Conf 2 Procesos Aleatorios

Señales aleatorias, estacionarias y Ergódicas

Bibliografía Básica:Epig 3.3•Statistical and Adaptive Signal Processing - Spectral Estimation, Signal Modeling, Adaptive Filtering and Array Processing, 2005 Dimitris G. Manolakis

Sumario•Introducción •Procesos Aleatorios•Procesos estacionarios •Procesos ergodicos •Densidad Espectral

Tele comunicacionesmática

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Procesamiento Digitalde Señales

Introducción

Se definieron una serie de conceptos

Probabilidad p(1)

Variable aleatoria x(ζ )=x

Función de Probabilidad Pr{x(ζ) ≤ x}

Función de distribución de probabilidad

Función densidad de probabilidad

Varianza

Desviación típica

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Introducción

Matriz de correlación

Matriz de covarianza

Proceso estocástico discreto

Considere un experimento con un número finito o infinito de resultados en un

espacio

S = {ζ1, ζ2, … },

cada ocurrencia con una probabilidad

Pr{ζk}, k = 1, 2, …

si se le asigna a cada elemento ζk de S

una secuencia de ocurrencia determinada

x(n, ζk), −∞<n<∞.

El espacio S, la probabilidad Pr{ζk}, y la secuencia x(n,ζk), −∞<n<∞, constituye

un conjunto de experimentos estocástico.

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Proceso estocástico discretos

Formalmente

x(n,ζ ), −∞<n<∞,

es una secuencia aleatoria

si para n fijo, n=n0, x(n0,ζ) es una variable aleatoria.

El conjunto de todas las secuencias {x(n,ζ )} es un proceso, y cada

secuencia individual x(n,ζk), correspondiente a un valor especifico

de ζ=ζk, es una realización del proceso.

Existen cuatro posibles interpretaciones de x(n,ζ), dependiente del

valor de n y ζ:

• x(n,ζ) si n fijo y ζ variable es una variable aleatoria

• x(n,ζ) si ζ fijo y n variable son muestras de una secuencia

• x(n,ζ) si ambos n y ζ son fijos es un número .

• x(n,ζ) si ambos n y ζ son variables es un proceso estocástico .

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x(n,ζ)

x(no,ζ) Variable aleatoria

x(n,ζ1)Realización

x(n,ζ2)

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Cada vez que se realiza el experimento, cada variable aleatoria de la

secuencia generará un valor y se obtiene una señal denominada

realización del proceso estocástico.

Cada vez que se realice el experimento se obtiene una realización del

proceso estocástico.

A pesar de ser todas las realizaciones diferentes

Las realizaciones tendrán en común el proceso estocástico

Este modelo representa la realidad donde múltiples señales recibidas

con la misma información tienen forma diferente. 9

Conclusión

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Si todas las muestras tienen una variación

independiente una de cualquier otra, estamos en

presencia del ruido blanco

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Señales Aleatorias

Estimación

Teoría de los procesos

Estocásticos

Análisis Filtrado

Modelación Filtros adaptativos

Arreglos de procesado

Consideraciones para las señales aleatorias

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Describir un proceso estocástico implica calcular Función

Densidad de Probabilidad de cada variable aleatoria

x(n,ζ)

Imposible, se recurre a los momentos

Los momentos son de dos tipos:

1. Momentos de cada Variable aleatoria

2. Momentos que relacionan las diferentes variables

aleatorias de cada secuencia.12

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Momentos de cada variable aleatoria

Media:

Valor cuadrático medio:

Varianza:Momentos que relacionan diferentes variables aleatorias de un

proceso:

Autocorrelación:

Autocovarianza

Momentos que relacionan diferentes procesos

Crosscorrelación:

Crosscovarianza 13

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Para n=n0, se tiene x(n0,ζ) es una variable aleatoria de función de

distribución de probabilidad Fx{x;n0}

Entonces se tendrá x(n1,ζ) y x(n2,ζ) para dos variables aleatorias n1 y

n2 con función de distribución conjunta

Fx{x1,x2;n1,n2}

Caracterizada cada variable por su función de distribución de

probabilidad

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Un proceso de infinitas variables aleatorias estará, en sentido

estadístico, perfectamente descrito por la función de distribución de

orden k-esimo

Fx{x1, ...,xk;n1,...,nk} =Pr{x(n1)≤x1,..., x(nk) ≤xk }

Se conoce para valores de k ≥1 para todo instante n1 y n2,... nk

y la función de densidad de probabilidades

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Obvio que se requiere para la descripción probabilística una

cantidad de información difícil de obtener en la práctica.

Por eso se recurre a los promedios de primer y segundo orden, a los

momentos.

