15 จำนวนจริง ตอนที่2_การแยกตัวประกอบ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

เรอง

จ านวนจรง (เนอหาตอนท 2)

การแยกตวประกอบ

โดย

ศาสตราจารย ดร.กฤษณะ เนยมมณ

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

1

สอการสอน เรอง จ านวนจรง สอการสอน เรอง จ านวนจรง มจ านวนตอนทงหมดรวม 17 ตอน ซงประกอบดวย

1. บทน า เรอง จ านวนจรง 2. เนอหาตอนท 1 สมบตของจ านวนจรง

- ระบบจ านวนจรง - สมบตพนฐานของระบบจ านวนจรง

3. เนอหาตอนท 2 การแยกตวประกอบ - การแยกตวประกอบ

4. เนอหาตอนท 3 ทฤษฎบทตวประกอบ - ทฤษฎบทเศษเหลอ - ทฤษฎบทตวประกอบ

5. เนอหาตอนท 4 สมการพหนาม - สมการพหนามก าลงหนง - สมการพหนามก าลงสอง - สมการพหนามก าลงสง - การประยกตสมการพหนาม

6. เนอหาตอนท 5 อสมการ - เสนจ านวนและชวง - อสมการทเกยวของกบพหนามก าลงหนง - อสมการทเกยวของกบพหนามก าลงสง

7. เนอหาตอนท 6 เทคนคการแกอสมการ - อสมการในรปเศษสวน - การแกอสมการโดยวธการยกก าลงสอง - การแกอสมการโดยการแทนคาตวแปร - การประยกตโจทยการแกอสมการ

8. เนอหาตอนท 7 คาสมบรณ - คาสมบรณ - สมการคาสมบรณ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

2

9. เนอหาตอนท 8 การแกอสมการคาสมบรณ - อสมการคาสมบรณ - โจทยประยกตอสมการคาสมบรณ

10. เนอหาตอนท 9 กราฟคาสมบรณ - กราฟคาสมบรณ

11. แบบฝกหด (พนฐาน 1) 12. แบบฝกหด (พนฐาน 2) 13. แบบฝกหด (พนฐาน 3) 14. แบบฝกหด (ขนสง) 15. สอปฏสมพนธ เรอง ชวงบนเสนจ านวน 16. สอปฏสมพนธ เรอง สมการและอสมการพหนาม (ก าลงไมเกนส) 17. สอปฏสมพนธ เรอง กราฟคาสมบรณ

คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนส าหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง จ านวนจรง นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆทคณะผจดท าไดด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

3

เรอง จ านวนจรง (การแยกตวประกอบ) หมวด เนอหา ตอนท 2 (2/9) หวขอยอย 1. การแยกตวประกอบโดยวธการดงตวรวม 2. การแยกตวประกอบโดยวธสามพจนสองวงเลบ 3. การแยกตวประกอบโดยวธก าลงสมบรณ 4. การแยกตวประกอบโดยวธผลตางก าลงสอง 5. การแยกตวประกอบโดยวธก าลงสามสมบรณ 6. การแยกตวประกอบโดยวธผลตางก าลงสามและผลบวกก าลงสาม

จดประสงคการเรยนร เพอใหผเรยน

1. ไดทบทวนการแยกตวประกอบโดยวธการดงตวรวม 2. ไดทบทวนการแยกตวประกอบโดยวธสามพจนสองวงเลบ 3. ไดทบทวนการแยกตวประกอบโดยวธก าลงสมบรณ 4. ไดทบทวนการแยกตวประกอบโดยวธผลตางก าลงสอง 5. ไดทบทวนการแยกตวประกอบโดยวธก าลงสามสมบรณ 6. ไดทบทวนการแยกตวประกอบโดยวธผลตางก าลงสามและผลบวกก าลงสาม 7. สามารถเลอกวธการแยกตวประกอบทเหมาะสม ในการแยกตวประกอบพหนาม

ผลการเรยนรทคาดหวง ผเรยนสามารถ 1. แยกตวประกอบโดยวธการดงตวรวมได 2. แยกตวประกอบโดยวธสามพจนสองวงเลบได 3. แยกตวประกอบโดยวธก าลงสมบรณได 4. แยกตวประกอบโดยวธผลตางก าลงสองได 5. แยกตวประกอบโดยวธก าลงสามสมบรณได 6. แยกตวประกอบโดยวธผลตางก าลงสามและผลบวกก าลงสามได 7. เลอกวธการแยกตวประกอบทเหมาะสม และน าไปใชในวธการนนในการแยกตวประกอบพหนามได

