Khoa luan tot_nghiep_cong_momen_trong_co_hoc_luong_tu_0565

Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc lîng tö.

A. Më §Çu

1. Lý do chän ®Ò tµi.

Nh chóng ta ®· biÕt “vËt lÝ h¹t c¬ b¶n” lµ mét chuyªn ngµnh hÑp

cña m«n vËt lÝ, trong ®ã ®i s©u vµo nghiªn cøu tÝnh chÊt, çc quy

luËt t¬ng t¸c cña h¹t c¬ b¶n vµ ph¶n h¹t cña chóng. Khi ®i s©u vµo thÕ

giíi h¹t c¬ b¶n tøc lµ ta ®· nãi tíi thÕ giíi h¹t vi m«. V× vËy lÝ thuyÕt cæ

®iÓn sÏ bÞ thay thÕ bëi lÝ thuyÕt lîng tö vµ ®îc dïng nh mét c«ng cô

kh¸ tèt ®Ó nghiªn cøu h¹t c¬ b¶n.

Theo gi¶ thiÕt cña Borh vÒ lîng tö hãa quü ®¹o th× m«men xung

lîng cña ®iÖn tö chuyÓn ®éng quanh h¹t nh©n chØ cã thÓ nhËn çc

gi¸ trÞ gi¸n ®o¹n lµ mét béi sè nguyªn cña h .

Trong phÇn luËn v¨n nµy ta sÏ thÊy gi¶ thiÕt cña Borh lµ hÖ qu¶

cña çc tiªn ®Ò cña c¬ häc lîng tö. §Ó thÊy râ ®iÒu ®ã ta nghiªn cøu

lÝ thuyÕt lîng tö vÒ m«men xung lîng. Trong ®ã ®Ó h×nh dung mét

çch cô thÓ vÒ trÞ riªng cña to¸n tö m«men xung lîng ta cã thÓ tr×nh

bµy mét çch th« s¬ trªn h×nh vÏ. Nhng çch tr×nh bµy trªn h×nh vÏ chØ

®Ó hiÓu mét çch trùc quan, kh«ng thÓ coi lµ çch biÓu diÔn chÝnh

x¸c vÒ m«men xung lîng. V× vËy ®Ó hiÓu mét çch chÝnh x¸c vÒ

m«men xung lîng ta ®i xÐt hÖ hai h¹t, bá qua t¬ng t¸c gi÷a chóng lµm

thay ®æi m«men xung lîng th× m«men xung lîng cña hÖ b»ng tæng

m«men xung lîng cña tõng h¹t. Vµ ®Ó ®i ®Õn ®îc ®iÒu ®ã ta dïng

quy t¾c céng m«men xung lîng, céng m«men spin nãi riªng vµ céng

m«men nãi chung.

Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng-32A LÝ 1


Tuy nhiªn, trong qu¸ tr×nh häc tËp vµ lÜnh héi phÇn lÝ thuyÕt

nãi chung vµ vËt lÝ lîng tö nãi riªng th× viÖc gi¶i bµi tËp vËt lÝ gi÷ vai

trß quan träng bëi lÏ chØ cã thÓ gi¶i bµi tËp khi ®· hiÓu cÆn kÏ phÇn

lÝ thuyÕt vÒ chóng.

V× nh÷ng lý do trªn ®©y, t«i ®· chän ®Ò tµi “Céng m«men trong

c¬ häc lîng tö”. Sau ®ã ¸p dông gi¶i mét sè bµi tËp vÒ céng m«men.

2. Môc ®Ých vµ nhiÖm vô nghiªn cøu

Nghiªn cøu quy t¾c céng m«men xung lîng quü ®¹o, m«men c¬

häc riªngcña mét h¹t víi hai bËc tù do, m«men xung lîng cña hÖ hai h¹t

kh«ng t¬ng t¸c.

3. §èi tîng vµ ph¹m vi nghiªn cøu

T×m hiÓu vÒ m«men xung lîng quü ®¹o, m«men c¬ häc riªng,

m«men xung lîng toµn phÇn, céng m«men xung lîng cña çc h¹t.

Dïng cho hÖ h¹t kh«ng t¬ng t¸c.

4. Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu

Dïng ph¬ng ph¸p to¸n cho vËt lÝ: To¸n tö, gi¶i ph¬ng tr×nh hµm

riªng vµ trÞ riªng.



Ch¬ng 1: Céng m«men xung lîng

1.1 M«men xung lîng

1.1.1 To¸n tö m«men xung lîng

Theo c¬ häc cæ ®iÓn mét h¹t chuyÓn ®éng trªn quü ®¹o víi

xung lîng p , b¸n kÝnh vect¬ r , sÏ cã m«men xung lîng prL ∧= . Nh

vËy to¸n tö m«men xung lîng cña h¹t prL ˆˆˆ ∧= . Hay: )(ˆ ∇∧−= riL h vµ

çc to¸n tö h×nh chiÕu m«men xung lîng cña h¹t cã d¹ng :

∂∂−

∂∂−=−=

∂∂−

∂∂−=−=

∂∂−

∂∂−=−=/

xy

xyz

zx

zxy

yz

yzx

yxipypxL

xzipxpzL

zyipzpyL

h

h

h

ˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆ

Cßn to¸n tö b×nh ph¬ng m«men xung lîng : 2222 ˆˆˆˆzyx LLLL ++=

Sau ®©y ta nªu lªn mét vµi hÖ thøc giao ho¸n gi÷a çc to¸n tö

m«men xung lîng víi nhau vµ gi÷a b×nh ph¬ng m«en xung lîng víi

chóng:

0]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[

ˆ]ˆ,ˆ[;ˆ]ˆ,ˆ[;ˆ]ˆ,ˆ[222 ===

===

zyx

yxzxzyzyx

LLLLLL

LiLLLiLLLiLL hhh

§Ó thuËn tiÖn ngêi ta ®a vµo çc to¸n tö:

yx LiLL ˆˆˆ ±=±

Çc to¸n tö nµy tu©n theo çc hÖ thøc sau:



zzzz

z

z

LLLLLLLLL

LLL

LLL

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

ˆ],ˆ[

ˆ2]ˆ,ˆ[

222 hh

h

h

++=−+=

±=

=

+−−+

±−

−+

1.1.2 TrÞ riªng cña to¸n tö m«men xung lîng

a. TrÞ riªng cña to¸n tö h×nh chiÕu m«men xung lîng lªn ph¬ng Oz

§Ó thuËn tiÖn ta dïng täa ®é cÇu. Trong täa ®é cÇu

ϕ∂∂−= hiLzˆ

Gäi ψ lµ hµm riªng t¬ng øng víi trÞ riªng zL cña to¸n tö zL

Th× ph¬ng tr×nh cho hµm riªng vµ trÞ riªng: ψψ zz LL =ˆ

Gi¶i ph¬ng tr×nh nµy ta t×m ®îc thµnh phÇn phô thuéc vµoϕ

cña ψ cã d¹ng: ( )

= ϕψ ϕ zLi

hexp

VËy ( )ϕθψ ,,r lµ mét h»ng sè nh©n víi hµm mò trªn, h»ng sè nµy

nãi chung cã thÓ phô thuéc vµo çc täa ®é θ&r

( ) ( )

= ϕψ θϕθ zrr Li

Ch

exp,,,

Chó ý r»ng khi ϕ thay ®æi π2 th× l¹i trë vÒ ®iÓm cò. Muèn

cho ψ lµ mét hµm ®¬n trÞ th× ( ) ( )πϕϕ ψψ 2+= .

