chuyen de tich phan on thi dai hoc

Trang 78

1. Khái niệm nguyên hàm • Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F đgl nguyên hàm của f trên K nếu:

'( ) ( )F x f x= , ∀x ∈ K • Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) trên K là:

( ) ( )f x dx F x C= +∫ , C ∈ R. • Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

2. Tính chất • '( ) ( )f x dx f x C= +∫ • [ ]( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx± = ±∫ ∫ ∫

• ( ) ( ) ( 0)kf x dx k f x dx k= ≠∫ ∫ 3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

4. Phương pháp tính nguyên hàma) Phương pháp đổi biến số

Nếu ( ) ( )f u du F u C= +∫ và ( )u u x= có đạo hàm liên tục thì:

[ ] [ ]( ) . '( ) ( )f u x u x dx F u x C= +∫ b) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần

Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì: udv uv vdu= −∫ ∫

CHƯƠNG IIINGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

I. NGUYÊN HÀM

• 0dx C=∫

• dx x C= +∫

• 1

, ( 1)1

xx dx C

+= + ≠ −

+∫α

α αα

• 1 lndx x Cx

= +∫

• x xe dx e C= +∫

• (0 1)ln

xx a

a dx C aa

= + < ≠∫

• cos sinxdx x C= +∫

• sin cosxdx x C= − +∫

• 2

1 tancos

dx x C x

= +∫

• 2

1 cotsin

dx x Cx

= − +∫

• 1cos( ) sin( ) ( 0)ax b dx ax b C aa

+ = + + ≠∫

• 1sin( ) cos( ) ( 0)ax b dx ax b C aa

+ = − + + ≠∫

• 1 , ( 0)ax b ax be dx e C aa

+ += + ≠∫

• 1 1 lndx ax b Cax b a

= + ++∫

HOÀNG THÁI VIỆT - ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐÀ NẴNG 2013

sđt : 01695316875 ymail: [email protected]

Trang 79

VẤN ĐỀ 1: Tính nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản. Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải:

– Nắm vững bảng các nguyên hàm. – Nắm vững phép tính vi phân.

Baøi 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) 2 1( ) – 3f x x xx

= + b) 4

22 3( ) x

f xx

+= c)

21( ) x

f xx

−=

d) 2 2

2( 1)( ) x

f xx

−= e) 3 4( )f x x x x= + + f)

31 2( )f xx x

= −

g) 2( ) 2sin2x

f x = h) 2( ) tanf x x= i) 2( ) cosf x x=

k) 2 2

1( )sin .cos

f xx x

= l) 2 2cos2( )

sin .cos

xf x

x x= m) ( ) 2sin3 cos2f x x x=

n) ( )( ) – 1x xf x e e= o) 2

( ) 2cos

xx ef x e

x

− = +

p) 3 1( ) xf x e +=

Baøi 2. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước: a) 3( ) 4 5; (1) 3f x x x F= − + = b) ( ) 3 5cos ; ( ) 2f x x F= − =π

c) 23 5( ) ; ( ) 1x

f x F ex

−= = d)

2 1 3( ) ; (1)2

xf x F

x+

= =

e) 3

21( )= ; ( 2) 0x

f x Fx

−− = f) 1( ) ; (1) 2f x x x F

x= + = −

g) ( ) sin 2 .cos ; ' 03

f x x x F

= =

π h) 4 3

23 2 5( ) ; (1) 2x x

f x Fx

− += =

i) x x xf x Fx

3 2

23 3 7( ) ; (0) 8( 1)

+ + −= =

+ k) x

f x F2( ) sin ;2 2 4

π π = =

Baøi 3. Cho hàm số g(x). Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước:

a) 2( ) cos ; ( ) sin ; 32

g x x x x f x x x F

= + = =

π

b) 2( ) sin ; ( ) cos ; ( ) 0g x x x x f x x x F= + = =π

c) 2( ) ln ; ( ) ln ; (2) 2g x x x x f x x F= + = = −Baøi 4. Chứng minh F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):

a) ( ) (4 5)( ) (4 1)

x

xF x x ef x x e

= −

= − b)

4

5 3( ) tan 3 5( ) 4 tan 4 tan 3

F x x xf x x x

= + −

= + +

c)

2

2

2 2

4( ) ln3

2( )( 4)( 3)

xF xx

xf xx x

+ = +

− = + +

d)

2

2

2

4

2 1( ) ln2 1

2 2( 1)( )1

x xF xx x

xf x

x

− +=

+ + − = +



Trang 80

Baøi 5. Tìm điều kiện để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):

a) 3 2

2( ) (3 2) 4 3. .( ) 3 10 4

F x mx m x x Tìm mf x x x

= + + − +

= + −b)

2

2

( ) ln 5. .2 3( )

3 5

F x x mxTìm mx

f xx x

= − + + = + +

c) 2 2

2( ) ( ) 4 . , , .( ) ( 2) 4

F x ax bx c x x Tìm a b cf x x x x

= + + −

= − −d)

2( ) ( ) . , , .( ) ( 3)

x

xF x ax bx c e Tìm a b cf x x e

= + +

= −

e) 2 2

2 2( ) ( ) . , , .( ) (2 8 7)

x

xF x ax bx c e Tìm a b cf x x x e

−

−

= + +

= − − +f)

2

2( ) ( ) . , , .( ) ( 3 2)

x

xF x ax bx c e Tìm a b cf x x x e

−

−

= + +

= − +

g)

b cF x a x x x

f x xTìm a b c

( ) ( 1)sin sin 2 sin32 3

( ) cos , , .

= + + + =

h)

F x ax bx c xx x

f xx

Tìm a b c

2

2( ) ( ) 2 3

20 30 7( )2 3

, , .

= + + −

− + =

−

VẤN ĐỀ 2: Tính nguyên hàm ( )f x dx∫ bằng phương pháp đổi biến số

• Dạng 1: Nếu f(x) có dạng: f(x) = [ ]( ) . '( )g u x u x thì ta đặt ( ) '( )t u x dt u x dx= ⇒ = .

Khi đó: ( )f x dx∫ = ( )g t dt∫ , trong đó ( )g t dt∫ dễ dàng tìm được.

Chú ý: Sau khi tính ( )g t dt∫ theo t, ta phải thay lại t = u(x).

• Dạng 2: Thường gặp ở các trường hợp sau:

Baøi 1. Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 1):

a) x dx10(5 1)−∫ b) 5(3 2 )

dx

x−∫ c) x dx5 2−∫

d) 2 7(2 1)x xdx+∫ e) 3 4 2( 5)x x dx+∫ f) 2 5

xdx

x +∫

g) 2 1.x xdx+∫ h) 2

3

3

5 2

xdx

x+∫ i)

2(1 )dx

x x+∫

k) 4sin cosx xdx∫ l) 5

sin

cos

xdx

x∫ m)

2tan

cos

xdx

x∫

n) 3

x

x

e dx

e −∫ o)

2 1. xx e dx+∫ p) xe dxx

∫

f(x) có chứa Cách đổi biến

2 2a x− sin ,

2 2x a t t= − ≤ ≤

π π

hoặc cos , 0x a t t= ≤ ≤ π2 2a x+

hoặc a x2 2

1

+

tan ,2 2

x a t t= − < <π π

hoặc cot , 0x a t t= < < π



Trang 81

q) 3ln x

dxx∫ r)

1xdx

e +∫ s)

tan

2cos

xedx

x∫

Baøi 2. Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 2):

a) 2 3(1 )

dx

x−∫ b)

2 3(1 )dx

x+∫ c) 21 .x dx−∫

d) 24

dx

x−∫ e) 2 21 .x x dx−∫ f)

21

dx

x+∫

g) 2

21

x dx

x−∫ h)

2 1

dx

x x+ +∫ i) 3 2 1.x x dx+∫

VẤN ĐỀ 3: Tính nguyên hàm bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:

Baøi 1. Tính các nguyên hàm sau: a) .sinx xdx∫ b) cosx xdx∫ c) 2( 5)sinx xdx+∫

d) 2( 2 3) cosx x xdx+ +∫ e) sin 2x xdx∫ f) cos2x xdx∫

g) . xx e dx∫ h) 23 xx e dx∫ i) ln xdx∫

k) lnx xdx∫ l) 2ln xdx∫ m) 2ln( 1)x dx+∫

n) 2tanx xdx∫ o) 2 2cosx xdx∫ p) 2 cos2x xdx∫

q) 2ln(1 )x x dx+∫ r) .2xx dx∫ s) lgx xdx∫

Baøi 2. Tính các nguyên hàm sau:

a) xe dx∫ b) ln xdx

x∫ c) sin x dx∫

d) cos x dx∫ e) .sinx x dx∫ f) 3sin xdx∫

g) ln(ln )xdx

x∫ h) sin(ln )x dx∫ i) cos(ln )x dx∫

Baøi 3. Tính các nguyên hàm sau: a) .cosxe xdx∫ b) 2(1 tan tan )x e x x dx+ +∫ c) .sin 2xe xdx∫

d) 2

ln(cos )

cos

xdx

x∫ e)

2ln(1 )x

dxx

+∫ f)

2cos

xdx

x∫

g) ( )2

2

ln 1

1

x x xdx

x

+ +

+∫ h)

3

21

xdx

x+∫ i)

2ln x

dxx

∫

( ). xP x e dx∫ ( ).cosP x xdx∫ ( ).sinP x xdx∫ ( ). lnP x xdx∫ u P(x) P(x) P(x) lnx dv xe dx cos xdx sin xdx P(x)dx


Trang 82

VẤN ĐỀ 4: Tính nguyên hàm bằng phương pháp dùng nguyên hàm phụ Để xác định nguyên hàm của hàm số f(x), ta cần tìm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm của

các hàm số f(x) ± g(x) dễ xác định hơn so với f(x). Từ đó suy ra nguyên hàm của f(x). Bước 1: Tìm hàm g(x). Bước 2: Xác định nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x), tức là:

1

2

( ) ( ) ( )(*)

( ) ( ) ( )F x G x A x CF x G x B x C

+ = + − = +

Bước 3: Từ hệ (*), ta suy ra [ ]1( ) ( ) ( )2

F x A x B x C= + + là nguyên hàm của f(x).


a) sin sin cos

xdx

x x−∫ b) cos sin cos

xdx

x x−∫ c) sin sin cos

xdx

x x+∫

d) cos sin cos

xdx

x x+∫ e) 4

4 4sin

sin cos

xdx

x x+∫ f)

4

4 4cos

sin cos

xdx

x x+∫

g) 22sin .sin 2x xdx∫ h) 22 cos .sin 2x xdx∫ i) x

x xe

dxe e−−

∫

k) x

x xe

dxe e

−

−−∫ l)

x

x xe

dxe e−+

∫ m) x

x xe

dxe e

−

−+∫

VẤN ĐỀ 5: Tính nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

1. f(x) là hàm hữu tỉ: ( )( )( )

P xf x

Q x=

– Nếu bậc của P(x) ≥ bậc của Q(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức. – Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) và Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích

f(x) thành tổng của nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất định).

Chẳng hạn: 1( )( )

A Bx a x b x a x b

= +− − − −

22 2

1 , 4 0( )( )

A Bx C vôùi b acx mx m ax bx c ax bx c

+= + = − <

−− + + + +∆

2 2 2 21

( ) ( ) ( ) ( )A B C D

x a x bx a x b x a x b= + + +

− −− − − −

2. f(x) là hàm vô tỉ

+ f(x) = , m ax bR x

cx d

+

+ → đặt m ax b

tcx d

+=

+

+ f(x) = 1( )( )

R x a x b

+ + → đặt t x a x b= + + +

• f(x) là hàm lượng giác Ta sử dụng các phép biến đổi lượng giác thích hợp để đưa về các nguyên hàm cơ bản.

Chẳng hạn:



Trang 83

+ [ ]sin ( ) ( )1 1 .sin( ).sin( ) sin( ) sin( ).sin( )

x a x bx a x b a b x a x b

+ − +=

+ + − + +, sin( )1

sin( )a b

söû duïnga b

−= −

+ [ ]sin ( ) ( )1 1 .cos( ).cos( ) sin( ) cos( ).cos( )


+ − +=

+ + − + +, sin( )1

sin( )a b

söû duïnga b

−= −

+ [ ]cos ( ) ( )1 1 .sin( ).cos( ) cos( ) sin( ).cos( )


+ − +=

+ + − + +, cos( )1

cos( )a b

söû duïnga b

−= −

+ Nếu ( sin , cos ) (sin , cos )R x x R x x− = − thì đặt t = cosx + Nếu (sin , cos ) (sin , cos )R x x R x x− = − thì đặt t = sinx + Nếu ( sin , cos ) (sin , cos )R x x R x x− − = − thì đặt t = tanx (hoặc t = cotx)


a) ( 1)dx

x x +∫ b) ( 1)(2 3)

dx x x+ −∫ c)

2

21

1

xdx

x

+

−∫

d) 2 7 10

dx

x x− +∫ e)

2 6 9

dx

x x− +∫ f)

2 4

dx

x −∫

g) ( 1)(2 1)

xdx

x x+ +∫ h) 22 3 2

xdx

x x− −∫ i)

3

2 3 2

xdx

x x− +∫

k) 2( 1)dx

x x +∫ l)

31

dx

x+∫ m)

3 1

xdx

x −∫


a) 11 1

dxx+ +

∫ b) 12

xdx

x x

+

−∫ c)

31

1 1dx

x+ +∫

d) 4

1dx

x x+∫ e)

3x

dx x x−

∫ f) ( 1)

xdx

x x +∫

g) 3 42dx

x x x+ +∫ h) 1

1x dx x x

−+∫ i) 3 1

1x dx x x

−+∫

k) 23 (2 1) 2 1

dx

x x+ − +∫ l)

2 5 6

dx

x x− +∫ m)

2 6 8

dx

x x+ +∫

Baøi 3. Tính các nguyên hàm sau: a) sin 2 sin 5x xdx∫ b) cos sin3x xdx∫ c) 2 4(tan tan )x x dx+∫

d) cos2 1 sin cos

xdx

x x+∫ e) 2sin 1

dx x +∫ f)

cosdx

x∫

g) 1 sincos

xdx

x−

∫ h) 3sin

cosxdx

x∫ i) cos cos

4

dx

x x

+

∫ π

k) cos cos2 cos3x x xdx∫ l) 3cos xdx∫ m) 4sin xdx∫



Trang 84

1. Khái niệm tích phân • Cho hàm số f liên tục trên K và a, b ∈ K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì:

F(b) – F(a) đgl tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là ( )b

af x dx∫ .

( ) ( ) ( )b

af x dx F b F a= −∫

• Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, tức là:

( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )b b b

a a af x dx f t dt f u du F b F a= = = = −∫ ∫ ∫

• Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng

x = a, x = b là: ( )b

aS f x dx= ∫

2. Tính chất của tích phân

• a

af x dx( ) 0=∫ • ( ) ( )

b a

a bf x dx f x dx= −∫ ∫ • ( ) ( )

b b

a akf x dx k f x dx=∫ ∫ (k: const)

• [ ]( ) ( ) ( ) ( )b b b

a a af x g x dx f x dx g x dx± = ±∫ ∫ ∫ • ( ) ( ) ( )

b c b

a a cf x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫

• Nếu f(x) ≥ 0 trên [a; b] thì ( ) 0b

af x dx ≥∫

• Nếu f(x) ≥ g(x) trên [a; b] thì ( ) ( )b b

a af x dx g x dx≥∫ ∫

3. Phương pháp tính tích phân a) Phương pháp đổi biến số

[ ]( )

( )( ) . '( ) ( )

u bb

a u af u x u x dx f u du=∫ ∫

trong đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u) liên tục và hàm hợp f[u(x)] xác định trên K, a, b ∈ K. b) Phương pháp tích phân từng phần Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K, a, b ∈ K thì:

b bb

aa a

udv uv vdu= −∫ ∫

Chú ý: – Cần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm.

– Trong phương pháp tích phân từng phần, ta cần chọn sao cho b

avdu∫ dễ tính hơn

b

audv∫ .

II. TÍCH PHÂN



Trang 85

VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản. Tìm nguyên hàm F(x) của f(x), rồi sử dụng trực tiếp định nghĩa tích phân:

( ) ( ) ( )b

af x dx F b F a= −∫

Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải nắm vững bảng các nguyên hàm và phép tính vi phân.