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

4

เนอหาในสอการสอน

เนอหาทงหมด

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

5

1. การแยกตวประกอบโดยวธดงตวรวม

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

6

1. การแยกตวประกอบโดยวธดงตวรวม ในสอตอนน ผเรยนจะไดทบทวนวธการแยกตวประกอบโดยวธการดงตวรวม ทผเรยนควรจะรมากอนท

จะเรมเรยนวธการแยกตวประกอบโดยทฤษฎบทแยกตวประกอบ แตกอนอนผสอนควรทบทวนผเรยนใหทราบความหมายของพหนาม และความส าคญของการแยกตว

ประกอบเสยกอน

หลงจากชมสอแลว ผสอนอาจยกตวอยางตอไปนเพมเตม ตวอยาง ก าหนดให 4 25 5 1f x x x x จงหา

1. 1f 2. 3 1f f

วธท า

1. 4 2

1 1 5 1 5 1 1 12f 2.

2 44 43 1 3 5 3 5 3 1 1 5 1 5 1 1f f

112 2

110

#

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

7

ตวอยาง จงหาคา x ทสอดคลองกบสมการ 1 2 0x x วธท า จาก 1 2 0x x จะไดวา 1 0x หรอ 2 0x 1x หรอ 2x #

ตอไปผเรยนจะไดทบทวนวธการแยกตวประกอบโดยวธดงตวรวม

ผสอนอาจยกตวอยางตอไปนเพมเตม ตวอยาง จงแยกตวประกอบของพหนามตอไปน

1. a x y b x y 2. 2 232 64 8x x y xy

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

8

วธท า 1. a x y b x y a b x y 2. 2 2 232 64 8 8 4 8x x y xy x xy y #

ตวอยาง จงท าใหเปนรปอยางงาย

1. 2 2 212 36

6

x y xy

xy

2. 3 2

3

2 2

3 3

x y xy

x xy

วธท า

1. 2 2 2 12 312 36

6 6

xy xy yx y xy

xy xy

2 3xy y

2.

23 2

3 2

22 2

3 3 3

xy x yx y xy

x xy x x y

2

3

y #

แบบฝกหดเพมเตม เรอง การแยกตวประกอบ (การดงตวรวม)

จงแยกตวประกอบตอไปน 1. 2 2x x 2. 23 2x x 3. 3 24 2x x 4. 2 8y y 5. 3 23 6 9x x x 6. 2 28 2x y xy 7. 3 314 7x y xy 8. 2 23 6xyz x yz 9. 2 2 25xy z x yz xy z 10. 2 2 2 3 2 3 4 3 25 10 15x y z x y z x y z

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

9

ตอไปจะเปนเทคนคการแยกตวประกอบโดยวธดงตวรวมของพหนามทมสพจน

แบบฝกหดเพมเตม เรองการแยกตวประกอบ (ส พจน สอง วงเลบ)

จงแยกตวประกอบ 1. a b c a b d 2. 2 2x a b a b 3. 5 a b a b c 4. 2 2 2a ab ac bc 5. 2 5 5x ax x a 6. 2 2 2x x xy y 7. 4 3 2 2x x x 8. 4 34 8 2x x x 9. 3 2 1x x x 10. 2a ab ac bc

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

10

2. การแยกตวประกอบโดยวธสามพจนสองวงเลบ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

11

2. การแยกตวประกอบโดยวธสามพจนสองวงเลบ

ในหวขอน เราจะทบทวนเทคนคการแยกตวประกอบทเรยกวา สามพจนสองวงเลบ

ผสอนควรทบทวนการแยกตวประกอบแบบ สามพจนสองวงเลบ ในกรณทสมประสทธของ 2x ไมใช 1 ดวย ดงตวอยางตอไปน ตวอยาง จงแยกตวประกอบตอไปน

1. 22 3 1x x 2. 26 7 3x x 3. 26 7 3x x

วธท า

1. 22 3 1 2 1 1x x x x 2. 26 7 3 2 3 3 1x x x x 3. 26 7 3 2 3 3x x x x #

แบบฝกหดเพมเตม

เรองการแยกตวประกอบ (สามพจนสองวงเลบ) จงแยกตวประกอบ 1. 2 3 2x x 2. 2 9 18x x 3. 2 10 24x x 4. 2 6x x

