第四章 Z 变换 §4-1 引言

第四章 第四章 ZZ 变换变换 §4-1 §4-1 引言引言

信号与系统的分析方法有时域、变换域两种。信号与系统的分析方法有时域、变换域两种。一一 .. 时域时域分析法分析法 1.1. 连续时间信号与系统：连续时间信号与系统：

信号的时域运算，时域分解，经典时域信号的时域运算，时域分解，经典时域 分析法，近代时域分析法，卷积积分。分析法，近代时域分析法，卷积积分。 2.2. 离散时间信号与系统：离散时间信号与系统：

序列的变换与运算，卷积和，差分方程序列的变换与运算，卷积和，差分方程 的求解。的求解。

二 . 变换域分析法

1. 连续时间信号与系统： 信号与系统的频域分析、复频域

分析。

2. 离散时间信号与系统： Z 变换， DFT(FFT) 。

Z 变换可将差分方程转化为代数方程。

n

nznxnxZzX )()]([)(

§4-2 Z 变换的定义及收敛域一 .Z 变换定义：

序列的 Z 变换定义如下：

jSez

ezST

Tj

,

* 实际上，将 x(n) 展为 z-1 的幂级数。

二 . 收敛域

1. 定义 : 使序列 x(n) 的 z 变换 X(z) 收敛的所有 z 值的 集合称作 X(z) 的收敛域 .

2. 收敛条件： X(z) 收敛的充要条件是绝对可和。

Mznxn

n)(即：

3.3. 一些序列的收敛域一些序列的收敛域(1).(1). 预备知识预备知识

阿贝尔定理阿贝尔定理 :: 如果级数 ，在 如果级数 ，在 收敛收敛 ,, 那么那么 ,, 满足满足 00≤≤|z|<|z|z|<|z++|| 的的 z,z, 级数必绝对收级数必绝对收 敛。敛。 |z|z++|| 为最大收敛半径。为最大收敛半径。

)0( zz

0

)(n

nznx

]Re[z

]Im[zj

z

]Re[z

]Im[zj

z

同样 , 对于级数 ，满足

的 z ， 级数必绝对收敛。 |z_| 为最小收敛半径。

0

)(n

nznx zz

0 n2n1

(n)

. .

.x

(2). 有限长序列

n

nnnnxnx

其他,0

),()( 21

;)(,)()( 21

2

1

nnnznxznxzX nn

nn

n

，若

;)( 21 nnnznx n ，是有界的，必有考虑到

”平面 。“即所谓 有限

，外的开域也就是除所以收敛域

，则只要时，同样，当

，则只要时，因此，当

z

zzz

zzzzn

zzzzn

nnn

nnn

),0(,00

,0

0,/10

]Re[z

]Im[zj

1

1

,0

),()(

nn

nnnxnx

1 1

1

0

)()()()(nn nn n

nnn znxznxznxzX

x(n)

n0n1..

1...

3. 右边序列

* 第一项为有限长序列，第二项为 z 的负幂级数 ,

xR

]Re[z

]Im[zj

收敛域

第一项为有限长序列 , 其收敛域为 0<|z|<∞;第二项为 z 的负幂次级数，由阿贝尔定理可知, 其收敛域为 Rx-<|z|≤∞;两者都收敛的域亦为 Rx-<|z|<∞; Rx- 为最小收敛半径。

(4)(4) 因果序列因果序列

它是一种最重要的右边序列它是一种最重要的右边序列 ,, 由阿贝尔由阿贝尔

定理可知收敛域为：定理可知收敛域为：

0,0

0),()(

n

nnxnx

zRx

2

2

1

0

)()(

)()(

n

n

n

n

n

n

n

n

znxznx

znxzX

(5) 左边序列

2

2

,0

),()(

nn

nnnxnx

x(n)