Para simplificar la nomenclatura se suele representar, el proceso

aleatorio x(n,ζ) como x(n) que además se considera complejo para

generalizar

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Descripción estadística de segundo orden

Valor medio

Varianza

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Para la estadística de x(n) en dos instantes diferentes n1 y n2 se

utiliza la función de autocorrelación o autocovarianza

La función de autocorrelación de las variables aleatorias x(n1) y x(n2)

Nos da la medida de la dependencia de los valores del proceso en

dos instantes diferentes

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La función de autocovarianza de las variables aleatorias x(n1) y x(n2)

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Para la estadística de dos procesos está la función de

crosscorrelación de las variables aleatorias x(n1) e y(n2)

Y la crosscovarianza

crosscorrelación normalizada

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En dependencia del comportamiento estadístico los procesos se

clasifican en:

•Procesos independientes

•Procesos incorrelacionados

•Procesos ortogonales

•Periódicos en sentido amplio (WSP)

•Estacionario en sentido amplio

•Estadísticamente independiente

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Covarianza

Covarianza mide grado de relación entre dos procesos

Cómo varía uno respecto al otro

En forma aproximada se estima según Matlab

(x-µx)(y-µy)n=1

-µxµyM

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Si x e y son procesos aleatorios independientes se cumple:f(x,y)=f(x)f(y)

El grado de independencia lo da la matriz de covarianza. Si E{x,y}=E{y,x} 0Son independientes.

Dos procesos aleatorios x e y se consideran independientes, si los valores fuera de la diagonal son 0.

C={ }x~

{ }y~2E

{ }x y~ ~E

{ }y x~ ~E

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Matriz covarianza de dos variables aleatorias independientes% variables aleatorias dependientesx=[randn(5000,1)];y=[randn(5000,1)];C=cov([x,y])

1.0080 0.0036C= 0.0036 0.9966

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Ejemplo de matriz de covarianza de dos variables aleatorias no independientes% variables aleatorias dependientesd=randn(5000,1);x=[randn(5000,1);d];y=[randn(5000,1);d];C=cov([x,y])

1.0116 0.5116C= 0.5116 1.0268

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Cada variable aleatoria de la secuencia tiene función

densidad de probabilidad diferente

FDP de x(n1) FDPdex(n2).

Procesos estocástico

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Proceso Estacionario

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x(n,ζ)

x(n1,ζ)x(no,ζ)

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Procesos estacionarios

Un proceso estocástico es estacionario si la estadística para x(n) es

igual a la estadística para x(n+k) para todo k

Un proceso estocástico es estacionario de orden N si

fx(x1,...,xN;n1,...nN)=fx(x1,...,xN;n1+k,...nN+k)

Si se cumple para N=1,2,3... Es estrictamente estacionario SSS

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Sus propiedades estadísticas no varían al trasladar el origen de tiempo

Proceso estocástico Estacionario en sentido estricto

Si la media y la autocorrelación no varían al trasladar el origen del tiempoMedia:

E{x(n)}=µx(n)= µx=cteAutocorrelación:

rxx(n1,n2)=E{x(n1)x(n2)}= rxx(l)=E{x(n)x(n+l)}; l=n2-n1

Proceso estocástico Estacionario en sentido amplio

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Proceso Estacionario y Ergódico

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Para un proceso se cuenta con un conjunto reducido de

realizaciones,

¿como se puede caracterizar el proceso ?

Debe cumplir determinadas propiedades, para que de una

realización se obtengan los parámetros estadísticos.

Debe ser ergódico

Procesos estacionarios y ergódicos

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Un proceso estocástico es ergódico si sus momentos (los promedios

de cada variable aleatoria de la secuencia) coinciden con los

promedios temporales de cualquiera de sus realizaciones

Definición

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x(n,ζ)

x(no,ζ) Variable aleatoria

x(n,ζ1)Realización

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Para un proceso estocástico es importante conocer las

Funciones densidad y sus momentos

Se estima a partir de una realización del proceso.

Para una realización, sólo se tiene un resultado, un valor de

cada variable aleatoria

Los momentos de cada variable aleatoria

Se estiman a partir de una realización

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Para obtener los parámetros del proceso con una realización

se deben tener todos los valores y se realizarían según

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Parámetros a Obtener

Valor medio {x(n)}

Valor Medio Cuadrático {|x(n)|2}

Varianza {|x(n)-{x(n)}|2}

Autocorrelación {x(n)x(n-l)*}

Autocovarianza {[x(n)-{x(n)}] [x(n-l)-{x(n)}]*}

Crosscorrelación {x(n)y(n-l)*}

Crosscovarianza {[x(n)-{x(n)}] [y(n-l)-{y(n)}]*}

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Obvio que no se pueden obtener todas las muestras de una

realización, entonces se utiliza

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Densidad espectral de potencia

La densidad espectral de potencia de un proceso

estocástico es x(n) es la transformada de Fourier de la

función de autocorrelación rx(l) y se puede definir como

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Densidad espectral de potencia cruzada

La densidad espectral de potencia de dos proceso estocástico x(n) e y(n) se obtiene a través de la crosscorrelación rxy(l)

Y la función de crosscorrelación rxy(l) es

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Densidad espectral de potencia cruzada

Propiedad importante

1. Es una función compleja y periódica de ω de periodo

2π y cumple que

Rxy(W)=R*xy(W)

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Función Densidad espectral de potencia compleja

Si las secuencias rx(l) y rxy(l) son sumables absolutamente se puede definir su transformada Z

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Ejemplo Obtenga el espectro de potencia y el espectro de potencia complejo de la función

rx(l)=a|l| -1<a<1Respuesta

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