SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ

LUYỆN THI

GV: PHAN NHẬT NAM

SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ


GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 2 www.toanhocdanang.com


CƠ SỞ LÝ THUYẾT:

I. Đánh giá phương trình bằng BĐT:

1. AM – GM: 0a , 0b và 0c

Hai biến: 2a b ab ;

2

2

a bab

; 2 2 2a b ab Dấu “=” xảy ra khi a b

Với ,a b R :

2

2 2 22

a ba b ab

Ba biến : 33a b c abc ;

3

3

a b cabc

; 3 3 3 3a b c abc Dấu “=” xảy ra khi a b c

Với ,a b R :

2

2 2 2

3

a b ca b c ab bc ac

2. Cauchy – Schwarz :

Bộ hai biến: 2 2 2 2ax by a b x y Dấu “=” xảy ra khi a b

x y

Bộ ba biến: 2 2 2 2 2 2ax by cz a b c x y z Dấu “=” xảy ra khi a b c

x y z

3. Cauchy – Schwarz dạng phân thức

Bộ hai biến:

22 2 a ba b

x y x y

Dấu “=” xảy ra khi

a b

x y

Bộ ba biến:

22 2 2 a b ca b c

x y z x y z

Dấu “=” xảy ra khi

a b c

x y z

Chú ý: Xét phương trình: ( ) 0f x

Nến tản của phương pháp chính là chứng minh:

( ) 0 ;f x x D

nghiệm của phương trình chính là điểm xãy ra “=”

Thông thường một phương trình có thể sử dụng BĐT

để đánh giá thì phương trình đó sẽ có “ nghiệm kép “

Cách kiểm tra:

Nhập ( )f x vào máy tính: shift + solve 1x ( 1x D ).

Máy hiện kết quả 0x . Sử dụng MODE 7 nhập ( )f x Start a , End b , Step 1

Với 0 ,x a b D để kiểm tra ( )f x không đổi dấu khi qua 0x

hoặc

0

( )0 ( ) 0

d f xf x

x xdx

có nghiệm bội

Sơ lượt phương pháp:

o Sử dụng BĐT để chứng minh: 2

( ) 0f x x Dấu “=” xãy ra khi BĐT xãy ra “=” và

( ) 0x 0x x . Khi đó 0x x là nghiệm của phương trình.

0

Nghiệm bội chẵn

http://www.toanhocdanang.com/



o Giải phương trình: ( , ) ( , )f x y g x y

C1: Sử dụng BĐT chứng minh ( , ) ( , )f x y g x y {hoặc ( , ) ( , )f x y g x y }

nghiệm phương trình chính là điểm xãy ra dấu “=”

C2: Sử dụng BĐT chứng minh: ( , ) ( , )f x y h x y

Kết hợp phương trình ta có: 2

( , ) ( , ) ( , ) 0g x y h x y x y

Khi đó nghiệm của phương trình là điểm xãy ra “=” và ( , ) 0x y

II. Sử dụng hàm số để đánh giá phương trình:

Hướng 1: 0( ) ( )pt f x f x và ( )f x liên tục và đơn điệu 0x x là nghiệm duy nhất của phương

trình.

Hướng 2: Hàm số ( )f t liên tục và đơn điệu . ( ) ( ) ( ) ( )pt f u x f v x u x v x

Hướng 3: ( ) ( )f x g x .

Sử dụng sự biến thiên chứng minh được: ( )

( )

f x a

g x a

ta có:

( )

( )

f x apt

g x a

Hướng 4: ( ) ( ) 0f x g x

Sử dụng sự biến thiên chứng minh được: ( )

( )

f x a

g x a

hoặc

( )

( )

f x a

g x a

ta có: ( )

( )

f x apt

g x a

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1. Giải phương trình : 3 2 22 1 2 1 3 1x x x x

HD: Theo AM – GM ta có:

23 2

22

2 ( 1) ( 1)2 1 2 ( 1)( 1)

2

2 12 1

2

x x xx x x x x

xx

Kết hợp pt ta có: 2 2

22 2 ( 1) ( 1) 2 13 1 1 0 1

2 2

x x x xx x x

Bài 2. Giải phương trình: 2 2( 2)

2x

x xx x

(1)

HD: Điều kiện: Sử dụng AM – GM :

22

22

2

2 1 22 2

2

xxx

x

x xx x




22

2 2 1 2 1 2 22 2 2 2 2

2 2 2

xxx x x x x x

x x x x x

Do đó 2

22

1 31 2 2 0

2 1 3 ( )2

xxx

x xx loaix

x

Bài 3. Giải phương trình: 1 1 2

3 3 1 1x x x

(1)

HD: Điều kiện: 1x

Hướng 1: 1 1 1 1

2 23 3 3 1 3 13 3 1

x x x xpt

x x x xx x

Sử dụng máy tính ta tìm được 1x là nghiệm kép của phương trình. Cần thêm bớt để sử dụng

BDT sao cho : dấu “=” xãy ra khi x = 1 và kết quả là các phân thức sao cho tổng lại phải bằng 2.