0 n n2

xRz0故收敛域为

z0

xR

]Re[z

]Im[zj

xRz

第二项为有限长序列 , 其收敛域 ; 第一项为 z 的正幂次级数，根据阿贝尔定理 , 其收敛域为 ; 为最大收敛半径 .

xRz0

双边序列指双边序列指 nn 为任意值时为任意值时 ,,xx(n)(n) 皆有值的序列，即皆有值的序列，即左左边序列边序列和右边和右边序列之和。序列之和。

0

1

)()()()(n n

nn

n

n znxznxznxzX

(6) 双边序列

0 n

x

第二项为左边序列，其收敛域为：

第一项为右边序列 ( 因果 ) 其收敛域为：

xRz0

xRz

xR

]Re[z

]Im[zj

xR

当 Rx-<Rx+ 时，其收敛域为 xx RzR

)()( nnx

021 nn

1)()]([ 0

ZZnnZ n

n

其收敛域应包括

即 充满整个 Z 平面。

,,0 zz

,0 z

[ 例 2-1] 求序列 的 Z 变换及收敛域。

解：这相当 时的有限长序列，

n

n

nn

nnn

n

n

azazaz

azzaznuazX

)()(1

)()()(

1211

0

1

0

)()( nuanx n

当 时，这是无穷递缩等比级数。az

为解析函数，故收敛。

外，为极点，在圆

。

)(

1

1

1,

111

zX

azaz

az

z

azq

aSazq

[ 例 2-2] 求序列 的 Z 变换及收敛域。 解：

* 收敛域一定在模最大的极点所在的圆外。

]Re[z

]Im[zj

z

a0

收敛域： az

[[ 例例 2-3]2-3] 求序列 求序列 变换及收敛 变换及收敛域。域。

n

n

n n n

nnnnn

zbzbzb

zbzbznubnx

)()(

)1()(

1211

1

1

)1()( nubnx n

同样的，当 |b|>|z| 时，这是无穷递缩等比级数，收敛。

]Re[z

]Im[zj

b收敛域： bz

* 收敛域一定在模最小的极点所在的圆内。

bz

zzb

zbzX

1

1

1)(故其和为

§4-3 Z§4-3 Z 反变换反变换

一一 .. 定义：定义：

已知已知 X(z)X(z) 及其收敛域及其收敛域 ,, 反过来求序列反过来求序列 xx(n)(n)

的变换称作的变换称作 ZZ 反变换。反变换。

)]([)( 1 zXZnx 记作：

),(,)(2

1)(

,)()(

1

xxc

n

xxn

n

RRcdzzzXj

nx

RzRznxzX

反：

正：

]Im[zj

]Re[z

xR

xR

z 变换公式：

C 为环形解析域内环绕原点的一条逆时针闭合单围线 .

0

c

1. 留数法 由留数定理可知：

cm

zznn

ck

zznn

m

k

zzXsdzzzXj

zzXsdzzzXj

])([Re)(2

1

])([Re)(2

1

11

11

为 c 内的第 k 个极点， 为 c 外的第 m个极点，

Res[ ] 表示极点处的留数。

mzkz

二 . 求 Z 反变换的方法

2 、当 Zr 为 l阶 ( 多重 ) 极点时的留数：

r

r

zznl

rl

l

zzn

zzXzzdz

d

l

zzXs

])()[()!1(

1

])([Re

11

1

1

留数的求法：

1 、当 Zr 为一阶极点时的留数：

rr zzn

rZZn zzXzzzzXs

])()[(])([Re 11

[[ 例例 2-4] 2-4] 已知已知

解解 ::

