Procesos Aleatorios y Ruido

7/29/2019 Procesos Aleatorios y Ruido

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CAPITULO VIPROCESOS ALEATORIOS Y RUIDO

6.1.-INTRODUCCION

Hasta ahora se han estudiado las seales determinsticas discretas y continuas; estasseales son aquellas que pueden definirse perfectamente para todo t. Sin embargo,la teora de las comunicaciones presenta como elemento fundamental laaleatoreidad ya que el mensaje no se conoce de antemano o lo que es lo mismo no esdeterminstico. Adicionalmente existen perturbaciones aleatorias en lastransmisiones que se conocen como "ruido". En cualquiera de los dos casos esnecesario conseguir un modelo matemtico que permita representar estosfenmenos con el fin de analizar su comportamiento frente a los sistemas decomunicaciones.

Basndose en la experimentacin, se pueden encontrar ciertas regularidades en losprocesos aleatorios que permitirn describirlos estadsticamente y en muchos casosesta descripcin nos proporcionar informacin sobre la densidad espectral depotencia de la seal aleatoria. Con esta ltima herramienta seremos capaces deanalizar el efecto del ruido en cada sistema de comunicacin y la calidad final delmensaje recibido.

Comenzaremos repasando brevemente las nociones de probabilidad, variables

aleatorias, funciones de densidad probabilstica, etc., antes de entrar a lacaracterizacin de los procesos aleatorios.

6.2.-REPASO DE PROBABILIDADES

Existen fenmenos fsicos que presentan cierta regularidad estadstica y cuyomodelo determinstico equivalente sera altamente complicado. Por ejemplo silanzamos una moneda y conocisemos la altura desde la cual se lanza, la ecuacindel movimiento de la mano que la lanza, peso, geometra, composicin de lamoneda, temperatura, gravedad, etc., se podra determinar si saldr cara o sello;pero es evidente que, dado que el nmero de variables a manejar es tan grande, es

preferible utilizar una descripcin probabilstica y decir, por ejemplo, que existe50% de probabilidad de que la moneda, si est bien construda, caiga del lado caray 50% que caiga del lado sello.

En un experimento realizado un nmero suficiente de veces (n), se llamar espaciomuestral al conjunto formado por todos los posibles resultados o eventos. Laprobabilidad de ocurrencia de un evento A se define como:


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donde nA es el nmero de veces que ocurre A. Hay casos donde no es necesariorealizar el experimento para determinar la probabilidad de un evento dado; porejemplo, en una moneda normal P(cara)=P(sello)=0.5. En este caso se define la

probabilidad de ocurrencia del evento A como:

Supongamos ahora que tenemos un espacio muestral compuesto por N eventos; si laocurrencia de uno imposibilita la de cualquier otro, se dice que son mutuamenteexcluyentes en cuyo caso, si elegimos dos eventos A1 y A2, la probabilidad de queocurra uno de los dos vendr dada por:

P( A1 A2 ) = P( A1) + P( A2)

Un ejemplo de esto sera el lanzamiento de un dado; las seis salidas posibles soneventos mutuamente excluyentes. Existen otros casos que corresponden a eventosno excluyentes; un ejemplo podra verse en el siguiente conjunto de interruptores:

El paso de corriente entre a y b se produce cuando cualquiera de los dosinterruptores est cerrado; esto conduce a calcular la probabilidad de pasode esta corriente I como :

P ( S1 cerrado S2 cerrado)

Pero en este caso por no ser estos eventos mutuamente excluyentes, hay que restarla probabilidad de que ocurran juntos ; es decir:

P( I ) = P(S1 cerrado) + P (S2 cerrado) - P(S1 cerrado y S2 cerrado)

En general , para eventos cualesquiera no excluyentes:

P( A1 A2 ) = P( A1) + P( A2) - P( A1 y A2 )

En ciertos experimentos pueden ocurrir simultneamente 2 o ms eventos. Se definela probabilidad conjunta de dos eventos A y B como:


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donde nAB es el nmero de veces que A y B ocurren juntos. Si la ocurrencia delevento B depende del evento A, se puede definir probabilidad condicional como:

de donde se obtiene el Teorema de Bayes que establece que:

Si la ocurrencia de un evento A no afecta la ocurrencia de un evento B, se dice queA y B son eventos independientes en cuyo caso:

P(A/B)=P(A) y P(B/A)=P(B) y P(A y B )= P(A) P(B)

Ejemplos:

1.- En una caja se tienen dos monedas: La moneda 1 tiene 2 sellos y la moneda 2tiene cara y sello con P(cara) = 1/3 y P(sello) = 2/3.

Se saca una moneda se lanza 1 vez y sale sello, cul es la probabilidad de que si sevuelve a lanzar salga de nuevosello?

