32 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน...

คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

เรอง

ความสมพนธและฟงกชน (เนอหาตอนท 3)

อนเวอรสของความสมพนธ และบทนยามของฟงกชน

โดย

อาจารย ดร.รตนนท บญเคลอบ

สอ

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

1

การสอน เรอง ความสมพนธและฟงกชน สอการสอน เรอง ความสมพนธและฟงกชน มจ านวนตอนทงหมดรวม 16 ตอน ซงประกอบดวย

1. บทน า เรอง ความสมพนธและฟงกชน 2. เนอหาตอนท 1 ความสมพนธ

- แผนภาพรวมเรองความสมพนธและฟงกชน - ผลคณคารทเซยน - ความสมพนธ - การวาดกราฟของความสมพนธ

3. เนอหาตอนท 2 โดเมนและเรนจ - โดเมนและเรนจ - การหาโดเมนและเรนจโดยการแกสมการ - การหาโดเมนและเรนจโดยการวาดกราฟ

4. เนอหาตอนท 3 อนเวอรสของความสมพนธ และบทนยามของฟงกชน - อนเวอรสของความสมพนธ - บทนยามของฟงกชน

5. เนอหาตอนท 4 ฟงกชนเบองตน

- ฟงกชนจากเซต A ไปเซต B

- ฟงกชนทวถง - ฟงกชนหนงตอหนง

6. เนอหาตอนท 5 พชคณตของฟงกชน - พชคณตของฟงกชน - ตวอยางประเภทของฟงกชนพนฐาน

7. เนอหาตอนท 6 อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส - อนเวอรสของฟงกชนละฟงกชนอนเวอรส - กราฟของฟงกชนอนเวอรส

8. เนอหาตอนท 7 ฟงกชนประกอบ - ฟงกชนประกอบ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

2

- โดเมนและเรนจของฟงกชนประกอบ - สมบตของฟงกชนประกอบ

9. แบบฝกหด (พนฐาน 1) 10. แบบฝกหด (พนฐาน 2) 11. แบบฝกหด (ขนสง) 12. สอปฏสมพนธ เรอง ความสมพนธและฟงกชน 13. สอปฏสมพนธ เรอง อนเวอรสของความสมพนธและฟงกชนอนเวอรส 14. สอปฏสมพนธ เรอง โดเมนและเรนจ 15. สอปฏสมพนธ เรอง พชคณตและการประกอบของฟงกชน 16. สอปฏสมพนธ เรอง การเลอนแกน

คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนส าหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง ความสมพนธและฟงกชน นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆทคณะผจดท าไดด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

3

เรอง ความสมพนธและฟงกชน หมวด เนอหา ตอนท 3 (3/7) หวขอยอย 1. อนเวอรสของความสมพนธ 2. บทนยามของฟงกชน จดประสงคการเรยนร เพอใหผเรยน

1. เขาใจบทนยามของอนเวอรสของความสมพนธ 2. หาอนเวอรสของความสมพนธจากความสมพนธทก าหนดใหทงในรปแบบแจกแจงสมาชก

และรปแบบบอกเงอนไขได 3. เขาใจวธการวาดกราฟของอนเวอรสของความสมพนธ ตลอดจนเขาใจความสมพนธระหวาง

กราฟของความสมพนธและกราฟของอนเวอรสของความสมพนธดงกลาว 4. เขาใจบทนยามของฟงกชน และแยกแยะไดวาความสมพนธทก าหนดใหเปนหรอไมเปน

ฟงกชน ผลการเรยนรทคาดหวง

ผเรยนสามารถ 1. สามารถหาอนเวอรสของความสมพนธจากความสมพนธทก าหนดใหทงในรปแบบแจกแจง

สมาชกและรปแบบบอกเงอนไขได 2. สามารถวาดกราฟของอนเวอรสของความสมพนธได 3. สามารถแยกแยะไดวาความสมพนธทก าหนดใหเปนหรอไมเปนฟงกชน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

4

เนอหาในสอ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

5

1. อนเวอรสของความสมพนธ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

6

กอนทจะเขาบทเรยน ครควรทบทวนบทนยามของความสมพนธระหวางเซตสองเซต ตลอดจนขอสงเกตตางๆ เพอใหนกเรยนคนเคยกบความสมพนธกอน เชน ในกรณท r เปนความสมพนธจากเซต A ไปเซต B และ( , )x y r จะไดวา

1. x A, y B , ( , )x y A B และ r A B 2. x ถกจบคกบ y ดวยความสมพนธ r 3. x และ y สอดคลองเงอนไขของความสมพนธ r ในกรณทความสมพนธ r ก าหนดมาในรปเซตแบบบอก

