August 16 ,2009 http://my.opera.com/vinhbinhpro

Nhấn space bar hay click chuột để xem các dòng và trang kế tiếp

Biên tập PPS : vinhbinhpro

http:my.opera.com/vinhbinhpro

Phần VIII Bài toán thường gặp về đồ thị

http://my.opera.com/vinhbinhpro

Vấn đề 1 : Tìm giao điểm của hai đồ thị

vinhbinhpro

Vấn đề : Gọi : 1 2;( ) ( )CC là đồ thị của hàm số y = f(x) và y = g (x)

Nêu cách tìm giao điểm của 1 2;( ) ( )CC

Hƣớng dẫn :

0 0( ; )M x y là giao điểm của : 1 2

;( ) ( )CC

0 0

0

2

0

1

0

0

0

0

( )( ) ( )

(( );

)

( ) y xMx x

yx yg

g

fC

M Cf

xlà nghiệm của p.trình

(( )) ()f g xx

* Do đó muốn tìm hoành độ giao điểm của 2 đồ thị ta đi giải pt ( *) và pt ( * )

gọi là phƣơng trình hoành độ giao điểm của 1 2;( ) ( )CC

* Số nghiệm của phương trình ( * ) = Số giao điểm của 2 đồ thị 1 2;( ) ( )CC

Bài toán 1 : Tìm giao điểm của hai đồ thị

http://my.opera.com/vinhbinhpro

Ví dụ 1 : Tìm điểm chung của 2 đồ thị hàm số :

3 2( ) : 3 ; ( ') : 4C y x x C y x x

Hƣớng dẫn :

B1: Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C’)

33 224 4 0 (*3 )4x x x xx x x

Phân tích pt (*)

bằng cách đặt nhân

tử chung hay dùng

sơ đồ Horner

2

2

(*) ( 1) 4 1 0

1 4 0

x x x

x x

+ Đặt nhân tử chung +Sơ đồ Horner

1 1 - 4 4

1 1 0 - 4 0

2(*) : 1 4 0x xNghiệm x=1 của (*)

2

1 ( 2)

(*) : 1 4 0 2 ( 2)

2 ( 2)

x y

x x x y

x y

(C) và (C’) có 3 điểm chung (1 ; -2) ; (2 ; 2) ;

(-2 ; 2)

f(x)=x^3-3*x

f(x)=x^2+x-4

Series 1

-6 -4 -2 2 4 6

-6

-4

-2

2

4

6

x

f(x)

Bài toán 1 : Tìm giao điểm của hai đồ thị *

vinhbinhpro

Với giá trị nào của m , đường thẳng y = m cắt đường cong

4 22 3y x x tại 4 điểm phân biệt ?

Hƣớng dẫn :

Hoành độ giao điểm của hai đường đã cho là nghiệm của phương trình :

4 2 4 22 3 2 3 0 (*)x x m x x m

2; 0X x XĐặt :

Ta được :2

2 3 0 (1)X X m

Đường thẳng y = m cắt đường cong tại 4 điểm phân biệt Phương trình ( * ) có

4 nghiệm phân biệt Phương trình (1) có 2 nghiệm DƢƠNG phân biệt .

4 3

' 0 4 0

0 3 0

0 2 0

m

m

P m

S

Chú ý : Nếu việc giải bằng phép tính gặp khó khăn , Bạn có thể dùng đồ thị

Bài toán 1 : Tìm giao điểm của hai đồ thị **

f(x)=x^4-2*x^2-3

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4

-2

2

4

x

f(x)

Đồ thị của hàm số y = m là đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành.

Dựa vào số giao điểm của 2 đồ thị để kết luận

- 3y = - 3

y = - 4

( 3 điểm chung )

(2 điểm chung )

y = m ( -4 < m < -3 ) ( 4 giao điểm phân biệt )

Vấn đề 2 : Sự tiếp xúc của hai đường cong

vinhbinhpro

Vấn đề : Gọi : 1 2;( ) ( )CC là đồ thị của hàm số y = f(x) và y = g (x)

Nêu cách tìm tiếp điểm của 1 2;( ) ( )CC

Hƣớng dẫn :

0 0( ; )M x y là tiếp điểm của : 1 2

;( ) ( )CC

1 2

0 0

0 0

0 0

1

( )

0 0

0 0

2

( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

(

( )'

( )

