1. 线性特性 2. 共轭对称特性 3. 对称互易特性

4. 展缩特性 5. 时移特性 6. 频移特性

7. 时域卷积特性

8. 频域卷积特性 9. 时域微分特性 10. 积分特性 11. 频域微分特性 12. 能量定理

2.4 傅里叶变换的基本性质

，；若 )()( )()( 2211 jXtxjXtx FF

)()()()( 2121 bXaXtbxtax 则

其中 a和 b均为常数。

1. 线性特性

2.奇偶虚实性

x(t) 的付氏变换式 X(f) 可由实部虚部组成：

如果 x(t) 是实偶函数 ,则 X(f) 为实偶函数。如果 x(t) 是实奇函数 ,则 X(f) 为虚奇函数。

同理 :如 x(t) 是虚偶函数， X(f) 也为虚偶函数；

如 x(t) 是虚奇函数， X(f) 为实奇函 .

)()( jXtx 若 0t-j0 )()( ejXttx 则

式中 t0 为任意实数

证明： dtettxttxF tj-00 )()]([

令 u= t-t0 ，则 du=dt ，代入上式可得

dueuxttxF )ut(j-0

0)()]([

0t-j)( ejX

信号在时域中的时移，对应频谱函数在频域 中产生的附加相移，而幅度频谱保持不变。

3 ． 时移特性

0

A

2

t

2

)(tf

0

A

t

)(1 tf

T

[ 解 ] 无延时且宽度为的矩形脉冲信号 f(t) 如右图，

)2

()( SaAjX

Tj1 )()( -ejXjX

)()(1 Ttxtx

Tj-)2

( eSaA

因为 故，由延时特性可得

其对应的频谱函数为

[例 1] 试求图示延时矩形脉冲信号 x1(t) 的频谱函数 X1(jw) 。

若

则

)()( jXtx

)]([)( 0j 0 jXetx t

dteetxetxF ttt j-jj 00 )(])([

式中ω0 为任意实数

证明：由傅立叶变换定义有

dtetx t)-j(- 0)(

)]([ 0 jX

4. 频移特性（调制定理）

证明:

)()( jXtx 若 )(1

)(ajX

aatx

则

dteatxatxF tj-)()]([

)(1

)(1

)]([u

aj-

ajX

adueux

aatxF

令 u=at ，则 du=adt ，代入上式可得

时域压缩，则频域展宽；展宽时域，则频域压缩。

5. 展缩特性

0

A2

)2(2 F

0

A

)(F

2

2

)2( tf

t

A

4

4

)(2

1 tf

t 0

)(tf

t

2

2

0

A2

1

)2

1(

2

1 F

4

4

)(tf

2

2

0

A

t

E

)(F

2

4

2

4

6

t

2)(tF

2

0A

)(f

20

2

00

A

)()( jXtx 若 )(2)( xtX则

6. 互易对称特性

]cos)([ 0ttxF ] )([2

1])([

2

100 j-j tt etxFetxF

信号 x(t) 与余弦信号 cosw0 t 相乘后，其频谱是将原来信号频谱向左右搬移 w0 ，幅度减半。

]sin)([ 0ttxF

)]([2

1)]([

2

100 jXjX

)]([2

)]([2 00 jX

jjX

j

同理] )([

2

1])([

2

100 j-j tt etxF

jetxF

j

)2

()( SaAjX

]cos)([ 0ttxF )]([2

1)]([

2

100 jXjX

应用频移特性可得

[解 ] 已知宽度为的矩形脉冲信号对应的频谱函数为

]}2

([]

2

([{

2

1 )0)0

SaASaA

[ 例 2] 试求矩形脉冲信号 x(t) 与余弦信号 cosw0 t 相乘后信号的频谱函数。

0

)( jF

0 00

)( jF

0

A

2/t

2/

)(tf

2/

A

t2/

ttf 0cos)(

若 则

)()( jXtx

)()( jXjdt

dx

)()( jXjdt

xd nn

n

7. 时域微分特性

[ 解 ]

)2

()2

()(' tAtAtx

2j

2j

)]('[ -

AeAetxF

)()()]('[ jXjtxF

)2

()2

sin(2

)(

SaA

AjX

由上式利用时域微分特性，得

)2

sin(2jA

因此有

)2

sin(2jA

0

(A )

2/t

2/

)(' tf

( A )

)(tf

2

2

0

A

t

[ 例 3] 试利用微分特性求矩形脉冲信号的频谱函数。

若信号不存在直流分量即 X(0)=0

)()( jXtx 若

)()0()(1

)(

XjXj

dxt

则

)(1

)(

jXj

dxt

则

8. 积分特性

若 )()( jXtx

n

nnn

d

jdXjtxt

)(

)(

dtetxjX t j-)()(

dtetxjtdted

dtx

d

jdX tt

j-j- )]()[()(

)(

dtetxtd

jdXj t

j-)]([

)(

将上式两边同乘以 j得

证明：

d

jdXjtxt

)()( 则

9. 频域微分特性

)()( )()( 2211 jXtxjXtx 若

)()()()( 2121 jXjXtxtx 则

dtedtxxtxtxF tj2121 ])()([)]()([

ddtetxx ])()[( tj21

)()( 21 jXjX

证明：

dejXx j-

21 )()(

10. 时域卷积特性

证明：

)()( )()( 2211 jXtxjXtx 若

)]()([2

1)()( 2121

jXjXtxtx 则

dtetxtxtxtxF

tj-

2121 )]()([)]()([

dtdejXetx ])(2

1[)( tj

1tj

2

])([)(2

1 t)-j(-21 dtetxdjX

])]([)(

2

121 djXjX

)]()([

2

121

jXjX

11. 频域卷积特性 (调制特性 )

1. 线性特性 2. 对称互易特性 3. 展缩特性 4. 时移特性 5. 频移特性 6. 时域卷积特性 7. 频域卷积特性

8. 时域微分特性 9. 积分特性 10. 频域微分特性

)(2)( fjtF

)(1

)(ajX

aatx

0t-j0 )()( ejXttx

)]([)( 0j 0 jFetx t

)()()()( 2121 jXjXtxtx

)]()([2

1)()( 2121

jXjXtxtx

)()( jXjdt

xd nn

n

)()0()(1

)(

XjXj

dxt

n

nnn

d

jdXjtxt

)(

)(

)()()()( 2121 bXaXtbxtax

傅立叶变换性质一览表