2.- Si se tiene el siguiente sistema de rels, determine la probabilidad de queentre A y B fluya una corriente, conociendo que la probabilidad de que cadarel est cerrado es p.


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6.3.-REPASO DE VARIABLES ALEATORIAS Y FUNCIONES

PROBABILISTICAS

Cuando se tienen experimentos cuyas salidas son nmeros reales, a la regla queasigna un nmero a cada salida del experimento se le llama variable aleatoria(v.a). Las variables aleatorias se clasifican en :

-Variables aleatorias discretas: Aquellas que pueden tomar un nmerocontable de valores distintos finitos o infinitos. Ej: X es una v.a que representael nmero de caras que salen al lanzar una moneda 3 veces. X solo puedetomar los valores 0,1,2,3.

-Variables aleatorias contnuas: Aquellas que pueden tomar cualquier valoren un rango dado del eje real. Ej: X es una v.a que representa el valor devoltaje de una seal ruidosa. En este caso, X puede tomar cualquier valor de larecta real.

Para una v.a X, sea discreta o continua, se define la Funcin de DistribucinAcumulativa ( F.D.A ) F(x), como la probabilidad de que X tome valoresmenores que dicho x. Es decir:

F(x) = P [Xx]

Donde se cumple que :

1. 0 F(x) 1

2. Para x1 x2 , F (x1) F (x2) es decir dF/dx 0

3. P [ x1< X x2 ]= F (x2) - F (x1)


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4. F( -) =0

5. F() =1

Si la v.a es discreta se define la Funcin Frecuencia P(xj) como laprobabilidad que la v.a X tome el valor xj . La relacin entre esta funcin yF(x) viene dada por las siguientes propiedades:

Si la v.a es contnua se define la Funcin Densidad de Probabilidad f.d.pp(x) como

Sus propiedades son:

Si se utilizan deltas de Dirac, es posible definir una f.d.p para variablesaleatorias discretas de la siguiente forma:

De esta forma se puede unificar el tratamiento de las v.a contnuas y discretas.

Ahora bien, se han definido funciones probabilsticas que permiten caracterizarel comportamiento de una variable aleatoria. Sin embargo, muchas vecesestaremos interesados en analizar simultneamente dos o mas v.a. Estoconduce al concepto de Funcin Densidad Conjunta que para dos v.a,llamaremos pxy(x,y). Esto nos permitir calcular por ejemplo, la probabilidadde que las variables aleatorias tomen valores en determinados rangossimultneamente. As:


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Tambin se pueden calcular las densidades marginales px(x) y py (y) de lasiguiente forma:

6.4.- PROMEDIOS ESTADISTICOS

Cuando se tiene una seal determinstica, se puede definir una funcin que lacaracterice para todo tiempo. Sin embargo, si dicha seal representa, porejemplo, el voltaje en un punto de una red, en la prctica se prefiere tener otrotipo de informacin ms manejable como por ejemplo la potencia promedio.Del mismo modo para seales aleatorias, en vez de trabajar con las funcionesprobabilsticas, muchas veces se utilizan datos ms prcticos conocidos como

promedios estadsticos. Estos parmetros sern muy tiles porque, en muchoscasos, tendrn relacin con los parmetros elctricos de las seales aleatoriasde inters.

El primer promedio a definir ser la media, valor esperado o esperanza de unav.a X que se calcula como:

El valor esperado cumple con las siguientes propiedades:

1.- E(constante)=constante

2.-E(Kx)= KE(x) para K constante

3.- E(x+y)=E(x)+E(y)


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Adems de la media, existen otros promedios estadsticos como por ejemplo elmomento n-simo de una v.a que se define como:

En particular el segundo momento ser de gran importancia as como lavarianza, que no es ms que el segundo momento de la v.a referida a su media.Es decir:

A manera de ejemplo, y para ilustrar la importancia de la varianza de una v.a,imaginemos dos fbricas de bombillos que aseguran tener la misma vida mediade su producto. Por ejemplo dos distribuciones uniformes alrededor de 1000,una de ancho 1000(Fbrica A) y otra de ancho 10(Fbrica B); al explorar msy calcular la varianza de las v.a, definidas como la duracin de sus productos,se descubre que la de la fbrica A es mayor a la de la fbrica B. Esto lo quesignifica es que los productos de la fbrica A son menos confiables que los dela B, ya que a pesar de garantizar la misma duracin media, la desviacinalrededor de sta es mayor que la de la fbrica B.

Justamente, otra cifra de inters es la desviacin standard sx, definida como laraz cuadrada de la varianza, que representa la desviacin que un valor tienealrededor de la media de la distribucin.

