1

第 7 章 投影变换 本节教学目标

– 1. 了解如何绘制投影图– 2. 理解变换矩阵在投影变换中的作用。– 3. 学会如何用计算机绘制投影图

本节教学效果– 1. 体会，计算机图形、数学、照片效果之间的关系。– 2. 意向，有意识地利用 p 、 q 、 r 来控制投影的不同效

果。– 3. 能力，能够用投影变换矩阵绘制投影图。

本节教学内容– 1. 一点二点三点透视投影的基本概念– 2. 透视投影中的一点透视变换矩阵的推导

2

学习透视的意义思考问题： 集体照为什么会变形（视距对图象的影响）

– 广角的视距短，中央变形小，边沿变形大。 如何照人像（长焦与广角的选取）

– 应选用变形小的长焦，避免变形大的广角。 如何表现立体感（远近感对图象的影响）

– 表现远山和近树的立体感，应使用远近感强的广角。

取景的角度（一点、二点、三点透视）– 一点透视：表现深邃和长远，如室内装潢和城墙。– 二点透视：表现宏伟和宽广，如高大的建筑。– 三点透视：表现高大和反差，如人与蚂蚁。

3

学习透视的意义思考问题： 地平线的高度由什么决定（视高）

– 物体在无穷远处的投影会聚成灭点，高度为视平面，地平线的高度由视高（观察点的高度）决定。

为什么人眼观察景物是近大远小。– 透视效果。

什么是标准镜头？– 50mm 焦距镜头的远近感近似于人眼，叫标准镜头。

透视概念的应用– 照相机与摄象机的使用技巧（焦距，视角，视高）– CAI 画面的设计、用户界面的设计、涉及图形图象的开

发等

4

学习透视的意义

左、上、右分别是 28mm广角、 50mm 标准、 200mm长焦镜头的照片。 人与车的距离始终没有变，

而临场感、立体感、远近感完全不同。

5

画面

视距 D

站点

视高

视点

视平线

视平面

基面

立体

透视图的形成透视投影示意图：

6

透视图说明 1

在观察者与物体之间放置一透明的画面 π ，透视投影中心即眼睛的位置 E ，称之为视点。

视点与物体上各点的连线称为视线，如图中的 EA ， EB ，…，它们与画面交于 a ，b ，…各点，这些点分别称为 A ， B ，…各点的透视。

将物体上各点的透视连接起来便得到立体的透视投影图。

7

透视图说明 2 基面：放置物体的平面，通常为水平面。（地面，基准） 视点：投影中心。（观察者眼睛的位置，一点或多点透视） 站点：视点在基面上的投影。（站立的位置） 视高：视点到基面的距离。（相机离地面的高度，俯视或仰

视） 视距：视点到画面的距离。（镜头到胶片的距离，焦距，影

响远近感） 视角：于物体最左最右轮廓相交的两条水平视线之间的夹角，

一般取 28° ～ 30° 。 水平视线：平行于基面的视线。 灭点：不平行于投影平面的平行线在无穷远点的透视投影。

（体现为同组平行棱线延长后的交点）。 视平面：过视点平行于画面的交线。（灭点会聚于视平面）

8

透视图说明 2

由于物体与画面的相对位置不同，物体长、宽、高三个主要方向的轮廓线有的与画面平行，有的与画面不平行，与画面不平行的某方向的一组轮廓线，其透视必交于灭点（又称主灭点）；而与画面平行的某方向的轮廓线，其透视仍互相平行，没有灭点。

随着物体与画面的相对位置不同透视图上的灭点数目也不同，因而透视图共有三种，即一点、二点、三点透视。

9

透视投影 1 透视投影

• 一点透视——有一个主灭点，即投影面与一个坐标轴相交，与另外两个坐标轴平行，或曰：投影面与 VHW 三平面之一平行。（侧看火车出隧道）

• 二点透视——有二个主灭点，即投影面与二个坐标轴相交，与另一个坐标轴平行。（近看宽广的城墙）

• 三点透视——有三个主灭点，即投影面与三个坐标轴相交，用得不多，困难于构造。（鸟瞰高大宏伟的大厦）

表现遥远 表现宽广 表现宏伟

10

透视投影 2

在透视投影中一组平行的线将共同消失在无穷远处， 称之为灭点。

若该组平行线与某坐标轴平行，则称此灭点为 主灭点。

根据主灭点的个数确定一点，两点，三点透视。 一点透视展示一个方向的远近感， 二点透视展示二个方向的远近感， 三点透视展示三个方向的远近感。

11

一点透视 一点透视

– 物体有 XYZ 三组棱线。物体的主要平面平行于画面时，只有与画面垂直的那一组棱线（下图的 Y ）透视有灭点，故称为一点透视。

x

y

z

o

12

一点透视• 三维变换矩阵：（见孙家广 P106 ）

• 其中：

• 产生透视效果。

snmk

rjih

qfed

pcba

T

T

rqp

13

一点透视 1

先假设 p=0 ， q≠0 ， r=0 。然后对点（ x,y,z ）进行变换。

结果如下：

对结果进行齐次化处理得：

1

1000

0100

010

0001

1

qyzyxq

zyx

1'''1111

zyxqyz

qyy

qyx

14

一点透视 2 （推导 P139 ）

z’

y2- y1

y2- y

x

x’

z

(x,y,z)