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

12

5. 2 3 4x x 6. 2 12 85x x 7. 22 x x 8. 214 5x x 9. 2 3 4x x 10. 2 24 3a ab b 11. 2 2 4 5a b ab 12. 22 6x x 13. 24 5 9x x 14. 23 10 3x x 15. 28 2 3x x 16. 24 18 8x x 17. 26 7 2x x 18. 29 3 2x x 19. 28 6 2x x 20. 22 5 3x x

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

13

3. การแยกตวประกอบโดยวธก าลงสองสมบรณ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

14

3. การแยกตวประกอบ โดยวธก าลงสองสมบรณ ในหวขอน ผเรยนจะไดทบทวนเทคนคการแยกตวประกอบโดยวธ ก าลงสองสมบรณ

ผสอนอาจยกตวอยางตอไปน เพอใหผเรยนเหนถงการประยกตใชสตรก าลงสองสมบรณ

ตวอยาง ก าหนดให 12x

x แลว 2

2

1x

x มคาเทากบเทาไร

วธท า เนองจาก 12x

x

ดงนน 2

212x

x

2

2

12 4x

x

2

2

12x

x #

ตวอยาง จงเตมพจนใน เพอท าใหพหนามทก าหนดสามารถจดรปก าลงสองสมบรณได

1. 2 3x x 2. 24 2x x 3. 2 16x 4. 29 16x x

5. 1

4x

เฉลย

1. 9

4 2. 1

4 3. 8x 4. 64

9 5. 2x

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

15

วธท า 1. จาก 2

2 3x x 2 2น+ล = น + 2นล+ล

จะเหนไดวา xน= และ

2

x

x x

2นล = 32 ล = 3

3ล =

ดงนน 2 9

4 ล #

ตวอยาง จงหาคาของ 4 2 3

วธท า เนองจาก 2

3 1 4 2 3

ดงนน 4 2 3 3 1 #

ตวอยาง จงหาคาของ 9 2 18

วธท า เนองจาก 2

6 3 9 2 18

ดงนน 9 2 18 6 3 #

แบบฝกหดเพมเตม เรองการแยกตวประกอบ (ก าลงสองสมบรณ)

จงแยกตวประกอบของพหนามตอไปน 1. 2 4 4x x 2. 2 10 25x x 3. 2 6 9x x 4. 22 8 8x x 5. 24 8 4x x 6. 21

14

x x

7-10 จงเตมพจนใน เพอท าใหพหนามตอไปน สามารถจดใหอยในรปก าลงสองสมบรณได 7. 2 49x 8. 24 5x 9. 80 16y

10. 21 1

4 9x

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

16

4. การแยกตวประกอบโดยวธผลตางก าลงสอง

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

17

2 2a b a b a b

4. การแยกตวประกอบ โดยวธผลตางก าลงสอง

ในขอนผเรยนจะไดน าสตรของผลตางก าลงสอง มาชวยในการแยกตวประกอบ

การพสจนสตร

พสจน 2 2a b a b a ab ba b

2 2a b ตวอยาง จงแยกตวประกอบของพหนามตอไปน

1. 4 1x 2. 4 2x x

วธท า

1. 4 2 21 1 1x x x 21 1 1x x x 2. 4 2 2 2 1x x x x

2 1 1x x x # ตวอยาง จงแยกตวประกอบของพหนามตอไปน 1. 2 2x y x y 2. 2 3500 20a b b

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

18

2 220 25

20 5 5

b a b

b a b a b

วธท า 1. 2 2 2 2x y x y x y x y x y x y x y 1x y x y 2. 2 3500 20a b b #

แบบฝกหดเพมเตม เรองการแยกตวประกอบ (ผลตางก าลงสอง)

จงแยกตวประกอบ 1. 2 9x 2. 2 25x 3. 2 3x 4. 24 1b 5. 2 2 9x y 6. 3x x 7. 4 81x 8. 5 4 9a b a 9. 2 2x y x y 10. 249 81z

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

19

5. การแยกตวประกอบโดยวธก าลงสามสมบรณ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

20

3 23 2 2 3 2 3

3

8 12 6 2 3 2 3 2

2

x x y xy y x x y x y y

x y

5. การแยกตวประกอบโดยวธก าลงสามสมบรณ

ในหวขอน ผเรยนจะไดศกษาการน าสตร ก าลงสามสมบรณ มาชวยในการแยกตวประกอบ

ตวอยาง ก าหนดให 11x

x แลว 3

3

1x

x มคาเทากบเทาไร

วธท า เนองจาก

3

3

2

2 3

3

3

3

3

3

3

3

11

1 1 13 3 1

1 33 1

1 13 1

13 1

xx

x x xx x x

x xx x

x xx x

xx

ดงนน 3

3

12x

x #

ตวอยาง จงแยกตวประกอบของ 1. 3 2 2 38 12 6x x y xy y 2. 3 2 2 36 12 8x x y xy y

วธท า

1.