Ejemplo:

Se tienen 2 fbricas de bombillos que aseguran que la vida media de suproducto es de 1.000 horas. Sin embargo, al investigar ms se descubre que:

a) El fabricante A produce N/2 bombillos que duran 500 horas y N/2 que duran1.500.

b) El fabricante B produce N bombillos cuya vida cumple con una distribucinuniforme entre 975 y 1025. Es decir:


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Y efectivamente ambos productos tienen una vida media de 1.000 horas; sinembargo, sabemos que la confiabilidad no puede ser la misma en ambasfbricas; por tanto necesitamos otro parmetro que permita elegir qu fbrica

produce los mejores bombillos. Ese parmetro puede ser la varianzaanteriormente definida.

a. Fbrica A:

b) Fbrica B:

Esto indica que los productos de la fbrica B son mejores, ya que la varianza esmenor que en el caso A.

La varianza presenta las siguientes propiedades:

1 Varianza [constante] = 0

2 Varianza [kx] = k2 varianza [x] para k = constante

3 Varianza [x + y] = varianza [x] + varianza [y] solo s x e y sonindependientes.


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4 La raz cuadrada de la varianza se le llama desviacin standard (x) yrepresenta la desviacin que un valor tiene de la media de la distribucin.

5 P [(X-E(x)) > kx] 1/k2 o la probabilidad de que la v.a. se aleje de lamedia k veces la desviacin standard, es inversamente proporcional alcuadrado de k. Esta relacin recibe el nombre de desigualdad de Chebyshev yestablece un lmite en la probabilidad de que una v.a. tome valores alejados desu media.

Ejemplos:

1 Se transmite una seal S, modelada por una v.a uniformemente distribuidaentre 0 y 2; esta se le agrega en el canal un ruido N que se modela por una v.auniformemente distribuida entre 0 y 1. Determine a) El valor esperado de S+Nb) El valor esperado de la potencia promedio de (S+N) sobre una resistencia de2

Solucin:

a. E[Y] = E[S+N] = E [S] + E [N] = 1 + 0.5 = 1.5b. Potencia promedio=E[ (S+N) ]2/2

2.5.- PROMEDIOS ESTADISTICOS PARA MAS DE UNA VARIABLEALEATORIA.

Si se tienen 2 variables aleatorias X, Y se definen sus momentos conjuntos como.

En particular el momento conjunto de primer orden E[xy] es de gran inters yrecibe el nombre de correlacin de X Y. Tambin es importante la covarianzade las dos v.a. definida como:

Sus propiedades son:


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1 Si E(xy)=0 se dice que X,Y son ortogonales

2 Si X e Y son independientes Cov (XY) = 0

3 Si Cov(XY) = 0 se dice que X y Y estn decorrelacionadas.

4 Si X y Y estn decorrelacionadas no necesariamente son ortogonales niindependientes.

Ejemplo:Sea Z una v.a. uniformemente distribuida entre -1 y 1; se definen 2nuevas v.a. X y Y como X = Z Y = Z2. Determine si X , Y estndecorrelacionadas.

Cov (XY)= E [XY]-E[X]E[Y] = 0 => X, Y estn decorrelacionadas pero noson independientes.

6.6.- DISTRIBUCIONES PROBABILISTICAS USUALES:

6.6.1.- Distribucin Uniforme:

Se utiliza en aquellas v.a. igualmente probables en un intervalo (a,b) y sedefine como:


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La media de una variable X con esta distribucin es:

E[X] = 0.5(b+a)

Su varianza resulta:

6.6.2.-Distribucin Gausseana: Es una de las distribuciones ms usadasdebido al teorema del lmite central que establece lo siguiente: Si se tiene unav.a. Y resultado de sumar M variables Xi con distribuciones arbitrarias, ladistribucin de Y se aproxima a gausseana cuando M crece, siempre que lacontribucin de cada variable Xi sea muy pequea.

Este teorema, por ejemplo, se aplica perfectamente al caso de ruido trmico elcual se forma con pequeas contribuciones de movimiento de electrones. La

funcin densidad de probabilidad para una v.a X con distribucin gausseana sedefine como:

Donde:m es la media de la distribucin,2es la varianza y la desviacin estandar


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Cuando queremos determinar valores de probabilidad sobre una v.a. con estadistribucin se necesita calcular:

Pero esta integral no es de fcil resolucin. Es por esto que se ha tabulado elvalor Q(k) definido como:

As por ejemplo si se desea determinar:

Hacemos el siguiente cambio de variable:


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Ejemplo: Una v.a. gaussiana tiene E[ X] = 10 y x = 1.

Determine P [x 13]

Con la funcin Q(k) podemos determinar cualquier valor de probabilidad yaque:


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Muchas veces se tabula 0.5 - Q(k) en vez de Q(k). Sin embargo esto no alterael mtodo de calcular probabilidades.