BiÕn ®æi ®¬n gi¶n ta thu ®îc hmLz = víi m = 0; ;....2;1±±

Tõ ®ã suy ra r»ng trÞ riªng cña zL lµ mét sè nguyªn lÇn h .

b. TrÞ riªng cña b×nh ph¬ng m«men xung lîng



V× hiÖu 2222 ˆˆˆˆyxz LLLL +=− b»ng to¸n tö cña mét ®¹i lîng vËt lÝ d¬ng

x¸c ®Þnh 022 ≥+ yx LL . Cho nªn øng víi mçi gi¸ trÞ cho tríc cña b×nh ph-

¬ng m«men xung lîng L2 th× tÊt c¶ çc gi¸ trÞ riªng kh¶ dÜ Lz ph¶i tháa

m·n bÊt ®¼ng thøc:

022 ≥− zLL ⇔ 22 LLL z ≤≤−

Nh vËy, çc gi¸ trÞ kh¶ dÜ cña Lz bÞ giíi h¹n bëi cËn trªn vµ cËn

díi. Ta kÝ hiÖu l lµ sè nguyªn t¬ng øng víi gi¸ trÞ lín nhÊt cña

hlLz =max)( .

Do ®ã: 0,..., 10 =±± lψψψ , cßn ( ) 01 =+± lψ

Tõ ±±±± ±=−= LLLLLLL zzzˆˆˆˆˆ]ˆ,ˆ[ h

Nªn ±±± ±= LLLLL zzˆˆˆˆˆ h

T¸c dông ±LLz ˆˆ lªn mψ ta ®îc mmzmz LLLLL ψψψ ±±± ±= ˆˆˆˆˆ h

Hay: ( ) ( ) mmmz LmLmLLL ψψψψ ±±±± ±=±= ˆ1ˆˆˆˆ hhh

víi mψ lµ hµm øng víi gi¸ trÞ riªng hm cña zL

Tõ ®©y suy ra r»ng mLψ±ˆ lµ hµm riªng t¬ng øng víi trÞ riªng

( )h1±m cña to¸n tö zL .

V× mψ lµ hµm riªng øng víi trÞ riªng hm cña zL , cho nªn:

mmz mL ψψ h=ˆ ; ( ) 11 1ˆ±± ±= mmz mL ψψ h

Bëi vËy: 1ˆ

±± = mmL ψψ



NÕu m = l th× 0ˆ1 == ++ llL ψψ (V× tr¹ng th¸i øng víi m > l lµ kh«ng

cã)

T¸c dông 2L lªn lψ ta cã :

( ) llllzlzll llllLLLLL ψψψψψψψ 222222 10ˆˆˆˆˆ hhhh +=++=++= +−

Nh vËy trÞ riªng cña to¸n tö b×nh ph¬ng m«men xung lîng lµ

l(l+1) 2h , víi l lµ çc gi¸ trÞ nguyªn d¬ng, kÓ c¶ gi¸ trÞ 0. Víi mét gi¸ trÞ

cña l ®· cho th× m cã nhiÒu gi¸ trÞ. Nh trªn ®· nãi l lµ gi¸ trÞ lín nhÊt

cña m, mÆt kh¸c hai híng gi÷a trôc cña z lµ t¬ng ®¬ng nhau vÒ mÆt

vËt lÝ nªn víi mçi gi¸ trÞ cña l l¹i cã mét gi¸ trÞ kh¸c tr¸i dÊu. Nh vËy m

cã thÓ cã çc gi¸ trÞ nguyªn tõ +l ®Õn -l :

m = +l, l-1, l-2,...,-l tÊt c¶ cã (2l+1) gi¸ trÞ.

1.1.3 PhÐp céng m«men xung lîng.

§Ó h×nh dung mét çch cô thÓ vÒ trÞ riªng cña to¸n tö

m«men xung lîng ta cã thÓ tr×nh bµy mét çch th« s¬ trªn h×nh vÏ:

z

h2

h



O h6

-h

-2h

Vect¬ m«men xung lîng cã ®é dµi : h)1( += llL . H×nh chiÕu cña

vect¬ nµy lªn trôc z cã ®é lín ®¹i sè lµ : L z= mh víi m = +l; l-1;…;-l.

Nh vËy L kh«ng thÓ ®Þnh híng tïy ý trong kh«ng gian, nã chØ cã thÓ

®Þnh híng nh thÕ nµo ®Ó h×nh chiÕu cã gi¸ trÞ nh trªn.

VÝ dô : H×nh vÏ trªn cña L øng víi l = 2

( )

hh

hh

2;;0

61

±±==+=

zL

llL

Trªn mÆt ph¼ng h×nh vÏ L chØ cã thÓ cã 5 çch ®Þnh híng

kh¸c nhau (ë nöa bªn ph¶i cña trôc z). NÕu ta quay h×nh vÏ quanh trôc

z th× ®îc çc híng cã thÓ cã cña L trong kh«ng gian.

B©y giê, ta xÐt hÖ gåm hai h¹t cã m«men xung lîng lÇn lît lµ

21;LL NÕu ta bá qua t¬ng t¸c cña hai h¹t lµm thay ®æi m«men xung l-

îng th× m«men xung lîng cña hÖ L = 21 LL + . NÕu biÕt sè lîng tö l1,

m1, l2, m2 x¸c ®Þnh m«men xung lîng 21;LL th× ta cã thÓ suy ra çc sè

lîng tö l, m x¸c ®Þnh m«men xung lîng L . Çch suy ra çc sè lîng tö l,

m gäi lµ phÐp céng m«men xung lîng trong c¬ häc lîng tö.

Ta cã : Lz = L1z+ L2z

Hay: 2121 mmmmmm +=⇔+= hhh



Mµ gi¸ trÞ cùc ®¹i cña m1 lµ l1 ; cña m2 lµ l2. Nªn gi¸ trÞ cùc ®¹i

cña m lµ (l1+l2). Ta cã thÓ hiÓu mét çch th« s¬ r»ng ®©y lµ trêng hîp

21;LL cïng híng. Trêng hîp hai vect¬ Êy ngîc híng th× l = 21 ll − .

Cßn trêng hîp kh¸c l cã gi¸ trÞ nguyªn trong kho¶ng gi÷a hai gi¸

trÞ trªn. Tøc lµ : l = l1 + l2 ; l1 + l2 - 1 ; ....; 21 ll − .

1.2 Lý thuyÕt lîng tö vÒ m«men xung lîng.

1.2.1 Lîng tö hãa m«men xung lîng.

Quy t¾c lîng tö hãa m«men xung lîng :To¸n tö b×nh ph¬ng

m«men xung lîng toµn phÇn 2J cña h¹t vi m« cã trÞ riªng lµ j( j +1 ) 2h .

Trong ®ã j lµ sè kh«ng ©m nguyªn hoÆc b¸n nguyªn.

To¸n tö h×nh chiÕu cña m«men xung lîng toµn phÇn lªn trôc z

cã gi¸ trÞ riªng lµ Jz = mj h .Víi : mj = +j; j-1;...; -j. Cã tÊt c¶ ( 2j + 1 ) gi¸

trÞ.

TËp hîp (2j + 1) hµm sãng øng víi (2j + 1) trÞ riªng kh¸c nhau cña

zJ vµ víi cïng mét trÞ riªng j( j +1 ) 2h cña 2J ®îc gäi lµ mét ®a tuyÕn.

1.2.2 Quy t¾c céng m«men xung lîng.

XÐt mét hÖ gåm hai h¹t vµ gäi çc to¸n tö m«men xung lîng cña

chóng lµ )2()1( ˆ,ˆ JJ . Gi¶ sö gi÷a hai h¹t kh«ng cã t¬ng t¸c. Khi ®ã h¹t thø

i (i =1, 2) Cã thÓ ®îc diÔn t¶ b»ng (2ji +1) hµm sãng )(i

j iiµψ víi çc



gi¸ trÞ x¸c ®Þnh cña çc b×nh ph¬ng m«men xung lîng vµ h×nh chiÕu

cña nã lªn trôc Oz:

)(2)()(2 )1(ˆ i

jii

i

j

i

iiiijjJ µµ ψψ h+=

)()()(ˆ i

ji

i

j

i

z iiiiJ µµ ψµψ h=

Víi : iiii jjj ++−−= ,....,1,µ . Tøc lµ : ii j≤µ

HÖ hai h¹t nh vËy ®îc m« t¶ b»ng (2j1 + 1) (2j2 + 1) tÝch trùc tiÕp

cña hai hµm sãng )2()1(

2211 µµψψ jj .

