1. นิ�ยามของเมตริ�กซ์�

นิ�ยามที่�� 1 เมตริ�กซ์�คื�อ กลุ่��มของจำ�านิวนิจำริ�ง หริ�อ จำ�านิวนิเชิ�งซ์�อนิ มาจำ�ดเริ�ยงเป็!นิริ"ป็สี่��เหลุ่��ยมผื�นิผื�าเป็!นิแถวตามแนิวนิอนิ (Horizontal) แลุ่ะ แนิวต�(ง (Vertical)ซ์)�งม�แถวตามแนิวนิอนิเริ�ยกว�า แถว (Row) แลุ่ะตามแนิวต�(งเริ�ยกว�า สี่ดมภ์� (Column)

โดยที่��วไป็นิ�ยมใชิ�ในิริ"ป็ต�อไป็นิ�(แที่นิ

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

ใชิ�สี่�ญลุ่�กษณ์� เป็!นิ หริ�อ

ij m nA a

nmA

เมตริ�กซ์�ที่��ม� 1 แถวแลุ่ะ n สี่ดมภ์� เริ�ยก เมตริ�กซ์�เชิ�งแถว หริ�อ เวกเตอริ�เชิ�งแถว เชิ�นิ

เมตริ�กซ์�ที่��ม� m แถวแลุ่ะ 1 สี่ดมภ์� เริ�ยก เมตริ�กซ์�เชิ�งสี่ดมภ์� หริ�อ เวกเตอริ�เชิ�งสี่ดมภ์� เชิ�นิ

835

83

5

เมตริ�กซ์�จำ�ต�ริ�สี่ (Square Matrix) คื�อ เมตริ�กซ์�ที่��ม�จำ�านิวนิแถวเที่�าก�บจำ�านิวนิสี่ดมภ์� (m=n) หริ�อเริ�ยกว�าเมตริ�กซ์�อ�นิด�บ n ม�ริ"ป็ที่��วไป็คื�อ

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

สี่มาชิ�กที่��อย"�ในิต�าแหนิ�ง i=j เริ�ยก เสี่�นิเสี่�นิที่แยงม�มหลุ่�ก

เมตริ�กซ์�ศู"นิย� (Zero Matrix หริ�อ Null Matrix)คื�อ เมตริ�กซ์�ที่��ม�สี่มาชิ�กที่�กต�วเป็!นิศู"นิย�หมด เชิ�นิ

O = หริ�อ0 0 00 0 0

0 0 00 0 00 0 0

เมตริ�กซ์�เฉี�ยง (Diagonal Matrix) คื�อเมตริ�กซ์�จำ�ต�ริ�สี่ที่��ม�สี่มาชิ�กที่�กต�วที่��ไม�ได�อย"�บนิเสี่�นิที่แยงม�มหลุ่�กม�คื�าเป็!นิศู"นิย�ที่�(งหมด เชิ�นิ

2 0 00 3 00 0 4

4 0 0 00 3 0 00 0 2 00 0 0 1

หริ�อ

สี่เกลุ่�าริ�เมตริ�กซ์� (Scalar Matrix) คื�อเมตริ�กซ์�เฉี�ยงที่��ม�สี่มาชิ�กที่�กต�วบนิเสี่�นิที่แยงม�มหลุ่�กม�คื�าเที่�าก�นิที่�(งหมด เชิ�นิ

4 0 00 4 00 0 4

5 0 0 00 5 0 00 0 5 00 0 0 5

หริ�อ

เมตริ�กซ์�เอกลุ่�กษณ์� (Identity Matrix หริ�อ Unit Matrix) คื�อ เมตริ�กซ์�เฉี�ยงที่��ม�สี่มาชิ�กที่�กต�วบนิเสี่�นิที่แยงม�มหลุ่�กม�คื�าเที่�าก�บ 1 ที่�(งหมด ใชิ�สี่�ญลุ่�กษณ์� I หริ�อ In แที่นิเอกลุ่�กษณ์�เมตริ�กซ์�อ�นิด�บ n เชิ�นิ