เงอนไข 4. จด ( , )x y อยบนกราฟของความสมพนธ r

เปนตน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

7

ในชวงนไดแนะน าบทนยามของตวผกผนหรออนเวอรสของความสมพนธ r ตลอดจนขอสงเกตเกยวกบ

ความสมพนธระหวางโดเมนและเรนจของความสมพนธ กบโดเมนและเรนจของอนเวอรสของความสมพนธ

เมอถงจดนครอาจย ากบนกเรยนวาไมควรยดตดกบตวแปรมากเกนไป เชน x หรอ a ไมจ าเปนตองเปนตวแปรส าหรบสมาชกตวหนาของคอนดบเสมอไป เปนตน และการหาอนเวอรสของความสมพนธเปนเพยงการสลบทของสมาชกตวหนากบตวหลงของคอนดบทอยในความสมพนธเทานน อกทงอนเวอรสของความสมพนธยงเปนความสมพนธแบบหนง ทงนครอาจใหนกเรยนชวยกนคดวาถา r เปนความสมพนธจากเซต A ไปเซต B นนคอ r A B แลว 1r จะเปนความสมพนธจากเซตใดไปเซตใด หรอเปนสบเซตของเซตใด

ส าหรบปญหาชวนคดททงไวในสอควรอานออกเปนภาษาพดวา r เปนความสมพนธบนจ านวนจรงทสมาชกตวหนาของคอนดบใน r มากกวาหรอเทากบสมาชกตวหลงของคอนดบใน r ท าใหไดวา อนเวอรส ของความสมพนธ r ซงแทนดวยสญลกษณ 1r คอความสมพนธบนจ านวนจรงทสมาชกตวหนาของคอนดบใน 1r นอยกวาหรอเทากบสมาชกตวหลงของคอนดบใน 1r และเขยนเปนเซตแบบบอกเงอนไขไดเปน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

8

1 {( , ) | }r y x x y นนเอง อยางไรกดครควรย าวาตามความนยมนนมกจะเขยน ( , )x y เปนสมาชกในความสมพนธ ดงนนส าหรบปญหาชวนคดน ในฐานะท 1r เปนความสมพนธเชนกนจงนยมเขยน

1 {( , ) | }r x y y x เหมอนในตวอยางทยกใหดกอนหนามากกวา นอกจากนการทสลบสมาชกตวหนากบตวหลงของคอนดบในความสมพนธ r เพอใหไดเปน 1r นน

สงผลให 1r rD R และ 1r r

R D

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

9

ในตอนนไดยกตวอยางใหนกเรยนเหนการหาโดเมนและเรนจของอนเวอรสของความสมพนธจากความสมพนธ r ทก าหนดใหในรปเซตแบบบอกเงอนไขโดยใชความสมพนธทวา 1r r

D R และ 1r rR D ดงนนครควรทบทวน

การหาโดเมนและเรนจของความสมพนธทก าหนดใหในรปเซตแบบบอกเงอนไข

ส าหรบตวอยาง 3 ทก าหนดให {( , ) | 3 1r x y y x เมอ 3}x และหาอนเวอรสของความสมพนธ r ได

เปน 1 1( , )

3

xr x y y เมอ 10x จากนนทงค าถามไววา 1 rr

D R หรอไม ครควรย ากบนกเรยนวา

การก าหนดเงอนไขของ x ทวา 3x ในเงอนไขของความสมพนธ r เปนการก าหนดโดเมนใหความสมพนธ r นแลว ดงนนจะไดทนทวา 1[3, )

r rD R ดงนนในการหา

rR จะพจารณาคา 3 1y x ทเปนไปไดเมอ

3x ซงจะไดวา ส าหรบ 3x ท าให 3 1 3(3) 1 10y x นนคอ [10, )rR ซงเปนเงอนไข

ของ x ความสมพนธ 1r จงสรปไดวา 1 [10, )rr

D R นนเอง

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

10

ในตอนนไดพยายามชใหนกเรยนเหนความสมพนธระหวางกราฟของความสมพนธและกราฟของอนเวอรสของความสมพนธนนๆ โดยไมไดแสดงการพสจน