Baøi 1. Tính các tích phân sau:

a) ∫ ++2

1

3 )12( dxxx b) xx e dxx

2 2 3 1

1

3 + + +

∫ c) ∫−2

12

1 dxx

x

d) 2

21 2

x dxx− +

∫ e) ( )∫−

−

+1

22

24 4 dxx

x f) e

x x dxx x

22

1

1 1 + + +

∫

g) ( )( )x x x dx2

11 1+ − +∫ h) ( )x x x x dx

2 2 3

1+ +∫ i) ( )∫ −+

4

1

43 42 dxxxx

k) 2 2

31

2x x dxx

−∫ l)

2

1

2 5 7e x xdxx

+ −∫ m)

8

3 21

143

x dxx

−

∫


a) 2

11x dx+∫ b) dx

x x

5

2 2 2+ + −∫ c) x dx

x

2

20 2+∫

d) x dxx

2

20 1+∫ e) x dx

x

2 2

3 30

3

1+∫ f) x x dx

4 2

09.+∫


a) x dx0

sin 2 6

π π +

∫ b) x x x dx2

3

(2sin 3cos )

π

π+ +∫ c) ( )x x dx

6

0sin3 cos2

π

+∫

d) 4

20

tan .cos

x dx

x∫

π

e) 3

2

4

3tan x dx∫

π

πf)

4 2

6

(2 cot 5)x dx+∫

π

π

g) 2

0 1 sindx

x+∫

π

h) 2

0

1 cos 1 cos

x dxx

−+∫

π

i) 2

2 2

0sin .cosx xdx∫

π

k) 3

2

6

(tan cot )x x dx

−

−∫

π

πl)

xdx

x

2

2

sin 4

sin 4

π

π

π

π−

−

+

∫ m) 4

4

0cos x dx∫

π


a) 1

0dx

x x

x xe e

e e

−

−−

+∫ b)

2

21

( 1).ln

x dx

x x x

+

+∫ c)

x

xe dxe

1 2

0

42

−

+∫


Trang 86

d) x

xe dx

e

ln 2

0 1+∫ e)

xx ee dx

x

2

11

− −

∫ f) x

xe dx

1

0 2∫

g) xe xdx2

cos

0.sin

π

∫ h) xe dx x

4

1∫ i)

e x dxx1

1 ln+∫

k) e xdx

x1

ln∫ l) xxe dx

21

0∫ m)

1

0

11 x

dxe+

∫

VẤN ĐỀ 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số

Dạng 1: Giả sử ta cần tính ( )b

ag x dx∫ .

Nếu viết được g(x) dưới dạng: [ ]( ) ( ) . '( )g x f u x u x= thì ( )

( )( ) ( )

u bb

a u ag x dx f u du=∫ ∫

Dạng 2: Giả sử ta cần tính ( )f x dx∫β

α.

Đặt x = x(t) (t ∈ K) và a, b ∈ K thoả mãn α = x(a), β = x(b)

thì [ ]( ) ( ) '( ) ( )b b

a af x dx f x t x t dt g t dt= =∫ ∫ ∫

β

α [ ]( )( ) ( ) . '( )g t f x t x t=

Dạng 2 thường gặp ở các trường hợp sau:

Baøi 1. Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 1):

a) ∫ −1

0

19)1( dxxx b) x dxx

1 3

2 30 (1 )+∫ c) ∫ +

1

02

5

1 dx

xx

d) ∫ +

1

0 12xxdx e)

1 2

01x x dx−∫ f)

1 3 2

01x x dx−∫

g) ∫ +

32

52 4xx

dx h) ∫ +

+3

0 2

35

12 dx xxx i)

ln 2

0 1

x

xe dx

e+∫

f(x) có chứa Cách đổi biến

2 2a x− sin ,

2 2x a t t= − ≤ ≤

π π

hoặc cos , 0x a t t= ≤ ≤ π2 2a x+

hoặc a x2 2

1

+

tan ,2 2

x a t t= − < <π π

hoặc cot , 0x a t t= < < π

2 2x a−

{ }, ; \ 0sin 2 2

ax t

t

= ∈ − π π

hoặc [ ], 0; \cos 2

ax t

t

= ∈

ππ



Trang 87

k) ( )

x

x

e dx

e

ln3

30 1+∫ l) ∫

+e

xdxx

1 2ln2 m) ∫

+e

dxx

xx

1

lnln31

n) ∫ +

2

022 sin4cos

2sinπ

dx xx

x o) ∫ +

2

02

3

sin1sin.cos

π

dxxxx p) ∫ +

6

022 cossin2

2sinπ

dxxx

x

Baøi 2. Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 2):

a) ∫ −

21

021 x

dx b) ∫ −

1

02

2

4 xdxx c) ∫ −

2

1

22 4 dxxx

d) ∫ +

3

02 3xdx e) ∫ ++

1

022 )2)(1( xx

dx f) ∫ ++

1

024 1xx

xdx

g) 0

21 2 2

dx

x x− + +∫ h) ∫

−2

13

2 1 dxx

x i) ( )∫

+

1

0 521 x

dx

k)

23

22 1

dx

x x −∫ l)

222

20 1

x dxx−

∫ m) 2

2

02x x x dx−∫

VẤN ĐỀ 3: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:


a) ∫4

0

2sin

π

xdxx b) ∫ +2

0

2 cos)sin(

π

xdxxx c) ∫π2

0

2 cos xdxx

d) x x dx

2

4

0co s

π

∫ e) 3

2

4

tanx xdx∫

π

πf) ∫ −

1

0

2)2( dxex x

g) dxxex∫2ln

0

h) dxxxe

∫1

ln i) ∫ −3

2

2 )ln( dxxx

k) ∫2

0

3 5sin

π

xdxe x l) ∫2

0

cos 2sin

π

xdxe x m) ∫e

xdx1

3ln

o) dxxxe

∫1

23 ln p) ∫e

e

dxx

x1

2

ln q) dxxex x )1(0

1

32∫−

++

b ( ). x

aP x e dx∫ ( ).cos

b

aP x xdx∫ ( ).sin

b

aP x xdx∫

b

aP x xdx( ). ln∫

u P(x) P(x) P(x) lnx dv xe dx cos xdx sin xdx P(x)dx



Trang 88

VẤN ĐỀ 4: Tính tích phân các hàm số có chứa giá trị tuyệt đối Để tính tích phân của hàm số f(x) có chứa dấu GTTĐ, ta cần xét dấu f(x) rồi sử dụng công

thức phân đoạn để tính tích phân trên từng đoạn nhỏ.


a) ∫ −2

0

2 dxx b) x x dx2

2

0−∫ c) x x dx

2 2

02 3+ −∫

d) x dx3

2

31

−

−∫ e) ( )x x dx5

22 2

−

+ − −∫ f) x dx3

02 4−∫

g) 4

2

16 9x x dx− +∫ h) ∫ +−

3

0

23 44 dxxxx i) 1

14 x dx

−

−∫


a) ∫ −π2

0

2cos1 dxx b) 0

1 sin 2 .x dxπ

−∫ c) x dx2

2

sin

π

π−

∫

d) 1 sin xdx−

−∫π

π e)

2

01 cos xdx+∫

πf)

01 cos2xdx+∫

π

g) 3

2 2

6

tan cot 2x x dx+ −∫

π

πh)

3 3

2

cos cos cosx x xdx

−

−∫

π

πi)

2

01 sin xdx+∫

π

VẤN ĐỀ 5: Tính tích phân các hàm số hữu tỉ Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số hữu tỉ.


a) ∫ +

3

13xx

dx b) ∫ +−

1

02 65xx

dx c) ∫ ++

3

02

3

12xxdxx

d) ( )∫ +

1

0321

dx x

x e) ( )∫ −

3

29

2

1 xdxx f) ∫ +

4

12 )1( xx

dx

g) ∫ −

4

2 )1(xxdx h) ( )

∫ +++1

02 65

114xx

dxx i) 1 3

0

11

x x dxx+ + +∫

k) 0 3 2

21

2 6 9 93 2

x x x dxx x−

− + +

− +∫ l)

3 2

32

3 3 33 2

x x dxx x

+ +

− +∫ m)

1 2

30 (3 1)

x dxx +

∫


a) ∫ +−

2

02 22xx

dx b) ( )∫ +

+3

02

2

123 dx

xx c) ∫ +

+++2

02

23

4942 dx

xxxx

d) 1

2 20

1( 2) ( 3)

dxx x+ +

∫ e) 1 3

20

11

x x dxx

+ +

+∫ f)