Ejemplo: Se tiene una v.a. gaussiana con media igual a 10 y varianza unitaria.Determine P[4 x 13].


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m - k1 = 4 = 10 - k1 => k1 = 6

m + k2 = 13 = 10 + k2 => k2 = 3

=> P[4 x 13] = 0.5 - Q(6)+0.5 - Q(3)

6.6.3.- Distribucin de Rayleigh

Esta distribucin ser muy til en algunas representaciones del ruidopasabanda que afecta los sistemas de comunicaciones. Est descrita como:


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Si se desea determinar P(x x0)

Ejercicio: Una v.a con distribucin Rayleigh tiene x2 = 7. Cul es elvalor de la media?

Solucin:


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6.6.4.- Distribucin binomial:

Si un experimento solo puede producir 2 resultados A y su complemento (noA)con probabilidad p y q=1-p respectivamente, y ste se realiza m veces, laprobabilidad que A ocurra k de estas m veces vendr dada por:

Donde el coeficiente binomial representa la cantidad de combinacionesde m elementos en los cuales k de ellos sonA y el resto elcomplemento (no A).

Por ejemplo: Si m=3 y k=1 tendremos

y en efecto existen 3 combinaciones donde A

ocurre solo una vez, ya que: El coeficiente binominal se puede calcular con el tringulo de Pascal.

Ejemplo:


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1 Una moneda normal se lanza 10 veces cul es la probabilidad de quesalgan 4 caras?

A este tipo de pruebas se les llama de Bernoulli y es por esto que ladistribucin a veces recibe ese nombre. Los momentos de una v.a. X con estadistribucin son:

E(X)= p.m donde p=P(A) y m= N total de veces que se realiza la prueba. Lavarianza resulta igual a 2=mpq.

6.6.5.- Distribucin de Poisson: Cuando se realizan pruebas de Bernoulli

cuyos resultados pueden ser , y se deseadeterminar la probabilidad de que en m pruebas A salga k veces, se utiliza ladistribucin binomial. Pero si el nmero de pruebas crece mucho en unproblema donde P[A] es muy pequea se prefiere utilizar la distribucin dePoisson para el clculo de probabilidades particulares. La funcin deprobabilidad se expresa como:

Para esta distribucin tanto la media como la varianza son igualesnumricamente a :

Ejemplo:

En una central telefnica se han recibido 270 llamadas en 180 minutos, esdecir, 1.5 llamadas por minuto. Si quisiramos calcular la probabilidad derecibir 1, 2 3 llamadas en los prximos 3 minutos debiramos subdividir eltiempo total en subintervalos en los cuales ocurre o no ocurre llamada. Porejemplo:

A.- 3 minutos = 9 intervalos de 20 seg. La probabilidad de llamada en estecaso sera:


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Para evitar la probabilidad de 2 o ms llamadas en cada subintervaloes conveniente hacerlo cada vez ms pequeo y en ese caso laprobabilidad de llamada baja pero n.p = cte. Es decir n-> ? p -> o peronp = cte. En este caso:


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2 Un fabricante produce artculos con probabilidad de ser defectuosoigual a 0.001. Cul es la probabilidad de que en un lote de 500artculos ninguno salga defectuoso?

y es ms cmodo trabajar con Poisson.

3 La probabilidad de que un automvil choque con otro es p = 0,0001. Si acierta hora pasan 1.000 carros. Cul es la probabilidad que ocurran 2 o msaccidentes en dicho perodo?.

6.7.- PROCESOS ALEATORIOSUno de los objetivos de la materia Comunicaciones I, es lograr una

descripcin de las seales aleatorias bien sea que estas representen mensajeo ruido. Para lograrlo comenzaremos definiendo un proceso aleatorio como

el conjunto de funciones temporales que resultan de un experimentoparticular, es decir, cada vez que se realiza el experimento, se produce comosalida una determinada seal. La aleatoreidad radica en saber cual de todaslas funciones saldr. Adems, en cada instante de tiempo tk, se puede definiruna v.a que podra llamarse xtk.Queda claro que la diferencia fundamentalentre una v.a y un proceso aleatorio es la dependencia con la variabletiempo.


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Ejemplo: Suponga un proceso estocstico definido como x(t)= atdonde a est uniformemente distribuda entre 0 y 1. Cada vez que se realizael experimento, la salida es una recta de pendiente diferente. Para un tiempodado, digamos t=t0, se tendr una v.a xt0= at0, que puede tomar valores entre0 y t0. Una forma de caracterizar el proceso x(t) es a travs de la definicinde una funcin conjunta de infinitas v.a correspondientes a tiempos distintostk. Afortunadamente, para la mayora de los problemas prcticos, bastar

para su descripcin funciones de una o a lo sumo de dos v.a. Esto estarasociado al tipo de estacionaridad que cumpla el proceso estudiado; por estoa continuacin presentaremos conceptos y funciones esenciales paracaracterizar los procesos aleatorios.