I3 = หริ�อ I4 = 1 0 00 1 00 0 1

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

Ex.A =

3 2 0 17 1 6 4

เป็!นิเมตริ�กซ์�ขนิาด _________ แถว _________ คือลุ่�มนิ�

เข�ยนิด�วยสี่�ญลุ่�กษณ์� _____________

2

4

42

ijaA

Ex. จำงบอกป็ริะเภ์ที่แลุ่ะม�ต�ของเมตริ�กซ์�ลุ่�กษณ์ะพิ�เศูษต�อไป็นิ�(

1. O = 0 0 00 0 0

2. A = 18

เมตริ�กซ์�ศู"นิย� ม�ต� 32

เมตริ�กซ์�เชิ�งสี่ดมภ์� ม�ต�12

Ex. จำงบอกป็ริะเภ์ที่แลุ่ะอ�นิด�บของเมตริ�กซ์�ลุ่�กษณ์ะพิ�เศูษต�อไป็นิ�(

3. B = 2 4 6 8 0

4. C = 2 0 00 3 00 0 4

เมตริ�กซ์�เชิ�งแถว ม�ต�51

เมตริ�กซ์�เฉี�ยง ม�ต�33

2. พิ�ชิคืณ์�ตของเมตริ�กซ์� 2.1 การิเที่�าก�นิของเมตริ�กซ์� (Equal Matrix)

ถ�า แลุ่ะ

จำะได� A = B ก5ต�อเม��อ m = p

แลุ่ะ n = q

แลุ่ะ aij = bij ที่�กคื�าของ i แลุ่ะ j

ij m nA a

ij p q

B b

Ex.

235.01

25.00,

65.1

5.00BA

ด�งนิ�(นิ BA

Ex.

54

92,

54

32BA

ด�งนิ�(นิ BA

Ex. ให� เม��อ แลุ่ะ ถ�า A = B จำงหาคื�า x แลุ่ะ y

2 2ijA a

2)( 2 jiaij

yx

B35

32

ว�ธี�ที่�า

2)22(2)12(

2)21(2)11(22

22A

23

32A B

yx

35

32

35xนิ��นิคื�อ 2 x

23 y 1 y

2.2 การิบวกลุ่บเมตริ�กซ์� (Matrix Addition or Subtraction)

ให� แลุ่ะ แลุ่�ว A + B = C

โดยที่��

ij m nA a

ij p q

B b

ij ij ijm n m nC c a b

Ex.A = -1 2 4 3 -6 10

แลุ่ะB = 4 2 -31 7 9

จำงหา C = A + B แลุ่ะ D = A - B

ว�ธี�ที่�า

9107613

)3(42241C

1914

143

9107613

)3(42241D

1132

705

ถ�า แลุ่ะ แลุ่ะแลุ่ะ แลุ่�ว

1.A + B = B + A กฎการิสี่ลุ่�บที่�� (Commutative Law)2.A + (B + C) = (A + B) + C กฎการิเป็ลุ่��ยนิกลุ่��ม (Associative Law)

คื�ณ์สี่มบ�ต�ของการิบวกเมตริ�กซ์�

ij m nA a

ij m n

B b

ij m nO o

ij m nC c

คื�ณ์สี่มบ�ต�ของการิบวกเมตริ�กซ์�

3.A + B = A + C ก5ต�อเม��อ B = C

4.A + (-A) = O เม��อ -A =

5.A + O = A

ij m na

ว�ธี�ที่�า

จำงหาเมที่ริ�กซ์� X เม��อก�าหนิดให�

52

41

31

42

28

34X

52

41

31

42

28

34X

52

41

3218

43)2(4X

52

41

59

72X

ว�ธี�ที่�า

52

41

59

72X

59

72

52

41X

5592

7421X

107

33X

แบบฝึ9กห�ด จำงหาเมที่ริ�กซ์� X

61

220

104

93)1 X

61

220

104

93)2 X

X

30

24

34

36

42

59)3

2.3 การิคื"ณ์เมตริ�กซ์� การิคื"ณ์เมตริ�กซ์�ด�วยสี่เกลุ่�าริ� (Scalar Multiplication)