การพสจนวากราฟของความสมพนธ r และอนเวอรสของความสมพนธ r มเสนตรง y x เปนแกนสมมาตรนนครอาจเรมใหนกเรยนพยายามสงเกตจากการพจารณาวาจดทอยเหนอแกน X เชน (1,2) หากใชแกน X เปนแกนสมมาตรแลวจดนจะไปตรงกบจดใดใตแกน X ลองท าเชนนหลายๆ จด จากนนอาจเปลยนเปนจดทอยทางขวาของแกน Y เชน (1,2) แลวใชแกน Y เปนแกนสมมาตร เพอใหนกเรยนชวยกนพจารณาวาจะตรงกบจดใดทอยทางซายของแกน Y ครควรแนะใหนกเรยนพยายามสงเกตระยะหางระหวางจดสองจดทสมมาตรกนตามแนวแกน X (หรอ Y ) จนนาจะไดขอสรปวาจด ( , )a b และ ( , )c d จะสมมาตรกนเมอเทยบกบแกน X (หรอ Y ) เมอ

1. ระยะทางทสนทสดจากจด ( , )a b ไปยงแกน X (หรอ Y ) เทากบระยะทางทสนทสดจากจด ( , )a b ไปยงแกน X (หรอ Y ) และ

2. เสนตรงทผานจด ( , )a b และ ( , )c d ตงฉากกบแกน X (หรอ Y )

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

11

จากนนครใหนกเรยนจนตนาการตอโดยการหมนแกน X (หรอ Y ) ไป 45 องศาจนกลายเปนเสนตรง y x เพอชใหเหนวาเงอนไขในการสมมาตรยงคงเปนจรงอยส าหรบแกนสมมาตรทเปนเสนตรง y x น อยางไรกดในการพสจนขอความทงสองนตองอาศยความรทางเรขาคณตวเคราะหเขามาชวยดงน

1. ระยะทางทสนทสดจากจด ( , )a b ไปยงเสนตรง 0Ax By C คอ 2 2

| |Aa Bb C

A B หนวย

2. ความชนของเสนตรงทผานจด ( , )a b และ ( , )c d คอ d b

c a

3. ความชนของเสนตรง y mx c คอ m 4. เสนตรงสองเสนตงฉากกนกตอเมอผลคณของความชนของเสนตรงทงสองเสนนเทากบ 1

ตอไปนจะพสจนวากราฟของความสมพนธ r สมมาตรกบกราฟของอนเวอรสของความสมพนธ r โดยมเสนตรง y x เปนแกนสมมาตร พสจน เพอใหไดขอสรปดงกลาวเพยงพอทจะพสจนวาส าหรบ ( , )a b ใดๆ ท ( , )a b r จะไดวา ( , )a b สมมาตรกบ ( , )b a โดยมเสนตรง y x เปนแกนสมมาตร ให ( , )a b r ดงนน 1( , )b a r เนองจาก | | | |a b b a จะไดวาระยะทางทสนทสดจาก ( , )a b ไปยง

เสนตรง y x ซงคอ | |

2

a b หนวย เทากบ ระยะทางทสนทสดจาก ( , )b a ไปยงเสนตรง y x ซงคอ | |

2

b a

หนวย ตอมาเนองจากความชนของเสนตรงทเชอมจด ( , )a b และ ( , )b a เทากบ 1a b

b a และความชนของ

เสนตรง y x เทากบ 1 ท าใหไดวาเสนตรงทเชอมจด ( , )a b และ ( , )b a ตงฉากกบเสนตรง y x สรปไดวาส าหรบ ( , )a b ใดๆ ท ( , )a b r จะไดวา ( , )a b สมมาตรกบ ( , )b a โดยมเสนตรง y x เปนแกนสมมาตร นนคอกราฟของความสมพนธ r สมมาตรกบกราฟของอนเวอรสของความสมพนธ r โดยมเสนตรง y x เปนแกนสมมาตร เมอถงจดนครอาจเรมถามค าถามน าเพอใหนกเรยนชวยกนคดและอภปราย อาทเชน

1. ถา r หรอ r A A เมอ A เปนเซตใดๆ แลว 1r คอเซตใด 2. จากขอ 1. นกเรยนพอจะสงเกตไดวา 1r r ใหนกเรยนชวยกนยกตวอยางความสมพนธอนๆ

นอกเหนอจากความสมพนธในขอ 1. ทมสมบตวา 1r r 3. จากตวอยางในสอจะเหนวากราฟของความสมพนธ r และ 1r อาจจะตดกนหรอไมตดกนกได ถากราฟของ r และ 1r ตดกนแลวจะตองตดกนบนเสนตรง y x เทานนหรอไม