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

21

2 33 2 2 3 3 2

3

6 12 8 3 2 3 2 2

2

x x y xy y x x y x y y

x y

2.

#

แบบฝกหดเพมเตม เรองการแยกตวประกอบ (ก าลงสามสมบรณ)

1-7 จงแยกตวประกอบของพหนามตอไปน 1. 3 23 3 1x x x 2. 3 28 12 6 1x x x 3. 3 2 3 1

8 62 8

x x x

4. 3 22 6 6 2x x x 5. 2 31 9 27 27x x x 6. 3 2 2 34 8

23 27

x x y xy y

7. 3 2 2 327 135 225 125x x y y y

8. ก าหนดให 11x

x แลว 3

3

1x

x มคาเทากบเทาไร

9. จงหาคาของ 3 28 12 6 1

2 1

x x x

x

10. จงหาคาของ 3 2

1 3 1 3 1 1x x x

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

22

6. การแยกตวประกอบ โดยวธผลบวกก าลงสาม และผลตางก าลงสาม

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

23

6. การแยกตวประกอบโดยวธผลบวกก าลงสาม และผลตางก าลงสาม

ในขอน ผเรยนจะไดทบทวนการแยกตวประกอบ โดยใชสตรผลบวกก าลงสาม และผลตางก าลงสาม

ตวอยาง จงแยกตวประกอบของพหนามตอไปน 1. 3 3a b a b 2.

3128 2x y

วธท า 1. 3 3 3 3a b a b a b a b

2 2a b a ab b a b 2 2 1a b a ab b

2. 3 3128 2 2 64 1x y x y

22 4 1 16 4 1x y x y x y #

ตวอยาง จงหาคาของ 1 2 1

3 3 31 1 1 1 1x x x

วธท า เนองจาก 3 3 2 2น +ล = น+ล น นล+ล

จะไดวา 3

1 2 1 13

3 3 3 31 1 1 1 1 1 1x x x x

1 1x x #

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

24

แบบฝกหดเพมเตม เรองการแยกตวประกอบ (ผลตางก าลงสามและผลบวกก าลงสาม)

จงแยกตวประกอบ 1. 3 1a 2. 3 1a 3. 3 27b 4. 3 8b 5. 3 3 27a b 6. 3 364x y 7. 68 1000x 8. 38 1000x 9. 6 729y 10. 3 38 27x y #

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

25

สรปสาระส าคญประจ าตอน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

26

สรปสารส าคญประจ าตอน

เมอผเรยนไดทบทวนวธการแยกตวประกอบทง 6 วธแลว ผสอนอาจใหผเรยนทดลองท าแบบฝกหดระคน ดงตวอยางตอไปน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

27

ตวอยาง จงท าใหอยในรปอยางงาย

1. 2 2

3 2

12 6

64 4 16

m m m m

m m m

2. 2 2

2 2

2 24 12

16 6 9

a a a a

a a a

วธท า

1. 2 2 2 2

3 2 3 2

12 6 12 4 16

64 4 16 64 6

m m m m m m m m

m m m m m m

2

2

4 3 4 16

3 24 4 16

m m m m

m mm m m

1

2m

2.

2 2

22 2

6 4 4 32 24 12

16 6 9 4 4 3

a a a aa a a a

a a a a a a

6

3

a

a

#

ตวอยาง จงแยกตวประกอบของพหนามตอไปน

1. 4 2 2 4a a b b 2. 6 1x x

วธท า

1. 4 2 2 4 4 2 2 4 2 22a a b b a a b b a b

2 22 2a b ab

2 2 2 2a ab b a ab b

2. 26 1 6x x x x 3 2x x

#

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

28

ภาคผนวกท 1 แบบฝกหด/เนอหาเพมเตม

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

29

แบบฝกหดระคน

1-10 จงแยกตวประกอบของพหนามดงตอไปน 1. 2 5 4x x 2. 3 23 4 12a a a 3. 3 3 2 2x y xy x y 4.

34 x y x y

5. 3

27a b 6. 4 32 8 16x x x 7. 23 9 12x x 8.