(x’,y’,z’)

X

Z

Y

y1

y2

y

yy

yy

z

z

2

12'

yy

yy

x

x

2

12'

15

一点透视 当 y 的值不同时，上式会产生不同的结果：

– 当 y=0时，得：

– 即处于 y=0 的平面内的 x 与 z 点，经过变换以后没有发生变化。

– 当 y→∞时，得：

zz

y

xx

'

0'

'

0'

1

1

1'

0'

zqqy

y

xx

y

z

o

16

一点透视 这说明当 y→∞时，所有的点的变换结果都集中到了 y 轴

上的 1/q 处，即所有平行于 y 轴的直线将延伸相交于此点（ 0 ， 1/q ， 0 ），该点称为灭点，这样的一个灭点的透视变换称为一点透视。

有三种情况：– 如果 p≠0 ， q=0 ， r=0 。在 x 轴上的 1/p 处产生一个

灭点，其坐标值为（ 1/p,0,0 ）。所有平行于 x 轴的直线将延伸交于该点。

– 如果 p=0 ， q≠0 ， r=0 。在 y 轴上的 1/q 处产生一个灭点，其坐标值为（ 0,1/q,0 ）。所有平行于 y 轴的直线将延伸交于该点。

– 如果 p=0 ， q=0 ， r≠0 。在 z 轴上的 1/r 处产生一个灭点，其坐标值为（ 0,0,1/r ）。所有平行于 z 轴的直线将延伸交于该点。

17

一点透视 将物体放置在图（ a ）的 +y 位置，产生则图（ b ）的投

影。 y=0 的绿线的长短没有变化， y≠0 的红线变长。效果不好。

x

y

z

ox

z

o

观察点 图 a 图 b

1 1

1

1

z=0 的下侧面和 x=0 的右侧面产生积聚性。

18

一点透视 透视效果不好的原因之一是物体放在画面的前面，故得到

放大的透视图。另一原因是视点在 y 轴上，使得 z=0 的下侧面和 x=0 的右侧面产生积聚性（重叠在一条线上）。

解决的方法：– 将物体沿 -y 方向平移，使其位于画面之后，避免透视图

放大。– 将物体沿 +x 方向平移，避免右侧面产生积聚性。– 将物体沿 -z 方向平移，提高视点，获得俯视效果 。

19

一点透视 将物体沿 +x ， -y ， -z 方向平移的过程：

原始图

x

z

y

+x 平移

x

z

y

-z 平移

x

z

y

-y 平移x

z

y

z

x 新透视图符合一般视觉习惯。

20

一点透视 物体沿+x，-y，-z方向平移后一点透视变换矩阵T1：

其中：

D为视距

10

0100

000

0001

1000

0100

000

0001

1

0100

0010

0001

1

mqnl

qq

nml

T

平移 透视投影

于 xoz 平面

Dq

1

21

一点透视 改变视距 D ，则产生不同的远近感效果。 当： q=-0.35, D=2.85时，为蓝色效果，远近效果较弱。 。

当： q=-0.5, D=2时， 为红色效果，远近效果较强。z

xz

x

22

二点透视• 二点透视效果图

23

二点透视 二点透视变换矩阵：

1000

100

0010

001

1 r

p

T

24

二点透视 二点透视变换矩阵：

将三维物体平移到适当的位置 旋转一个角度 φ 进行二点透视投影变换 向 xOy 平面进行正投影

1000

0000

0010

0001

1000

100

0010

001

1000

0cos0sin

0010

0sin-0cos

1

0100

0010

0001

2 r

p

nml

Tφφ

φφ

25

二点透视 两点透视（成角透视）

– 效果图（陈传波 P200 ）

26

三点透视 二点透视变换矩阵：

1000

100

010

001

1 r

q

p

T

27

三点透视 三点透视变换矩阵：

将三维形体平移到适当的位置 将形体进行透视投影变换 绕 y 轴旋转一个角度 φ 绕 x 轴旋转一个角度 θ 向 xOy 平面进行正投影

1000

0000

0010

0001

1000

0cossin-0

0sincos0

0001

1000

0cos0sin

0010

0sin-0cos

1000

100

010

001

1

0100

0010

0001

3 φφ

φφ

φφ

φφ

r

q

p

nml

T

28

三点透视• 三点透视：

29

实验二 二维图形几何变换•旋转•平移•错切•一点透视投影（计算机图形学基础 陈传波 P197 ）

作业