6.8.- ESTACIONARIDAD

Supongamos un proceso aleatorio definido en un intervalo de tiempodado dentro del cual definimos a su vez los instantes t1, t2 ,..., tn . Paracaracterizar el proceso, necesitaramos una funcin probabilstica de orden n

:px( t1) x(t 2) .........x(t n) (

x( t 1), x(t 2) , ........, x(t n))

Diremos que un proceso aleatorio es estacionario en el sentidoestricto, si sus propiedades estadsticas no cambian con un desplazamientodel origen temporal. Es decir:

px(t 1).........x(tn) (x(t 1), ........., x(tn)) = px( t1+) ........x(tn+) (x(t 1+) , .... ..., x(t n+))


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Si esta igualdad se cumple solo hasta un orden m, se dice que elproceso es estacionario de orden m lo que incluye la estacionaridad de todos

los rdenes menores.En la prctica los procesos ms frecuentes se pueden modelar comoestacionarios (aunque sea en pequesimos intervalos de tiempo) por lomenos hasta de segundo orden, y como sus propiedades ms importantes sedescriben muy bien con el primero y segundo momento, trabajaremosusualmente con estacionaridad de orden 2.

Definamos la funcin de autocorrelacin de dos v.a x(t1) y x(t2),definidas dentro de un proceso x(t) para dos instantes t1 y t2 como:

Esta funcin es muy til porque, adems de que nos dar idea delcomportamiento temporal de x(t), en muchos casos nos proporcionar, altransformarla segn Fourier, la densidad espectral de potencia.

Si el proceso es estacionario de orden 1, la media de la v.a esconstante ( no depende del tiempo). Si el proceso es estacionario de orden 2,adems de cumplirse lo anterior, la correlacin entre dos v.a depender, node la ubicacin absoluta de cada una, sino de la distancia entre ellas. Lademostracin de sto, se basa en que, para un proceso estacionario de orden2, se cumple:

Por lo tanto, Rx(t1,t2)= Rx(t1+ , t2 + ). Si seleccionamos = - t1,Rx(t1,t2)= Rx(0, t2 - t1 ) = Rx(). En ese caso podemos escribir:

Rx() = E [ x(t) x(t- ) ]Definiremos ahora, un proceso estacionario en el sentido amplio,

como aquel en el que se cumple:1.- E [ x(t) ] = mx =constante2.- E [ x(t) x(t- ) ] = Rx()

Es evidente que un proceso estacionario de orden 2, lo ser en sentidoamplio, sin embargo, esto ltimo no garantiza la primera condicin.

La funcin de autocorrelacin de un proceso estacionario en elsentido amplio cumple las siguientes propiedades:

a) Rx(0) = E [ x2(t) ]

b) Rx() = Rx( - )c) | Rx() | Rx( 0 )

)t(dx)t(dx))t(x),t(x(p)t(x)t(xR 2121)t(x)t(x21)t(x)t(x 2121

=


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d) La graficacin de Rx() puede darnos informacin sobre elcomportamiento temporal del proceso.

Por ejemplo :Si se tienen las siguientes funciones de autocorrelacin para dos

procesos diferentes X1 y X2 :

Se observa que el proceso X1(t) flucta ms lentamente que elproceso X2(t) ya que la correlacin de este ltimo se anula msrpidamente. En general , se dice que un proceso tiene un tiempo t0 de

decorrelacin si Rx(t0) = 0.01 Rx( 0 ).

Ejemplo 1: Sea x(t) el proceso descrito como x(t)= A Cos (0t + ) ,donde A y 0 son constantes y est uniformemente distribudo entre 0 y2. Determine la media y la autocorrelacin del proceso.


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Ejemplo 2: Sea x(t)= at donde a est uniformemente distribudo entre 0 y 1.Determine la fdp de primer orden del proceso px(t) (x(t))

En este caso es ms fcil calcular la F.D.A ( Fx(t) (x(t))) y luego derivarlapara obtener la fdp ( px(t) (x(t))).

Fx(t) (x(t)) = P [ X(t)


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Definamos por tanto la funcin probabilstica que permite obtener laprobabilidad de que en t ocurran n cambios. Esto corresponde a una

distribucin Poisson la cual est definida como:

P [ en ocurran n cambios] =()

n

e

n !