ให� แลุ่ะ k เป็!นิสี่เกลุ่ลุ่�าริ� ด�งนิ�(นิ

นิ��นิคื�อ เป็!นิการินิ�า k คื"ณ์ก�บสี่มาชิ�กที่�กต�วในิเมตริ�กซ์�เชิ�นิ a b

c dka kbkc kdk =

ij m nA a

ij m nkA ka

Ex.A = 1 -5 34 1 0

จำงคื�านิวณ์หา B = 4A , C = -3A แลุ่ะ D = (1/2)A

ว�ธี�ที่�า

)0(4)1(4)4(4

)3(4)5(4)1(44AB

0416

12204

)0(3)1(3)4(3

)3(3)5(3)1(3C

0312

9153

)0(21

)1(21

)4(21

)3(21

)5(21

)1(21

D

Ex.A = 1 -5 34 1 0

จำงคื�านิวณ์หา B = 4A , C = -3A แลุ่ะ D = (1/2)A

ว�ธี�ที่�า

0

21

2

23

25

21

ก�าหนิดให�

52

07,

01

32BA

จำงหา 1) 3A 2) -4B 3) -2A + 3B 4) 5B – 3A 5) (1/2)B

4.2 การิคื"ณ์เมตริ�กซ์�ด�วยเมตริ�กซ์� (Matrix Multiplication)ถ�า แลุ่ะ

แลุ่�วผืลุ่คื"ณ์ของเมตริ�กซ์�คื�อ ซ์)�งม�อ�นิด�บ โดยที่��

คื�อ

cij = aikbkj

n

k 1

ij m nA a

ij n p

B b

ij m pC c

ABC pm

a11 a12

……… a1n

a21 a22

……… a2n ..am1 am2

……… amn

b11 b12

……… b1p

b21 b22

……… b2p ..bn1 bn2

……… bnp

= c11 c12 ………

c1p

c21 c22 ………

c2p .cm1 cm2

……… cmp

เชิ�นิ

22

2222122122

... nnba

babac

Ex. จำงหาผืลุ่คื"ณ์ของเมตริ�กซ์� AB เม��อ

ว�ธี�ที่�า

37

14

02

,

325

110

321

BA

)3)(3()1)(2()0)(5()7)(3()4)(2()2)(5(

)3)(1()1)(1()0)(0()7)(1()4)(1()2)(0(

)3)(3()1)(2()0)(1()7)(3()4)(2()2)(1(

AB

73

23

1131

42

30

12

,2

3,

35

12,

42

01DCBA

ก�าหนิดให�

จำงหา1. AB2. BA3. AC4. BC5. BD

6. AA7. BC+AC8. DD9. (AB)C10.(AB)(BB)

11. (A+B)C12.A(B+B)13.3A2 – 2B2

คื�ณ์สี่มบ�ต�ของการิคื"ณ์เมตริ�กซ์�ให� แลุ่ะ แลุ่ะ แลุ่ะ α แลุ่ะ β เป็!นิสี่เกลุ่ลุ่�าริ� 1.(α + β )A = α A + β A2. α(A + B) = α A + α B3. α(β A) = (α β )A4.A(BC) = (AB)C กฎการิเป็ลุ่��ยนิกลุ่��ม5. A(B + C) = AB + AC กฎการิแจำกแจำง

ij m nA a

ij n p

B b

ij p qC c

คื�ณ์สี่มบ�ต�ของการิคื"ณ์เมตริ�กซ์�

6.(A + B)C = AC + BC กฎการิแจำกแจำง7 .ถ�า AB = AC แลุ่�ว ไม�จำ�าเป็!นิว�า B = C

8. ถ�า BA = CA แลุ่�ว ไม�จำ�าเป็!นิว�า B = C

9. ถ�า AB = O แลุ่�ว ไม�จำ�าเป็!นิว�า A = O หริ�อ B = O

Ex. ก�าหนิดให�

แลุ่ะ จำงแก�สี่มการิหาเมตริ�กซ์� X เม��อ

1 3,

2 0A

2 3

1 1B

1 1

4 27

44

C

1(5 2 ) 2 3( )4 2

CX C A B

3. ชินิ�ดของเมตริ�กซ์�3.1 เมตริ�กซ์�สี่ลุ่�บเป็ลุ่��ยนิ (Transposed Matrix)

ถ�า แลุ่�ว เมตริ�กซ์�สี่ลุ่�บเป็ลุ่��ยนิของ A

คื�อ แลุ่ะใชิ�สี่�ญลุ่�กษณ์� AT หริ�อ A'

แที่นิเมตริ�กซ์�สี่ลุ่�บเป็ลุ่��ยนิของ A

ij m nA a

ij n mA a

A = เชิ�นิ a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

a41 a42 a434x3

A T =

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a343x4

คื�ณ์สี่มบ�ต�ของเมตริ�กซ์�สี่ลุ่�บเป็ลุ่��ยนิ1. (AT)T = A2.(kA )T = kAT เม��อ k เป็!นิสี่เกลุ่ลุ่�าริ�3. (A + B)T = AT + BT

