פרק 5 חלק 2 - עקומות

גיל גיטיק

9.1.12

- עקומות2 חלק 5 פרק

1

תזכורת קבוצות שתי של מינקובסקי -A,Bסכום כ מוגדר

2

תזכורת את לפתור כדי מינקובסקי בסכומי להשתמש רצינו

. התנועה בעיית של בשפה רק מתעניינים אנו בעצם אך

A⊕B.

את זו A⊕Bלמצוא השפה את לחשב ואזישירה, יותר דרך ישנה אך אפשרות

3

עקומות – 5.4פרק של קונבולוציה :עקומות שתי של הקונבולוציה :α, βהגדרה להיות מוגדרת

כאשרTp באורך משיק בנקודה 1הוא עקומה בכיוון pשל . השיפוע את ונגדיר העקומה של להיות Tx+yההתקדמות

Tx.

:משיקים במקביל העקומות שתי על מסובבים אינטואיציה ,) נקודות ) וסכום כיוון באותו מקבילים הזמן כל ששניהם כך

. בקונבולוציה יהיה ההשקה

4

עקומות – 5.4פרק של קונבולוציה

5

ליפוף – 5.4פרק מספר. מינקובסקי לסכום הקונבולוציה בין לקשור נרצה כעת( :הליפוף מספר ממרוכבות( winding numberהגדרה או

מספר יהיה לעקומה ביחס נקודה של של אינדקסהוא לנקודה מסביב העקומה של השעון כיוון נגד הסיבובים

. יסומן

ביתר פורמאליות זה יהיה

:C C היא ההצגה הפולארית של C(t) = (r(t),θ(t))כש [0,1]↦R.

בגלל שנקודת ההתחלה שווה לנקודת הסיום היא כפולה שלמה של .

( )a x

6

ליפוף – 5.4פרק מספרדוגמאות:

עבור עקומהa:קמורה שאינה חוצה עצמה, מתקיים תמיד

בתוך השטח שהיא חוסמת x אם 1 הוא x מספר הליפוף של

אחרת.0ו

ממשפט העקום של ז'ורדן )שלא נוכיח(, לכל עקומה סגורה

במישור, גם כזאת שחוצה עצמה, מתקיים: מספר הליפוף

.0 מחוץ לשטח שהעקומה חוסמת הוא xשל

7

5.21משפט – 5.4פרק . מינקובסקי לסכום הקונבולוציה בין לקשור נוכל כעת

8

ליפוף – 5.4פרק מספר

:הראו שעבור עקומה פשוטה, סגורה, נגד כיוון תרגיל

לשתי עקומות, ו- , cהשעון, הנחלקת על ידי מיתר

cפשוטות, סגורות ונגד כיוון השעון החולקות אותו מיתר

בכיוונים מנוגדים, מתקיים:

:סקיצה

1 2. ( ) ( ) ( )x c x x x

12

9

ליפוף – 5.4פרק מספר:שני מקרים אפשריים:פתרון

1. אם x מחוץ ל אז אז x לא בתוך או ולכן

2 אחרת אז .xבתוך ולכן בתוך רק אחד מ או נניח ללא הגבלת הכלליות כי זה

אז

כלומר, בכל מקרה אפשרי מתקיים

1מש"ל 2( ) ( ) ( )x x x

10

מינקובסקי – 5.4פרק סכום לפתור ובכך מינקובסקי סכום שפת את לחשב נוכל כעת

. התנועה בעיית את את " δA*δBנחשב הקונבולוציה " מעגלי כל את נאחד ואז

- מ גדול ליפוף מספר .0עם לחישוב סקיצה .δA*δBנראה

צבוע: אזור לכל נקרא הערה. קונבולוציה מעגל

11

מינקובסקי – 5.4פרק סכוםלחישוב סקיצה .δA*δBנראה

ל המשיקים את לסובב הוא השעון Bו , Aהרעיון כיוון נגדשלהם " ai,bjבקודקודים אירוע " מתרחש אשר עד במקביל

נניח בצלע המשיקים אחד של נגיע מחליפים, aiai+1של ואזשל ai+1 ב aiאת קשת הייתה זאת אם הדבר בכל. Bאותו