1 1 2 1 1 2

3 2 3 2 2 3x x x

1 1 1

3 1 3 2 1 3

x x x x x

x x x x x

1 1 1 1 1 1

3 1 1 3 1 2 1 3 1

x x

x x x x x

1 2 1 1 2

3 1 2 3 1 2 2 3 1

x x x

x x x

Cộng các bất phương trình trên vế theo vế:

1 1 1 1 2 1 1 1 1 22

3 3 3 1 3 1 2 2 3 1 3 1 3 1 2 3 1

x x x x x x

x x x x x x x x x x

Do đó

1 1 1 2;

1 3 1 2 31 1

1 1 1 2;

1 3 1 2 3 1

x

x x xx

x x

x x x

Hướng 2: Sử dụng Cauchy – Schwarz ta có:

2 21 1 1 1 1 11 1 1 1

3 3 1 3 3 13 3 1 x x x xx x

4

2 2

2

12 1 11 1 1 0 1

3 3 11 1 3 3 1

xx

x xx x x x

Bài 4. Giải phương trình: 2

2

1 12 2 4x x

x x

HD: 2

2

1 12 2 4pt x x

x x




Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có:

2 2 2 2 2

2 2

2 2 2

2 1 1 2 2

1 1 1 12 1 1 2 2

x x x x

x x x x

2

2

1 12 2 4x x

x x Do đó:

2

2

2

1 11 12

x x

x

x x

Bài 5. Giải phương trình: 2 2 2

1 1 2

1 1 1x x x x x

(1)

HD: Áp dụng BĐT Cauchy – Schwarz hai biến ta có:

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

1 1 4

1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 2 1

x x x x x x x x

x x x x x x x x x

2 2 2 2

1 1 4 2

1 1 2 1 1x x x x x x

Do đó: 2 21 1 1 0x x x x x

Bài 6. Giải phương trình 2

2

1 2 1 2 1

2 1 2 2 1

x x x

x x x

HD: Điều kiện: 1

2x

Cách 1: 2 2 21 2 1 2 2 1 2 1 1pt x x x x x x x x

2 4 3 21 2 1 2 4 4 1x x x x x x x (1)

Sử dụng máy tính ta kiểm tra được (1) có nghiệm kép x = 1 khi đó 2 1 1x khi đó ta có

Hướng phân tích sau:

Theo AM – GM ta có: 2 4 22 1 12 1 2 1 1 1 2 1

2

xx x x x x x x x

Kết hợp (1) ta có: 4 3 2 4 2 3 22 4 4 1 2 5 4 1 0x x x x x x x x x

2 2

2 1 1 0 1 0x x x {vì 1

2x } 1x

Thử lại ta thấy 1x thỏa mãn phương trình. Do đó phương trình có nghiệm duy nhất 1x .

Cách 2: 2

2 2

2 12 1

1 2 2 12 1 1

x xx xpt

x x xx

. Đặt

2 1

a x

b x

2 2

2 21 1 2

a b a bpt

b a ab

(1)

Theo AM – GM ta có:

2 2 2

2 22

1 2

1 1 2 2 21 2

b b a b a b a b

b a b a aba a

dấu bằng xãy ra khi

1

1

a

b




Do đó ta có: 11

(1) 11 2 1 1

xax

b x

Bài 7. Giải phương trình : 2

1 1

3 2 3 1 3 2

x

x x x x


2x

2 2 2 2 2

2

1 1 1 1

13 23 2 3 2 1

x xpt

x y y yxx x x

(1) { với 3 2y x }

Theo AM – GM:

2 2

2 2

2 2 22

2

12

2 2 1 1 1 1

1 1 1 2 21 2

1 2

x xx y xy

x y xy y x

x y y y y yy y

y y

Do đó: 3 2

1 11 3 2 1

x y x xx

y x

Bài 8. Giải phương trình: 2 22 2 2 1 1 0x x x x


22

x

Hướng 1: Theo AM – GM:

22 2 2 1

2 2 .12

2 1 12 1 2 1 1 1

2

xx x

xx x x x

2 3 2

2 2 1 3 32 2 1 1 1

2 2

x x x xx x x

Do đó 3 2

22 3 32 0 1 1 0 1

2

x x xx x x x x

(vì

12 1 0

2x x )

Hướng 2: 2 2

2 22 2 1 2 1 0 1pt x x x x

Bài 9.