เปนตน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

12

เมอไดผานการกระตนความคดและอภปรายแลวครอาจยกตวอยางความสมพนธตางๆ จากสอเรองความสมพนธและฟงกชนทงสองชดทผานมาใหนกเรยนฝกหาอนเวอรสของความสมพนธ นอกจากนยงอาจยกตวอยางเหลานเพมเตม ตวอยาง 1 ก าหนดให {(1,0), (2,1), (3,5), (4,3), (5,2)}r จงหา 1r พรอมทง 1r

D และ 1rR

วธท า 1 {(0,1), (1,2), (5,3), (3,4), (2,5)}r โดยท 1 {0, 1, 2, 3, 5}

rrD R และ

1 {1, 2, 3, 4, 5}rr

R D ตวอยาง 2 ก าหนดให {( , ) | | | 1}r x y y x จงหา 1r พรอมทงระบ 1r

D และ 1rR จากนนใหวาดกราฟ

ของ r และ 1r บนระนาบ XY เดยวกน วธท า 1 {( , ) | | | 1} {( , ) | | | 1} {( , ) || | 1}r y x y x x y x y x y y x ทงนหากตองการเขยนเงอนไขของ 1r ในรปของ y อยางแจมชดอาจเขยนไดเปน

1 {( , ) | 1 0r x y x และ ( 1y x หรอ ( 1))}y x ท าใหเหนไดชดวา 1 [1, )rr

D R และ 1 rrR D

ส าหรบกราฟของ r และ 1r วาดไดดงรป

หมายเหต สงเกตวาส าหรบตวอยาง 2 การพยายามเขยนเงอนไขของ 1r ในรปของ y อยางแจมชดท าใหเกดความเยนเยอ ครควรใหนกเรยนชวยกนสงเกตวาควรจะเขยนในรปแบบไหนดกวา

3 2 1 1 2 3

3

2

1

1

2

3

4r

y=x

r-1

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

13

ตวอยาง 3 ส าหรบจ านวนจรงบวก a และ b ใดๆ ท a b ก าหนดใหกราฟของความสมพนธ 2 2

2 2( , ) 1

x yr x y

a b เปนวงรทมแกน X และ แกน Y เปนแกนสมมาตรโดยวงรนตดแกน X ทจด

( , 0)a และ ( , 0)a และตดแกน Y ทจด (0, )b และ (0, )b ดงรป จงหา 1r พรอมทงระบ 1r

D และ 1rR จากนนใหวาดกราฟของ r และ 1r บนระนาบ XY เดยวกน

วธท า จากโจทยจะไดวา 2 2

1

2 2( , ) 1

y xr x y

a b จากกราฟจะไดวา 1[ , ]

r rD a a R และ

1[ , ]r rR b b D ส าหรบกราฟของ r และ 1r บนระนาบ XY เดยวกนวาดไดดงน นกเรยนควรสงเกตวาในกรณท 1a b จะไดวา 2 2 1{( , ) | 1}r x y x y r ซงทงคมกราฟเปนรปวงกลมรศมหนงหนวยทมจดก าเนดเปนจดศนยกลาง ท าใหจดตดของ r และ 1r มเปนจ านวนอนนตและจดตดทก

จดยกเวนจด 2 2,

2 2 และ 2 2

,2 2

ไมอยบนเสนตรง y x

a

b

-b

-a

b

r

y=x

r-1

a

b

-b

-a -b

a

-a

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

14

ตวอยาง 4 ก าหนดให {( , ) | 2 }r x y x y จงหา 1r พรอมทงระบ 1rD และ 1r

R จากนนใหวาดกราฟของ r และ 1r บนระนาบ XY เดยวกน วธท า จากโจทยจะไดวา 1 {( , ) | 2 }r x y y x โดยท 1 1r r

D R ส าหรบกราฟของ r และ 1r วาดไดดงรป

y=x

r-1

r

y=x

r-1

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

15

แบบฝกหดเพมเตมเรองอนเวอรสของความสมพนธ จงหาอนเวอรสของความสมพนธตอไปนโดยการสลบบทบาทของสมาชกตวหนาและสมาชกตวหลงของความสมพนธ แลวเขยนเงอนไขทไดในรปของ y อยางแจมชด พรอมทงระบ 1r

D และ 1rR จากนนใหวาดกราฟ

ของ r และ 1r บนระนาบ XY เดยวกน 1. {( , ) | 2}r x y y x

2. 2{( , ) | 4 }r x y y x 3. {( , ) || | 1}r x y x y

4. {( , ) | 3 }r x y x y 5. 2{( , ) | 2}r x y y x 6. {( , ) | 2 1r x y y x เมอ 2}x 7. 2{( , ) |r x y y x เมอ 2}x 8. 2{( , ) || | }r x y y x

จงวาดกราฟของอนเวอรสของความสมพนธจากกราฟของความสมพนธทก าหนดใหตอไปนบนระนาบเดยวกน 9. 10.