Donde es la media de la distribucin equivalente a n.p

As: P [ x(t) = x (t ) ] = P [ Nmero de cambios sea par ] =

P [ x(t) = -x (t- t ) ] = P [ Nmero de cambios sea impar ] =

Por lo tanto:

Rx() = A2e

Cosh - A

2e

Senh = A

2e

2

Como esto es vlido para t negativo:

Rx() = A2e

2

6.9.- PROCESOS ERGODICOS

En un proceso estocstico uno puede determinar ciertos parmetros dedos formas: a) Se toma una muestra completa del proceso (Ej: x1(t)) y serealizan clculos sobre ella b) Se toman los valores de todas las salidas

posibles para un tiempo fijo tk y se calcula el parmetro deseado. Si el valordel parmetro resulta igual por los dos mtodos, se dice que el proceso es

[ ] imparcambiosNPAparcambiosNPA)t(x)t(xE)(R 0202 ==


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ergdico con respecto a ese parmetro. Por ejemplo, ergodicidad conrespecto a la media sera decir que :

Dara el mismo resultado tomar , por ejemplo, x2(t) y promediarla en eltiempo, o tomar los valores de x1(tk), x2(tk),......, xn(tk) y promediarlos.

Es evidente que si un proceso es ergdico tambin es estacionario ysi la salida representa una seal elctrica, esta ser de potencia y se cumplirque:

E [ x ] = x = Ni vel D.C de x(t)

E [ x2

] = x2

= Potencia promedio total de x(t)

E [x ]2

= x2

= Potencia D.C de x(t)

x2

= E [x2

] - E [x ]2

= Potencia promedio A.C de x(t)

x = Voltaj e R.M.S de x(t)

F { Rx() } = Gx (f) = Densidad Espectral de Potencia.

Esta ltima relacin es importantsima ya que nos dice que a pesar deque la seal es aleatoria, su autocorrelacin, y por ende, su densidadespectral de potencia, son determinsticas. La demostracin es la siguiente:

Uno puede definir la densidad espectral de un proceso aleatorio comoel promedio de las densidades espectrales de las funciones muestras as:

donde XT(f) es la transformada de Fourier del proceso aleatorio truncadox(t) (t/T). Su mdulo al cuadrado es igual a:


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XT(f) 2 = XT*(f)XT (f) = x(t1

T /2

T /2

)ejt1dt1 x(t2

T /2

T 2

)ejt2dt2

Estas dos integrales pueden expresarse como una integral dobledel producto de x(t1)x(t2), y como la operacin de promediacin es otraintegral ms, puede realizarse primero; esto ltimo se expresara como la

promediacin previa del producto x(t1)x(t2) . Queda entonces que:

Si el proceso es estacionario en el sentido amplio, el promediodel producto x(t1)x(t2) es la autocorrelacin evaluada en la diferencia detiempos t2 - t1. La densidad espectral queda entonces igual a :

La integral doble puede cambiarse por una integral nicarespecto a la diferencia (t2 - t1) = notando que el argumento a integrares constante cuando (t2 - t1) lo es. Eso significa que la integral doble sobre(t2 ,t1) , lo cual es un volumen, puede calcularse como el argumentomultiplicado por el rea de la base. El clculo de esta rea puede verse dela siguiente figura:


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Quedara 0.5(T- )2 - 0.5(T- -)2 ( Resta de las reas de los dostringulos) esto es aproximadamente (T- ) cuando t tiende a cero. Parat negativo el rea resulta (T+ ) . Por lo tanto el volumen, en la pequeazona ser F(t) (T- | | ) . El volumen total es la densidad espectral de

potencia Gx(f) , y resulta igual a:

limT 1

T

T

T

( )(T )d = limT

T

T

( )(1

T

)d =

T

T

( )d

Finalmente , y recordando la definicin de F(t), tendremos:

F { Rx() } = Gx (f) = Densidad Espectral de Potencia

Una vez conocido esto, si el proceso pasa por un sistema dado, sepodr conocer caractersticas de la salida de la siguiente forma:

a) Si el sistema es lineal, conocemos la densidad espectral de potenciade la seal de entrada Gx (f) y el cuadrado de la magnitud de la funcin

transferencia |H(f)|2 , podremos conocer la densidad espectral de potencia dela seal de salida Gy (f) de la siguiente forma:

Gy (f) = | H(f) |2 Gx (f)

b) Si el sistema es no lineal, podemos transformar el proceso deentrada con el conocimiento de la funcin caracterstica.