Bài 10. Giải hệ phương trình

2 2 2 3 (1)

22 2 2 2 (2)

4 1 1 3 2

2014 2015 4030

x x x y y

x y y x y

2 22 2 2 2 2 2(2) 2015 1 1 0 1 1, 1 *x y x y y x y x y

3 2 2(1) 2 2 4 1 4y y x x .Từ đó ta xét hai hàm số:

3

2 2

( ) 2 2

( ) 4 1 4

f y y y

g x x x

trên điều kiện (*).





2

3

12 12 12 1

8 1 2 2 2

x y y x

x x y

HD: Điều kiện: 2 3 2 3x và 2 12y

Hướng 1: Sử dụng BĐT AM – GM ta có:

2

22

1212

2

1212

2

x yx y

y xy x

2 2

2 12 1212 12 12

2 2

x y y xx y y x

Do đó 22

012 01

1212

xx y

y xy x

Hướng 2: Sử dụng BĐT Cauchy – Schwarz hai biến ta có:

2 2 2 212 12 12 12 12 12 12x y y x x y x y x x y y

2

2

0121

1212

xx x

y xy y

Hướng 3: Đặt 212 0 12t y y t

2 222 2 2

12 0 12 0 01 12 12 12

12 12 12 1212

xt xt xt x xt

t x xt y xx t y

Thay 212y x vào 2 ta có: 3 2 2

2

2( 3)8 1 2 10 3 3 1 0

1 10

xx x x x x x

x


2 2

22 2

1 1 1 (1)

1 1 8 3 17 (2)

x x y y

x y y x

2 2 2 2 2 2(1) 1 1 1 1 1, 0x y y x x y xy y x xy

2 2

2 2

2 2

2 11 1 1 1 0 1

1 1

x yy x x y y x

y xx y

2

1(2) 8 3 17

( )y x

y x

Đặt : 0 ,1t y x . Xét hàm số:

2

1( ) 8 3f t t

t

Bài 13. Giải hệ phương trình:

2 2

1 1 21

1 1 2

3 5 4 5 1 2

y x x y xyx y

x y

x y xy y x y x

HD: Theo BĐT AM – GM ta có:

1 1 1 1 1 2

1 1 21 1 2 1 1 2 1

y x y x x yx y x y x y xy

x y x y xy x y




2 2

1 2 12 1 2

x y x y xyx y xy xy

xy x y

Mặt khác : 22

2 2 5 1 1 1 0 1x y x y xy xy xy

Do đó hệ phương trình đã cho trở thành: , 1

12 5 1

x y xyx y

x y


3

3 2 2

2 4 3 0 (1)

2 4 2 3 1 0 (2)

x y xy

x y x xy y x y

2 33 2(1) 3 2( ) 4 2 ( ) 3 0x y xy x y x y x y

2

1 2 3( ) 3 0 1x y x y x y x y

(với t = x + y)

3 2 22 3 2(2) 2 4 4 1 0 2 2 1 0x y x y x y y y t t t y

Xét : 3 2( ) 2f t t t t , với điều kiện 1t

2'( ) 3 4 1 3 1 1 0 , 1 ( )f t t t t t t f t đồng biến trên 1, ( ) (1) 0f t f

11

(2 1) 0 2(2) 2

1( ) 0 1

2

xy y

f t t x y y

dễ thấy1

2x và

1

2y thỏa hệ phương trình.

Bài 15. Giải hệ phương trình 4 3 4 2

3 2 2

4 1 4 1 (1)

8 4 1 6 2 (2)

x y x y y

y x x y

4 2

4 2

1 (3)(1) 1 4 1 0

4 1 (4)

yy x y

x y

Thay (3) vào (2) ta có: 2 24 1 4 0 2 2x x x x

2

2

1 1

4 1 1

4 2

x x

y y

3 2 2(2) 8 6 2 4 1y y x x . Xét 3( ) 8 6 2g y y y trên

1 1,

2 2

và 2 2( ) 4 1f x x x trên 1 ,1




2 1'( ) 24 6 0

2g y y y

Từ bảng biến thiên ta thấy: 1 1

( ) 4 , ,2 2

g y y

.

Tương tự: 2 2( ) 4 1 (0) 4 , 1,1f x x x f x

1

( ) 42 2

( ) 40

g y y

f xx

. Dễ thấy

1

2

0

y

x

thỏa hệ phương trình nên

1

2

0

y

x

là nghiệm của hệ.