1.5 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5

2

1

1

2

6 4 2 2 4 6

4

2

2

4

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

16

2. บทนยามของฟงกชน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

17

ในตอนนไดแนะน าแนวคดหลกของเรองฟงกชนและบทนยามของฟงกชน ครควรย าอกครงวาฟงกชนเปนความสมพนธพเศษแบบหนงทไมตองการใหเกดการจบคชนดทใชสมาชกตวหนาซ า (บางครงอาจเรยกการจบคทใชสมาชกตวหนาซ ากนวาเปนแบบ one-to-many ซงไมเปนฟงกชน)

จากนยามท าใหตอบปญหาททงไวในชวนคดวาการจบคแบบในแผนภาพนไมมการใชสมาชกตวหนาซ า ดงนนจงเปนฟงกชน (แมวาจะใชสมาชกตวหลงซ ากนกตาม บางครงเรยกการจบคทใชสมาชกตวหลงซ าแบบนวา many-to-one) เมอถงตอนนครอาจคอยๆ ชใหนกเรยนเหนวา ยงไมไดมการพดใหชดเจนวาการจบคทจะมาพจารณาวาเปนฟงกชนหรอไมนน มเซตของสมาชกตวหนาคอเซตใด เซตของสมาชกตวหลงคอเซตใด เปนเพยงแตการใหแนวคดหลกเกยวกบการจบควาแบบใดเปนหรอแบบใดไมเปนฟงกชนกอนเทานน ในตอนตอไปถงจะลงไปในรายละเอยดวาหากเราระบเซตของสมาชกตวหนาและเซตของสมาชกตวหลงของการจบคหรอความสมพนธทเราจะพจารณาวาเปนหรอไมเปนฟงกชน จะตองมเงอนไขอนๆ เพมเตมอก

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

18

ในชวงนไดยกตวอยางความสมพนธทหลากหลายเพอใหนกเรยนพจารณาวาเปนฟงกชนหรอไม โดยหากเปนความสมพนธทเขยนในรปแบบแจกแจงสมาชก สามารถพจารณาไดโดยงายวามการใชสมาชกตวหนาซ ากนหรอไม แตหากเปนความสมพนธทเขยนในรปแบบบอกเงอนไขอาจตองใชวธเชงพชคณต หรอการเขยนกราฟในการชวยพจารณา

ครอาจใหขอสงเกตวาถาเงอนไขของความสมพนธมพจนของ | |y หรอ ny เมอ n เปนจ านวนคแลวความสมพนธดงกลาวมสทธจะไมเปนฟงกชน ทงนเพราะเครองหมายของ y จะถกเปลยนเปนบวกทงหมดภายใตกฎดงกลาวขางตน ท าให x หนงตวมสทธจบคกบ y ทเปนบวกหรอลบกไดภายใตเงอนไขของความสมพนธนนๆ อยางไรกดตองตรวจสอบเงอนไขอนๆ ประกอบการตดสนใจดวย ครอาจยกตวอยางความสมพนธทหลากหลายจากสอทงสองชดทผานมาเพอใหนกเรยนชวยกนตรวจสอบวาเปนฟงกชนหรอไม นอกจากนครอาจยกตวอยางเหลานเพมเตม

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

19

ตวอยาง 5 จงพจารณาวาความสมพนธ 3{( , ) | 2 1}r x y y x x เปนฟงกชนหรอไม วธท า ให ( , )x y r และ ( , )x z r จะไดวา 3 2 1y x x และ 3 2 1z x x ดงนน y z นนคอ r เปนฟงกชน ตวอยาง 6 จงพจารณาวาความสมพนธ 3{( , ) || | 2 1}r x y y x x เปนฟงกชนหรอไม

วธท า เนองจาก | 1 | 1 | 1 | ดงนน (0, 1) r และ (0,1) r นนคอ r ไมเปนฟงกชน

ตวอยาง 7 จงวาดกราฟของความสมพนธ 2 2{( , ) | 1r x y x y และ 0}xy แลวพจารณาจากกราฟวาความสมพนธนเปนฟงกชนหรอไม วธท า ความสมพนธนเขยนเปนกราฟไดดงรป จะเหนวาเสนตรง 0x ผานกราฟของความสมพนธสองจด ดงนนความสมพนธนไมเปนฟงกชน สงเกตวาหากเงอนไขเพมเตมเปลยนเปน 0xy จะไดวาความสมพนธนเปนฟงกชน