Trong nhiÒu trêng hîp ngêi ta l¹i quan t©m ®Õn m«men xung l-

îng toµn phÇn cña hÖ. To¸n tö m«men xung lîng toµn phÇn vµ h×nh

chiÕu cña nã lªn trôc Oz lµ:

)2()1( ˆˆˆ JJJ +=

)2()1( ˆˆˆzzz JJJ +=

B×nh ph¬ng m«men xung lîng toµn phÇn vµ h×nh chiÕu cña nã

lªn trôc Oz cã trÞ riªng lµ j( j+1) 2h vµ hµ víi j≤µ .

VÊn ®Ò ®Æt ra lµ j b»ng bao nhiªu vµ çc hµm riªng t¬ng øng

cã d¹ng nh thÕ nµo?

Tríc hÕt, ta thÊy r»ng tÝch )2()1(

2211 µµψψ jj lµ hµm riªng cña zJ øng

víi trÞ riªng: hµ = ( )h21 µµ +

V× : )2()1(

2211

ˆµµψψ jjzJ = )ˆˆ( )2()1(

zz JJ + )2()1(

2211 µµψψ jj



= )ˆ( )1()1()2(

1122 µµ ψψ jzj J + )ˆ( )2()2()1(

2211 µµ ψψ jzj J

= ( )h21 µµ + )2()1(

2211 µµψψ jj

Nhng çc tÝch )2()1(

2211 µµψψ jj l¹i kh«ng ph¶i lµ hµm riªng cña 2J . V×

sù cã mÆt cña 2 )2()1( ˆˆ JJ lµm cho )2()1(2

2211

ˆµµψψ jjJ ≠ cosnt

)2()1(

2211 µµψψ jj

Tuy nhiªn tõ çc tÝch )2()1(

2211 µµψψ jj cã thÓ lËp ®îc tæ hîp tuyÕn tÝnh

®ång thêi lµ hµm riªng cña zJJ ˆ,ˆ 2 , kÝ hiÖu lµ µφ jjj 21

2J µφ jjj 21 = j( j+1) 2h µφ jjj 21

zJ µφ jjj 21 = hµ µφ jjj 21

V× gi¸ trÞ lín nhÊt cña 21,µµ lµ j1, j2 nªn 21max jj +=µ khi vµ chØ

khi { }2211 , jj == µµ . Hµm sãng hai h¹t t¬ng øng duy nhÊt lµ )2()1(

2211 jjjj ψψ .

§ã còng chÝnh lµ tr¹ng th¸i øng víi gi¸ trÞ m«men xung lîng toµn phÇn

j = 21max jj +=µ . VËy 212121 jjjjjj ++φ = )2()1(

2211 jjjj ψψ .

Gi¸ trÞ tiÕp theo cña µ lµ 1max −µ = 121 −+ jj , khi

{ }1, 2211 −== jj µµ , hoÆc { }2211 ,1 jj =−= µµ . Hµm sãng hai h¹t t¬ng øng

lµ )2(

1

)1(

2211 −jjjj ψψ , hoÆc )2()1(

1 2211 jjjj ψψ − . Tõ hai hµm nµy, cã thÓ lËp hai tæ

hîp ®éc lËp tuyÕn tÝnh, mét tæ hîp cho j = 21 jj + , øng víi hµm sãng

1212121 −++ jjjjjjφ , cßn tæ hîp kia cho j= 121 −+ jj , øng víi hµm sãng

11 212121 −+−+ jjjjjjφ .

Ta quy íc r»ng .21 jj ≥ . Cø mçi lÇn gi¶m ®i mét ®¬n vÞ l¹i xuÊt

hiÖn thªm hµm sãng míi cho tíi khi 21 jj −=µ . Gi¸ trÞ nµy cña µ cã



thÓ nhËn ®îc trong (2j2 +1) trêng hîp { }21 ,µµ ={ }21, jj − ; { }1,1 21 +−− jj ;

……..; { }221 ,2 jjj − , øng víi (2j2 +1) hµm sãng hai h¹t )2()1(

2211 jjjj −ψψ ;

)2(

1

)1(

1 2211 +−− jjjj ψψ ;....; )2()1(

2 22211 jjjjj ψψ − .

Tõ (2j2 +1) hµm sãng nµy cã thÓ lËp (2j2 +1) tæ hîp ®éc lËp

tuyÕn tÝnh cho j = 21 jj + , 121 −+ jj ,...,j1 - j2 lÇn lît øng víi 212121 jjjjjj −+φ ,

212121 1 jjjjjj −−+φ ,…, 212121 jjjjjj −−φ .

Víi çc gi¸ trÞ tiÕp theo cña µ mµ µ≤− 12 jj < j1 - j2, tøc lµ

νµ −−= 21 jj víi ν lµ çc sè nguyªn trong kho¶ng 0 < ( )212 jj −≤ν , sè çc

tr¹ng th¸i kh«ng t¨ng thªm mµ vÉn b»ng (2j2 +1) ®ã lµ: { }21 ,µµ =

{ }21 , jj −−ν , { }1,1 21 +−−− jj ν ,...,{ }221 ,2 jjj −−ν , øng víi hµm sãng hai h¹t

lµ )2()1(

2211 jjjj −− ψψ ν , )2(

1

)1(

1 2211 +−−− jjjj ψψ ν ,…,)2()1(

2 22211 jjjjj ψψ ν−− . Tõ (2j2 +1) hµm sãng

nµy cã thÓ lËp (2j2 +1) tæ hîp ®éc lËp tuyÕn tÝnh cho j = 21 jj + ,

121 −+ jj ,...,j1 - j2, lÇn lît øng víi 212121 jjjjjj −+φ , 212121 1 jjjjjj −−+φ ,…,

212121 jjjjjj −−φ .

Gi¶m tiÕp µ mét ®¬n vÞ ta cã 112 −−= jjµ . Sè tr¹ng th¸i t¬ng

øng gi¶m ®i 1 so víi trêng hîp νµ −−= 21 jj võa xÐt ë trªn. §ã lµ 2j2 tr¹ng

th¸i cã : { }21 ,µµ ={ }221 ,12 jjj −−+ , { }1,22 221 +−−+ jjj ,…,{ }1, 21 −− jj , øng víi

2j2 hµm sãng hai h¹t )2()1(

12 22211 jjjjj −−+− ψψ , )2(

1

)1(

22 22211 +−−+− jjjjj ψψ ,…,)2(

1

)1(

2211 −− jjjj ψψ .

Tõ 2j2 hµm sãng nµy cã thÓ lËp 2j2 tæ hîp ®éc lËp tuyÕn tÝnh cho j =

21 jj + ,..., j1 - j2+1, lÇn lît øng víi 1122121 −−+ jjjjjjφ , 11 122121 −−−+ jjjjjjφ ,…,

11 122121 −−+− jjjjjjφ



B¾t ®Çu tõ gi¸ trÞ 112 −−= jjµ mçi lÇn µ gi¶m ®i mét ®¬n vÞ

th× sè tr¹ng th¸i còng gi¶m ®i 1 cho tíi khi 21 jj −−=µ , øng víi mét tr¹ng

th¸i duy nhÊt { }2211 , jj −=−= µµ . VËy 212121 jjjjjj −−+φ = )2()1(

2211 jjjj −− ψψ .

Khi .12 jj ≥ , çc lËp luËn ë trªn vÉn ®óng , ta chØ cÇn lµm phÐp

ho¸n vÞ j1 ↔ j2

Tãm l¹i, víi j1, j2 cho tríc ,tõ çc tÝch )2()1(

2211 µµψψ jj , ta cã thÓ lËp ®îc

çc tæ hîp ®éc lËp tuyÕn tÝnh lµ çc hµm sãng µφ jjj 21 cña çc tr¹ng

th¸i riªng cña hÖ hai h¹t cã m«men xung lîng toµn phÇn J vµ h×nh

chiÕu cña nã Jz.