יהיה ומיקומו לקונבולוציה חדש קודקוד יוצרים כזה aiאירוע

+ bi .. שלם סיבוב יעשו כשהמשיקים יסתיים התהליך

12

מינקובסקי – 5.4פרק סכוםידי על הנוצרים הקונבולוציה מעגלי כל על נעבור עכשיו

מהסוג . aibjקודקודים מספר את ונבדוק צלעות מחיתוכי וגם . מעגלי כל את נאחד האלו התחומים כל של הליפוף

מ גדול מספר עם . 0הקונבולוציה מנקובסקי, סכום יהיה וזה

13

סיבוכיות – 5.4פרק ניתוחב nנסמן הצלעות ב mו Aמספר הצלעות Bמספר

קמורים A,B- 1מקרה מ יותר לא יהיה הצלעות סיבוכיות, m+nמספר כלומר

O(n+m)אף מעבירים שאנו המשיק המתואר שבאלגוריתם לב נשים , פעם נקודה כל על נעבור ולכן השעון כיוון עם ילך לא פעם

אחת.אחרת צלע לאף מקבילה שלא צלע כל כי הדוק חסם זה

, ניקח אם ואז מנקובסקי בסכום צלע כלשהם A,Bיוצרתנקבל מקבילות צלעות .m+nללא

14

להדגמה

סיבוכיות – 5.4פרק ניתוח

15

קמור Bקמור A- 2מקרה לאשכל Bבמצולע מצב להיות מ 3יכול ביותר יסתובב המשיק 360קודקודים

לסיבוכיות, תחתון חסם זה במקרה כלומר קודקודי כל על נעבור כלומר מעלותב , קודקוד לכל כי הדוק גם הוא על Bהוא אחת מפעם יותר נעבור nלא

מ. Aקודקודי יותר יהיו לא כי להראות .mnניתן בקונבולוציה קונבולוציה מעגלי

סיבוכיות – 5.4פרק ניתוח

16

קמור A- 3מקרה קמור Bלא לאייקח באלגוריתם הראשון השלב קודם ב O(mn)כמו קודקוד לכל על Aכי נעבור לא

ב הקודקודים מכל . Bיותר גם. זה קונבולוציה מעגלי יש כי לראות ניתן בדוגמה אבל. החיתוכים לכמות העליון החסם

עקומה – 5.5פרק ( Curve Shortening)קיצור

הקרוי משפט על נדבר זה curve-shortening“בפרקtheorem. המידה” באותה עקומה של להחלקה קשור הוא

השארת בפתרון מרכזית לטכניקה אנלוגי זה משפט,) המילניום) בעיות משבע אחת פואנקרה

. מתמטי במחקר נוגע גם ובכך

17

האמצע – 5.5פרק נקודת טרנספורמצית

: הבאה בצורה משוננת עקומה להחליק ננסה צמודים קודקודים זוג חדש vi, vi+1לכל קודקוד נגדיר

, קודקודי עם חדש עקומה תבצר ואז בינם כממוצעהממוצע.

18

האמצע – 5.5פרק נקודת טרנספורמצית

העקומה מתקצרת הטרנספורמציה בהפעלת כי הראו

הוכחה:

יתקיים עקומה בכל בדוגמה שיוויון AB+BCAC כמו מאיאם, ואפילו ישרים AB, ACהמשולש קטעים לא

ש משולש בתוכם לחסום ניתן יהיה ACיהיהמקרה שבכל כך שלו יותר Acבסיס קטן יהיה

. נחבר אם ולכן החליף שהוא מהקשתותהעקומה שאורך נקבל עללו שוויונות האי כל את

. קטן הכולל

19

האמצע – 5.5פרק נקודת טרנספורמצית

?) ( עצמה: עם חיתוך העקומה פשטות על שומרת הטרנספורמציה האם שאלה

: דוגמה: בהכרח לא תשובה

לא היא כי אותה נעזוב המסילה פשטות על שומרת לא זו שטרנספורמציה בגלל. שלנו לצרכים שימושית

20

החום – 5.5פרק משוואת טרנספורמצית

. C(s)תהי לכל עקומה להגדיר נרצה t>0עקומהC(s,t) ש כך השינוי ) Cעקומה כלומר רציפה תהיה

: " .) הבא ח המד על נסתכל רציף יהיה העקומות שלזמן" לאורך החום התפלגות את מתאר זה ח מד