1

40 1

x dxx+

∫


Trang 89

g) 2

41

1(1 )

dxx x+

∫ h) 2 2008

20081

1(1 )

x dxx x

−

+∫ i)

3 4

2 22 ( 1)

x dxx −

∫

k) 2

20

1 4

dxx+

∫ l) 2 2

41

1 1

x dxx

−

+∫ m)

1 4

20

2 1

x dxx

−

+∫

VẤN ĐỀ 6: Tính tích phân các hàm số vô tỉ Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số vô tỉ.


a)

22

0

11

x dxx

+−∫ b) ∫ +

+37

03 13

1 dxx

x c) 10

5 2 1dx

x x− −∫

d) ∫ ++−1

0 13234 dx

xx e)

6

2 2 1 4 1dx

x x+ + +∫ f) ∫ −+

2

1 11 dx

xx

g) ∫ ++

1

0 1 xxdx h) ∫

++

1

02

3

1dx

xxx i) ∫

+

2

05

4

1dx

xx

k) ∫ +22

0

2 1dxxx l) ∫ +1

0

23 1dxxx m) 3 5 3

20 1

x x dxx

+

+∫

n) 2 3

25 4

dx

x x +∫ o)

23

22 1

dx

x x −∫ p)

2

31 1

dx

x x +∫


a) 1

2 2

01x x dx+∫ b)

3 2

2 21

1

1

x dxx x

+

+∫ c)

1

2 30 (1 )

dx

x+∫

d) 2

2

12008x dx+∫ e)

3 3 2

010x x dx−∫ f)

1 2

01 x dx+∫

g) 1

211 1

dx

x x− + + +∫ h)

2

21 2008

dx

x +∫ i)

1 3

20 1

x dx

x x+ +∫

k)

22

2 30 (1 )

dx

x−∫ l)

222

20 1

x dx

x−∫ m)

54

2

112 4 8x x dx− −∫


a) 2

0

cos7 cos2

xdx

x+∫

π

b) 2

2

0sin cos cosx x xdx−∫

π

c) 2

20

cos

2 cos

xdx

x+∫

π

d) 2 6 3 5

01 cos sin cosx x xdx−∫

π

e) 2

0

sin 2 sin 1 3cos

x x dxx

+

+∫

π

f) 3

0

cos2 cos2

xdx

x+∫

π



Trang 90

g) 2

20

cos

1 cos

xdx

x+∫

π

h) 3

2

4

tan

cos 1 cos

xdx

x x

π

π +∫ i)

2

0

sin 2 sin1 3cos

x x dxx

π

+

+∫


a) ln3

0 1x

dx

e +∫ b)

ln 2 2

0 1

x

x

e dx

e +∫ c)

1

1 3ln lne x x dxx

+∫

d) ln3 2

ln 2

lnln 1

x dxx x +

∫ e) 0

2 3

1( 1)xx e x dx

−

+ +∫ f) ln 2

30 ( 1)

x

x

e dx

e +∫

g) ln3

0 ( 1) 1

x

x x

edx

e e+ −∫ h)

1

0

x

x x

e dxe e−+

∫ i) ln 2

01xe dx−∫

VẤN ĐỀ 7: Tính tích phân các hàm số lượng giác Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số lượng giác.


a) ∫4

0

cos.2sin

π

xdxx b) ∫4

0

tan

π

xdx c) dxx∫π

0

2sin

d) ∫2

0

3sin

π

xdx e) 2

3 3

0(sin cos )x x dx+∫

π

f) xdx2

0cos 3

π

∫

g) 2

2 4

0sin cosx xdx∫

π

h) ∫2

0

32 cossin

π

xdxx i) 2

4 5

0sin cosx xdx∫

π

k) ∫ +

2

0 cos31sin

π

dxx

x l) dxx

2

0

1cos 1

π

+∫ m) ∫ +

2

0 cos1cos2sin

π

dxx

xx

n) 32

0

cos 1 cos

x dxx+∫

π

o)

π

π∫3

4

6sin .cos

dx

x xp)

3

3

4sin .cos

dx

x x

π

π∫

q) 32

20

sin1 cos

x dx x+

∫

π

r) 4

3

0tan xdx∫

π

s)

π

∫3

4

0tan xdx


a) ∫ −2

0

53 cossincos1

π

xdxxx b) ∫ +++2

6

cossin2cos2sin1

π

π

dxxx

xx c) dx xx

x∫

+

3

4

2cos1costan

π

π

d) 2

4 4

0cos2 (sin cos )x x x dx+∫

π

e) ∫ +4 0

sin )cos(tanπ

dxxex x f) ( ) dxxx∫ +2

0

32 2sinsin1

π



Trang 91

g) 3

0sin . ln(cos )x x dx

π

∫ h) 34

2 2 50

sin(tan 1) .cos

x dxx x

π

+∫ i)

3

2 2

3

1

sin 9cosdx

x x

π

π− +

∫


a) 2

3

1 sin

dxx∫

π

π b)

2

0 2 cosdx

x−∫

π

c) 2

0

cos 2 cos

x dxx−∫

π

d) 2

0

cos 1 cos

x dxx+∫

π

e) 2

0

12 sin

dxx+∫

π

f) 2

0

sin 2 sin

x dxx+∫

π

g) 2

0

1sin cos 1

dxx x+ +∫

π

h) 2

2

sin cos 1sin 2 cos 3

x xdx

x x−

− ++ +∫

π

πi)

π

π +

∫4

0 cos cos4

dx

x x

k) 2

20

(1 sin ) cos(1 sin )(2 cos )

x x dxx x

−

+ −∫

π

l)

π

π π +

∫3

4 sin cos

4

dx

x xm)

π

π π +

∫3

6 sin sin

6

dx

x x


a) ∫ −2

0

cos)12(

π

xdxx b) ∫ +

4

0 2cos1

π

xxdx c) ∫

3

02cos

π

dx x

x

d) 2

3

0sin xdx∫

π

e) 2

2

0cosx xdx∫

π

f) 2

2 1

0sin 2 . xx e dx+∫

π

g) 2

1cos(ln )x dx∫ h) x

dxx

3

2

6

ln(sin )

cos

π

π∫ i)

2 2

0(2 1)cosx xdx−∫

π

k) 2 2

0sinxe xdx∫

π l)

4 2

0tanx xdx∫

π

m) 2

0sin cosx x xdx∫

π

n) 22

sin 3

0sin cosx e x xdx∫

π

o) 4

0ln(1 tan )x dx+∫

π

p) ∫4

04cos

π

xdx

VẤN ĐỀ 8: Tính tích phân các hàm số mũ và logarit Sử dụng các phép toán về luỹ thừa và logarit. Xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm.


a) ∫ +

1

0 1x

x

edxe b) ∫ +

2ln

0 5xedx c)

1

0

14x

dxe +

∫



Trang 92

d) ∫ +

8ln

3ln 1dx

eex

x

e) ln8

2

ln31.x xe e dx+∫ f) ∫ +

−2ln

0 11 dx

ee

x

x

g) 2

1

11 x

dxe−−

∫ h) 2 2

0 1

x

xe dx

e +∫ i)

1

0 1

x

xe dx

e

−

− +∫

k) 2

1

ln(ln 1)

e x dxx x +

∫ l) 1 2

0 1

x

xe dx

e

−

− +∫ m)

ln3

0

1

1xdx

e +∫


a) ∫2

0

sin

π

xdxe x b) ∫2

0

2 dxxe x c) ∫ −1

0

dxxe x

d) ∫ +2

0

cos)cos(

π

xdxxe x e) ( )∫ +1

0

1ln dxxx f) 2

1

1 lne x dxx

+∫

g) 2

ln ln(ln )e

e

x x dxx

+∫ h) ∫

+

+

e

dxxxxx

1

2ln 1ln

ln i) 3

2

ln(ln )e

e

x dxx∫

k) 2

21

ln xdxx

∫ l) 3

2

6

ln(sin )

cos

xdx

x∫

π

πm)

1

0

ln( 1)1

x dxx

+

+∫

VẤN ĐỀ 9: Một số tích phân đặc biệt Dạng 1. Tích phân của hàm số chẵn, hàm số lẻ

• Nếu hàm số f(x) liên tục và là hàm số lẻ trên [–a; a] thì ( ) 0a

af x dx

−

=∫

• Nếu hàm số f(x) liên tục và là hàm số chẵn trên [–a; a] thì 0

( ) 2 ( )a a

af x dx f x dx

−

=∫ ∫

Vì các tính chất này không có trong phần lý thuyết của SGK nên khi tính các tích phân có dạng này ta có thể chứng minh như sau:

Bước 1: Phân tích 0

0( ) ( ) ( )

a a

a aI f x dx f x dx f x dx

− −

= = +∫ ∫ ∫ 0

0( ) ; ( )

a

aJ f x dx K f x dx

−

= =

∫ ∫

Bước 2: Tính tích phân 0

( )a

J f x dx−

= ∫ bằng phương pháp đổi biến. Đặt t = – x.