J = ( )1+jj ; Jz = µ

Víi jj ≤≤− µ , j lÊy çc gi¸ trÞ çch nhau mét ®¬n vÞ mµ gi¸ trÞ lín nhÊt

lµ

(j1 + j2), cßn gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ 21 jj −

212121 ;...;1; jjjjjjj −−++=

Víi mçi gi¸ trÞ cña j cã (2j+1) tr¹ng th¸i, øng víi çc gi¸ trÞ kh¸c

nhau cña [ ]2121 , jjjj +−∈µ .

Sè çc hµm víi tÊt c¶ gi¸ trÞ kh¶ dÜ cña j lµ:

( ) ( )1212)12( 21

21

21

++=+∑+=

−=jjj

jjj

jjj

chÝnh b»ng sè çc tÝch )2()1(

2211 µµψψ jj víi gi¸ trÞ kh¶ dÜ cña 21 ,µµ .



Çc hÖ sè µ

µµj

jjC 2211 quy íc lµ thùc trong çc tæ hîp tuyÕn tÝnh :

µφ jjj 21 ∑+=

=21

2211µµµ

µµµ

j

jjC )2()1(

2211 µµψψ jj

Çc hÖ sè µ

µµj

jjC 2211 gäi lµ hÖ sè Clebsh-Gordan, çc hÖ sè nµy

x¸c ®Þnh phÇn ®ãng gãp cña çc hµm kh¸c nhau )2()1(

2211 µµψψ jj . Vµ çc hÖ

sè nµy cho bëi b¶ng riªng.

Çc kÕt qu¶ trªn ®©y gäi lµ quy t¾c céng m«men xung lîng.

Çc lËp luËn trªn còng cã thÓ ¸p dông cho hµm sãng mét h¹t víi

hai bËc tù do kh¸c nhau : bËc tù do chuyÓn ®éng quü ®¹o víi m«men

xung lîng quü ®¹o vµ bËc tù do spin. B©y giê, L ®ãng vai trß cña )1(J

, S ®ãng vai trß cña )2(J vµ : SLJ ˆˆˆ += lµ to¸n tö m«men xung lîng toµn

phÇn cña h¹t cã spin.

Trong trêng hîp h¹t cã spin 1/2 vµ ë tr¹ng th¸i cã l 0≠ th× j = l +1/2

hoÆc l -1/2.

NÕu hÖ vËt lÝ gåm nhiÒu h¹t vi m« cïng chuyÓn ®éng trong tr-

êng xuyªn t©m th× m«men xung lîng toµn phÇn J cña c¶ hÖ sÏ ®îc

hîp thµnh tïy theo çc d¹ng t¬ng t¸c. Trong trêng hîp t¬ng t¸c spin-quü

®¹o cña mçi h¹t m¹nh h¬n so víi t¬ng gi÷a çc h¹t víi nhau th×: ∑=

=1

ˆî

iJJ

víi iii SLJ ˆˆˆ +=

NÕu ngîc l¹i th× : J = L + S víi ∑=

=1

ˆî

iLL , ∑=

=1

ˆî

iSS .



1.3 Bµi tËp

Bµi 1: X¸c ®Þnh nh÷ng gi¸ trÞ cã thÓ cã cña m«men tõ cña

nguyªn tö ë tr¹ng th¸i D3 ?

Bµi gi¶i:

Ta cã m«men tõ : ( ) ( )SJm

eSL

m

eS

m

eL

m

eM +=+=+=

22

22

To¸n tö m«men tõ : ( ) JGJJ

SJ

m

eSJ

m

eM ˆˆˆ1

ˆ

ˆˆ

2ˆˆ

2ˆ

2=

+=+=

Víi :

++−= 1

ˆ2

ˆˆˆ

2ˆ

2

222

J

SLJme

G . Do ®ã tri riªng cña G lµ :G =g.m

e

2

trong ®ã: 1)1(2

)1()1()1( ++

+−+++=jj

llssjjg

VËy trÞ riªng cña to¸n tö m«men tõ lµ: )1(.. += jjgM Bµ

víi: m

eB 2

=µ lµ Mannhªt«n Bo

Theo gi¶ thiÕt tr¹ng th¸i cña nguyªn tö lµ D3 nªn 2s + 1=3 vµ l =

2

Hay: s =1; l = 2. Vµ theo quy t¾c céng m«men ta cã:

j = l +s; l +s-1;l - s = 3; 2; 1.

Víi j =3 th× M1 = Bµ3

8



Víi j =2 th× M2= Bµ6

7

Víi j =1 th× M3 = Bµ2

1

Bµi 2: M«men tõ cña nguyªn tö ë tr¹ng th¸i FD 54 , b»ng 0. X¸c

®Þnh m«men cña nã trong çc tr¹ng th¸i ®ã?

Bµi gi¶i:

Theo bµi 1 ta cã c«ng thøc tÝnh m«men tõ cña nguyªn tö :

M = g. Bµ . )1( +jj = 0 (1)

trong ®ã : 1)1(2

)1()1()1( ++

+−+++=jj

llssjjg

+) Víi nguyªn tö ë tr¹ng th¸i D4 th× 2

3=s ; l = 2. Thay vµo (1) ta ®îc: j

2

1=

VËy m«men xung lîng toµn phÇn : 2

3=J

+) Víi nguyªn tö ë tr¹ng th¸i F5 th× s = 2, l = 3.

T¬ng tù trªn ta t×m ®îc 6=J

Bµi 3: H·y chØ ra çc tr¹ng th¸i cã thÓ cã cña m«men toµn phÇn

trong çc tr¹ng th¸i DPS 431 ,, ?



Bµi gi¶i:

+) Tr¹ng th¸i S1 cã nghÜa lµ s = 0, l = 0 .

M«men xung lîng toµn phÇn : )1( += jjJ ,

víi j = l + s,l + s-1,…, sl− = 0

VËy ta cã tr¹ng th¸i 0

1S .

+) Tr¹ng th¸i P3 cã nghÜa lµ s = 1, l = 1. t¬ng tù trªn cã j = 0, 1,

2

VËy ta cã tr¹ng th¸i kh¶ dÜ : ,03P ,1

3P ,23P

+) T¬ng tù trªn: Tr¹ng th¸i D4 cã çc tr¹ng th¸i kh¶ dÜ:

2

7

4

2

5

4

2

3

4

2

1

4 ,,, DDDD

Bµi 4: Cã thÓ tån t¹i nh÷ng tr¹ng th¸i nµo ®èi víi hai electron

sau:

a) ns vµ n’s c) ns vµ n’d

b) ns vµ n’p d) np vµ n’p

Bµi gi¶i:

a) Víi hai electron ns vµ n’s th× l1 = l2 = 0 ; s1 = s2 = 2

1

Nªn: M«men xung lîng quü ®¹o cña hÖ hai electron 21 LLL +=



M«men xung lîng riªng cña hÖ hai electron 21 SSS +=

trong ®ã : )1( += llL ; l = l1 + l2; l1 + l2 -1;….; 21 ll − = 0

)1( += ssS s = s1 + s2; s1 + s2 -1;….; 21 ss − = 1; 0

M«men xung lîng toµn phÇn: J = SL + .

Víi : )1( += jjJ ; j = l + s,l + s-1,…, sl −

NÕu s = 0 th× j = 0; nÕu s = 1 th× j = 1

VËy tån t¹i nh÷ng tr¹ng th¸i kh¶ dÜ: 0

1S vµ 1

3S

b) T¬ng tù c©u (a) ta cã sè lîng tö l vµ s cña hÖ hai electron trªn

lµ : l =1,s = 0; 1

NÕu s = 0 th× j = 1 ,øng víi tr¹ng th¸i ,11P

NÕu s = 1 th× j = 0; 1; 2 ,øng víi çc tr¹ng th¸i kh¶ dÜ sau: ,03P

,13P ,2

3P

c) Lµm t¬ng tù trªn ta ®îc kÕt qu¶: ,21D ,1

3D ,23D ,3

3D

d) KÕt qu¶: 0

1S ; ,11P ,2

1D ,13S ,0

3P ,13P ,2

3P ,13D ,2

3D ,33D

Bµi 5: X¸c ®Þnh çc gi¸ trÞ kh¶ dÜ cña m«men xung lîng quü

®¹o cña hÖ gåm 1 electron d vµ 1 electron f?