. רבים בתחומים רבים למחקרים וקשור נתון באזורשנשנה היא שלנו במקרה זו משוואה של המשמעותפניות " מבצעת היא בהם באזורים יותר העקומה את ) ( ( " התאוצה השנייה הנגזרת בהן נקודות יותר חדות

.) יותר גדולה

21

החום – 5.5פרק משוואת טרנספורמצית

, את ניקח במשוואה לשימוש דוגמהC = (cos(s), sin(s)) מסימטריות אז מעגל להיות

ש ננחש המעגל שלולכן ואז

יהיה הפתרון ואזתכווץ המעגל על הטרנספורמציה הפעלת כלומר

בפקטורפי . eכלומר שנייה כל

22

5.35משפט – 5.5פרק , הזרימה תחת מתפתחת וסגורה פשוטה חלקה עקומה כלל ) הולך שרדיוסו עיגול לנקודה הקודמים בשקפים המוגדרת

0." התנגשויות( " ללא

דוגמאות:

2וידאו 1וידאו

23

למצולעים – 5.5פרק עקומה קיצור

כי חלקות לא למסילות פועל לא הקודם המשפט. למצולעים לא גם ולכן נקודה בכל נגזרת דורש הוא. למצולעים הקודם המשפט את להכליל כעת ננסה

: נגדיר הבאה השיטה על נסתכלבמצולע לקודקוד במצולע קודקוד כל נעביר וכעת

חדש. δ>0כש ככל מההגדרה הצעד גודל זה

ל δש יותר 0מתקרב כך

24

5.36משפט – 5.5פרק

השינוי תחת מתקדם פשוט מצולע כל . כאשר קמור מצולע של אפינית לטרנספורמציה

ישרים קווים על ששומרת פונקציה היא אפינית טרנספורמציהשמתכווץ. לעיגול להתכנסות אנלוגית זו התכנסות ומרחקים

. 5.35ממשפט למשפט אנלוגי הזה המשפט

5.35 , תמיד שלא מהעובדה חוץ לגמרי. פשוטה להישאר העקומה חייבת

טרנספורמציה קיימת האם השאלהכל של ותזוזה פשטות על ששומרת

. פתוחה עדיין בסביבתו רק תלויה קודקוד25

למצולעים – 5.5פרק עקומה קיצורמצולע: על זו טרנספורמציה מפעילים כאשר קורה מה שאלה

משוכלל?

. החוסם: המעגל מרכז לכיוון פעם כל יקטן המצולע תשובההוכחה:

למרכז ) ( מופנים יהיו הצלעות סכומי שהם הווקטורים כל מסימטריות .) ( קצת המצולע יתכווץ איטרציה כל ומסימטריות האלכסונים מפגש החוסם המעגל

.) ( המעגל מרכז לנקודה שיתכנס עד

26

למצולעים – 5.5פרק עקומה קיצורכל: לאורך פשוטה תישאר שלא לעקומה דוגמה מצא תרגיל

התהליך.

27

למצולעים – 5.5פרק עקומה קיצור? התהליך: יתכנס אליה הנקודה מה שאלה

כלומר: . המצולע של המסה מרכז תשובההוכחה:

nלכל

כי אז

איטרציה בכל זהה יהיה המצולע של המסה מרכז ולכןהיא שבוודאי לנקודה מתכנסות האיטרציות ואילו

, הנקודה ולכן עצמה של המסה מרכז תהיההמסה מרכז תהיה

ל" מש

28

החום – 5.6פרק משוואתכללית לזרימה אנלוגיות להיות יכולות שלמדנו הזרימות שתי איך כעת נספר

. החום משוואת ידי על שמתוארת יותר

בנקודה החום הוא שערכה פונקציה .t בזמן xתהי

. החום נוטה להתפזר עם הזמן בצורה שווה, אז המשוואה מתארת תהליך מושפע על ידי ו)u)xשל החלקה ופיזור של התהליך:

אז השינוי בטמפרטורה יהיה

מתקיים ולכן אם נחלק את שני האגפים ב

וזו הנוסחא שבה השתמשנו לקיצור העקומה בעזרת משוואת החום.

אם נסתקל על מרכז אז בקירוב

שבחרנו לקיצור מצולע. עכשיו הקירבה בין שלושת niואגף ימין הוא הזרימות צריכה להיות מובנת .