') (' )'

t Ct tt C

M y xx x

M y xx x

x

gC g

gk g x

C ff

fk f

(có M là điểm chung và có tiếp tuyến

chung tại M )

1 2;( ) ( )CC tiếp xúc nhau Hệ phương trình :

( ) ( )

( ) )'' (

x x

x x

g

g

f

fcó nghiệm

( Nghiệm của hệ phương trình trên là hoành độ tiếp điểm của hai đường cong )

tiếp xúc nhau1 2;( ) ( )CC

tại M

Vấn đề 2 : Sự tiếp xúc của hai đường cong

http://my.opera.com/vinhbinhpro

Bài tập áp dụng : a) Chứng minh rằng hai đường cong

3 2; 1y x x y x tiếp xúc nhau tại 1 điểm nào đó .

b) Xác định tiếp điểm và viết phương trình tiếp tuyến chung của 2 đường cong

tại điểm đó .

Hướng dẫn :

a) Hoành độ tiếp điểm của 2 đường là nghiệm của hệ pt :

3 2 3 2

2 2

1 1 0 (1)(*) 1

3 1 2 3 2 1 0 (2)

x x x x x xx

x x x x

Vậy hai đường cong tiếp xúc nhau tại điểm M ( 1 ; 0)

' 1 2ttcM

k yb) Hệ số góc của của tiếp tuyến chung tại M

Phương trình tiếp tuyến chung của 2 đường tại M là y = 2x - 2

f(x)=x̂ 3-x

f(x)=x̂ 2-1

f(x)=2x-2

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-2

2

4

x

f(x)

* Trường hợp đặc biệt : đường thẳng tiếp xúc với parabol

vinhbinhpro

Cho đường thẳng : y = px + q ( D ) và parabol (P) : 2

y ax bx c

Tìm điều kiện để (D) là tiếp tuyến của parabool (P)

Hƣớng dẫn :

(D) tiếp xúc (P) =>

2(*)

2

ax bx c px p

ax b pcó nghiệm

2

4 0b p c c q

* Chứng minh phần đảo lại ta có kết quả tương tự

mà phương trình: 2 2(*) : ( ) 0 ; ( ) 4ax b p x c q b p a c q

Vậy : (D) tiếp xúc (P)2

4 0b p c c q

( D) là tiếp tuyến của (P) Pt (*) :2

0ax b p x c q có nghiệm kép

http://my.opera.com/vinhbinhpro

Bài tập 1

vinhbinhpro

a) Chứng minh parabol (P) : 2

3 1y x x tiếp xúc với đồ thị (C) của h.số :

22 3

1

x xy

xb) Viết phương trình tiếp tuyến chung của (P) và (C)

Hƣớng dẫn : a) Cần viết lại :2

2 3 21

11

x x

xy x

x

* Hoành độ tiếp điểm của (P) và (C) là nghiệm của hệ:

2

2

21 3 1 (1)

1

21 2 3 (2)

1

x x xx

xx

Phương trình (2) 2

22 1

1x

x

3

1 21 xx

x = 2 thỏa mãn pt (1) => Hệ có nghiệm duy nhất x = 2 => (P) và (C) tiếp xúc tại A( 2 ; -3)

) '(2) 1ttc

b HSG k y

Phương trình tiếp tuyến chung của (P) và (C) là : y = x - 5

( ) ( )1( 3) 2A Attc

y y x x y xk

f(x)=x^2-3*x-1

f(x)=(-x^2+2*x-3)/(x-1)

x(t)=1 , y(t)=t

f(x)=-x+1

f(x)=x-5

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-5

5

x

f(x)

A

- 3

Bài tập 2

Cho :2 2 2

: 1 1 ;( : 3( )) Py x x yC xa

a) Định a để ( P) và ( C) tiếp xúc với nhau .

b) Viết phương trình những tiếp tuyến chung của (C) và ( P ) .