– Nếu f(x) là hàm số lẻ thì J = –K ⇒ I = J + K = 0 – Nếu f(x) là hàm số chẵn thì J = K ⇒ I = J + K = 2K

Dạng 2. Nếu f(x) liên tục và là hàm chẵn trên R thì:

0

( ) ( )1x

f x dx f x dxa−

= +

∫ ∫α α

α(với α ∈ R+ và a > 0)

Để chứng minh tính chất này, ta cũng làm tương tự như trên.

0

0

( ) ( ) ( )1 1 1x x x

f x f x f xI dx dx dxa a a− −

= = ++ + +

∫ ∫ ∫α α

α α

0

0

( ) ( );x 1 1xf x f xJ dx K dx

a a−

= =

+ + ∫ ∫

α

α

Để tính J ta cũng đặt: t = –x.



Trang 93

Dạng 3. Nếu f(x) liên tục trên 0;2

π thì 2 2

0 0(sin ) (cos )f x dx f x dx=∫ ∫

π π

Để chứng minh tính chất này ta đặt: 2

t x= −π

Dạng 4. Nếu f(x) liên tục và ( ) ( )f a b x f x+ − = hoặc ( ) ( )f a b x f x+ − = −thì đặt: t = a + b – x

Đặc biệt, nếu a + b = π thì đặt t = π – x nếu a + b = 2π thì đặt t = 2π – x

Dạng 5. Tính tích phân bằng cách sử dụng nguyên hàm phụ Để xác định nguyên hàm của hàm số f(x) ta cần tìm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x) dễ xác định hơn so với f(x). Từ đó suy ra nguyên hàm của f(x). Ta thực hiện các bước như sau: Bước 1: Tìm hàm g(x). Bước 2: Xác định nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x), tức là:

1

2

( ) ( ) ( )(*)

( ) ( ) ( )F x G x A x CF x G x B x C

+ = + − = +

Bước 3: Từ hệ (*), ta suy ra [ ]1( ) ( ) ( )2

F x A x B x C= + + là nguyên hàm của f(x).

Baøi 1. Tính các tích phân sau (dạng 1):

a) 7 5 34

4

4

1

cos

x x x xdx

x−

− + − +∫

π

πb) ( )

π

π−

+ +∫2

2

2

cos ln 1x x x dx c)

12

12

1cos . ln 1

xx dx

x−

− + ∫

d) ( )1 2

1ln 1x x dx

−

+ +∫ e) − − +∫1

4 21 1

x dx

x x f)

1 4

2 1

sin 1

x xdxx−

+

+∫

g) 52

2

sin

1 cos

xdx

x−

+∫

π

πh)

2

2

24 sin

xdx

x

π

π− −

∫ i) 2

2

2

cos

4 sin

x xdx

x

π

π−

+

−∫


a) 1 4

1 2 1xx dx

− +∫ b)

1 2

1

1 1 2x

x dx−

−

+∫ c)

1

21 ( 1)( 1)x

dx

e x− + +∫

d) 2sin

3 1xxdx

− +∫π

π e) ∫

− ++3

3

2

211dxxx f)

1

21 (4 1)( 1)x

dx

x− + +∫

g) 2

2

sin sin3 cos5

1 xx x x

dxe

− +

∫

π

πh)

6 64

4

sin cos

6 1xx x

dx

−

+

+∫

π

πi)

2 22

2

sin

1 2xx x

dx

− +

∫

π

π


a)2

0

cos cos sin

n

n nx dx

x x+∫

π

(n ∈ N*) b) 72

7 70

sin sin cos

x dxx x+

∫

π

c) 2

0

sin sin cos

x dxx x+

∫

π



Trang 94

d) 20092

2009 20090

sinsin cos

x dxx x+

∫

π

e) 42

4 40

coscos sin

x dx x x

π

+∫ f)

42

4 40

sincos sin

x dx x x

π

+∫


a) 2

0

.sin4 cos

x x dx x−

∫π

b) 2

0

cos4 sinx x dx

x

+

−∫π

c) 2

0

1 sinln 1 cos

x dxx

+ + ∫

π

d) 4

0ln(1 tan )x dx+∫

π

e) 2

3

0.cosx xdx∫

πf) 3

0.sinx xdx∫

π

g) 0 1 sin

x dxx+∫

π h)

0

sin 2 cosx x dx

x+∫π

i) 2

0

sin1 cos

x x dx x+

∫π

k) 4

0sin 4 ln(1 tan )x x dx+∫

π

l) 2

0

sin9 4 cos

x x dx x+

∫π

m) 4

0sin cosx x xdx∫

π


a) 2

0

sin sin cos

x dxx x−∫

π

b) 2

0

cos sin cos

x dxx x−∫

π

c) 2

0

sin sin cos

x dxx x+∫

π

d) 2

0

cos sin cos

x dxx x+∫

π

e) 42

4 40

sinsin cos

x dx x x+

∫

π

f) 42

4 40

cossin cos

x dx x x+

∫

π

g) 62

6 60

sinsin cos

x dx x x+

∫

π

h) 62

6 60

cossin cos

x dx x x+

∫

π

i) 2

2

02sin .sin 2x xdx∫

π

k) 2

2

02 cos .sin 2x xdx∫

π

l) 1

1

x

x xe dx

e e−− −∫ m)

1

1

x

x xe dx

e e

−

−− −∫

n) 1

1

x

x xe dx

e e−− +∫ o)

1

1

x

x xe dx

e e

−

−− +∫

VẤN ĐỀ 10: Thiết lập công thức truy hồi

Giả sử cần tính tích phân ( , )b

na

I f x n dx= ∫ (n ∈ N) phụ thuộc vào số nguyên dương n. Ta

thường gặp một số yêu cầu sau: • Thiết lập một công thức truy hồi, tức là biểu diễn In theo các In-k (1 ≤ k ≤ n). • Chứng minh một công thức truy hồi cho trước. • Tính một giá trị

0nI cụ thể nào đó.

Baøi 1. Lập công thức truy hồi cho các tích phân sau:



Trang 95

a) 2

0sinn

nI xdx= ∫

π

• Đặt 1sin

sin .

nu xdv x dx

− = =

b) 2

0cosn

nI xdx= ∫

π

• Đặt 1cos

cos .

nu xdv x dx

− = =

c) 4

0tann

nI xdx= ∫

π

• Phân tích: ( )2 2 2tan tan tan 1 tann n nx x x x− −= + −

d) 2

0cos .n

nI x x dx= ∫

π

• Đặt cos .

nu xdv x dx

= =

2

0sin .n

nJ x x dx= ∫

π

• Đặt sin .

nu xdv x dx

= =

e) n x nI x e dx

1

0= ∫ • Đặt

.

n

xu xdv e dx

=

=

f) 1

ln .e

nnI x dx= ∫ • Đặt lnnu x

dv dx =

=

g) 1

2

0(1 )n

nI x dx= −∫ • Đặt cosx t= → Đặt 2sin

sin .

nu tdv t dt

= =

h) 1

20 (1 )n n

dxIx

=+

∫ • Phân tích 2 2

2 2 21 1

(1 ) (1 ) (1 )n n nx x

x x x

+= −

+ + +

Tính 1 2

20 (1 n )n

xJ dxx

=+

∫ . Đặt 2(1 )n

u xx

dv dxx

= = +

i) 1

01 .n

nI x x dx= −∫ • Đặt 1 .

nu xdv x dx

=

= −

k) 4

n 0 cosn

dxI dx x

= ∫

π

• Phân tích 1

1 cos

cos cosn nx

x x+= → Đặt

11

cosnt

x+=



Trang 96

1. Diện tích hình phẳng • Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

– Đồ thị (C) của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. – Trục hoành. – Hai đường thẳng x = a, x = b.

là: ( )b

aS f x dx= ∫ (1)

• Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường: – Đồ thị của các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. – Hai đường thẳng x = a, x = b.

là: ( ) ( )b

aS f x g x dx= −∫ (2)

Chú ý:

• Nếu trên đoạn [a; b], hàm số f(x) không đổi dấu thì: ( ) ( )b b

a af x dx f x dx=∫ ∫

• Trong các công thức tính diện tích ở trên, cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích phân. Ta có thể làm như sau:

Bước 1: Giải phương trình: f(x) = 0 hoặc f(x) – g(x) = 0 trên đoạn [a; b]. Giả sử tìm được 2 nghiệm c, d (c < d). Bước 2: Sử dụng công thức phân đoạn:

( ) ( ) ( ) ( )b c d b

a a c df x dx f x dx f x dx f x dx= + +∫ ∫ ∫ ∫

= ( ) ( ) ( )c d b

a c df x dx f x dx f x dx+ +∫ ∫ ∫

(vì trên các đoạn [a; c], [c; d], [d; b] hàm số f(x) không đổi dấu) • Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

– Đồ thị của x = g(y), x = h(y) (g và h là hai hàm số liên tục trên đoạn [c; d]) – Hai đường thẳng x = c, x = d.