4.(AB)T = BTAT

5.ATBT ≠ BTAT

6. (ABC)T = CTBTAT

Ex. จำงหาเมตริ�กซ์�สี่ลุ่�บเป็ลุ่��ยนิของเมตริ�กซ์�ต�อไป็นิ�(

A =

B =

C =

4 4 -1 2 3 -4-7 2 3

1 2 3 0-4 7

282

AT = 1 3 4

2 0 7

BT = 4 2 7

4 3 2

1 4 3

CT = 2 8 2

427

905

132

,

184

573

021

,35

12,

42

01

D

CBAก�าหนิดให�

จำงหา1. At

2. Bt

3. Ct

4. Dt

5. (At )t

6. 2At

7. -3Bt

8. D+Ct

9. AB-Bt

10. (At )2

11. (AB)t

12. BtAt

13. (B+C)t

14. (3B-2D)t

15. (D+Ct )2

3.2 เมตริ�กซ์�สี่มมาตริ (Symmetric Matrix) แลุ่ะ เมตริ�กซ์�เสี่ม�อนิสี่มมาตริ (Skew Symmetric Matrix)

เมตริ�กซ์�สี่มมาตริ คื�อเมตริ�กซ์�จำ�ต�ริ�สี่ที่��ม�คื�ณ์สี่มบ�ต�ว�า A =At

เมตริ�กซ์�เสี่ม�อนิสี่มมาตริ คื�อเมตริ�กซ์�จำ�ต�ริ�สี่ที่��ม�คื�ณ์สี่มบ�ต�ว�า A = -At

Ex.

42

21A

42

21tA

181614

12108

642

B

18126

16104

1482tB

ด�งนิ�(นิ A เป็!นิเมตริ�กซ์�สี่มมาตริ

ด�งนิ�(นิ B ไม�เป็!นิเมตริ�กซ์�สี่มมาตริ

3.3 เมตริ�กซ์�เฮอริ�ม�เชิ�ยนิ (Hermitian Matrix) แลุ่ะ

เมตริ�กซ์�เสี่ม�อนิเฮอริ�ม�เชิ�ยนิ (Skew Hermitian Matrix)

เมตริ�กซ์�เฮอริ�ม�เชิ�ยนิ คื�อเมตริ�กซ์�จำ�ต�ริ�สี่ซ์)�งม�สี่มาชิ�กเป็!นิจำ�านิวนิเชิ�งซ์�อนิ ที่��ม�คื�ณ์สี่มบ�ต�ว�า เมตริ�กซ์�เสี่ม�อนิเฮอริ�ม�เชิ�ยนิ คื�อเมตริ�กซ์�จำ�ต�ริ�สี่ซ์)�งม�สี่มาชิ�กเป็!นิจำ�านิวนิเชิ�งซ์�อนิ ที่��ม�คื�ณ์สี่มบ�ต�ว�า คื�อเมตริ�กซ์�สี่�งย�คื (Conjugate) ของเมตริ�กซ์� ซ์)�งม�สี่มาชิ�กเป็!นิคื"�สี่�งย�คืของสี่มาชิ�กเมตริ�กซ์� ที่��สี่มนิ�ยก�นิ

tA A

tA A

A

Ex.

22

23

i

iA

22

23

i

iA

22

23

i

iAt

ด�งนิ�(นิ A เป็!นิเมตริ�กซ์�เฮอริ�ม�เชิ�ยนิ

32

21

i

iB

32

21

i

iB

32

21

i

iB t B

i

i

32

21

ด�งนิ�(นิ B ไม�เป็!นิเมตริ�กซ์�เสี่ม�อนิเฮอริ�ม�เชิ�ยนิ

3.4 เมตริ�กซ์�สี่ามเหลุ่��ยม (Triangular Matrix)

เมตริ�กซ์�สี่ามเหลุ่��ยมบนิ (Lower Triangular Matrix) คื�อ เมตริ�กซ์�จำ�ต�ริ�สี่ใดๆ ที่��ม�สี่มาชิ�กที่�กต�วที่��อย"�เหนิ�อเสี่�นิที่แยงม�มหลุ่�กเป็!นิศู"นิย�หมด

