

2) 04}{5]][[ 2 xxx

3) ]3

12[]

3

1

32[ 2

xx

x

4) 0]6

15[]

12

2311[2

xx

5) 10

121

]10[

1

][

1]10[][

xxxx

6) 1][

]2][[47

1]3[][

]6[]3[22

x

xx

xx

xx

7) 9]2

1

2[...]

2

1

2[]

2

1

2[

82

xxx

8) 1

8,112,03315

8,038,032

2

xxx

xx

9) 2

2

2

2][1]3[

12][12}]{3[2

x

x

xx

10) 1}75,023{]5,03][5,0[

25,2571342422

246

xxxx

xxx

Vò Hång Phong GV THPT Tiªn Du 1, B¾c Ninh


8

Chuyªn ®Ò2:Ph¬ng tr×nh, HÖ Ph¬ng tr×nh cã chøa phÇn lÎ

Vò Hång Phong GV THPT Tiªn Du 1, B¾c Ninh §Ó gi¶i ®îc çc PT,hÖ PT cã chøa phÇn nguyªn, phÇn lÎ ®ßi hái chóng ta ph¶i n¾m v÷ng çc tÝnh chÊt cña phÇn nguyªn còng nh phÇn lÎ. Sau ®©y,chóng t«i xin giíi thiÖu tíi çc b¹n mét sè tÝnh chÊt cña phÇn lÎ cïng çc vÝ dô cã vËn dông çc tÝnh chÊt nµy. Víi x,y lµ sè thùc, m;n lµ çc sè nguyªn,kÝ hiÖu phÇn nguyªn cña x lµ [x], phÇn lÎ cña x lµ ][}{ xxx , Z

lµ tËp hîp çc sè nguyªn

tÝnh chÊt 1: 1}{0 x ( ®· chøng minh ë chuyªn ®Ò 1) tÝnh chÊt 2: 1}]{[0 nxn chøng minh: do 1}{0 x nªn nxn }{0 1}]{[0 nxn tÝnh chÊt 3: }{}{ xxn

Chøng minh: Ta cã }{][][][}{ xxxxnxnxnxnxn tÝnh chÊt 4: }}{{}{ xnnx Chøng minh: do Zxn ][ nªn theo tÝnh chÊt 3 cã }}{{}}{][{}{ xnxnxnnx tÝnh chÊt 5:Víi Zx th× 0}{}{ xx Víi Zx th× 1}{}{ xx Chøng minh: Víi Zx th× xx ][ ; xx ][ nªn 0][}{ xxx ; 0][}{ xxx Víi Zx th× 1][][ xx nªn 1}{1])[(1][][}{ xxxxxxxx Suy ra 1}{}{ xx tÝnh chÊt 6 : Zyxyx }{}{ Chøng minh: +Gi¶ sö }{}{ yx ta cã Zyxyyxxyx ][][}{][}{][ + gi¶ sö Zyx th× Zyxyxyyxxyx ][][][][}{}{ (1) Do 1}{};{0 yx nªn 1}{}{1 yx (2) Tõ (1);(2) suy ra 0}{}{ yx }{}{ yx

më réng: víi 1; nm a) +víi 11; mknZk vµ kynxm }{}{ th× Znymx

+ nÕu Znymx th× 1;...;2;1}{}{ mnnynxm b) +víi 10; nmkZk vµ kynxm }{}{ th× Znymx

+ nÕu Znymx th× 1;...;1;0}{}{ nmynxm c) +víi 11; mknZk vµ kyyyxxx nm ..... 2121

th× Zyyyxxx nm .... 2121

+ nÕu Zyyyxxx nm .... 2121 th×

1;...;2;1..... 2121 mnnyyyxxx nm

Chøng minh: +víi 11; mknZk vµ kynxm }{}{ th×


9

Zkynxmynxmynxmnymx ][][}{}{][][ + nÕu Znymx th× Zynxmnymxynxm ][][}{}{ (1) Do 1}{};{0 yx nªn mynxmn }{}{ (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra 1;...;2;1}{}{ mnnynxm a) +víi 10; nmkZk vµ kynxm }{}{ th× Zkynxmynxmynxmnymx ][][}{}{][][

+ nÕu Znymx th× Zynxmnymxynxm ][][}{}{ (1) Do 1}{};{0 yx nªn nmynxm }{}{0 (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra 1;...;1;0}{}{ nmynxm

c) chøng minh t¬ng tù b vµ c tÝnh chÊt 7: a) nnn xxxxxxnxxx ......1.. 212121

®¼ng thøc x¶y ra ë tõng chç lÇn lît lµ 1}]{...}{}[{ 21 nxxx n ; 0}]{...}{}[{ 21 nxxx

b) 1 yxyxyx

®¼ng thøc x¶y ra ë tõng chç lÇn lît lµ 0][ yx ; 1][ yx chøng minh: a)ta cã ]..[..... 212121 nnn xxxxxxxxx