( ) ( )d

cS g y h y dy= −∫

2. Thể tích vật thể • Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm các điểm a và b. S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (a ≤ x ≤ b). Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a; b].

Thể tích của B là: ( )b

aV S x dx= ∫

• Thể tích của khối tròn xoay: Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường:

(C): y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < b)sinh ra khi quay quanh trục Ox:

III. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN



Trang 97

2( )b

aV f x dx= ∫π

Chú ý: Thể tích của khối tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay xung quanh trục Oy:

(C): x = g(y), trục tung, y = c, y = d

là: 2( )d

cV g y dy= ∫π

VẤN ĐỀ 1: Tính diện tích hình phẳng

Baøi 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a) y x x y x x2 4 5, 0, 2, 4= − − = = − = b) ln 1, 0, ,x y y x x e

x e= = = =

c) 1 ln

, 0, 1,x

y y x x ex+

= = = = d) ln , 0, , 12

xy y x e x

x= = = =

e) 1ln , 0, ,y x y x x ee

= = = = f) 3, 0, 2, 1y x y x x= = = − =

g) 4

1, 0, 0,21

xy y x x

x= = = =

−h) 1lg , 0, , 10

10y x y x x= = = =


a) 3 1, 0, 01

xy y x

x− −

= = =−

b) , 2 , 0y x y x y= = − =

c) , 2, 1x y e y x= = = d) , 2 0, 0y x x y y= + − = =

e) 2 22 , 2 1, 2y x y x x y= = − − = f) 2 4 5, 2 4, 4 11y x x y x y x= − + = − + = −

g) 2

2 27, ,27x

y x y yx

= = = h) 2 22 , 4 4, 8y x y x x y= = − − =

i) 2 2 , 2 2 1 0, 0y x x y y= + + = = k) 2 26 5, 4 3, 3 15y x x y x x y x= − + − = − + − = −Baøi 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a) 1, , 0,y x y y x ex

= = = = b) sin 2 cos , 3, 0,y x x y x x= − = = = π

c) 25 , 0, 3 , 0xy y y x x−= = = − = d) 2 22 2 , 3 6, 0, 4y x x y x x x x= − = + − = =

e) , 0, 4y x y y x= = = − f) 2 22 2, 4 5, 1y x x y x x y= − + = + + =

g) , 2 , 0y x y x y= = − = h) 21 , , 1x

xy y e x

e−

−= = =


a) 2 24 , 2y x y x x= − = − b) 2 4 3 , 3y x x y x= − + = +

c) 2 21 1, 34 2

y x y x= = − + d) 2

21 ,

21

xy y

x= =

+e) 2, 2y x y x= = − f) 2 22 , 4y x x y x x= − = − +



Trang 98

g) 2

21,

2 1

xy y

x= =

+ h) 23 , 0y x y

x= + + =

i) 2 2 , 2y x x y x= + = + k) 2 2, 4y x y x= + = −Baøi 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a) 2 2,y x x y= = − b) 2 5 0, 3 0y x x y+ − = + − =

c) 2 2 0, 0y y x x y− + = + = d) 2 2 1, 1y x y x= + = −

e) 2 2 , , 0, 3y x y x y y= = = = f) 2( 1) , siny x x y= + = π

g) 2 2 26 , 16y x x y= + = h) 2 3 2(4 ) , 4y x y x= − =

i) 3 1 0, 1 0x y x y− + = + − = k) 2 2 28, 2x y y x+ = = Baøi 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a) . ; 0; 1; 2.xy x e y x x= = = − = b) 2. ln ; 0; 1; .y x x y x x e= = = =

c) ; ; 1.x xy e y e x−= = = d) 25 ; 0; 0; 3 .xy y x y x−= = = = −

e) 5( 1) ; ; 1.xy x y e x= + = = f) 1ln , 0, ,y x y x x ee

= = = =

g) 2sin cos , 0, 0,y x x y x x= + = = = π h) sin ; ; 0; 2 .y x x y x x x= + = = = π

i) 2sin ; ; 0; .y x x y x x= + = π = = π k) 2sin sin 1, 0, 0,2

y x x y x xπ

= + + = = =


a) 2

1( ) :2

C y xx

= + , tiệm cận xiên của (C), x = 1 và x = 3.

b) 2 2 1( ) : , 0

2x x

C y yx+ +

= =+

, tiệm cận xiên của (C), x = –1 và x = 2

c) 3 2( ) : 2 4 3, 0C y x x x y= − + − = và tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x = 2.

d) 3( ) : 3 2, 1C y x x x= − + = − và tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x = –2.

e) 2( ) : 2C y x x= − và các tiếp tuyến với (C) tại O(0; 0) và A(3; 3) trên (C).

VẤN ĐỀ 2: Tính thể tích vật thể Baøi 1. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay

quanh trục Ox:

a) sin , 0, 0,4

y x y x xπ

= = = = b) 3 21 , 0, 0, 33

y x x y x x= − = = =

c) 6 6sin cos , 0, 0,2

y x x y x xπ

= + = = = d) y x y x, 0, 4= = =

e) 3 1, 0, 1, 1y x y x x= − = = − = f) 2 ,y x y x= =

g) 2 3

,4 8x x

y y= = h) 2 4 , 2y x x y x= − + = +

i) sin , cos , ,4 2

y x y x x x= = = =π π k) 2 2( 2) 9, 0x y y− + = =

l) 2 24 6, 2 6y x x y x x= − + = − − + m) ln , 0, 2y x y x= = =Baøi 2. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay

quanh trục Oy:



Trang 99

a) 2 , 1, 4x y yy

= = = b) 2 , 4y x y= =

c) , 0,xy e x y e= = = d) 2 , 1, 2y x y y= = =Baøi 3. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay

quanh: i) trục Ox ii) trục Oy a) 2( 2) , 4y x y= − = b) 2 2, 4 , 4y x y x y= = =

c) 21 , 0, 0, 1

1y y x x

x= = = =

+ d) 22 , 0y x x y= − =

e) . ln , 0, 1,y x x y x x e= = = = f) 2( 0), 3 10, 1y x x y x y= > = − + =

g) 2 ,y x y x= = h) ( )2 2– 4 1 x y+ =

i) 149

22

=+ yx k) 1, 2, 0, 0y x y y x= − = = =

l) 2 0, 2, 0x y y x− = = = m) 2 3, 0, 1y x y x= = =



Trang 100


a) ∫ −2

0

2 dxxx b) 5

3( 2 2 )x x dx

−

+ − −∫ c) 3

2

12 1x x dx− +∫

d) 22

1

12

x dxx−

− +

∫ e) 3 7

8 42 1 2

x dxx x+ −

∫ f) 1

20 2 5 2

dx

x x+ +∫

g) 1

20 ( 1)

xdx

x +∫ h)

0

21 2 4

dx

x x− + +∫ i)

2 3 2

20

2 4 94

x x x dxx

+ + +

+∫

k) 1 3

20 1

x dxx +

∫ l) 1

20 1

xdx

x+∫ m)

1

30 ( 1)

xdx

x +∫


a) ∫ −+

2

1 11 dx

xx b)

4

1

25 4

dx

x− + +∫ c)