Ejemplos:1 Un proceso ergdico tiene la siguiente funcin de autocorrelacin:


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Rx() = A2e

2

Determine: La densidad espectral de potencia del proceso, la potencia

promedio total, la potencia A.C, la potencia D.C y el voltaje R.M.S.

a) La densidad espectral de potencia es la transformada de Fourier de laautocorrelacin, resultando entonces (por tablas de Fourier):

Gx(f ) =4 A

2

42

+ 2

b) La potencia DC es nula ya que en f=0 no existe una delta de Dirac.c) La potencia AC en este caso es igual a la potencia total, ya que la

potencia DC es nula. Al evaluar la autocorrelacin en cero , tendremos elvalor de la potencia total. Tambin dara el mismo resultado integrar ladensidad espectral de potencia entre menos infinito e infinito.Potencia total = Potencia AC = Rx(0) = A

2.d) El voltaje R.M.S es igual a la raz de la potencia AC.Es decir, VR.M.S = A.

2 Se tiene un proceso ergdico con distribucin gaussiana y

densidad espectral de potencia definida como:

Gx(f ) =1

4 + 2

Determine la probabilidad de que el proceso tome valores entre 0.5 y 1.Solucin:

Si la f.d.p es gaussiana, solo hace falta conocer su media y desviacinstandard para poder calcular la probabilidad exigida. La media es cero porno existir delta de Dirac en el origen. La desviacin standard es la raz de la

potencia AC que en este caso es la potencia total . Por lo tanto basta integrarla densidad espectral en todo el intervalo de existencia o evaluar laautocorrelacin en cero y, en cualquiera de los casos, luego tomar la raz.

Rx() =1

4e

2

La autocorrrelacin en cero es igual a la varianza (porque la media valecero). En este caso entonces s= 0.5, m=0.As, P [ 0.5 < x < 1 ]= Q(k0.5) -Q( k1 ).m + k0.5 s = 0.5 esto implica k0.5 = 1


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m + k1 s = 1 esto implica k1 = 2P [ 0.5 < x < 1 ] = Q(1) -Q(2).

PASO DE SEALES ALEATORIAS POR SISTEMAS LINEALES YNO LINEALES

En el curso de Seales y Sistemas se vio que al pasar una seal por unsistema lineal se poda calcular la salida bien convolucionando en tiempola seal de entrada con la respuesta impulsiva o multiplicando enfrecuencia la transformada de Fourier de la seal de entrada por larespuesta en frecuencia.

Para seales aleatorias a lo sumo dispondremos de la funcin deautocorrelacin funcin de t, o de la Densidad Espectral dePotencia(DEP).

Paso de la seal aleatoria por un sistema linealCuando una seal aleatoria pase por un sistema lineal, definido por unarespuesta impulsiva h(t), podramos estar interesados en determinar laautocorrelacin de la seal de salida.

Al intercambiar operadores, es necesario calcular:

Por lo tanto la autocorrelacin de la seal de salida resultara:

Y esto puede escribirse como:

Tambin se puede demostrar que

[ ]

==

--

'')d''-)x(t-''h(')d')x(t-'h(

)-()()(

E

tytyERy

[ ] )''-'()''-)x(t-'x(t- += xRE

+=

''d'd)''-'()'')h('h()(--

xy RR

)()()(

)(*)(*)-()(2

fGfHfG

RhhR

xy

xy

=

=


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Paso de la seal aleatoria por un sistema no lineal

Si la seal aleatoria pasa por un sistema no lineal, puede convenir tratar deencontrar la autocorrelacin de salida aplicando la definicin.Ejemplo:Sea z(t) =x(t). w(t). Determine la autocorrelacin de z(t)

Si los procesos x(t) y w(t) no son independientes, seria necesario conocerla funcin densidad conjunta pxw. Pero si son independientes laautocorrelacin de z(t) resultara:

Un caso muy frecuente, en el cual podemos aplicar el resultado anterior, es

el siguiente:

Sea z(t) =x(t). Acos(0t +), con uniformemente distribuido entreDetermine la autocorrelacin y la DEP de z(t)

En este caso podemos aplicar el resultado obtenido anteriormente,recordando que la autocorrelacin de Acos(0t +) es igual a

0.5A2cos(0).

Como observamos al multiplicar una seal aleatoria por una sinusoide, laDEP de la seal aleatoria queda trasladada en frecuencia (Teorema deModulacin)

Ejemplos de paso de seales aleatorias por sistemas1) Sumador

)-()(

)(*)()(

yxxy

xyx

RR

RhR

=

=

[ ])-)w(-()()()( ttxtwtxERz =

[ ][ ] [ ]

)(*)()(

)()()-w()()-()(

)-)w(-()()()(

fGfGfG

RRttwEtxtxE

ttxtwtxER

wxz

wx

z

=

==

=

))()-((25.0)(

5.0)()(

002

02

ffGffGAfG

CosARR

xxz

xz

++=

=


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Sea z(t) =x(t) +w(t). Determine la autocorrelacin de z(t) conociendo quex(t) y w(t) son independientes

Esto pudo hacerse porque se asumi que los procesos x(t) y w(t) sonergodicos. Si alguna de los dos tiene media nula el resultado se simplifica:

Observe que solo puede hacerse superposicin de DEPs cuando losprocesos son independientes y al menos uno tiene media nula; si estaultima condicin no se cumple, adems de las DEPs individualesaparecer un termino DC producto de las medias de los procesos.2) RetardadorSea z(t)=x(tt0). Determine la autocorrelacin y la DEP de z(t).