1.5 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5

1.0

0.5

0.5

1.0

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

20

ในตอนนไดแนะน าการเขยนสญลกษณแทนความสมพนธ f ทเปนฟงชนในรป ( )y f x

เมอมาถงจดนครควรเนนวาการเขยนสญลกษณตางๆ ทเกยวของกบการเปนสมาชกของฟงกชนนนมความส าคญทนกเรยนตองคนเคย และสามารถเชอมโยงสงเหลานเขาดวยกนใหได กลาวคอ ถา f เปนฟงกชนและ ( , )x y f จะไดวา ( )y f x หรอ ( , ( ))x f x f หรอ อกนยหนงคอจด ( , )x y อยบนกราฟของฟงกชน f นอกจากนการทฟงกชน f เปนความสมพนธทสมาชกตวหนาหนงตวจบคกบสมาชกตวหลงเพยงตวเดยวเทานนเปนเงอนไขส าคญทท าใหสามารถเขยนฟงกชน f ในรป ( )y f x ได เพอความเขาใจมากยงขนครควรยกตวอยางตอไปน

ตวอยาง 8 ก าหนดให 2{( , ) | 3 2 1}f x y y x x จะไดวา f เปนฟงกชน (ท าไม) ดงนนสามารถเขยนไดในรป 2( ) 3 2 1f x x x สงเกตวา 2(1) 3(1 ) 2(1) 1 6f นนคอ (1, (1)) (1,6)f f และจด (1,6) อยบนกราฟของ f ดงรป

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

21

จากกราฟจะเหนวาจด (0,1) อยบนกราฟของฟงกชน f นนคอ (0,1) f และ (0) 1f นอกจากนยงอาจสงเกตวาส าหรบจ านวนจรง a ใดๆ 2 2( 1) 3( 1) 2( 1) 1 3 8 6f a a a a a นนคอ 2( 1, ( 1)) ( 1,3 8 6)a f a a a a f สดทายครอาจย าวาการเขยนฟงกชนนในรป

2( ) 3 2 1f x x x ท าใหไดวา 2( ) 3( ) 2( ) 1f โดย เปนสมาชกในโดเมนของฟงกชนน

2.0 1.5 1.0 0.5 0.5 1.0

2

4

6

8

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

22

แบบฝกหดเพมเตมเรองบทนยามของฟงกชน จงพจารณาวาความสมพนธทก าหนดใหในขอ 1 – 5 วาเปนฟงกชนหรอไม พรอมทงใหเหตผลประกอบ

1. ( , )ax b

r x y ycx d

เมอ a และ b เปนจ านวนจรง และ c และ d เปนจ านวนจรงทไมเปนศนยพรอมกน

2. 2{( , ) | 4 }r x y x y 3. {( , ) | | | }r x y y a x b c เมอ , a b และ c เปนจ านวนจรง 4. 4 2{( , ) | }r x y y y x x 5. 2{( , ) | 2 | | 5}r x y y x x

6. ก าหนดให {(0,1), (1,2), (2,5), (3,4), (5,3)}f จงหาคาของ (1) (2) ( (0) (3))

(5)

f f f f

f

7. ก าหนดให f เปนฟงกชนทมกราฟดงรป จงหาคาของ (0) (4)f f ส าหรบขอ 8 – 10 ก าหนดให 2( ) 2xf x x และ ( ) 1 3g x x 8. จงหาคาของ (3) ( 5)f g 9. จงหาเงอนไขของจ านวนจรง a ทจะท าให (3 1)g a เปนจ านวนจรง 10. จงหาผลบวกของระยะตดแกน Y ของกราฟของฟงกชน f และ ระยะตดแกน X ของกราฟของฟงกชน g

1 1 2 3 4 5

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

23

สรปสาระส าคญประจ าตอน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

24

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

25

ภาคผนวกท 1 แบบฝกหด/เนอหาเพมเตม

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

26

แบบฝกหดระคน

1. ก าหนดให { 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}S และ 3 2

4 2

4 | |( )

2

x x x af x

x b x โดย

ท a S และ b S จงหาจ านวนคอนดบ ( , )a b S S ทงหมดทท าให (1) 0f

2. ก าหนดให 2

2

9( , )

