ТригонометрическТригонометрическиеие уравненияуравнения

• Уравнение называется Уравнение называется тригонометрическим если оно тригонометрическим если оно

содержит переменную под знаком содержит переменную под знаком тригонометрической функциитригонометрической функции

• Sin x = ½Sin x = ½ ; ; • cos x + cos x + = 0= 0 ; ;

• 2sin 2sin 22 x + sin x + sin X – 1= 0X – 1= 0 ; ;

2

3

Простейшие Простейшие тригонометрические тригонометрические

уравненияуравнения •Sin x = a Sin x = a

•Cos x = aCos x = a

•tg x = a tg x = a

•Ctg x = aCtg x = a

Уравнение вида Уравнение вида cos x = a cos x = a

• 11.если .если |a| >1|a| >1,то уравнение ,то уравнение cos x = a cos x = a не не имеет решения. Например, имеет решения. Например, cos x = 3; cos x cos x = 3; cos x

= -2= -2.4..4.

• 2.если 2.если |a| < 1|a| < 1,то уравнение имеет решения ,то уравнение имеет решения

x = ± arccos a + 2x = ± arccos a + 2ппnn, , nnээzz..

1

-1

0 п/2

п 3п/2

5п/2

-п/2

-п

-3п/2

-2п

2п

x

y

Частные решения уравнения Частные решения уравнения coscos x = a x = a

• 11. . cos x = 1 cos x = 1

x = 2x = 2ппnn, , nnээzz..

2. 2. cos x = -1cos x = -1

x = x = пп + 2 + 2ппnn, , nnээzz..

3. 3. cos x = 0 cos x = 0

x = x = пп/2 + /2 + ппnn, , nnээzz..

Практические заданияПрактические задания

Решить уравнения :Решить уравнения :

1) 1) cos x + ½ = 0 cos x + ½ = 0

2) 2cos x – 2 = 02) 2cos x – 2 = 0

3) cos 3) cos 22 x – sin x – sin

22 x = 1 x = 1

4) cos 4) cos 22 x – cos x = 0 x – cos x = 0

Уравнение вида Уравнение вида sin x = asin x = a

• 1.если 1.если |a| > 1|a| > 1,то уравнение ,то уравнение sin x = a sin x = a не имеет не имеет решения.решения.

• 2.если 2.если |a| < 1|a| < 1,то уравнение ,то уравнение sin x = a sin x = a имеет решения.имеет решения.

x = (-1)x = (-1)nn arcsin a + arcsin a + п пnn, , nnээzz..

1

-1

0 п/2

п3п/2

5п/2

-п/2

-п

-3п/2

-2п

2п

x

y

Частные решения уравнений Частные решения уравнений cos x = acos x = a

• 11.. cos x = 1 x = 2 cos x = 1 x = 2ппnn,, n nээzz..

• 22.. cos x = -1 x = cos x = -1 x = пп + + 2п 2пnn, , nnээzz..

• 33.. cos x = 0 cos x = 0 x = x = пп//2 + п2 + пnn, , nnээzz..

Уравнение вида Уравнение вида tg x = atg x = a

• 11. уравнение. уравнение tg x = a tg x = a имеет решение имеет решение при любом значении при любом значении a a

• 22. частных решений нет.. частных решений нет.

Уравнение вида Уравнение вида ctg x ctg x == a a

• 1.Уравнение 1.Уравнение ctg x = a ctg x = a имеет имеет решение при любом значении решение при любом значении aa..

• 2. частных решений нет2. частных решений нет..

Самостоятельная работа.Самостоятельная работа.• 1. 1. sin x = ½ sin x = ½ 10. 10. sinX – cos x = 0 sinX – cos x = 0

• 2. 2. 2sin x +√2 = 02sin x +√2 = 0

• 3. 3. sin sin 22 x – 2sin x = 0 x – 2sin x = 0

• 4.4. cos x cos x ++ √2/2 = 0 √2/2 = 0

• 5.5. cos x – ½ = 0 cos x – ½ = 0

• 6.6.cos cos 22 x – cos x = 0 x – cos x = 0

• 7.7.tg x = 1 tg x = 1

• 8.8. tg x + √3 = 0 tg x + √3 = 0

• 9.9. ctg x – 1/√3 = 0 ctg x – 1/√3 = 0

Проверь себя.Проверь себя.• 1.(-1)1.(-1)nn пп/6 + /6 + ппnn,, n nээzz. 10.п. 10.п\4+\4+ппnn,, n nээzz..

• 2.2.(-1)(-1)nn+1+1 * * пп/4 + /4 + ппnn,, n nээzz..

• 3.п3.пnn,, n nээzz..

• 4. ±4. ±-- 33пп/4 + 2/4 + 2ппnn,,nnээzz..

• 5.+5.+-- п п/3 + 2/3 + 2ппnn,,nnээzz..

• 6.п6.п/2 /2 +п+пnn,, n nээz; 2z; 2ппnn, , nnээzz..

• 7.п7.п/4 /4 + п+ пnn, , nnээzz..

• 8.-п8.-п/3 + /3 + ппnn, , nnээzz..

• 9.п9.п//3 + п3 + пnn, , nnээzz..