2 216 2 4x y x y

9. 24 28 40x x 10. 2 24 4 8 4a b a b ab

11. 2

2x y x y แยกตวประกอบไดตรงกบขอใด 1. 2 1x y x y 2. 2 1x y x y 3. 2 1x y x y 4. 2 1x y x y

12. ขอใดใชสมบตการกระจาย 1. 2 2x x 2. 5 2 7x x 3. 2 4 2 2x y x y 4. 3 2 3x x x

13. ขอใดไมถกตอง

1. 21

11

aa

a

เมอ 1a

2. 23 9 3 3x x x x 3. ม a และ b ทท าให

22 2a b a b 4.

22 2a b a b ทก ,a b 14. ขอใดไมใชพหนาม

1. 2 1x x x 2. 3 2x x

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

30

3. 5 4. 3 1x

15. 2 1x เปนตวประกอบของพหนามใด 1. 26 1x x 2. 26 5 4x x 3. 22 3 1x x 4. 2 6x x

16. ก าหนดให 14x

x แลว 2

2

1x

x มคาเทากบเทาไร

1. 4 2. 16 3. 18 4. ขอมลไมพอ 17. ตวประกอบของ 4 32 8 16x x x คอขอใด

1. 32 8x x 2.

2 32 2 4x x x 3.

2 32 2 4x x x 4. 32 2 2 4x x x x

18. 3 22 33 3a b a a b a a a b

มคาเทากบเทาใด

1. 1 2. 3a 3. 3b 4. 3 3a b 19. ขอใดตอไปนไมถกตอง

1. 2 2

3 1 3 2 9 2 1a a a 2. 24 1 2 1 2 1x x x 3.

23 2 1 1 1a a a a a 4. 2 2 2 1x x x

20. ก าหนดให 1x a

x แลว 3

3

1x

x มคาเทากบขอใด

1. 3a 2. 3 3a a 3. 3 3a a 4. 3 3a a

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

31

ภาคผนวกท 2 เฉลยแบบฝกหด

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

32

เฉลยแบบฝกหดเพมเตม เรองการแยกตวประกอบ (การดงตวรวม)

1. 2x x 2. 3 2x x 3. 22 2 1x x 4. 8y y 5. 23 2 3x x x 6. 2 4xy x y 7. 2 27 2xy x y 8. 3 2xyz z x 9. 5xyz y x y 10. 2 2 2 25 1 2 3x y z xz x y

เฉลยแบบฝกหดเพมเตม เรองการแยกตวประกอบ (ส พจน สอง วงเลบ)

1. a b c d 2. 2 2x a b 3. 5 c a b 4. 2a b a c 5. 5x x a 6. 2x y x 7. 3 2 1x x 8. 3 2 4 1x x 9. 2 1 1x x 10. a c a b

เฉลยแบบฝกหดเพมเตม เรองการแยกตวประกอบ (สาม พจน สอง วงเลบ)

1. 1 2x x 2. 3 6x x 3. 4 6x x 4. 3 2x x 5. 1 4x x 6. 17 5x x 7. 2 1x x 8. 2 7x x 9. 4 1x x 10. 3a b a b 11. 1 5ab ab 12. 2 2 3x x 13. 1 4 9x x 14. 3 3 1x x 15. 2 1 4 3x x 16. 2 2 1 4x x 17. 2 1 3 2x x 18. 3 2 3 1x x 19. 2 4 1x x 20. 2 1 3x x

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

33

เฉลยแบบฝกหดเพมเตม เรองการแยกตวประกอบ (ก าลงสองสมบรณ)

1.

22x 2.

25x 3.

23x

4. 2

2 2x 5. 2

4 1x 6. 2

11

2x

7. 14x 8. 4 5x 9. 2100y

10. 3

x

เฉลยแบบฝกหดเพมเตม เรองการแยกตวประกอบ (ผลตางก าลงสอง)

1. 3 3x x 2. 5 5x x 3. 3 3x x 4. 2 1 2 1b b

5. 3 3xy xy 6. 1 1x x x 7. 23 3 9x x x 8. 2 2 2 23 3a a b a b 9. 1x y x y 10. 7 9 7 9z z

เฉลยแบบฝกหดเพมเตม เรองการแยกตวประกอบ (ก าลงสามสมบรณ)

1.

31x 2.

32 1x

3. 3

12

2x

4.