9

xr x y y

x จงหา 1r โดยเขยนเงอนไขในรปของ y อยางเดนชด พรอมทงระบ

โดเมนของ 1r

3. ก าหนดให 2{( , ) | 36 }r x y y x และ 1( , )

| | 3s x y y

x จงหา 1r s

D R และ

1r sR D

4. ก าหนดให 2

2( , ) | |

4r x y y

x จงพจารณาวาขอความตอไปนถกหรอไม

ก. 1 ( ,2) (2, )rR ข. 1 4 | | 2

( , )| |

xr x y y

x

5. ก าหนดให 3 2 2 2{( , ) | 2 3 0}r x y y yx y x จงหา 1rD

6. ก าหนดให k เปนคาคงตว และ {( , ) | }r x y x k x y k y จงพจารณาวาขอความตอไปนถกหรอไม ก. ถา 1k แลว r เปนฟงกชน ข. ถา 1k แลว r เปนฟงกชน 7. ก าหนดให 2{( , ) | ( 1)f x y y x เมอ 1}x จงพจารณาวาขอความตอไปนถกหรอไม ก. f เปนฟงกชน ข. 1 {( , ) | 1 | |f x y y x เมอ 0}x

8. ก าหนดให 2 9

( , )3

xr x y y

x จงพจารณาวาขอความตอไปนถกตองหรอไม

ก. 19rD ข. 1 [0,9) (9, )

rR

9. ก าหนดให 2{( , ) | 1r x y y x เมอ 0}x จงหา 1r โดยเขยนเงอนไขในรปของ y อยางเดนชด 10. ถา 2{( , ) |r x y y x และ 2 }y x จงหาโดเมนและเรนจของ 1r

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

27

ภาคผนวกท 2 เฉลยแบบฝกหด

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

28

เฉลยแบบฝกหดเพมเตมเรองอนเวอรสของความสมพนธ 1. 1 2{( , ) | 2r x y y x และ 0}x ; 1 [0, )

rD และ 1 [2, )

rR

2. 1 2 2{( , ) | 4r x y x y และ 0}x {( , ) | 0x y x และ 2( 4y x หรอ 24 )}y x ; 1 [0,2]

rD และ 1 [ 2,2]

rR

2 1 1 2

2

1

1

2

0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

2 1 1 2

2

1

1

2

r

r-1

y = x

2 1 1 2

2

1

1

2

r r-1

r

r-1

y = x

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

29

3. 1 {( , ) || | 1}r x y y x {( , ) | 1x y y x หรอ 1}y x r ; 1 1r rD R

4. 1 {( , ) | 3 }r x y y x ; 1 ( ,3]

rD และ 1 [0, )

rR

5. 1 {( , ) | 2r x y y x หรอ 2}y x ; 1 [ 2, )

rD และ 1r

R

1.5 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5

2

1

1

2

r = r-1

y = x

1 1 2 3

1

1

2

3

2 1 1 2

2

1

1

2

r

r-1

y = x

r

r-1

y = x

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

30

6. 1 1( , )

2

xr x y y และ 3x ; 1 ( ,3)

rD และ 1 ( ,2)

rR

7. 1 2{( , ) |r x y y x เมอ 2}y {( , ) | (x y y x เมอ 4)x หรอ }y x ; 1 [0, )

rD และ 1 ( ,2]

rR

8. 1 {( , ) | | |r x y y x หรอ | |}y x ; 1 1r r

D R

6 4 2 2 4 6 8

4

2

2

4

6

8

10

r

r-1

y = x

4 2 2 4

4

2

2

4

r r-1

y = x

2 1 1 2 3

2

1

1

2

3

r

r-1

y = x

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

31

9. 10.

เฉลยแบบฝกหดเพมเตมเรองบทนยามของฟงกชน 1. เปนฟงกชน เนองจากส าหรบ

1x และ

2x ใดๆ ในโดเมนของ r ถา

1 2x x แลว

1 21 2

1 2

ax b ax by y

cx d cx d ทก a และ b ทเปนจ านวนจรง และ c และ d ทเปนจ านวนจรงทไมเปนศนย

พรอมกน 2. ไมเปนฟงกชน เนองจาก ( 3, 1) r และ ( 3,1) r และ 1 1 3. เปนฟงกชน เนองจาก ส าหรบ

