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第 2 章. § 2.4 隐函数及由参数方程所 确定的函数的导数. 燕列雅 权豫西 王兰芳 李琪. ( 含导数 的方程 ). 1. 隐函数的导数. 若由方程. 则称此. 可确定 y 是 x 的函数 ,. 函数为 隐函数. 由. 表示的函数 , 称为 显函数. 可确定显函数. 例如 ,. 可确定 y 是 x 的函数 ,. 但此隐函数不能显化. 隐函数 求导方法 :. 两边对 x 求导. 确定的隐函数. 例 1 求由方程. 在 x = 0 处的导数. 解 方程两边对 x 求导. 得. - PowerPoint PPT Presentation
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3 1 xy
1. 隐函数的导数若由方程 0),( yxF 可确定 y 是 x 的函
数 ,
由 )(xfy 表示的函数 , 称为显函数 .例如 , 013 yx 可确定显函数
032 75 xxyy 可确定 y 是 x 的函数 ,但此隐函数不能显化 .
函数为隐函数 .
则称此
隐函数求导方法 : 0),( yxF
0),(dd yxFx
两边对 x 求导
( 含导数 的方程 )
y
例 1 求由方程 032 75 xxyy
)(xyy 在 x = 0 处的导数 .0d
dxx
y
解 方程两边对 x 求导
)32(dd 75 xxyyx
得xy
ydd
5 4
xy
dd
2 1 621x 0
25
211dd
4
6
y
xxy
因 x = 0 时 y = 0 , 故21
0dd xxy
确定的隐函数
例 2 求椭圆 1916
22
yx 在点 )3,2( 23 处的切线方程 .
解 椭圆方程两边对 x 求导
8x
yy 92
0
y 23
23
xy
yx
169 2
323
xy
43
故切线方程为 323y
43 )2( x
即 03843 yx
例 3 求 )0(sin xxy x 的导数 .
解 两边取对数 , 化为隐式
xxy lnsinln
两边对 x 求导
yy
1xx lncos
xxsin
)sin
lncos(sin
xx
xxxy x
这种先在函数 y=f(x) 两边取对数 , 然后利用隐函
数求导法求出 y 的导数的方法称之为对数求导法 .
1) 对幂指函数 vuy 可用对数求导法求导 :
uvy lnln
yy
1uv ln
uvu
)ln(uvu
uvuy v
vuuy v ln uuv v 1
说明 :
按指数函数求导公式 按幂函数求导公式
注意 :
2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .
例如 , )1,0,0(
ba
baax
xb
ba
ybax
两边取对数
yln
两边对 x 求导
yy
ba
lnxa
xb
bax
ax
xb
ba
yba
lnxa
xb
ba
x ln ]lnln[ xba ]lnln[ axb
2. 由参数方程确定的函数的导数
若参数方程
)()(tytx
可确定一个 y 与 x 之间的
函数)(,)( tt 可导 , 且 ,0])([])([ 22 tt 则
0)( t 时 , 有
xy
dd
xt
ty
dd
dd
d 1ddd
yxtt
注
)()(tt
0)( t 时 , 有
yx
dd
yt
tx
dd
dd
tyt
x
dd1
dd
)()(tt
( 此时看成 x 是 y 的函数 )
关系 ,
)( xf
※注
在 y 的某邻域内单调可导 ,
( )y f x 1( )f y
0])([ 1 yf且
dd xy或
yx
dd
1])([ 1 yf
1
设 是 1( )x f y 的反函数 ,
例 5 抛射体运动轨迹的参数方程为 1tvx
求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向 .
解 先求速度大小 :
速度的水平分量为 ,dd
1vtx 垂直分量为 ,
dd
2 tgvty
故抛射体速度大小22 )
dd
()dd
(ty
tx
v 22
21 )( gtvv
再求速度方向 ( 即轨迹的切线方向 ):设 为切线倾角 ,
tan xy
dd
ty
dd
tx
dd
1
2
vtgv
则y
xo
221
2 tgtvy
抛射体轨迹的参数方程
221
2
1
tgtvy
tvx
速度的水平分量 ,dd
1vtx 垂直分量 ,
dd
2 tgvty
tan1
2
vtgv
在刚射出 ( 即 t = 0 ) 时 , 倾角为
1
2arctanvv
达到最高点的时刻 ,2
gv
t 高度 ygv 2
2
21
落地时刻 ,2 2
gv
t 抛射最远距离 xgvv 212
速度的方向 y
xo
2vt g
22vt g
若上述参数方程中 , )(,)( tt 二阶可导 ,
2
2
d
d
x
y )dd
(dd
xy
x)
dd
(dd
xy
t
tx
dd
)()(
dd
tt
xy
)(tx
且 ,0)( t则由它确定的函数 )(xfy 的二阶导数 如何求 ?
解 利用新的参数方程
, 可得
若参数方程
)()(tytx
可确定一个 y 与 x 之间的函数
)(,)( tt 可导 , 且
,0])([])([ 22 tt 则 0)( t
时 , 有
xy
dd
xt
ty
dd
dd
)()(tt
关系 ,
txt
y
dd1
dd
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