32 1x

5. 3

1 3x 6. 3

2

3x y

7. 3

3 5x y 8. 4 9. 24 4 1x x 10. 3x

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

34

เฉลยแบบฝกหดเพมเตม เรองการแยกตวประกอบ (ผลตางก าลงสามและผลบวกก าลงสาม)

1. 21 1a a a 2. 21 1a a a 3. 23 3 9b b b 4. 22 2 4b b b 5. 2 23 3 9ab a b ab 6. 2 24 4 16x y x xy y 7. 2 2 48 1 5 1 5 25x x x 8. 28 5 5 25x x x 9. 2 4 29 9 81y y y 10. 2 22 3 4 6 9x y x xy y

เฉลยแบบฝกหดระคน 1. 1 4x x 2. 2 2 3a a a 3. 2 2x y x y 4. 2 2 1 2 2 1x y x y x y 5. 2

3 3 9a b a b a b

6. 2 22 2 4x x x

7. 4 3 3x x 8. 4 5 3 3x y x y 9. 4 2 5x x

10. 2 4 2a b a b 11. 2 12. 3 13. 4 14. 1 15. 3 16. 3 17. 2 18. 3 19. 4 20. 2

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

35

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

36

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน

เรอง ตอน

เซต บทน า เรอง เซต

ความหมายของเซต

เซตก าลงและการด าเนนการบนเซต

เอกลกษณของการด าเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร

สอปฏสมพนธเรองแผนภาพเวนน-ออยเลอร

การใหเหตผลและตรรกศาสตร บทน า เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร

การใหเหตผล

ประพจนและการสมมล

สจนรนดรและการอางเหตผล

ประโยคเปดและวลบงปรมาณ

สอปฏสมพนธเรองหอคอยฮานอย

สอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรง

จ านวนจรง

บทน า เรอง จ านวนจรง

สมบตของจ านวนจรง

การแยกตวประกอบ

ทฤษฏบทตวประกอบ

สมการพหนาม

อสมการ

เทคนคการแกอสมการ

คาสมบรณ

การแกอสมการคาสมบรณ

กราฟคาสมบรณ

สอปฏสมพนธเรองชวงบนเสนจ านวน

สอปฏสมพนธเรองสมการและอสมการพหนาม

สอปฏสมพนธเรองกราฟคาสมบรณ

ทฤษฎจ านวนเบองตน บทน า เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน

การหารลงตวและจ านวนเฉพาะ (การหารลงตวและตวหารรวมมาก) ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย

ความสมพนธและฟงกชน บทน า เรอง ความสมพนธและฟงกชน

ความสมพนธ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

37

เรอง ตอน ความสมพนธและฟงกชน โดเมนและเรนจ

อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของฟงกชน

ฟงกชนเบองตน

พชคณตของฟงกชน

อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส

ฟงกชนประกอบ

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม บทน า เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

เลขยกก าลง

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

ลอการทม

อสมการเลขชก าลง

อสมการลอการทม

ตรโกณมต บทน า เรอง ตรโกณมต

อตราสวนตรโกณมต

เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต และวงกลมหนงหนวย

ฟงกชนตรโกณมต 1

ฟงกชนตรโกณมต 2

ฟงกชนตรโกณมต 3

กฎของไซนและโคไซน

กราฟของฟงกชนตรโกณมต

ฟงกชนตรโกณมตผกผน

สอปฏสมพนธเรองมมบนวงกลมหนงหนวย

สอปฏสมพนธเรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต

สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน

ก าหนดการเชงเสน บทน า เรอง ก าหนดการเชงเสน

การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร

การหาคาสดขด

ล าดบและอนกรม บทน า เรอง ล าดบและอนกรม

ล าดบ

การประยกตล าดบเลขคณตและเรขาคณต

ลมตของล าดบ

ผลบวกยอย

อนกรม

ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

38

เรอง ตอน

การนบและความนาจะเปน .

บทน า เรอง การนบและความนาจะเปน

การนบเบองตน

การเรยงสบเปลยน

การจดหม

ทฤษฎบททวนาม

การทดลองสม

ความนาจะเปน 1

ความนาจะเปน 2

สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เนอหา

แนวโนมเขาสสวนกลาง 1

แนวโนมเขาสสวนกลาง 2

แนวโนมเขาสสวนกลาง 3

การกระจายของขอมล

การกระจายสมบรณ 1

การกระจายสมบรณ 2

การกระจายสมบรณ 3

การกระจายสมพทธ

คะแนนมาตรฐาน

ความสมพนธระหวางขอมล 1

ความสมพนธระหวางขอมล 2

โปรแกรมการค านวณทางสถต 1

โปรแกรมการค านวณทางสถต 2

โครงงานคณตศาสตร การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย

ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส

การถอดรากทสาม

เสนตรงลอมเสนโคง

กระเบองทยดหดได