Geometria analitica exercicios resolvidos

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Geometria Analtica

Geometria Analtica

Geometria Analtica I Geometria Analtica II Geometria Analtica III Geometria Analtica IV Geometria Analtica V Exerccios de Geometria Analtica Elipse Hiprbole Parbola Hiprbole Eqiltera A excentricidade das cnicas Sistema de coordenadas polares Um problema de circunfernciaINVISTA EM VOC, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO.

E-mail: colegiocascavelense@yahoo.com.br www.colegiocascavelense.com.br.

CASCAVEL CEAR - BRASIL

Geometria Analtica I

1 - IntroduoA Geometria Analtica uma parte da Matemtica, que atravs de processos particulares, estabelece as relaes existentes entre a lgebra e a Geometria. Desse modo, uma reta, uma circunferncia ou uma figura podem ter suas propriedades estudadas atravs de mtodos algbricos.Os estudos iniciais da Geometria Analtica se deram no sculo XVII , e devem-se ao filsofo e matemtico francs Ren Descartes (1596 - 1650), inventor das coordenadas cartesianas (assim chamadas em sua homenagem), que permitiram a representao numrica de propriedades geomtricas. No seu livro Discurso sobre o Mtodo, escrito em 1637, aparece a clebre frase em latim "Cogito ergo sum" , ou seja: "Penso, logo existo". 1.1 - Coordenadas cartesianas na retaSeja a reta r na Fig. abaixo e sobre ela tomemos um ponto O chamado origem.Adotemos uma unidade de medida e suponhamos que os comprimentos medidos a partir de O, sejam positivos direita e negativos esquerda.

O comprimento do segmento OA igual a 1 u.c (u.c = unidade de comprimento). fcil concluir que existe uma correspondncia um a um (correspondncia biunvoca) entre o conjunto dos pontos da reta e o conjunto R dos nmeros reais. Os nmeros so chamados abscissas dos pontos. Assim, a abscissa do ponto A -1, a abscissa da origem O 0, a abscissa do ponto A 1, etc. A reta r chamada eixo das abscissas.

1.2 - Coordenadas cartesianas no planoCom o modo simples de se representar nmeros numa reta, visto acima, podemos estender a idia para o plano, basta que para isto consideremos duas retas perpendiculares que se interceptem num ponto O, que ser a origem do sistema. Veja a Fig. a seguir:

Dizemos que a a abscissa do ponto P e b a ordenada do ponto P.O eixo OX denominado eixo das abscissas e o eixo OY denominado eixo das ordenadas.O ponto O(0,0) a origem do sistema de coordenadas cartesianas.Os sinais algbricos de a e b definem regies do plano denominadas QUADRANTES.No 1 quadrante, a e b so positivos, no 2 quadrante, a negativo e b positivo, no 3 quadrante, ambos so negativos e finalmente no 4 quadrante a positivo e b negativo.