Bµi gi¶i :

Gäi 21 ,LL lµ m«men xung lîng quü ®¹o cña electron d vµ f



Ta cã: )1( 111 += llL ; )1( 222 += llL , víi l1 =2; l2 = 3

Gäi L lµ m«men xung lîng quü ®¹o cña hÖ

Th×: 21 LLL += ; )1( += llL

víi l = l1 + l2; l1 + l2 -1;….; 21 ll − = 5; 4; 3; 2; 1

VËy ta cã çc gi¸ trÞ kh¶ dÜ cña L :

+) l = 5 th× 30=L

+) l =4 th× 52=L

+) l = 3 th× 32=L

+) l = 2 th× 6=L

+) l = 1 th× 2=L

Gäi lµ gãc hîp bëi 21 ,LL th×

αcos2 21

2

2

2

1

2 LLLLL ++= αcos⇔ =21

2

2

2

1

2

2 LL

LLL −−

Hay: ( ) ( ) ( )

( ) ( )1 1 2 2

2 1 1 2

1 1 1cos

2 1 1

l l l l l l

l l l lα

+ − + − +=

+ +

Víi l =1 th× 05,160=α 2L L L L

2L

Víi l =2 th× 0135=α



Víi l =3 th× 07,110=α 1L

Víi l =4 th× 023,83=α

Víi l =5 th× 045=α

Bµi 6: H¹t cã Spin b»ng 1/2 chuyÓn ®éng trong trêng xuyªn

t©m. T×m hµm sãng mµ nã ®ång thêi lµ hµm riªng cña .ˆ,ˆ,ˆ 22 JLJ z ?

Bµi gi¶i:

Ta viÕt ZJ díi d¹ng ma trËn:

−∂∂−

+∂∂−

=

−

+

∂∂−=

−

+

=+=

2

10

02

1

10

01

210

01

10

01

210

01ˆˆˆˆ

ϕ

ϕ

ϕ

i

i

i

LSLJ ZZzZ

Ta l¹i cã:

( )σ2

ˆ

ˆˆ2ˆˆˆˆˆ 222

2

=

++=+=

S

SLSLSLJ

Nªn:

( )

−+−

=

−

+

−+

=

++==

zyx

yxz

z

z

y

y

x

x

zzyyxx

LLiL

LiLL

L

L

Li

Li

L

L

LLLLSL

ˆˆˆ

ˆˆˆ

ˆ0

0ˆ

0ˆ

ˆ0

0ˆ

ˆ0

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ2

σσσσ



Cßn:

+

+=

+

=+

22

22

2222

43ˆ0

043ˆ

10

01

43

10

01ˆˆˆ

L

L

LSL

Nªn

−+

++=++=

+

−

z

z

LLL

LLLSLSLJ

ˆ43ˆˆ

ˆˆ43ˆ

ˆˆ2ˆˆˆ22

22

222

trong ®ã : yx LiLL ˆˆˆ ±=±

Hµm sãng ψ ®îc viÕt díi d¹ng ma trËn:

=

2

1

ψψ

ψ

Ph¬ng tr×nh cho hµm riªng vµ trÞ riªng cña zJ :

ψψ zz JJ =ˆ

Hay:

=

−∂∂−

+∂∂−

2

1

2

1

2

10

02

1

ψψ

ψψ

ϕ

ϕ m

i

i



⇔

=−∂∂−

=+∂∂−

222

111

21

21

ψψψϕ

ψψψϕ

mi

mi

+=

∂∂

−=

∂∂

⇔

22

11

2

1

2

1

ψψϕ

ψψϕ

mi

mi

Thµnh phÇn phô thuéc vµo ϕ cña 21 ,ψψ cã d¹ng

− ϕ

2

1exp mi

hoÆc

+ ϕ

2

1exp mi

Nªn nghiÖm ( )θψ ,11 rf=

− ϕ

2

1exp mi ; ( )θψ ,22 rf=

+ ϕ

2

1exp mi

trong ®ã f1, f2 lµ hµm tïy ý cña θ,r

V× ψ còng lµ hµm riªng cña 2L nªn ta cã:

( ) ( )( ) ( )

=

=

+

−

ϕθ

ϕθ

ψψ

ψ,

,

2

1,

2

2

1,

1

2

1

ml

ml

YrR

YrR

trong ®ã: R1(r), R2(r) lµ hµm b¸n kÝnh, m lµ sè b¸n nguyªn. B©y

giê ta ph¶i chän R1(r), R2(r) sao cho ψ ®ång thêi lµ hµm riªng cña 2J :

ψψ 22ˆ JJ =

Hay : ( )

+=

2

12

2

12 1ˆψψ

ψψ

jjJ



⇔

−+

++

+

−

z

z

LLL

LLL

ˆ43ˆˆ

ˆˆ43ˆ

22

22

( ) ( )( ) ( )

+

−

ϕθ

ϕθ

,

,

2

1,

2

2

1,

1

ml

ml

YrR

YrR

= ( )12 +jj

( ) ( )( ) ( )

+

−

ϕθ

ϕθ

,

,

2

1,

2

2

1,

1

ml

ml

YrR

YrR

Tõ ®©y ta cã :

( ) ( ) ( ) ( )ϕθϕθϕθ ,1,ˆ,ˆ43ˆ

2

1,

1

2

2

1,

2

2

1,

1

22

−+−−+=+

++

mlmlmlz YRjjYRLYRLL

( ) ( ) ( ) ( )ϕθϕθϕθ ,1,ˆ,ˆ43ˆ

2

1,

2

2

2

1,

1

2

1,

2

22

+−+++=+

−+

mlmlmlz YRjjYRLYRLL

Do −+ LL ˆ,ˆ kh«ng phô thuéc vµo r nªn chóng chØ t¸c ®éng lªn

hµm ( )ϕθ,Y

MÆt kh¸c :

( )( ) 1,, 1ˆ++ ++−= mjmj mjmjJ ψψ

( )( ) mjmj mjmjJ ,1, 1ˆ ψψ ++−=+−

NÕu ®Æt 0ˆ =S th× LJ ˆˆ = khi ®ã ta t×m ®îc :

( ) ( )( ) 1',', 1'',ˆ++ ++−= mlml YmlmlYL ϕθ

( ) ( )( ) ',1', 1'',ˆmlml YmlmlYL ++−=+− ϕθ

Víi m’=m- 1/2 th× : ( )2

1,

2

2

2

1, 2

1,ˆ

−+− −

+=

mlmlYmlYL ϕθ



Ta cã :

( ) ( )ϕθϕθ ,2

1,ˆ

2

1,

2

1, −−

−=

mlmlz YmYL

( ) ( )ϕθϕθ ,2

1,ˆ

2

1,

2

1, ++

+=

mlmlz YmYL

( ) ( ) ( )ϕθϕθ ,1,ˆ2

1,

2

2

1,

2

±±+=

mlmlYllYL

Tõ çc biÓu thøc trªn ta cã :

( ) ( )

( ) ( )

=

+−+−++−

+

=−

++

+++−+

041

1121

02

1

4

111

21

2

2

2

2

2

1

RmjjllRml

RmlRmjjll

§Ó hÖ ph¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm kh«ng tÇm thêng th× ®Þnh

thøc çc hÖ sè ph¶i b»ng 0.

Tõ ®ã ta t×m ®îc:2

1±= lj .