เมตริ�กซ์�สี่ามเหลุ่��ยมลุ่�าง (Upper Triangular Matrix) คื�อ เมตริ�กซ์�จำ�ต�ริ�สี่ใดๆ ที่��ม�สี่มาชิ�กที่�กต�วที่��อย"�ใต�เสี่�นิที่แยงม�มหลุ่�กเป็!นิศู"นิย�หมด

100

310

572

630

012

004

เชิ�นิ

เป็!นิเมตริ�กซ์�สี่ามเหลุ่��ยมบนิ

เป็!นิเมตริ�กซ์�สี่ามเหลุ่��ยมลุ่�าง

3.5 เมตริ�กซ์�ม�คืาบ (Periodic Matrix)

เมตริ�กซ์�จำ�ต�ริ�สี่ A ใดๆ จำะเริ�ยกว�าม�คืาบ k ถ�าม�จำ�านิวนิเต5มบวก k ที่��เลุ่5กที่��สี่�ดที่��ที่�าให� Ak+1 = A

3.6 ไอเดมโพิเที่นิต�เมตริ�กซ์� (Idempotent Matrix) แลุ่ะ นิ�ลุ่โพิเที่นิต�เมตริ�กซ์� (Niplotent Matrix)

ไอเดมโพิเที่นิต�เมตริ�กซ์� คื�อเมตริ�กซ์�จำ�ต�ริ�สี่ A ใดๆที่��ม�คื�ณ์สี่มบ�ต�ว�า A2 = A หริ�อเป็!นิเมตริ�กซ์�ม�คืาบเที่�าก�บหนิ)�งนิ�ลุ่โพิเที่นิต�เมตริ�กซ์� คื�อเมตริ�กซ์�จำ�ต�ริ�สี่ A ใดๆที่��ม�คื�ณ์สี่มบ�ต�ว�า AP = O ซ์)�ง P เป็!นิจำ�านิวนิเต5มบวกที่��เลุ่5กที่��สี่�ด แลุ่ะ O เป็!นิเมตริ�กซ์�ศู"นิย�

3.7 เมตริ�กซ์�ลุ่ดริ"ป็เป็!นิศู"นิย� (Echelon Matrix) แลุ่ะ เมตริ�กซ์�ลุ่ดริ"ป็เป็!นิข�(นิ (Reduced Echelon Matrix)

เมตริ�กซ์�ลุ่ดริ"ป็เป็!นิศู"นิย� คื�อเมตริ�กซ์� เมตริ�กซ์� ที่��ม�คื�ณ์สี่มบ�ต�ด�งนิ�(1. แถวที่��ม�สี่มาชิ�กเป็!นิ “0” ที่�(งหมด (ถ�าม�) จำะอย"�แถวลุ่�างสี่�ด2. สี่มาชิ�กที่��ไม�ใชิ� “0” ต�วแริกในิแต�ลุ่ะแถวจำะต�องเป็!นิ “1”3. “1”ต�วแริกในิแต�ลุ่ะแถวจำะต�องป็ริากฏอย"�ในิสี่ดมภ์�ที่��อย"�ที่าง ด�านิขวาของ “1” ต�วแริกในิแถวข�างบนิที่��ต�ดก�นิ