1x และ

2x ใดๆ ในโดเมนของ r ถา

1 2x x แลว

1 1 2 2| | | |y a x b c a x b c y ทก ,a b และ c ทเปนจ านวนจรง

4. ไมเปนฟงกชน เนองจาก (0, 1) r และ (0, 0) r และ 1 0 5. เปนฟงกชน เนองจาก ส าหรบ

1x และ

2x ใดๆ ในโดเมนของ r ถา

1 2x x แลว

2 2

1 1 1 2 2 22 | | 5 2 | | 5y x x x x y

6. 1 7. 4 8. 21 9. 4

9a 10. 4

3

1.5 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

2

1

1

2 r

r-1

y = x

6 4 2 2 4 6

4

2

2

4

r

r-1

y = x

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

32

เฉลยแบบฝกหดระคน 1. 18 ตว

2. 2

1

2

1( , ) 3

1

xr x y y

x เมอ 0x และ 1 [0,1]

rD

3. 1 [ 6, 3) (3,6]r sD R และ 1 [0, )

r sR D

4. ก ผด และ ข ถก 5. 1

1 1,

3 2rD 6. ก ถก และ ข ผด 7. ก ถก และ ข ถก 8. ก ถก และ ข ถก

9. 1 {( , ) | 1}r x y y x 10. 1 [0,4]

rD และ 1 [0,2]

rR

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

33

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

34

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน

เรอง ตอน

เซต บทน า เรอง เซต

ความหมายของเซต

เซตก าลงและการด าเนนการบนเซต

เอกลกษณของการด าเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร

สอปฏสมพนธเรองแผนภาพเวนน-ออยเลอร

การใหเหตผลและตรรกศาสตร บทน า เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร

การใหเหตผล

ประพจนและการสมมล

สจนรนดรและการอางเหตผล

ประโยคเปดและวลบงปรมาณ

สอปฏสมพนธเรองหอคอยฮานอย

สอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรง

จ านวนจรง

บทน า เรอง จ านวนจรง

สมบตของจ านวนจรง

การแยกตวประกอบ

ทฤษฏบทตวประกอบ

สมการพหนาม

อสมการ

เทคนคการแกอสมการ

คาสมบรณ

การแกอสมการคาสมบรณ

กราฟคาสมบรณ

สอปฏสมพนธเรองชวงบนเสนจ านวน

สอปฏสมพนธเรองสมการและอสมการพหนาม

สอปฏสมพนธเรองกราฟคาสมบรณ

ทฤษฎจ านวนเบองตน บทน า เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน

การหารลงตวและจ านวนเฉพาะ (การหารลงตวและตวหารรวมมาก) ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย

ความสมพนธและฟงกชน บทน า เรอง ความสมพนธและฟงกชน

ความสมพนธ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

35

เรอง ตอน

ความสมพนธและฟงกชน โดเมนและเรนจ

อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของฟงกชน

ฟงกชนเบองตน

พชคณตของฟงกชน

อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส

ฟงกชนประกอบ

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม บทน า เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

เลขยกก าลง

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

ลอการทม

อสมการเลขชก าลง

อสมการลอการทม

ตรโกณมต บทน า เรอง ตรโกณมต

อตราสวนตรโกณมต

เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต และวงกลมหนงหนวย

ฟงกชนตรโกณมต 1

ฟงกชนตรโกณมต 2

ฟงกชนตรโกณมต 3

กฎของไซนและโคไซน

กราฟของฟงกชนตรโกณมต

ฟงกชนตรโกณมตผกผน

สอปฏสมพนธเรองมมบนวงกลมหนงหนวย

สอปฏสมพนธเรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต

สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน

ก าหนดการเชงเสน บทน า เรอง ก าหนดการเชงเสน

การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร

การหาคาสดขด

ล าดบและอนกรม บทน า เรอง ล าดบและอนกรม

ล าดบ

การประยกตล าดบเลขคณตและเรขาคณต

ลมตของล าดบ

ผลบวกยอย

อนกรม

ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

36

เรอง ตอน

การนบและความนาจะเปน .

บทน า เรอง การนบและความนาจะเปน

การนบเบองตน

การเรยงสบเปลยน

การจดหม

ทฤษฎบททวนาม

การทดลองสม

ความนาจะเปน 1

ความนาจะเปน 2

สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เนอหา

แนวโนมเขาสสวนกลาง 1

แนวโนมเขาสสวนกลาง 2

แนวโนมเขาสสวนกลาง 3

การกระจายของขอมล

การกระจายสมบรณ 1

การกระจายสมบรณ 2

การกระจายสมบรณ 3

การกระจายสมพทธ

คะแนนมาตรฐาน

ความสมพนธระหวางขอมล 1

ความสมพนธระหวางขอมล 2

โปรแกรมการค านวณทางสถต 1

โปรแกรมการค านวณทางสถต 2

โครงงานคณตศาสตร การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย

ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส

การถอดรากทสาม

เสนตรงลอมเสนโคง

กระเบองทยดหดได