Trong trêng hîp 2

1+= lj ta ®îc :

021

21

21

21 =+−+++

−+− RmlmlRml

021

21

21

12 =+−+++

++− RmlmlRml



Nªn : )(21 21

2121

rRmlR

ml

mlR ++=

+−

++= )(12 2

1

2121

rRmlR

ml

mlR +−=

++

+−=

Trong trêng hîp 2

1−= lj . T¬ng tù trªn ta ®îc:

2

11 +−= mlR R(r) ;

2

12 ++−= mlR R(r)

Nh vËy th× hµm sãng ( )ϕθψ ,,,, rmjl cña h¹t cã d¹ng:

)(),,(,,2

1,

rRrmll

=+

ϕθψ

+−

++

+

−

),(21

),(21

2

1,

2

1,

ϕθ

ϕθ

ml

ml

Yml

Yml

)(),,(,,2

1,

rRrmll

=−

ϕθψ

++−

+−

+

−

),(21

),(21

2

1,

2

1,

ϕθ

ϕθ

ml

ml

Yml

Yml

Bµi 7: Gäi zyx JJJ ˆ,ˆ,ˆ lµ çc to¸n tö thµnh phÇn cña to¸n tö J

tháa m·n çc hÖ thøc giao ho¸n sau:

zxyyx JiJJJJ ˆˆˆˆˆ =− (1)

xyzzy JiJJJJ ˆˆˆˆˆ =− (2)



yzxxz JiJJJJ ˆˆˆˆˆ =− (3)

zyx JJJ ˆ,ˆ,ˆ lµ nh÷ng to¸n tö Hermite

1) Chøng minh r»ng:

a) [ ]xJJ ˆ,ˆ 2 = [ ]yJJ ˆ,ˆ 2 = [ ]zJJ ˆ,ˆ 2 = 0

b) [ ]±JJ z ˆ,ˆ = ±± J

c) [ ]−+ JJ ˆ,ˆ = zJ2

2) T×m trÞ riªng cña zJJ ˆ,ˆ 2 ?

3) T×m trÞ riªng cña SJ ˆˆ ?

Bµi gi¶i:

1)a) Nh©n tr¸i vµ ph¶i hai vÕ ph¬ng tr×nh (1) víi xJ , råi céng

vÕ víi vÕ ta ®îc:

( ) ( )xzzxxyyx JJJJiJJJJ ˆˆˆˆˆˆˆˆ 22 +=− (4)

Nh©n tr¸i vµ ph¶i hai vÕ ph¬ng tr×nh (2) víi zJ råi céng vÕ víi

vÕ ta ®îc :

( ) ( )zxxzzyyz JJJJiJJJJ ˆˆˆˆˆˆˆˆ 22 +−=− (5)

HiÓn nhiªn r»ng:

( ) 0ˆˆˆˆ 22 =− yyyy JJJJ (6)



Céng (4), (5), (6) ta ®îc:

[ ]yJJ ˆ,ˆ 2 = 0

Tîng tù ta còng chøng minh ®îc:

[ ]yJJ ˆ,ˆ 2 = [ ]zJJ ˆ,ˆ 2 = 0

b) Ta cã : [ ] ( )yxzz JiJJJJ ˆˆˆˆ,ˆ +=+ - ( ) zyx JJiJ ˆˆˆ +

= ( )zyyzzxxz JJJJiJJJJ ˆˆˆˆˆˆˆˆ −+−

= ( )xy JiiJi ˆˆ −+ = +L

T¬ng tù ta cã: [ ]−JJ z ˆ,ˆ = −− J

c) Ta cã : [ ]−+ JJ ˆ,ˆ = ( )( )yxyx JiJJiJ ˆˆˆˆ −+ - ( )( )yxyx JiJJiJ ˆˆˆˆ +−

= ( )xyyx JJJJi ˆˆˆˆ2 −−

= zJ2

2) Theo c©u (1a) th× zJJ ˆ,ˆ 2 giao ho¸n nªn chóng cã chung hµm

riªng.

Gäi mψ lµ hµm riªng cña zJ t¬ng øng víi trÞ riªng m :

mmz mJ ψψ =ˆ

MÆt kh¸c: [ ] zzz JJJJJJ ˆˆˆˆˆ,ˆ ±±± −= ⇔ ±JJ z ˆˆ = [ ] zz JJJJ ˆˆˆ,ˆ ±± + =

zJJJ ˆˆˆ±± +±



T¸c dông ±JJ z ˆˆ cho bëi ph¬ng tr×nh trªn lªn hµm mψ ta ®îc:

±JJ z ˆˆ mψ = mzm JJJ ψψ ˆˆˆ±± +±

Hay: mmmz JmJJJ ψψψ ±±± ±= ˆ)(ˆ)ˆ(ˆ mJm ψ±±= ˆ)1(

Nh vËy mJ ψ±ˆ lµ hµm riªng cña zJ øng víi trÞ riªng )1( ±m . Çc

gi¸ trÞ kÕ tiÕp cña m çch nhau mét ®¬n vÞ (m-1); m; (m+1).

Gäi j lµ sè lîng tö ®Æc trng cho ®é lín cña 2

jJ ; mjψ lµ hµm riªng

cña zJJ ˆ,ˆ 2

Ta cã: ''

22 ''ˆjjmmjJjmJmj δδ=⟩⟨

''''ˆjjmmz mjmJmj δδ=⟩⟨

LÊy yÕu tè ma trËn hai vÕ ph¬ng tr×nh: 2222 ˆˆˆˆyxz JJJJ +=− vµ sö

dông tÝnh chÊt ®ñ cña vect¬ riªng: 1''''''

=⟩ ⟨∑jm

jmjm . Ta ®îc:

−⟩⟨ mjJmj 2ˆ =⟩⟨ mjJmj z

2ˆ ⟩⟨ mjJmj x

2ˆ ⟩⟨+ mjJmj y

2ˆ

⇔ 222 mJ j − ⟩⟩ ⟨⟨= ∑ mjJjmjmJmj xjm

xˆ''''ˆ

''

⟩⟩ ⟨⟨+ ∑ mjJjmjmJmj yjm

yˆ''''ˆ

''

V× yx JJ ˆ,ˆ lµ nh÷ng to¸n tö Hermite nªn += xx JJ ˆˆ , += yy JJ ˆˆ vµ

⟩⟨ mjJjm xˆ'' ⟩⟨= +mjJjm x

ˆ'' *''ˆ ⟩⟨= jmJmj x

⟩⟨ mjJjm yˆ'' ⟩⟨= +mjJjm y

ˆ'' *''ˆ ⟩⟨= jmJmj y



Nªn : 222 mJ j − { } 0''ˆ''ˆ''

22

≥⟩⟨+⟩⟨=∑jm

yx jmJmjjmJmj

22

jj JmJ ≤≤−⇒

Ký hiÖu mmax = m1; mmin = m2, khi ®ã kh«ng tån t¹i nh÷ng tr¹ng th¸i

mµ

m = m1 + 1; m2 - 1. §iÒu ®ã cã nghÜa r»ng:

0ˆ111== ++ mjmJ ψψ

0ˆ122== −− mjmJ ψψ

MÆt kh¸c : =⟩⟨ jmJjm 1

2

1⟩++⟨ +− jmJJJJjm zz 1

2

1ˆˆˆˆ

V× : 0ˆ1

=+ jmJ ψ nªn 0ˆˆ11 =⟩⟨ +− jmJJjm .Do ®ã: Jj

2 = m1(m1 + 1) 2

.

T¬ng tù trªn ta còng cã: Jj2 = m2(m2 - 1) 2 .

Nªn m1(m1 + 1) = m2(m2 - 1)⇔ m2 = m1 + 1 hoÆc m2 = -m1.

Mµ m2 < m1. Suy ra nghiÖm tháa m·n lµ m2 = - m1.

Ta quy íc j lµ sè lîng tö ®Æc trng cho ®é lín cña 2

jJ . Mµ 2

jJ chØ

phô thuéc vµo m1 nªn ta ®Æt m1 = j. Khi ®ã m cã tÊt c¶ çc gi¸ trÞ tõ -j

®Õn +j. Çc gi¸ trÞ liªn tiÕp cña m çch nhau mét ®¬n vÞ : -j; -j+1;

-j+2; ....; j

VËy cã (2j + 1) gi¸ trÞ cã thÓ cã cña m.