m n

m nเมตริ�กซ์�ลุ่ดริ"ป็เป็!นิข�(นิ คื�อเมตริ�กซ์� เมตริ�กซ์�

ที่��ม�คื�ณ์สี่มบ�ต�ด�งนิ�(1. อย"�ในิริ"ป็เมตริ�กซ์�ลุ่ดริ"ป็เป็!นิศู"นิย�

(Echelon Matrix)2. “1” ต�วแริกในิแต�ลุ่ะแถว เม��อ

ป็ริากฏอย"�ในิสี่ดมภ์�ใดแลุ่�ว สี่มาชิ�กต�วอ��นิๆในิหลุ่�กนิ�(นิจำะเป็!นิ

“0” ที่�(งหมด

Ex. เมตริ�กซ์�ต�อไป็นิ�(อย"�ในิริ"ป็ row echelon หริ�อไม�

1 4 2 30 1 1 20 0 1 5A =

B =

1 2 30 0 40 0 00 0 0

อย"�ในิริ"ป็ row echelon

ไม�อย"�ในิริ"ป็ row echelon

Ex. เมตริ�กซ์�ต�อไป็นิ�(อย"�ในิริ"ป็ row echelon หริ�อไม�

C = 0 1 0 -10 0 3 00 0 0 0

D = 0 0 1 -10 1 0 00 0 0 0

ไม�อย"�ในิริ"ป็ row echelon

ไม�อย"�ในิริ"ป็ row echelon

Ex. เมตริ�กซ์�ใดที่��อย"�ในิริ"ป็ row reduced echelon

1 0 00 1 00 0 1A =

B = 1 2 0 0 10 0 1 2 30 0 0 0 0

อย"�ในิริ"ป็ row reduced echelon

อย"�ในิริ"ป็ row reduced echelon

Ex. เมตริ�กซ์�ใดที่��อย"�ในิริ"ป็ row reduced echelon

0 1 00 0 10 0 0C =

D = 0 10 0 0 0

อย"�ในิริ"ป็ row reduced echelon

อย"�ในิริ"ป็ row reduced echelon

3.8 เมตริ�กซ์�ย�อย (Submatrix)เมตริ�กซ์�ย�อยของเมตริ�กซ์� A คื�อสี่มาชิ�กในิริ"ป็สี่��เหลุ่��ยมผื�นิผื�าที่��ย�งคืงอย"� เม��อต�ดบางแถว หริ�อบางสี่ดมภ์�ของเมตริ�กซ์� A ออกแลุ่�ว หริ�อต�ดที่�(งแถวแลุ่ะสี่ดมภ์�ของ A ออกแลุ่�วในิการิแบ�งเมตริ�กซ์�เป็!นิเมตริ�กซ์�ย�อย จำะใชิ�เสี่�นิป็ริะเป็!นิเสี่�นิแบ�งก�(นิ เชิ�นิ

2 4 6 8 10

1 0 7 1 3

5 9 11 0 6

A

3.9 เมตริ�กซ์�สี่�มป็ริะสี่�ที่ธี�= (Coefficient Matrix)

ในิริ"ป็ของสี่มการิเชิ�งเสี่�นิ (Linear Equation) สี่ามาริถเข�ยนิให�อย"�ในิริ"ป็เมตริ�กซ์�ได� a11x1 + a12x2 + a13x3 +

……. + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 +

……. + a2nxn = b2

. .am1x1 + am2x2 + am3x3 +

……. + amnxn = bm

เข�ยนิได�เป็!นิ AX = Bโดยที่��

X = แลุ่ะ B =

x1

x2

.xn

b1

b2

.bm

nx1 mx1

A =

a11 a12 a13 ……. a1n

a21 a22 a23 ……. a2n

.am1 am2 am3 ……. amn

mxn

เริ�ยกเมตริ�กซ์� A ว�าเป็!นิ เมตริ�กซ์�สี่�มป็ริะสี่�ที่ธี�= แลุ่ะ [A : B] เริ�ยกว�า เมตริ�กซ์�แต�งเต�ม (Augmented Matrix)

เริ�ยกเมตริ�กซ์� X ว�าเป็!นิ เมตริ�กซ์�ต�วไม�ที่ริาบคื�า (Unknown)

แลุ่ะเริ�ยกเมตริ�กซ์� B ว�าเป็!นิ เมตริ�กซ์�คื�าคืงที่�� (Constant)

3.10 เมตริ�กซ์�เอกฐานิ (Singular Matrix) แลุ่ะ เมตริ�กซ์�ที่��ไม�ใชิ�เอกฐานิ (Non-Singular Matrix)

เมตริ�กซ์�เอกฐานิ คื�อเมตริ�กซ์�จำ�ต�ริ�สี่ที่��ไม�สี่ามาริถหาเมตริ�กซ์�อ��นิใดมาคื"ณ์ แลุ่�วให�ผืลุ่คื"ณ์เป็!นิเมตริ�กซ์�เอกลุ่�กษณ์�ได�เชิ�นิ A = 1 -1

-2 2

31

31

61

31

22

11AB

31

31

61

31

B

I

10

01

เมตริ�กซ์�ที่��ไม�ใชิ�เอกฐานิ คื�อเมตริ�กซ์�จำ�ต�ริ�สี่ที่��สี่ามาริถหาเมตริ�กซ์�อ��นิใดมาคื"ณ์ แลุ่�วให�ผืลุ่คื"ณ์เป็!นิเมตริ�กซ์�เอกลุ่�กษณ์�ได� บางที่��เริ�ยกว�า Invertible Matrixเชิ�นิ

A = 2 1-2 2