Bài 16. Giải hệ phương trình: 3 2 3 24 5 6 2 4 10 8 7 1 13 0x x x x x x

3 2 3 24 5 6 2 4 10 8 7 1 13 (*)pt x x x x x x

Theo bất đẳng thức CÔCI ta được:

3 2

3 2 3 2 3 25 6 2 1

4 5 6 2 4 1 5 6 2 4 10 12 62

x xx x x x x x

3 2

3 2 3 2 3 210 8 7 1 4

4 10 8 7 1 2 4 10 8 7 1 2 10 8 7 32

x x xx x x x x x x x x

22

(*) (*)4 7 9 13 4 1 13VT x x x x x VP

3 2

3 2

5 6 2 1

(*) 10 8 7 1 4 1

1 0

x x

x x x x

x


4 4 3 2

3 2 2

2 2 2 0 (1)

3 8 2 9 (2)

x y x y y y

y y x x

4 2 4 21 2 1 0 2 1y x y y x y

0 0

2




Với y = 2 : thay vào (2) ta có:

22

2 2

2

9 1( )9 2 9 3 0

9 3 0

x vnx x

x x

Với

2

4 2 0 11

1 1

xx y

y

Xét hàm số: 3( ) 3 8f y y y trên 1 ,1 ta có : (1) ( ) ( 1) 10 ( ) 6f f y f f y

Xét hàm số: ( ) 2 9g t t t với 2 0 ,1t x ta có: (0) ( ) (1) 6 ( ) 1 2 10g g t g g t

Từ đó : 2

1( ) 6(2)

( ) 6 0 0

yf y

g t t x x

. Kiểm tra lại ta thấy

0

1

x

y

thỏa hệ phương trình

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm: 0

1

x

y

và

0

2

x

y


3 3

33

2 2 2( ) (1)

1 22( ) 1 (2)

y x x y x y

yx x

y x

ĐK:

2 , 2

10

x y

xy

Dễ thấy 2x hoặc 2y không thỏa hệ phương trình

3 3

(*)2( )(1)

2 2 2 2

y x x y

y x x y

Xét hàm số : ( )2

tf t

t

trên 2, ta có :

3

4'( ) 0, 2 ,

2 2

tf t t

t

( )f t đồng biến trên 2,

TH1: xét ( ) ( )x y f x f y ta có:

3 3

3 3

( ) ( ) 02 2

(*)2( )

02 2

y xf y f x

y x

x yx y

x y

không có nghiệm x y

TH2: xét ( ) ( )x y f x f y ta có:




3 3

3 3

( ) ( ) 02 2

(*)2( )

02 2

y xf y f x

y x

x yx y

x y

không có nghiệm x y

Dễ thấy y x thỏa phương trình (*). Vậy (*) y x

Thay y = x vào (2) ta có : 33

1 22( ) 1

xx x

x x

ĐK: 0x

3 33 3(2) 2 2 2 2 2 2 2x x x x x x x x x x

3 3

23 23 3

2 2 2

2 2 2 2 2

x x x x x

x x x x x x

3 3

23 23 3

2 12 0 2 0

2 2 2 2 2A

xx x x x

x x x x x x

(vì 0 , 0A x )

1 1x y


2 2

2 2 2

2 1(1)

12 1 (2)

x y

xy x y xy

x y x xx y

ĐK: 0

0

xy

x y

Đặt: s x y

p xy

Điều kiện có nghiệm:

2 4 (*)S p

2

2

1 (3)(1) 1 2 0

2 (4)

ss s s p

p s s

Với 1 1s y x ta có:

2 2 2 2 4 12 2 1 1 2 1 3 4 0 0

3 3x x x x x x x x loai x y

Với 22p s s ta có: 2 2 2(*) 2 2 0 2 0s s s s s s

2 22 2 21 1 1

(2) 2 2 1 2 2 1 2 1 (3)x y xy x x s p x x s xx y s s




Theo côsi cho hai số không âm: 1

,ss

ta có : 1 1 1

2 . 2s s ss s s

Mặt khác : 22 ( 1) 2 ,x x R nên ta có :

11 12

31 2

1 0

s x y xss

x yx

Thử lại vào hệ phương trình ta thấy x = 1 và y = -2 không thỏa.

Vậy hệ phương chỉ có nghiệm duy nhất 4 1

( ; ) ;3 3

x y

BÀI TẬP TỰ LUYỆN


2

3 2 2 2 2 2

12 2 2 2 4

4 3 5 4 8

x x y y

x y y y x y x y

Bài 21. Giải hệ phương trình: 3 3 3 2

2 2 2 2

16 9 2 4 3

4 2 3

x y y xy y xy

x y xy y


2 2 2 2

2 2

2 6 17 17 6 2 5

1 2 2 6 11 2

x xy y x xy y x y

x x y y x x

Bài 23. Giải phương trình:2

13

2

12335 223 xxxxx

Bài 24. Giải phương trình: xxx 21573 4

Bài 25. Giải phương trình:3 23 13121 xxxx


Education

SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