0

11x x dx

−

+∫

d) 10

5 2 1dx

x x− −∫ e)

3

1

33 1 3

x dxx x−

−

+ + +∫ f)

2

1 2 2xdx

x x+ + −∫

g) 2 4

50 1

x dxx +

∫ h) 9

3

11x x dx−∫ i) x dx

x

73

30

13 1

+

+∫

k) 3

3 2

01x x dx+∫ l)

1 3 2

03x x dx+∫ m)

1 3 2

01x x dx−∫

o) 1

5 2

01x x dx−∫ p)

1 2

230 ( 1)

x xdx

x

+

+∫ q)

3 5 3

20

2

1

x x dxx

+

+∫

r) 2

2 2

04x x dx−∫ s) t)


a) / 4 2

0

1 2sin 1 sin 2

x dxx

π −+∫ b)

/2

0

sin 2 sin 1 3cos

x x dxx

π +

+∫ c)

/2

0

sin 2 cos 1 cos

x x dxx

π

+∫

d) /2

2 20

sin 2

cos 4sin

x dxx x

π

+∫ e)

/2

0sin sin 2 sin3x x x dx

π

∫ f) /2

5

0cos xdx

π

∫

g) /2

4 4

0cos2 (sin cos )x x x dx

π+∫ h)

/3

2/ 4

tan

cos 1 cos

x dxx x

π

π +∫ i)

20

sin 1 cos

x x dxx

π

+∫

k) / 4

2

0tanx x dx

π

∫ l) /2

0

sin 2cos 1

x dxx

π

+∫ m) /2

0

sin 1 3cos

x dxx

π

+∫

o) /2 2004

2004 20040

sin sin cos

x dxx x

π

+∫ p)

/2 3

0

4sin 1 cos

x dxx

π

+∫ q) /2

0

cos3sin 1

x dxx

π

+∫

IV. ÔN TẬP TÍCH PHÂN



Trang 131

ĐỀ THI TỐT NGHIỆP Baøi 1. (TN 2002) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 2 1y x= + và y x –1= .

ĐS: S16 3

= .

Baøi 2. (TN 2003)

1. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số 3 2

2

3 3 1( )2 1

x x xf xx x+ + −

=+ +

biết rằng F(1) = 1 3

.

2. Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số 22 10 12

2x xy

x− −

= +

và đường

thẳng y = 0.

ĐS: 1) xF x x

x

2 2 13( )2 1 6

= + + −+

2) S 63 16 ln8= − .

Baøi 3. (TN 2005) Tính tích phân: I x x xdx2

2

0( sin ) cos

π

= +∫ .

ĐS: I2

2 3π

= − .

Baøi 4. (TN 2006–kpb) 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số xy e= , y = 2 và đường thẳng x = 1.

2. Tính tích phân: I = 2x dx

cos x

2

0

sin 24

π

−∫ .

ĐS: 1) S e 2 ln 2 4= − − 2) I4ln3

= .

Baøi 5. (TN 2006–pb)

1. Tính tích phân: I = x x

x

e e dxe

ln5

ln 2

( 1)

1

+

−∫ .

2. Tính tích phân: J = xx e dx1

0(2 1)+∫ .

ĐS: 1) I263

= 2) J = e + 1.

Baøi 6. (TN 2007–kpb) Tính tích phân: J = e xdx

x

2

1

ln∫ .

ĐS: I = 1 3

.

Baøi 7. (TN 2007–pb)

1. Tính tích phân: x dxx

2

21

2

1+∫ .

III. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN



Trang 132

2. Tính tích phân: x xdx3

12 ln∫ .

ĐS: 1) ( )J 2 5 2= − 2) K 9 ln3 4= − .

Baøi 8. (TN 2007–kpb–lần 2) Tính tích phân: I = x dxx

1 2

3 0

31+

∫ .

ĐS: I = ln2. Baøi 9. (TN 2007–pb–lần 2)

1. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y x y x xsin , 0, 0,2π

= = = = . Tính thể

tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình (H) quanh trục hoành. 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x x y2 6 , 0= − + = .

ĐS: 1) V2

4π

= 2) S = 36.

Baøi 10. (TN 2008–kpb) Tính tích phân: I = xe xdx1

0(1 )+∫ .

ĐS: I = 3 2

.

Baøi 11. (TN 2008–pb)

1. Tính tích phân: I = x x dx1

2 3 4

1(1 )

−

−∫ .

2. Tính tích phân: J = x xdx2

0(2 1)cos

π

−∫ .

ĐS: 1) I32 5

= 2) J 3π= − .

Baøi 12. (TN 2008–kpb–lần 2) Tính tích phân: I = x dx1

03 1+∫ .

ĐS: I = 14 9

.

Baøi 13. (TN 2008–pb–lần 2)

1. Tính tích phân: I = xx e dx1

0(4 1)+∫ .

2. Tính tích phân: J = x x dx2

2

1(6 4 1)− +∫ .

ĐS: 1) I = e + 3 2) J = 9.

Baøi 14. (TN 2009) Tính tích phân: I = x x dx0

(1 cos )π

+∫ .

ĐS: I2 4 2

π −= .



Trang 133

Baøi 15. (TN 2010) Tính tích phân: I = x x dx1

2 2

0( 1)−∫ .

ĐS: 1 30

.

Baøi 16. (TN 2011) Tính tích phân: I = ĐS:



Trang 134

ĐỀ THI ĐẠI HỌC

Baøi 1. (ĐH 2002A) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

y x x y x2 4 3 , 3.= − + = +

ĐS: S109

6= .

Baøi 2. (ĐH 2002B) Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

xy

24

4= − và x

y2

.4 2

=

ĐS: S423

π= + .

Baøi 3. (ĐH 2002A–db1) Tính tích phân: I = x x xdx2 6 3 5

01 cos .sin .cos

π

−∫ .

ĐS:

Baøi 4. (ĐH 2002A–db2) Tính tích phân: I = ( )xx e x dx0

2 3

11

−

+ +∫ .

ĐS:

Baøi 5. (ĐH 2002B–db2) Tính tích phân: I = x

x

edx

e

ln3

30 ( 1)+∫ .

. ĐS:

Baøi 6. (ĐH 2002D–db2) Tính tích phân: I = x dxx

1 3

20 1+∫ .

ĐS:

Baøi 7. (ĐH 2003A) Tính tích phân: dxI

x x

2 3

25

. 4

=+

∫

ĐS: I1 5ln4 3

= .

Baøi 8. (ĐH 2003B) Tính tích phân: xI dxx

24

0

1 2sin .1 sin 2

π

−=

+∫

ĐS: I = 1 ln 22

.

Baøi 9. (ĐH 2003D) Tính tích phân: I x x dx2

2

0= −∫ .

ĐS: I = 1.

Baøi 10. (ĐH 2003A–db1) Tính tích phân: I = x x dx1

3 2

01−∫ .

ĐS:



Trang 135

Baøi 11. (ĐH 2003A–db2) Tính tích phân: I = x dxx

4

0 1 cos2

π

+∫ .

ĐS:

Baøi 12. (ĐH 2003B–db1) Tính tích phân: I = x

x

e dxe

ln5 2

ln 2 1−∫ .

ĐS:

Baøi 13. (ĐH 2003B–db2) Cho hàm số xaf x bxex 3

( )( 1)

= ++

. Tìm a, b biết rằng:

f (0) 22′ = − và f x dx1

0( ) 5=∫ .

ĐS:

Baøi 14. (ĐH 2003D–db1) Tính tích phân: I = xx e dx2

1 3

0∫ .

ĐS:

Baøi 15. (ĐH 2003D–db2) Tính tích phân: I = e x dx

x

2

1

1+∫ .

ĐS:

Baøi 16. (ĐH 2004A) Tính tích phân: xI dxx

2

1.

1 1=

+ −∫

ĐS: I = 11 4 ln23

− .

Baøi 17. (ĐH 2004B) Tính tích phân: e x xI dx

x1

1 3ln ln .+= ∫

ĐS: I = 116135

.

Baøi 18. (ĐH 2004D) Tính tích phân: I x x dx3

2

2ln( ) .= −∫

ĐS: I = 3ln 3 2− .

Baøi 19. (ĐH 2004A–db2) Tính tích phân: I = x x dxx

2 4

20

14

− +

+∫ .

ĐS:

Baøi 20. (ĐH 2004B–db1) Tính tích phân: I = dxx x

3

31

1+

∫ .