}]{][..}{][}{][[}{][..}{][}{][ 22112211 nnnn xxxxxxxxxxxx

}]{..}{}[{][..][][}{][..}{][}{][ 21212211 nnnn xxxxxxxxxxxx

}]{..}{}[{}{...}{}{ 2121 nn xxxxxx (1)

Do 10 ix nªn nxxx n }{...}{}{0 21 1}]{...}{}[{0 21 nxxx n (2)

Tõ (1) vµ (2) suy ra nnn xxxxxxnxxx ......1.. 212121

NhËn xÐt: tÝnh chÊt 7a cã thÓ ph¸t biÓu nh sau: BiÓu thøc nn xxxxxx ...... 2121 nhËn çc gi¸ trÞ 0;...;2;1 nn

Gi¶i thÝch thªm Theo (1) biÓu thøc b»ng Zxxx n }]{..}{}[{ 21

Do cã (2): 1}]{...}{}[{0 21 nxxx n nªn tõ ®ã suy ra nhËn xÐt

b) cã }]{][}{][[}{][}{][][ yyxxyyxxyxyxyx }]{}[{}{}{}]{}[{][][}{][}{][ yxyxyxyxyyxx (3) Cã 11 yx suy ra 0][1 yx (4) Tõ (3),(4) suy ra 1 yxyxyx

Tæng qu¸t: biÓu thøc nnnm yyyxxxyyyxxx ........... 21212121

nhËn çc gi¸ trÞ nmm ;...;2;1

tÝnh chÊt 8 : }{2

1}

1{...}

1{}{ nx

n

n

nx

nxx

víi 1n

chøng minh: cã )1

(...)1

(n

nx

nxx

2

1

2

)1(1...21

nnx

n

nnnx

n

nnx (*)

Mµ ][]1

[...]1

[][ nxn

nx

nxx

nªn

)1

(...)1

(n

nx

nxx


10

]1

[...]1

[][n

nx

nxx

}

1{...}

1{}{

n

nx

nxx

}1

{...}1

{}{][n

nx

nxxnx

Thay vµo (*) ®îc

2

1][

2

1}

1{...}

1{}{][

nnxnx

nnx

n

nx

nxxnx

Suy ra }{2

1}

1{...}

1{}{ nx

n

n

nx

nxx

sau ®©y lµ çc vÝ dô

VÝ dô1: Gi¶i ph¬ng tr×nh 2,6]2[])[13

2

3

1

3(

xxxxx

Lêi gi¶i theo tÝnh chÊt 8 cã xxxxx

3.3

2

13

3

2

33

1

33

PT 2,6]2[]}[{ xxx 2,6})]{]([2[]}[{ xxxx 2,6}]{2][2[]}[{ xxxx 2,6}]{2[][2]}[{ xxxx (1)

TH1: 2

1}{0 x (2) th× 1}{20 x 0}]{2[ x

PT(1) 2,6][2]}[{ xxx][

][22,6}{

x

xx

(3)

Do (2) nªn 2

1

][

][22,60

x

x 0

][

][22,6

x

x vµ 0

][

][54,12

x

x

48,2][

0][

1,3][0

x

x

x

3][1,3][48,2 xx

thay [x] = 3 vµo (3) ®îc }{x = 3

2,0 .Suy ra x = 15

46

3

2,03}{][ xx

TH2: 1}{2

1 x (4) th× 2}{21 x 1}]{2[ x

PT(1) 2,61][2]}[{ xxx][

][22,5}{

x

xx

Do (4) nªn 1][

][22,5

2

1

x

x(5)

Gi¶i t¬ng tù TH1 tõ (5) ta ®îc [x] = 2 khi ®ã }{x = 0,6 Suy ra x = 2,6

VËy PT ®· cho cã 2 nghiÖm x = 15

46 ; x = 2,6

VÝ dô 2 Gi¶i ph¬ng tr×nh }35,0{}1{ xx (1)

Lêi gi¶i + theo tÝnh chÊt 6 th× ZxxAPT 5,031)1(

+ ta cã )3)(1(24)31( 2 xxxx

Theo B§T C«Si th× 431)3)(1(20 xxxx

Suy ra 8)31(4 2 xx 22312 xx

3,25,0225,1 A víi ]3;1[x

Do vËy 25,031 xxA


11

2

531 xx

4

25)3)(1(231 xxxx

9238 2 xx 011112864 2 xx8

1751 x

VËy PT(1) cã 2 nghiÖm 8

1751x

VÝ dô 3 Gi¶i ph¬ng tr×nh

2][

3][2][

264

42

2

x

xx

xx

xx (1)