29

פואנקרה – 5.6פרק השערתפואנקרה.נביא עוד אנלוגיה אחת יותר מורכבת - השערת

, נחשבה במשך שנים לאחת 1904השערה, שהציע אנרי פואנקרה בשנת הבעיות הפתוחות החשובות ביותר בטופולוגיה. פואנקרה, שהיה שותף מוביל

בבניית הטופולוגיה האלגברית, תהה אילו תכונות מתחום זה דרושות כדי לאפיין גופים טופולוגיים פשוטים, כמו הספירה התלת-ממדית.

פואנקרה העלה את ההשערה:

כל יריעה תלת-ממדית סגורה ופשוטת קשר הומיאומורפית לספירה התלת-ממדית.

הסבר קצר של המונחים:

n. יריעה מרחב שנראה לוקלית כמו אך לא בהכרח כללית כמו-

לדוגמה: כדור הארץ הוא יריעה דו מימדית.

יריעה נקראת סגורה אם היא חסומה.

מרחב הוא פשוט קשר אם "אין בו חורים" או ביתר דיוק כל מסילה ניתן לכווץ בצורה רציפה לנקודה.

שני מרחבים נקראים הומאומורפיים אם יש ביניהם פונקציה רציפה חח"ע ועל 30כך שגם ההופכית שלה רציפה.

פואנקרה – 5.6פרק השערת1961. בשנת 1900 הוכחה עוד לפני n=2פואנקרה ל השערת

. את ההשערה לStephan Smale הוכיח

.4 הוכיח מיכאל פרידמן את הבעיה ל 1982בשנת

שבה 2003 אך ההשערה המקורית נשארה פתוחה עד שנת

=.3nהוכיח גרגורי פרלמן את ההשערה ל

פרלמן שקיבל על עבודתו פרס פילדס ומיליון דולר סירב לקבל את שני המענקים בטענה שידיעתו שהוכחתו נכונה מספיקה והוא לא

צריך אף פרס אחר.

המפתח להוכחתו של פרלמן היתה זרימת ריצ'י שהוצגה על ידי . זרימת ריצ'י מגדירה עיוות מטרי שבו 80ריצ'ארד המילטון בשנות ה

אומר כמה משתנות זוויות ואורכים בכל נקודה על יריעה. gטנזור משוואת הזרימה של המילטון מתארת איך צריכה

הוא סימון לטנזור ריצ'י )Ric)gהיריעה להתקווץ באזור כל נקדה. והאיבר הראשון שלו בפיתוח טיילור הוא ולכן גם זרימת ריצ'י

אנלוגית למשוואת החום.31

/5.7פרק משטח – עקומה שיחזורגוף של פנים לסרוק שיכולים מכשירים הרבה בימינו יש

. איך השאלה נשאלת כעת עליו שנמצאות נקודות ולהחזיר? הפנים שטח את לשחזר יכולים אנו

קירוב ליצור כדי למשולשים לחבר נקודות אילו למצוא נרצה. ההתחלתי למשטח טוב

32

עקומה – 5.7פרק שיחזורטוב קירוב לקבל כדי יחסית צפופה דגימות קבוצת שצריך ברור די

לעקומה

. דחוסה לא הראשונה בבירור עקומה מאותה דגימות שתי בציור? מספיק. דחוסה נגדיר איך היא המתבקשת השאלה מספיק

33

עקומה – 5.7פרק שיחזוראת תחילה local feature sizeנגדיר

תהי: על xהגדרה בין Cנקודה המרחק את ב לציר xנסמןהאמצעים.

האמצעים: ציר העיגולים M(C)תזכורת מרכזי כל אוסף הואבלפחות שנוגעים

על נקודות .Cשתי

מוגדר: האמצעים ציר הערהל מחוץ .Cגם

34

עקומה – 5.7פרק שיחזורדחוסה דגימה להגדיר נוכל כעת

יהי: . של Sהגדרה קבוצה ש. Cתת היא Sנאמרנקודה לכל -xאם ש .Sב pיש Cב כך

להיות צריך הוא כך בעקומה מסובך יותר שאזור שכמה לב נשים. יותר צפוף

עקומה: של נכון מצולעי שחזור את Sמדגימה Cהגדרה מחברתp,q ב עוקבות נקודות הם אם ורק .Cאם