ĐS:

Baøi 21. (ĐH 2004B–db2) Tính tích phân: I = xe xdx2

cos

0sin 2

π

∫ .

ĐS:



Trang 136

Baøi 22. (ĐH 2004D–db1) Tính tích phân: I = x xdx2

0sin

π

∫ .

ĐS:

Baøi 23. (ĐH 2004D–db2) Tính tích phân: I = x xe e dxl n8

2

ln31+∫ .

ĐS:

Baøi 24. (ĐH 2005A) Tính tích phân: I = x xdxx

2

0

sin 2 sin1 3cos

π

+

+∫ .

ĐS: I = 34 27

.

Baøi 25. (ĐH 2005B) Tính tích phân: I = x xdxx

2

0

sin 2 .cos 1 cos

π

+∫ .

ĐS: I = 2 ln 2 1− .

Baøi 26. (ĐH 2005D) Tính tích phân: I = xe x xdx2

sin

0( cos ) cos

π

+∫ .

ĐS: I = e 14π

+ − .

Baøi 27. (ĐH 2005A–db1) Tính tích phân: I = x xdx3

2

0sin . tan

π

∫ .

ĐS: I = 3ln 28

− .


7

30

21

+

+∫ .

ĐS: I = 231 10

.

Baøi 29. (ĐH 2005B–db1) Tính tích phân: I = e

x xdx2

0ln∫ .

ĐS: I = e32 19 9

+ .

Baøi 30. (ĐH 2005B–db2) Tính tích phân: I = xx e x dx4

sin

0(tan cos )

π

+∫ .

ĐS: I = e12ln 2 1+ − .

Baøi 31. (ĐH 2005D–db1) Tính tích phân: I = e x dx

x x

3 2

1

lnln 1+

∫ .

ĐS: I = 76 15

.



Trang 137


2

0(2 1)cos

π

−∫ .

ĐS: I = 2 1

8 4 2π π

− − .

Baøi 33. (ĐH 2006A) Tính tích phân: I = xdx

x x

2

2 20

sin 2

cos 4sin

π

+∫ .

ĐS: I = 23

.

Baøi 34. (ĐH 2006B) Tính tích phân: I = x x

dxe e

ln 5

ln3

12 3−+ −

∫ .

ĐS: I = 3ln2

.

Baøi 35. (ĐH 2006D) Tính tích phân: I = xx e dx1

2

0( 2)−∫ .

ĐS: I = e25 3 4

− .

Baøi 36. (ĐH 2006A–db1) Tính tích phân: I = dxx x

6

2

12 1 4 1+ + +

∫ .

ĐS: I = 3 1ln2 12

− .

Baøi 37. (ĐH 2006A–db2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P): y x x2 3= − +và đường thẳng d: y x2 1= + .

ĐS: S = 1 6

.

Baøi 38. (ĐH 2006B–db1) Tính tích phân: I = dxx x

10

5

12 1− −

∫ .

ĐS: I = 2 ln 2 1+ .

Baøi 39. (ĐH 2006B–db2) Tính tích phân: I = e x dx

x x1

3 2 ln1 2 ln−

+∫ .

ĐS: I = 10 2 113

− .


0( 1)sin 2

π

+∫ .

ĐS: I = 14π

+ .


1( 2) ln−∫ .


sđt : 01695316875 ymail: [email protected]đt : 01695316875 ymail: [email protected]

Trang 138

ĐS: I = 5 ln 44

− .

Baøi 42. (ĐH 2007A) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: xy e x y e x( 1) , (1 )= + = + .

ĐS: S = e 12

− .

Baøi 43. (ĐH 2007B) Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường: y x x y x eln , 0,= = = . Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục Ox.

ĐS: V = e3(5 2)27

π − .

Baøi 44. (ĐH 2007D) Tính tích phân: I = e

x xdx3 2

1ln∫ .

ĐS: I = e45 1 32

− .


4

0

2 11 2 1

+

+ +∫ .

ĐS: I = 2 ln 2+ . Baøi 46. (ĐH 2007A–db2) Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường: y x y x24 ,= = . Tính

thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục Ox.

ĐS: V = 128 15

.

Baøi 47. (ĐH 2007B–db1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

x xy y

x2(1 )0,

1

−= =

+.

ĐS: S = 11 ln 24 2π

− + .

Baøi 48. (ĐH 2007B–db2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

y x y x2 2, 2= = − .

ĐS: S = 12 3π

+ .

Baøi 49. (ĐH 2007D–db1) Tính tích phân: I = x x dxx

1

20

( 1)4

−

−∫ .

ĐS: I = 31 ln 2 ln32

+ − .


2

0cos

π

∫ .

ĐS: I = 2

24

π− .

Baøi 51. (ĐH 2008A) Tính tích phân: I = xdxx

46

0

tan cos2

π

∫ .


Trang 139

ĐS: I = ( )1 10ln 2 32 9 3

+ −

Baøi 52. (ĐH 2008B) Tính tích phân: I = x

dxx x x

4

0

sin 4

sin 2 2(1 sin cos )

π π −

+ + +∫ .

ĐS: I = 4 3 24

− .

Baøi 53. (ĐH 2008D) Tính tích phân: I = xdxx

2

31

ln∫ .

ĐS: I = 3 2 ln 2 16

− .

Baøi 54. (ĐH 2008A–db1) Tính tích phân I x xdx3

2

0sin . tan

π

= ∫ .

ĐS: I = 3ln 28

− .

Baøi 55. (ĐH 2008A–db2) Tính tích phân xI dxx

7

30

2 1

+=

+∫ .

ĐS: I = 231 10

.

Baøi 56. (ĐH 2008B–db1) Tính tích phân I = e

x xdx2

0ln∫ .

ĐS: I = e32 19 9

+ .

Baøi 57. (ĐH 2008B–db2) Tính tích phân I = xtgx e x dx4

sin

0( cos )

π

+∫ .

ĐS: I = e12ln 2 1+ − .

Baøi 58. (ĐH 2008D–db1) Tính tích phân e xI dx

x x

3 2

1

lnln 1

=+

∫ .

ĐS: I = 76 15

.

Baøi 59. (ĐH 2008D–db2) Tính tích phân I x xdx2

2

0( 2 1)cos

π

= −∫ .

ĐS: I = 2 1

8 4 2π π

− − .

Baøi 60. (CĐ 2008) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P): y x x2 4= − + và đường thẳng d: y x= .


Trang 140

ĐS: S = 9 2

.

Baøi 61. (ĐH 2009A) Tính tích phân I = x dx2

3

0(cos 1)

π

−∫ .

ĐS: I = 815 4

π− .

Baøi 62. (ĐH 2009B) Tính tích phân I = xdxx

3

21

3 ln( 1)

+

+∫ .

ĐS: I = 1 273 ln4 16

+

.

Baøi 63. (ĐH 2009D) Tính tích phân I = x

dxe

3

1

11−

∫ .

ĐS: I = e e2ln( 1) 2+ + − .

Baøi 64. (CĐ 2009) Tính tích phân I = ( )x xe x e dx1

2

0

− +∫ .

ĐS: I = e12 − .

Baøi 65. (ĐH 2010A) Tính tích phân I = x x

xx e x e dx

e

1 2 2

0

21 2

+ +

+∫ .

ĐS: I = e1 1 1 2ln3 2 3

++ .

Baøi 66. (ĐH 2010B) Tính tích phân I = ( )

e x dxx x

21

ln

2 ln+∫ .

ĐS: I = 1 3ln3 2

− + .

Baøi 67. (ĐH 2010D) Tính tích phân I = e

x xdxx1

32 ln

− ∫ .

ĐS: I = e21

2− .

Baøi 68. (CĐ 2010) Tính tích phân I = x dxx

1

0

2 11

−+∫ .

ĐS: I = 2 – 3ln 2 .

.



HOÀNG THÁI VIỆT – ĐẠI HỌC BÁCH KHOA – ĐẠI HỌC ĐÀ NÃNG 2014

Câu 1.A2011

Câu 2. B2011

đáp án :

Câu 3.D2011

đáp án :

Câu 4.A2012

đáp án :

Câu 5.B2012

đáp án :

Câu 6.D2012

đáp án :

Câu 7.A2013

đáp án :

Câu 8.B2013

đáp án :

đáp án :

Documents

chuyen de tich phan on thi dai hoc