Observe que todos os pontos do eixo OX tem ordenada nula e todos os pontos do eixo OY tem abscissa nula. Assim, dizemos que a equao do eixo OX y = 0 e a equao do eixo OY x = 0.Os pontos do plano onde a = b, definem uma reta denominada bissetriz do 1 quadrante, cuja equao evidentemente y = x.J os pontos do plano onde a = -b (ou b = - a), ou seja, de coordenadas simtricas, definem uma reta denominada bissetriz do 2 quadrante, cuja equao evidentemente y = - x.Os eixos OX e OY so denominados eixos coordenados.Exerccios Resolvidos1) Se o ponto P(2m - 8, m) pertence ao eixo dos y , ento :a) m um nmero primo b) m primo e par c) m um quadrado perfeitod) m = 0e) m 4Soluo:Se um ponto pertence ao eixo vertical (eixo y) , ento a sua abscissa nula.Logo, no caso teremos 2m - 8 = 0, de onde tiramos m = 4 e portanto a alternativa correta a letra C,pois 4 um quadrado perfeito (4 = 22).2) Se o ponto P(r - 12 , 4r - 6) pertena primeira bissetriz , ento podemos afirmar que :a) r um nmero naturalb) r = - 3c) r raiz da equao x3 - x2 + x + 14 = 0d) r um nmero inteiro menor do que - 3. e) no existe r nestas condies.Soluo:Os pontos da primeira bissetriz (reta y = x), possuem abscissa e ordenada iguais entre si. Logo, deveremos ter: r - 12 = 4r - 6 de onde conclui-se r = - 2.Das alternativas apresentadas, conclumos que a correta a letra C, uma vez que -2 raiz da equao dada. Basta substituir x por -2 ou seja: (-2)3 - (-2)2 + (-2) + 14 = 0 o que confirma que -2 raiz da equao. 3) Se o ponto P(k, -2) satisfaz relao x + 2y - 10 = 0 , ento o valor de k 2 :a) 200b) 196c) 144d) 36e) 0Soluo:Fazendo x = k e y = -2 na relao dada vem: k + 2(-2) - 10 = 0. Logo, k = 14 e portanto k2 = 142 = 196. Logo, a alternativa correta a letra B.2 - Frmula da distncia entre dois pontos do plano cartesiano

Dados dois pontos do plano A(Xa, Ya) e B(Xb, Yb) , deduz-se facilmente usando o teorema de Pitgoras a seguinte frmula da distancia entre os pontos A e B:

Esta frmula tambm pode ser escrita como: d2AB = (Xb - Xa)2 + (Yb - Ya)2 , obtida da anterior, elevando-se ao quadrado (quadrando-se) ambos os membros.Exerccio ResolvidoO ponto A pertence ao semi-eixo positivo das ordenadas ; dados os pontos B(2 , 3) e C(-4 ,1) , sabe-se que do ponto A se v o segmento BC sob um ngulo reto . Nestas condies podemos afirmar que o ponto A :a) (3,0)b) (0, -1)c) (0,4)d) (0,5)e) (0, 3)Soluo:Como do ponto A se v BC sob um ngulo reto, podemos concluir que o tringulo ABC retngulo em A. Logo, vale o teorema de Pitgoras: o quadrado da hipotenusa igual soma dos quadrados dos catetos. Portanto, podemos escrever: AB2 + AC2 = BC2 (BC a hipotenusa porque o lado que se ope ao ngulo reto A). Da frmula de distncia, podemos ento escrever, considerando que as coordenadas do ponto A so (0, y) , j que dado no problema que o ponto A est no eixo dos y e portanto sua abscissa nula:AB2 = ( 0 - 2 )2 + ( y - 3 )2 = 4 + ( y - 3 )2AC2 = ( 0 - (-4))2 + ( y - 1)2 = 16 + ( y - 1 )2BC2 = ( 2 - (-4))2 + ( 3 - 1 )2 = 40Substituindo, vem: 4 + ( y - 3 )2 + 16 + ( y - 1 )2 = 40 ( y - 3 )2 + ( y - 1)2 = 40 - 4 - 16 = 20Desenvolvendo, fica: y2 - 6y + 9 + y2 - 2y + 1 = 20 2y2 - 8y - 10 = 0 y2 - 4y - 5 = 0 , que resolvida, encontramos y = 5 ou y = -1. A raiz y = -1 no serve, pois foi dito no problema que o ponto A est no semi-eixo positivo . Portanto, o ponto procurado A(0,5), o que nos leva a concluir que a alternativa correta a letra D.3 - Ponto mdio de um segmento

Dado o segmento de reta AB , o ponto mdio de AB o ponto M AB tal que AM = BM .Nestas condies, dados os pontos A(x1 , y1) e B(x2 , y2) , as coordenadas do ponto mdioM(xm , ym) sero dadas por:

Exerccio ResolvidoSendo W o comprimento da mediana relativa ao lado BC do tringulo ABC onde A(0,0), B(4,6) e C(2,4) , ento W2 igual a:a) 25b) 32c) 34d) 44e) 16Soluo:Chama-se mediana de um tringulo relativa a um lado, ao segmento de reta que une um vrtice ao ponto mdio do lado oposto. Assim, a mediana relativa ao lado BC ser o segmento que une o ponto A ao ponto mdio de BC. Das frmulas de ponto mdio anteriores, conclumos que o ponto mdio de BC ser o ponto M( 3, 5). Portanto, o comprimento da mediana procurado ser a distncia entre os pontos A e M. Usando a frmula de distncia encontramos AM = 34, ou seja, raiz quadrada de 34. Logo, W = 34 e portanto W2 = 34, o que nos leva a concluir que a resposta correta est na alternativa C.4 - Baricentro de um tringuloSabemos da Geometria plana , que o baricentro de um tringulo ABC o ponto de encontro das 3 medianas . Sendo G o baricentro , temos que AG = 2 . GM onde M o ponto mdio do lado oposto ao vrtice A (AM uma das 3 medianas do tringulo).Nestas condies, as coordenadas do baricentro G(xg , yg) do tringulo ABC onde A(xa , ya) , B(xb , yb) e C(xc , yc) dado por :

Conclui-se pois que as coordenadas do baricentro do tringulo ABC, so iguais s mdias aritmticas das coordenadas dos pontos A , B e C.Assim, por exemplo, o baricentro (tambm conhecido como centro de gravidade) do tringulo ABC onde A(3,5) , B(4, -1) e C(11, 8) ser o ponto G(6, 4). Verifique com o uso direto das frmulas.Exerccio resolvidoConhecendo-se o baricentro B(3,5), do tringulo XYZ onde X(2,5) , Y(-4,6) , qual o comprimento do segmento BZ?Soluo: Seja o ponto Z(a,b). Temos, pela frmula do baricentro:3 = (2 - 4 + a) / 3 e 5 = (5 + 6 + b) / 3Da, vem que a = 11 e b = 4. O ponto Z ser portanto Z(11, 4).Usando a frmula da distncia entre dois pontos, lembrando que B(3,5) e Z(11,4),encontraremos BZ = 651/2 u.c. (u.c. = unidades de comprimento).Agora resolva este:

Os pontos A(m, 7), B(0, n) e C(3, 1) so os vrtices de um tringulo cujo baricentro o ponto G(6, 11). Calcule o valor de m2 + n2.Resposta: 850

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Geometria Analtica II

1 - O uso do Determinante de terceira ordem na Geometria Analtica1.1 - rea de um tringuloSeja o tringulo ABC de vrtices A(xa , ya) , B(xb , xc) e C(xc , yc) . A rea S desse tringulo dada por S = 1/2. D onde D o mdulo do determinante formado pelas coordenadas dos vrtices A , B e C .

Temos portanto:

A rea S normalmente expressa em u.a. (unidades de rea) Para o clculo do determinante de terceira ordem, utilizamos a conhecida e prtica regra de Sarrus.1.2 - Condio de alinhamento de trs pontosTrs pontos esto alinhados se so colineares , isto , se pertencem a uma mesma reta . bvio que se os pontos A , B e C esto alinhados , ento o tringulo ABC no existe , e podemos pois considerar que sua rea nula ( S = 0 ) .Fazendo S = 0 na frmula de rea do item 1.1 , conclumos que a condio de alinhamento dos 3 pontos que o determinante D seja nulo , ou seja : D = 0 .Exerccio resolvido:Se os pontos P(3 , 5) , Q(-3 , 8) e C(4 , y) so colineares , ento o valor de y :a) 4b) 3c) 3,5d) 4,5e) 2Soluo:

Para que estes pontos estejam alinhados (pontos colineares), deveremos ter:

Desenvolvendo o determinante pela Regra de Sarrus, obtemos: - 32 - 3y + 15 + 24 - 3y + 20 = 0 y = 9/2 = 4,5. Portanto a alternativa correta a letra D.2 - Equao geral da reta.Seja r a reta que passa pelos pontos A(xa , ya) e B(xb , yb). Seja P(x , y) um ponto qualquer desta ret