11 ）当）当 nn≥-1≥-1 时时 ,, 不会构成极点，所以这不会构成极点，所以这时时 CC 内只有一个一阶极点内只有一个一阶极点 因此因此

44

1,

)4

1)(4(

)(2

zzz

zzX

)41

)(4()(

11

zz

zzzX

nn

1nz

4

1rz

1,415

1

41

4

)41

(

)]4

1)(4/([Re)(

1

4

11

n

zzzsnx

n

n

z

n

，求 z 反变换。

22 ）当）当 n≤-2n≤-2 时，时， X(z)zX(z)zn-1n-1 中的中的 zzn+1n+1 构成构成 n+1n+1 阶极点。阶极点。 因此因此 CC 内有极点：内有极点： z=1/4(z=1/4( 一阶一阶 ), z=0), z=0 为为 (n+1)(n+1) 阶极点；而在阶极点；而在 CC 外仅有 外仅有 z=4(z=4( 一阶一阶 )) 这个极点这个极点 ::

2,415

1

41

4

)4(

)]4

1)(4/([Re)(

21

41

n

zzzsnx

nn

zn

2,415

1

1,415

1

)(2 n

nnx

n

n

因此

2. 部分分式法 有理式：数字和字符经有限次加、减、乘、除运算 所得的式子。 有理分式：含字符的式子做分母的有理式，或两个多项 式的商。分子的次数低于分母时称为真分式。 部分分式：把 x的一个实系数的真分式分解成几个分式

的和，使各分式具有 或 的形式 ，其中 x2+Ax+B是实数范围内的不可约 多项式，而且 k 是正整数。这时称各分式为原分 式的“部分分式”。

kAx

a

)( kBAxx

bax

)( 2

通常，通常， X(z)X(z) 可可表成有理分式形式：表成有理分式形式：

因此，因此， X(z)X(z) 可以展成以下部分分式形式可以展成以下部分分式形式

其中，其中， M≥NM≥N 时，才存在时，才存在 BBnn ；； ZZkk 为为 X(z)X(z) 的各单极点，的各单极点，ZZii 为为 X(z)X(z) 的一个的一个 rr 阶极点。而系数阶极点。而系数 AAkk ，， CCkk

分别为：分别为：

iN

ii

M

i

ii

za

zb

zA

zBzX

1

0

1)(

)()(

r

kk

i

krN

k k

kNM

n

nn zz

C

zz

AzBzX

11

11

0 )1(1)(

rkzz

rikr

kr

k

zzk

i

k

z

zxzz

dz

d

krC

zzXsA

2,1,

)()[(

)!(

1

])([Re

2,)5.01()21(1)( 11 zzzzX

5.02)5.0)(2(

)(

)5.0)(2()5.01)(21(

1)(

21

2

11

z

A

z

A

zz

z

z

zX

zz

z

zzzX

的 z 反变换。

[ 例 2-5] 利用部分分式法，求

解：

分别求出各部分分式的 z 反变换（可查 P54表 2-1 ），然后相加即得 X(z) 的 z 反变换。

5.03

1

23

4)(

3

1]

)()5.0[(

3

4]

)()2[(

5.02

21

z

z

z

zzX

z

zXzA

z

zXzA

z

z

0,0

0,)5.0(3

12

3

4)(

1.254

,2

n

nnx

p

z

nn

得表查

又

3.3. 幂级数展开法幂级数展开法 (( 长除法长除法 )) 因为 因为 xx(n) (n) 的的 ZZ 变换为变换为 ZZ-1-1 的幂级数，即的幂级数，即

所以在给定的收敛域内，把所以在给定的收敛域内，把 X(z)X(z) 展为幂级数，其系数就展为幂级数，其系数就

是序列是序列 xx(n)(n) 。。 如收敛域为如收敛域为 |z|>|z|>RRx+x+ ， ， xx(n)(n) 为因果序列，则为因果序列，则 X(z)X(z) 展成展成

ZZ 的负幂级数。的负幂级数。 若 收敛域若 收敛域 |Z|<|Z|<RRx-x-, , xx(n)(n) 必为左边序列，主要展成必为左边序列，主要展成 ZZ 的正幂级数。 的正幂级数。

210

2

)2()1()0(

)1()2()()(

zxzxzx

zxzxznxzXn

n