Lêi gi¶i dÔ thÊy 0264 xx Theo tÝnh chÊt 4 cã }]{4[}{4}}{4{}4{ xxxx ( ][}{ aaa ) ¸p dông tÝnh chÊt 8 cã 2446 xxxxxxx xxxx 42264

Suy ra

2

1

264

4)1(

xx

xxVT (2)

®¼ng thøc x¶y ra 2]4[ xxx 3422 xx 3}{422 xx 3]4[422 xxx 3]4[62 xx (*)

TH1: 4

1}{0 x th× 1}{40 x 0}]{4[ x

362(*) xBPT 2

1

3

1 x (lo¹i do

4

1}{0 x )

TH2: 2

1}{

4

1 x th× 2}{41 x 1}]{4[ x

3162(*) xBPT 3

2

2

1 x (lo¹i do

2

1}{

4

1 x )

TH3: 4

3}{

2

1 x th× 3}{42 x 2}]{4[ x

3262(*) xBPT 6

5

3

2 x suy ra

4

3

3

2 x

TH4: 1}{4

3 x th× 4}{43 x 3}]{4[ x

3362(*) xBPT 16

5 x suy ra 1

6

5 x

VËy

1;

6

5

4

3;

3

2(*) xBPT

Ta cã 02][2x suy ra 2][3][2][2 22 xxx

Do ®ã 2

1

2][

3][2][)1(

2

2

x

xxVP (3)

®¼ng thøc x¶y ra 2][ x

Tõ (2);(3) suy ra 2

1)1()1( VPVT

2][

1;6

5

4

3;

3

2

x

x

3;

6

17

4

11;

3

8x


12

TËp nghiÖm cña PT(1) lµ

3;

6

17

4

11;

3

8T

VÝ dô 4: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh

(**)221

7

(*)1222

22

xyxyxyxy

y

x

y

x

Lêi gi¶i cã Zxyxyxy 0

®iÒu kiÖn 22 y

x; Zxy

§Æt ay

x víi 22 a

PT(*) trë thµnh 1222 aa (1) theo tÝnh chÊt 6 më réng b th× tõ PT(1) cã ZaaL 222

Cã 444)2(3444310 222 aaaaL

Theo B§T C«Si cã 20248310)2)(48(23102 aaaaaaL

VËy 204 2 L mµ ZLL ;0 suy ra 4;3;2L

+Víi 42 2 LL 2444)2(34 2 aaa Thay 2a vµo (1) thÊy kh«ng tho¶ m·n

+Víi 93 2 LL 944310 2 aa

1344 2 aa

1691664

3

1

22 aaa

a

063625

3

1

2 aa

a

25

11123

3

1

a

a

25

11123 a

Thay 25

11123a vµo vÕ tr¸i (1) ®îc

5

1162

5

1123

25

1112472

25

111253

25

116.2

5

2112

5

11621

5

1123

Suy ra 25

11123a kh«ng lµ nghiÖm cña (1)

+Víi 164 2 LL 1644310 2 aa

6344 2 aa

363691664

222 aaa

a

0283625

22 aa

a


13

2 a hoÆc 25

14a

Thay 2a vµ 25

14a vµo PT(1) ta thÊy chØ

25

14a lµ nghiÖm

Do Zxy nªn 1][][ xyxy ; 1}{}{ xyxy ; 0}}{{ xyxy

V× 0)( 2 nm nªn cã 222 )(2

1nmnm vµ 2)(

4

1nmmn

®¼ng thøc x¶y ra ë 2 bÊt ®¼ng thøc trªn ®Òu lµ m = n ¸p dông ta cã:

(**)224

7][][2

1(**)

2

2VP

xyxyxyxyVT

Suy ra 22(**)(**) VPVT

1

1][][

7][][

xyxy

xyxy

xyxy

xyxy

2

1

3][

xy

xy

2

7 xy

Nh vËy ta cã

2

7

25

14

xy

y

x

2

5;

5

7;

2

5;

5

7);( yx

VËy hÖ PT ®· cho cã nghiÖm

2

5;

5

7;

2

5;

5

7);( yx

Bµi tËp 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh 1) 22 }{61 xxx 2) 24,2][}}{{ xxx

3) 3

40}2{2]

3

1][[ xxx

4)

]

10

7[1

3

2][

xx

x

xxxx

5) }4{48}2{2]2

1[][ xxxx

6) ]256

255[][}

2

1

2{...}

2

1

2{}

2

1

2{

82

xx

xxx

7) ][3

88}

45

43{...}

45

7{}

45

4{}

45

1{ x

xxxx

Bµi tËp 2: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh

1)

5,0}{

}{}{

22 yxyxx

yxyx

2)

}2{}{

1}3{]2[][1

][}{][}{

yy

yyyxx

xyyx

3)

6][}]{3[}{3

6][}]{3[}{3

xxy

yyx



14

Education

Chuyen de phan nguyen phan le cua vu phong.doc