Tãm l¹i ta cã:



mjmjz mJ ψψ =ˆ ; víi: m = -j; -j+1; -j+2; ....; j

mjjmj JJ ψψ 22ˆ = ; víi: 22 )1( += jjJ j

3) T×m trÞ riªng cña SJ ˆˆ .

ThËt vËy:

( )( )

)ˆˆˆ(2

1

ˆˆˆˆ2

1

ˆˆˆˆˆˆˆˆ

222

2222

LSJ

SSLJ

SSLSSLSJ

−+=

+−−=

+=+=

Çc to¸n tö zJJSL ˆ,ˆ,ˆ,ˆ 222 giao ho¸n víi nhau nªn chóng cã chung

hµm riªng jlsm jψ . Víi mj = -j; -j + 1;-j + 2;…;j.

Ta cã : SJ ˆˆ jlsm jψ ( ){ })1()1(1

2

1 2 +−+++= llssjj jlsm jψ

Do ®ã trÞ riªng cña SJ ˆˆ lµ: ( ){ })1()1(12

1 2 +−+++ llssjj .

*) TiÕp theo t×m çc gi¸ trÞ cña j khi cho l; s?

Ta cã: Jz =Sz + Lz = (ms +m) = mj .

)1(

)1(

+=

+=

ssS

llL

Vµ Lz = m ; Sz = ms trong ®ã: mmax = l; ms max = s.

Nªn mj max = l + s =jmax .

Çc gi¸ trÞ cã thÓ cã cña j lµ :l+s; l+s-1; …;l+s-q = jmin.



B©y giê cÇn x¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña q = ?

Çc to¸n tö zz SLSL ˆ,ˆ,ˆ,ˆ 22 giao ho¸n víi nhau nªn chóng cã chung

hµm riªng slsmmψ . Trong ®ã : m = -l; -l+1; …;l vµ ms = -s; -s+1;…;

s.

Nh vËy øng víi mét gi¸ trÞ cña l cã (2l+1) gi¸ trÞ cña m; øng víi

mét gi¸ trÞ cña s cã (2s+1) gi¸ trÞ cña ms.

Nªn øng víi mét gi¸ trÞ cña l; s sÏ cã (2l+1)(2s+1) hµm sãng

slsmmψ .

Ta h·y chØ ra r»ng víi mét gi¸ trÞ cña l; s sÏ cã (2l+1)(2s+1) hµm

sãng jlsm jψ víi mäi gi¸ trÞ cña mj vµ j kh¸c nhau. §Ó thÊy râ ®iÒu ®ã ta

biÓu diÔn nh÷ng cÆp gi¸ trÞ m, ms vµ mj, j b»ng b¶ng sau:

m ms mj = m+ms j

l s l+s l+s

− 1l

l

−s

s 1

−+−+1

1

sl

sl

−++

1sl

sl

−−2

1

l

l

l

−−

s

s

s

1

2

−+−+−+

2

2

2

sl

sl

sl

−+−+

+

2

1

sl

sl

sl

. . . .



. . . .

. . . .

Nh vËy: øng víi mj = l+s cã mét hµm slsmmψ vµ mét hµm

jlsm jψ

øng víi mj = l+s-1 cã hai hµm slsmmψ vµ hai hµm

jlsm jψ

øng víi mj = l+s-2 cã ba hµm slsmmψ vµ ba hµm

jlsm jψ .

MÆt kh¸c, øng víi mét gi¸ trÞ cña j cã (2j +1) gi¸ trÞ cña j. Nªn sè

hµm jlsm jψ khi l, s ®· cho vµ mj, j thay ®æi lµ:

( ) =+∑+==

=

sljj

jj

jmax

min

12 (2l+1)(2s+1) ,

Tõ jmin = l+s-q ®Õn jmax = l+s cã q+1 sè h¹ng, ta cã:

( ) =+∑+==

=

sljj

jj

jmax

min

12 +∑max

min

2j

j

j ∑max

min

1j

j

)1()1(2

12 maxmin +++++= qq

jj

2

min

2

minmin

minmax

)1(

)1)(1(

)1)(1(

jsl

jsljsl

jjq

−++=+++−++=

+++=

Nªn =−++ 2

min

2)1( jsl (2l+1)(2s+1) ⇔ jmin = ± ( l - s ).



Çc gi¸ trÞ cña j 0≥ nªn jmin sl−= .

VËy nh÷ng gi¸ trÞ cã thÓ cã cña j khi l, s ®· cho lµ:

j = l+s; l+s-1; …; sl−

KÕt luËn : TrÞ riªng cña SJ ˆˆ lµ: ( ){ })1()1(12

1 2 +−+++ llssjj ,

trong ®ã: j = l+s; l+s-1; …; sl−

Ch¬ng 2: M«men c¬ häc riªng

2.1 To¸n tö spin cña electron

Phï hîp víi nguyªn lÝ chung cña c¬ häc lîng tö, spin cña electron

ph¶i ®îc biÓu diÔn b»ng to¸n tö tuyÕn tÝnh Hermite. Chóng ta kÝ

hiÖu çc to¸n tö h×nh chiÕu spin lªn mét trôc täa ®é lÇn lît lµ zyx SSS ˆˆ,ˆ , .

Çc to¸n tö nµy ph¶i tháa m·n çc hÖ thøc giao ho¸n:

yyxxz

xyzzy

zxyyx

SiSSSS

SiSSSS

SiSSSS

ˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆ

=−

=−

=−

(1)



H¬n n÷a vÕt chiÕu spin lªn mét ph¬ng bÊt k× chØ cã thÓ nhËn

hai gi¸ trÞ: 2

± . Do ®ã nh÷ng to¸n tö nµy ph¶i ®îc biÓu diÔn b½ng

nh÷ng ma trËn vu«ng cÊp hai, bëi v× chØ cã ma trËn vu«ng cÊp hai

míi cã 2 gi¸ trÞ riªng.

Ta ®Æt:

zzyyxx SSS σσσ ˆ2

ˆ,ˆ2

ˆ,ˆ2

ˆ === (2)

Víi ®iÒu kiÖn çc to¸n tö zyx σσσ ˆ,ˆ,ˆ ph¶i ®îc biÓu diÔn bëi çc

ma trËn vu«ng h¹ng hai vµ cã trÞ riªng lµ 1± .

Thay (1) vµo (2) ta ®îc hÖ thøc ®èi víi zyx σσσ ˆ,ˆ,ˆ nh sau:

yzxxz

xyzzy

zxyyx

i

i

i

σσσσσσσσσσσσσσσ

ˆ2ˆˆˆˆ

ˆ2ˆˆˆˆ

ˆ2ˆˆˆˆ

=−=−=−

V× çc gi¸ riªng cña iσ ( i= x,y,z) b»ng ±1, cho nªn gi¸ trÞ riªng

cña 2îσ ph¶i b»ng 1. Nªn çc ma trËn nµy ph¶i cã d¹ng:

=

=

=10

01ˆ;

10

01ˆ;

10

01ˆ 222

zyx σσσ

Çc to¸n tö zyx σσσ ˆ,ˆ,ˆ còng tháa m·n çc hÖ thøc ph¶n giao ho¸n:

0ˆˆˆˆ

0ˆˆˆˆ

0ˆˆˆˆ

=+=+=+

zxxz

yzzy

xyyx

σσσσσσσσσσσσ

Dùa vµo çc hÖ thøc ë trªn ta cã thÓ t×m ®îc d¹ng têng minh cña

ma trËn zyx σσσ ˆ,ˆ,ˆ mµ ta gäi lµ çc ma trËn Pauli:



−

=

−=

=10

01ˆ,

0

0ˆ,

01

10ˆ

zyx i

iσσσ

Khi ®ã d¹ng cña çc to¸n tö h×nh chiÕu Spin trong biÓu diÔn ZS

- chÐo cã d¹ng:

0 1ˆ ˆ1 02 2

0ˆ ˆ02 2

1 0ˆ ˆ0 12 2

x x

y y

Z z

S

iS

i

S

σ

σ

σ

= = ÷

−

= = ÷

= = ÷−

B»ng phÐp tÝnh ®¬n gi¶n ta t×m ®îc biÓu thøc cña to¸n tö b×nh

ph¬ng m«men Spin 2S :

ISSSS zyxˆ

2

11

2

1

10

01

4

3ˆˆˆˆ 222222

+=

=++=

trong ®ã : I lµ ma trËn ®¬n vÞ cÊp 2. Nh vËy gi¸ trÞ riªng cña

b×nh ph¬ng m«men Spin lµ: 22

2

11

2

1

+=S

§a vµo çc sè lîng tö s vµ ms lÇn lît x¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña b×nh

ph¬ng Spin vµ h×nh chiÕu Spin:

( )

sz mS

ssS

=+= 22 1

Víi ms= -s,-s+1,…..+s.