Hƣớng dẫn :

a) (C) và (P) tiếp xúc nhau

4 2 2

3

2 1 3 (1)

4 4 2 (2)

x x x

x x x

a

acó nghiệm

2

2

0(2) 4 4 2 0

2 2

xa

aPt x x

x

* x = 0 không phải là nghiệm của pt (1) nên không phải là nghiệm của hệ

* Thay a vào phương trình (1) , ta có :

4 2 2 2 22 1 2 2 3 2 2x x x x x x ( nghiệm của hệ )

* Vậy khi a = 2 thì (P) và (C) tiếp xúc nhau

* Hoành độ tiếp điểm là : 2x

Bài tập 2*

b) Tiếp tuyến chung của (P) và (C) chính là tiếp tuyến với (C) tại 2x

2 1x y => Tiếp điểm : 1 2( 2 ; 1) ; ( 2 ; 1)A A

21

HSG '( 2 ) ; HSG '(k 42k )4 2 2ttAttA

y y

Vậy phương trình 2 tiếp tuyến chung của (P) và (C) là :

1 1( ) : 1 4 2 2 h ) : 4 2 7ay (t t xy yx

2 2( ) : 1 4 2 2 h ( ) : 4 2 7ayt t xy x y

Vấn đề : Tiếp tuyến với đường cong

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là đường cong (C)

a) Loại 1 : Tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm ( ; ) ( )A A

A x y C

* Tính y’ HSG '( )ttA A

k y x

* Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại A là : ( ) : ( )A AttA

t y ky x x

b) Loại 2 : Tiếp tuyến với đồ thị (C) có phương d là đường thẳng có HSG dk

* Giải phương trình : 0

'( )d

f x k ( xₒlà hoành độ tiếp điểm )

=> yₒ , rồi thay vào phương

trình :0 0

( )d

y y k x x

* Chú ý : Thường gặp : 0 0

1TT ( ) '( ) ; TT ( ) '( )//

d

d

t d f x k t d f xk

c) Loại 3 : Tiếp tuyến với đồ thị (C) đi qua 1 điểm cho trước ( ; )A A

A x y

* Gọi 0 0( ; ) ( )x y C là tiếp điểm của tiếp tuyến ( t ) phải tìm , ta có :

0 0 0( ) : '( )t y y y x x x

0 0 0( ) '( ) (*)

A AA t y y y x x x

* Giải pt ( * ) ta tìm được ẩn xₒ, rồi suy ra yₒvà suy ra pt tiếp tuyến (

t )

0 0( )y f x

Bài tập 3 ( Tiếp tuyến với đường cong)

Cho hàm số :

2

1x

axy

bx

a) Tìm a và b biết rằng đồ thị (C) của hàm số đã cho đi qua điểm5

1 ;2

A

và tiếp tuyến của (C) tại điểm O(0 ; 0) có hệ số góc bằng - 3

b) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số với giá trị a và b đã tìm được.

( bài 64 .sách giáo khoa trang 57 )

Hƣớng dẫn : 25 5

) 1; ( ) 52 1 2 2

A A

A

A

x xa A C y

x

ba aa

bb

* Tiếp tuyến của (C) tại O có HSG = - 3

2

0 0

2

0

2HCS '(0) 3 3 3

1tt

ax ab

x bk y

x

* Vậy a = - 2 ; b = - 3

2

2

2'

1

ax ax by

x

Bài tập 3* ( Tiếp tuyến với đường cong)2

2 3( )) ;

12 :3

x xC yb a

xb

* Tập xác định : \ 1D R

* Giới hạn - Tiệm cận - Chiều biến thiên

lim ; limx x

y y

1 1

lim ; limx x

y y => x = 1 là tiệm cận đứng

22 3 1

2 11 1

x xy x

x x

1 1lim lim 0

1 12 1 2 1

x x

x xx x

=> y = - 2x +1 là tiệm cân xiên của đồ thị hàm số

Tương tự khi : x

2

2

2

2 4 3' ; ' 4 6 0 2 4 3 0 ;

1

x xy x x x

x

' 0 ; 1y x Hàm số nghịch biến trên txđ D và không có cực trị

Bài tập 3** ( Tiếp tuyến với đường cong)

vinhbinhpro

x

y

y’

1 +∞- ∞

- ∞+∞

--

* Đồ thị :Điểm đặc biệt :

0 0

00

3 / 2

x y

xy

x

Đồ thị cắt trục Ox tại 2 điểm ( 0 ; 0 ) ; ( 3/2 ; 0 )

- ∞

+∞

f(x)=(-2*x^2+3*x)/(x-1)

x(t)=1 , y(t)=t

f(x)=-2*x+1

Series 1

-3 -2 -1 1 2 3

-5

5

x

f(x)

tiệm

cậm

đứ

ng

x =

1

điểm đặc biệt ( 3/2 ; 0 )