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RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO
PROFESOR: ALBERTO ATOCHE LÓPEZ
L
2
PROYECCIONES
Se llama proyección ortogonal de un punto sobre una recta, al pie de la perpendicular trazada desde el punto a la recta.
P
P´
P´ = Proyección de P sobre la recta L
L
3
PROYECCIÓN DE UN SEGMENTO
La proyección de un segmento AB sobre una recta L es el segmento cuyos extremos son las proyecciones de los extremos de AB sobre L.
A
B
C D
E
F
H
A´ B´ C´ D´ E´ G H´
SON EXPRESIONES QUE RELACIONAN
LAS MEDIDAS DE LOS ELEMENTOS DE
LOS
TRIÁNGULOS
4
5
RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Cuando en un triángulo rectángulo se traza la altura relativa a la hipotenusa, se forman los siguientes triángulos semejantes:
A
B
C
AHB BHC ABC
H
h
a
b
c
m n
h n a
m h c
h n a
c a b
m h c
c a b
= =
= =
= =
Efectuando los productos cruzados entre colores iguales se tendrá …
1) TEOREMA DEL CATETO
n m
cA
C
B
ba
a2=mc
b2=nch
6
2) TEOREMA DE PITAGORAS
n m
cA
C
B
ba
a2+b2=c2h
7
Sumando las dos relacionesdel Teorema del Cateto:
3) TEOREMA DE LA ALTURA
n m
cA
C
B
ba
h2=mn
h
8
4) TEOREMA DEL PRODUCTO DE CATETOS
n m
cA
C
B
ba
ab=ch
h
9
5) TEOREMA DE LA INVERSA DE LOS CATETOS
n m
cA
C
B
ba
h
1 1 1a2 b2 h2
+ =
10
1) Hallar el valor de “x·” en la figura
10A
C
B
x8
a)10 b)8 c)5 d)6 e)9
solución11
2) Hallar el valor de “x·” en la figura
9A
C
B
x
a)11 b)15 c)12 d)9 e)6
16
solución12
3) Hallar el valor de “x·” en la figura
4
x
a)12 b)7 c) 9 d)8 e)11
6
solución13
4) Hallar el valor de “x·” en la figura
8A
C
B
a)12 b)14 c)10 d)16 e)18
x
12
solución14
5) Hallar el valor de “x·” en la figura
A
C
B
24
a)6,72 b)6 c)5,36 d)1,5 e)6,3
25
x
solución15
Ejercicio 1
Utilizando el teorema de Pitágoras:
x2 + 82= 102
x2= 102- 82
x2=100-64x2= 36x=6
Respuesta: d)6
ir a ejercicio 2
16
Ejercicio 2c=9+16=25Utilizando el teorema
del cateto: x2 = (9)(25)x2= 225x=15
Respuesta: b)15
ir a ejercicio 3
17
Ejercicio 3Utilizando el teorema
del cateto: 62 = 4x36= 4x4x=36x=9
Respuesta: c)9
ir a ejercicio 4
18
Ejercicio 4
Utilizando el teorema de la altura:
122 = 8x144= 8x8x=144x=18
Respuesta: e)18
ir a ejercicio 5
19
◦ Ejercicio 5Utilizando el teorema de Pitágoras y2 + 242= 252
y2= 252- 242
y2=49y=7
Usando el teorema del producto del cateto(7)(24)=25x168=25xx=6,72
Respuesta: a)6,72
20
HACIENDO USO DEL TEOREMA DEPITÁGORAS, SE PUEDEN HALLAR:
LAS RELACIONES MÉTRICAS ENLOS TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
1) TEOREMA DE EUCLIDES I
a2=b2 + c2 – 2bp
c2=a2 + b2 – 2bm
22
2) TEOREMA DE EUCLIDES II
a2=b2 + c2 + 2bp
23
3) TEOREMA DE LA MEDIANA
a2 +c2 =2BM2 + b2/2
24
4) TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR
BD2 = a.c – m.n
25
5) TEOREMA DE LA BISECTRIZ EXTERIOR
BD2 = m.n – a.c
26
6) TEOREMA DE STEWART (CEVIANA)
d2a = nc2 + mb2 - nma
27
7) TEOREMA DE HERÓN (ALTURA)
28
)cp)(bp)(ap(pb2
h
2cba
p
29
TRIÁNGULOS NOTABLES
Son aquellos que:Son triángulos rectángulosLas medidas de sus ángulos son enterosLas relaciones entre sus lados son fracciones
30° - 60°
A
B
C
ABC = equilátero
H
30°
60°60°
L
LL
2L
23L
También se presenta
30°
60°
L
2L3L
30°
60°
L
3L
32L
30
45° - 45°
A B
CD
ABCD = cuadrado
45°
45°
L
L2L
también puede ser
45°
45°
L
2L
2L
31
15° - 75°
A
B
C15°
15°
ML
H
h
30°
= 2L
en el BHM, h = 4
L
22/
L
2
4
Lh
)26L( )26L(
32
TRIÁNGULOS PITAGÓRICOS
Son aquellos triángulos rectángulos cuyas longitudes de lados son números enteros
En general, los lados de los triángulos pitagóricos obedecerán a la siguiente forma
nm2
nm 22
2nm 22
Donde m y n son números impares primos entre sí.
33
Ejemplos
35
4
5
13
12
725
24
941
40
34
1161
60
817
15
2029
21
3365
56
1237
35
3989
80
etc……