35

CRUSTאלגוריתם – 5.7פרק לאלגוריתם נעבור נכונות CRUSTכעת שמבטיח

ל . בשחזורבמושג תחילה ניזכר

- דלוני " Del(S)טריאנגולצית ם אם בה נמצאת שקשת טריאנגולציהמ אחרים קודקודים אף מכיל שלא בו מיתר שהיא מעגל .Sיש

מצולעי Del(S)ב: טענה לשחזור צריכים שאנו הקשתות כל את יש(.Sנכון ) מספיק דחוסה דגימה

-a,bיהיו: הוכחה ב -Sנקודות ב במעגל. Cשעוקבות כי בשלילה נניח, abשקוטרו אחרת נקודה השחורות. Sמ, cיש שהנקודות נקבל אז

( יותר שעוברת מהעקומה חלק יש אם אלא האמצעים בציר הן בציורמכדי( מדי קרוב האמצעים ציר מקרה בכל ואז קרוב

ל דחוסה תהיה a.סתירהשהדגימה b

c36

CRUSTאלגוריתם – 5.7פרק ב קשתות אילו למצוא רק עכשיו .Del(S)נשאר צריכים אנו

לאלגוריתם שיובילו טענות מספר אינטואיטיבית בצורה נספרCRUST.

ב 1. של Vנסמן וורונוי צמתי כל " Vor(S)את ליד " נמצאים הם אזM(C).

של 2. נכונה לא קשת של חוסם מעגל את Del(S)כל . M(C)חותךב נכונה לא צלע ב Del(S)ולכן תופיע -Del(SUV)לא מ ) 1כי

מ צומת מכיל כזאת קשת של חוסם מעגל (.Vכלב 3. נכונה קשת ב Del(S)כל .Del(SUV)תהיה

של וורונוי צמתי את נחשב אז נכונות האלו הטענות כל נסמנם, SאםV ,את את, Del(SUV)נחשב נרכיב של Cואז הקשתות באמצעות

Del(SUV) ב שלהם הקצוות .Sששני37

CRUSTאלגוריתם – 5.7פרק של 1. וורונוי צמתי ליד Vor(S)כל .M(C)נמצאים

במרכז נמצאת וורונוי צומת שלכל הוא זו טענה מאחורי ההיגיוןמ נקודות שלוש עליו שיש המקום. Sמעגל הוא האמצעים ציר ואילו

שתי בלפחות לעקומה שמשיקים המעגלים מרכזי כל של הגיאומטרינקודות.

38

CRUSTאלגוריתם – 5.7פרק של 2. קשת של חוסם מעגל את Del(S)כל .M(C)חותך

יחתוך בטריאנגולציה פנימי אלכסון שכל תאמר כאן האינטואיציה. האמצעים ציר את

39

CRUSTאלגוריתם – 5.7פרק ב. 3 נכונה קשת ב Del(S)כל .Del(SUV)תהיה

ב abתהי נכונה ב. Del(S)קשת ( xנסמן ביותר ) הקרוב המפגש אתמ האמצעי האנך העקומה abשל המעגל. Cעם על נסתכל

ב . a,bו xשמרכזו בין המרחק אז שסימנו M(C)ל xעליומקיים

בין Sכי המרחק אז -xהיא ב יהיה Vלנקודה , מ נקודות יהיו לא ולכן המעגל רדיוס שזה מ . Vגדול במעגל

.Del(SUV)ב abולכן

40

CRUSTאלגוריתם – 5.7פרק : יהיה האלגוריתם אז

של וורונוי צמתי את את, Vנסמנם, Sנחשב ואז, Del(SUV)נחשבעקומה של Pנרכיב הקשתות כל ששני Del(SUV)באמצעות

ב שלהם .Sהקצוות

: זמן , O(nlog(n))סיבוכיות וורונוי דיאגראמת מצאנו אחת פעם הריב ליניארי בגודל לקבוצה דלוני שילוש מצאנו השנייה .nובפעם

, ל: נכון אך נוכיח לא נכונותזאת , לשפר איך ידוע לא אך ל להגיע שהצליחו שיפורים ישנם

יותר.

41

CRUSTאלגוריתם – 5.7פרק

42

הסוףההקשבה על תודה

43