2.2 Bµi tËp



Bµi 1: Chøng minh r»ng cã thÓ ®o ®ång thêi b×nh ph¬ng Spin

vµ h×nh chiÕu Spin lªn mét trôc.

Bµi gi¶i:

M«men c¬ häc riªng hay spin lµ ®¹i lîng vËt lÝ ®Æc trng cho h¹t

®îc biÓu diÔn b»ng to¸n tö S víi çc to¸n tö h×nh chiÕu zyx SSS ˆ;ˆ;ˆ tháa

m·n çc hÖ thøc giao ho¸n:

zxyyx SiSSSS ˆˆˆˆˆ =− (1)

xyzzy SiSSSS ˆˆˆˆˆ =− (2)

yzxxz SiSSSS ˆˆˆˆˆ =− (3)

Tõ (1) ta nh©n vµo ph¶i vµ tr¸i 2 vÕ víi yS sau ®ã céng vÕ víi

vÕ ta ®îc:

( )zyyzxyyx SSSSiSSSS ˆˆˆˆˆˆˆˆ 22 +=− (4)

Tõ (3) ta nh©n vµo ph¶i vµ tr¸i 2 vÕ víi zS sau ®ã céng vÕ víi

vÕ ta ®îc:

( )zyyzzxxz SSSSiSSSS ˆˆˆˆˆˆˆˆ 22 +−=+−

Hay: ( )xyyzxzzx SSSSiSSSS ˆˆˆˆˆˆˆˆ 2 +=− (5)

HiÓn nhiªn: 0ˆˆˆˆ 22 =− xxxx SSSS (6)

Céng (4) (5) (6) ta ®îc 0ˆˆˆˆ 22 =− xx SSSS hay 0]ˆ,ˆ[ 2 =xSS

Chøng minh t¬ng tù: 0]ˆ,ˆ[ 2 =ySS ; 0]ˆ,ˆ[ 2 =zSS



Nh vËy: 0]ˆ,ˆ[ 2 =iSS , víi i =x,y,z.

Hay cã thÓ ®o ®îc ®ång thêi b×nh ph¬ng spin vµ h×nh chiÕu

spin trªn cïng mét trôc.

Bµi 2: Chøng minh çc ma trËn pauli lµ nh÷ng ma trËn ph¶n

giao ho¸n

Bµi gi¶i

Ta xÐt ®¹i lîng: ( )xyyxi σσσσ ˆˆˆˆ2 + . Cã thÓ viÕt l¹i nh sau:

( )( ) ( )

0

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

ˆ2ˆˆˆ2ˆˆˆˆ2

22

=

−+−=

−+−=+=+

yzyzyyzyzy

yzzyyyyzzy

xyyxxyyx iii

σσσσσσσσσσ

σσσσσσσσσσσσσσσσσσ

Nh vËy: 0ˆˆˆˆ =+ xyyx σσσσ hay { } 0ˆ,ˆ =yx σσ

T¬ng tù ta còng chøng minh ®îc: { }{ } 0ˆ,ˆ

0ˆ,ˆ

==

xz

zy

σσσσ

Nh vËy ta nãi r»ng çc ma trËn Pauli tháa m·n çc hÖ thøc ph¶n

giao ho¸n

Bµi 3: T×m gi¸ trÞ riªng cña tÝch v« híng 21ˆˆ SS cña hai electron

khi spin cña chóng lµ song song vµ ®èi song.

Bµi gi¶i

To¸n tö spin cña hÖ hai electron : 21ˆˆˆ SSS += (1)



trong ®ã :

( )( )

( ) 22

2

22

2

2

2

11

2

1

1

1

1

+=+=+=

ssS

ssS

ssS

B×nh ph¬ng hai vÕ cña (1) vµ chó ý : 1221ˆˆˆˆ SSSS = ta cã

2

ˆˆˆˆˆ

2

2

2

1

2

21

SSSSS

−−=

Çc to¸n tö 2

2

2

121ˆ,ˆ,ˆˆ SSSS giao ho¸n víi 2S nªn chóng cã chung

hµm riªng ψ

( ) ( ) ( ){ }ψ

ψψ

1112

2

ˆˆˆˆˆ

2211

2

2

2

2

1

2

21

+−+−+=

−−=

ssssss

SSSSS

§èi víi electron th× : s1 = s2 = 2

1

Khi ®ã gi¸ trÞ riªng cña 21ˆˆ SS lµ ( )

−+

23

12

2

ss

Khi spin cña hai electron lµ ®èi song th× s = 1. Nªn trÞ riªng cña

21ˆˆ SS lµ

4

2

Khi spin cña hai electron lµ song song th× s = 0. Nªn trÞ riªng

cña 21ˆˆ SS lµ

4

3 2− .

Bµi 4: H¹t cã spin b»ng bao nhiªu nÕu çc to¸n tö h×nh chiÕu

spin cña nã cã d¹ng 32,1ˆ,ˆ,ˆ βββ === zyx SSS



Trong ®ã ( ) ( ) ++++ −=−=+= βββββββββββ 321 ,2

,2

1 i

Víi

=

= +

010

001

000

,

000

100

010

ββ

Bµi gi¶i:

Ta cã:

( ) ( )( )

I2

2

.2)(2

)(2

1

2

1

22

2222

3

2

2

2

1

==

−++=

−+−−+=++

+

+++++

++++

ββββββββββββ

βββββββββββ

víi I lµ ma trËn ®¬n vÞ

MÆt kh¸c l¹i cã :

( ) ISSSS zyx

22

3

2

2

2

1

22222 2ˆˆˆˆ =++=++= βββ

Vµ ( ) 22 1 += ssS

Do dã s =1. Hay spin cña h¹t b»ng 1



C. KÕT LUËN

Trong phÇn luËn v¨n nµy t«i ®· bíc ®Çu t×m hiÓu ®îc lÝ thuyÕt

lîng tö vÒ m«men xung lîng vµ m«men spin. Tõ ®ã ®a ra ®îc quy t¾c

céng m«men xung lîng.

§· ¸p dông ®îc lÝ thuyÕt lîng tö vÒ m«men xung lîng, quy t¾c

céng m«men xung lîng cho hÖ hai h¹t kh«ng t¬ng t¸c ®Ó lµm mét sè

bµi tËp vÒ céng m«men xung lîng, m«men spin.

Tuy nhiªn, do thêi gian ®äc,t×m hiÓu vµ nghiªn cøu luËn v¨n cßn

Ýt nªn t«i cha ®a ra ®îc quy t¾c céng m«men xung lîng cho hÖ nhiÒu

h¹t hoÆc hÖ çc h¹t t¬ng t¸c.

NÕu cã thêi gian nhiÒu h¬n n÷a th× luËn v¨n cña t«i sÏ hoµn

thiÖn h¬n. KÝnh mong sù ®ãng gãp ý kiÕn cña çc thÇy c«.




Internet

Khoa luan tot_nghiep_cong_momen_trong_co_hoc_luong_tu_0565