Однородные тригонометрические уравнения

Однородные Однородные тригонометрические тригонометрические

уравненияуравнения

ученицы 10 А класса Дацуновой Галиныученицы 10 А класса Дацуновой Галины

Здесь мы вспомним тригонометрические уравнения специального вида, довольно

часто встречающиеся на практике.

ОпределениеОпределение

Уравнения вида Уравнения вида aasinx+sinx+bbcosx=0 cosx=0 называют называют однородным однородным тригонометрическим уравнением тригонометрическим уравнением первой степенипервой степени

Уравнения вида Уравнения вида aasinsin22x+x+bbsinxcosx+sinxcosx+cccoscos22x=0x=0 называют называют однороднымоднородным тригонометрическим уравнением тригонометрическим уравнением второй степенивторой степени

Сначала поговорим о решении однородных тригонометрических уравнений первой

степени, причем рассмотрим только самый общий случай, когда оба коэффициента а а и bb

отличны от нуля, так как, если а=оа=о, то уравнение принимает вид bbcosx=0cosx=0, а

получившееся уравнение cosx=0 отдельного обсуждения не заслуживает; аналогично при

b=0 b=0 получаем sinx=0sinx=0, что тоже не требует отдельного обсуждения.

Итак, дано уравнение aasinx+sinx+bbcosx=0, cosx=0, где где aa≠≠0, b0, b≠≠00. . Разделив обе части уравнения Разделив обе части уравнения почленно на почленно на cosxcosx, получим:

aasinx/cosx + bcosx/cosx = 0/cosx

aatgx+tgx+bb=0=0

В итоге приходим к простейшему тригонометрическому уравнению:

tgx= -tgx= -bb//aa

Уравнение вида aasinsinmmx+x+bbcoscosmmx=0 x=0 тоже называют однородным тригонометрическим

уравнением первой степени. Для их решения обе части уравнения делят

почленно на cosmxx..

ПримерыПримеры

№№1. 1. Решить уравнение Решить уравнение 2sinx-3cosx=02sinx-3cosx=0

Решение.Решение. Разделив обе части Разделив обе части уравнения почленно на уравнения почленно на cosxcosx, , получим получим 22tgx-3=0tgx-3=0

tgx=3/2tgx=3/2

x=arctg3/2 + x=arctg3/2 + ππn, nn, n € € ZZ

Ответ:Ответ: x=arctg3/2 + x=arctg3/2 + ππn, nn, n € € ZZ

№№2. 2. Решить уравнение Решить уравнение sin2x+cos2x=0sin2x+cos2x=0

Решение.Решение. Разделив обе части Разделив обе части уравнения почленно на уравнения почленно на cos2xcos2x, , получимполучим

tg2x+1=0, tg2x=-tg2x+1=0, tg2x=-11

22x=-x=-ππ/4/4+ + ππn, nn, n € € ZZ

x=- x=- ππ/8+ /8+ ππnn/2/2, n, n € € ZZ

Ответ:Ответ: x=- x=- ππ/8+ /8+ ππnn/2/2, n, n € € ZZ

Рассмотрим теперь однородное тригонометрическое уравнение второй степени aasinsin22x+x+bbsinxcosx+sinxcosx+cccoscos22x=0x=0..

Если коэффициент аа отличен от нуля, то есть в уравнение содержится член sinsin22xx с каким-то

коэффициентом, отличным от нуля, то, рассуждая, как и выше, нетрудно убедиться в том, что при интересующих нас значениях переменной cosxcosx не обращается в нуль, а

потому можно обе части уравнения разделить почленно на coscos22xx.

aasinsin22xx//coscos22x+x+bbsinxcosxsinxcosx//coscos22x+x+cccoscos22xx//coscos22x=0x=0//coscos22xx

aatgtg22x+x+bbtgx+tgx+cc=0=0

Это квадратное уравнение относительно новой переменной z=tgxz=tgx..

Пусть теперь в однородном тригонометрическом уравнении aasinsin22x+x+bbsinxcosx+sinxcosx+cccoscos22x=0x=0 коэффициент а=0а=0, то есть отсутствует член aasinsin22xx. Тогда уравнение принимает вид bbsinxcosxsinxcosx=0=0. . Это уравнение можно решить методом разложения на множители:

cosx(cosx(bbsinx+sinx+cccosx)=0cosx)=0

cosx=0 cosx=0 или или bbsinxsinx+c+ccosx=0cosx=0

Получились два уравнения, которые мы умеем решать.

Аналогично обстоит дело и в случае, когда c=0c=0, то есть когда однородное уравнение принимает вид aasinsin22x+x+bbsinxcosx=0sinxcosx=0 (здесь можно вынести за скобки sinxsinx).

Фактически мы выработали алгоритм решения однородных тригонометрических уравнений второй степени.

Алгоритм решения однородных Алгоритм решения однородных тригонометрических уравнений тригонометрических уравнений

второй степенивторой степени

Посмотреть, есть ли в уравнении Посмотреть, есть ли в уравнении член член asinasin22xx;;

Если этот член содержится, то есть Если этот член содержится, то есть аа≠≠0, то уравнение решается 0, то уравнение решается делением обеих его частей на делением обеих его частей на coscos22x x и последующим введением новой и последующим введением новой переменнойпеременной z=tgx z=tgx;;

Если этот член содержится, то есть Если этот член содержится, то есть а=0, то уравнение решается а=0, то уравнение решается методом разложения на методом разложения на множители: за скобки выносят множители: за скобки выносят cosxcosx;;

Так же обстоит дело и в однородном тригонометрическом уравнении второй

степени вида

aasinsin22mmx+x+bbsinsinmmxcosxcosmmx+x+cccoscos22mmx=0x=0

ПримерыПримеры

№№1. 1. Решить уравнение Решить уравнение sinsin22x-3sinxcosx+2cosx-3sinxcosx+2cos22x=0.x=0.

Решение.Решение. sinsin22x-3sinxcosx+2cosx-3sinxcosx+2cos22x=0x=0 \ \ ÷÷ coscos22xx

tgtg22x-3tgx+2=0x-3tgx+2=0

Введем новую переменную Введем новую переменную z=tgxz=tgx

zz22-3z+2=0 z-3z+2=0 z11=1, z=1, z22=2=2

tgx=1 tgx=2tgx=1 tgx=2

x= x= ππ/4/4+ + ππn, nn, n € € Z x=arctg2 + Z x=arctg2 + ππn, nn, n € € Z Z

№№2. 2. Решить уравнение √3Решить уравнение √3sinxcosx+cossinxcosx+cos22x=0.x=0.

Решение.Решение. cosx(cosx(√3√3sinx+cosx)=0sinx+cosx)=0

cosx=0 cosx=0 или √3или √3sinx+cosxsinx+cosx=0=0 \ ÷ cosx≠0 \ ÷ cosx≠0

x= x= ππ//2+ 2+ ππn, nn, n € € Z Z √3√3tgx+1=0tgx+1=0

tgx=-1tgx=-1/ √3/ √3

x=arctg(-1x=arctg(-1/ √3/ √3) + ) + ππn, nn, n € € Z Z

x=- x=- ππ//6+ 6+ ππn, nn, n € € Z Z