Como se observa el retardador no cambia la autocorrelacin y por tanto laDEP del proceso.3) Transformador de Hilbert

Si se tiene una seal x(t) cuya transformada de Fourier es X(f), a latransformada de Hilbert de x(t) se le llamar x (t), y su transformada deFourier ser:

X(f) =- j sgn(f) X(f)

Es decir , un transformador de Hilbert lo que hace es desfasar-90 todas las componentes de frecuencia de la seal sin alterar lamagnitud de dichas componentes.En el dominio del tiempo:

Sin embargo para seales aleatorias el tratamiento sera el siguiente:

[ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ])()(2)()(

)-()()-()()()(

)-()()-()()-w()()-()( ))-w()-())(()(()(

twEtxERR

txEtwEtwEtxERR

txtwEtwtxEttwEtxtxEttxtwtxER

wx

wx

z

++

=+++

=+++= ++=

[ ] [ ]

)()()(

)()()(

)()(2)()()(

fGfGfG

RRR

twEtxERRR

wxx

wxx

wxx

+=

+=

=++=

[ ] )())--()-(()( 00 xz RttxttxER ==

)(h*)()( H ttxtx =


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4) Representacion del ruido pasabanda

Un ruido pasabandaes aquel que tiene un contenido espectral en una zonaalejada de las bajas frecuencias de tal forma que entre su frecuencia mnimay el origen podran tenerse repeticiones del espectro. Dicho ruido puederepresentarse matemticamente como:

n (t) = Rn(t) Cos (ct +n (t)).n (t) = ni(t)Cos ct - nq(t)Senctdonde:

Rn(t) es llamada la envolventen (t) es la fase

ni(t) es la componente en fase ynq(t) es la componente en cuadratura

Se puede demostrar que:

Por ejemplo tomemos la primera expresin:

n(t) =ni(t)Cos ct - nq(t)Sen ct

n(t) =ni(t)Sen ct + nq(t)Cos ct

n(t)Cos ct =ni(t)(Cos ct)2

- nq(t)Sen ctCos ct

n(t)Sen ct =ni(t)(Sen ct)2

+ nq(t)Cos ctSen ctAl sumar estas dos ltimas ecuaciones se obtiene ni(t). Demuestre usted laotra expresin.

Determine la autocorrelacin de la componente en fase:

)()((-jsgn(f)))(

)()()(

)(*)(*)-()(

2

2

fGfGfG

fGfHfG

RhhR

xxy

xHy

xHHy

==

=

=


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Pero hay que considerar los siguientes aspectos:

Por lo tanto, la autocorrelacin de la componente en fase del ruido quedar:

6.10.- RUIDO

Se conoce como ruido a toda perturbacin inevitable sobre la seal que se deseatransmitir y cuyas causas pueden ser externas ( ruido atmosfrico, solar , deencendidos, de mquinas, etc.) o internas. Estas ltimas se deben a fluctuacionesespontneas de corriente o voltaje y entre ellas se destacan el ruido de disparo y el

[ ]

[ ]

)-t(CostSen)(R)-t(SentCos)(R

)-t(enStSen)(R)-t(CostCos)(R

)-t(CostSen)-t(n)t(n)-t(SentCos)-t(n)t(n

)-t(Sen)-t(n)t(n)-t(CostCos)-t(n)t((nE

)-t(Sen)-t(n)-t(Cos)-t(t)(nSen)t(ntCos)t((nE

)-t(n)t(nE)(R

ccnnccnn

ccnccn

cccc

ccc

cccc

iini

+

++

=

++

+

=++

==

)-(R)(R

)(R*)(h)(R

yxxy

xyx

=

=

)(R-)(R

)(R*)-(h)(R

)(R)(R

)(R*)(h)(R

nnn

nHnn

nnn

nHnn

=

=

=

=

[ ]

[ ]

Sen)(R

Cos)(R

)-t(SentCos-)-t(CostSen)(R

)-t(enStSen)-t(CostCos)(R

)-t(CostSen)(R)-t(SentCos)(R-

)-t(enStSen)(R)-t(CostCos)(R

cncn

ccccn

ccccn

ccnccn

ccnccn

+

=

++

=+

++

)(R)(R nn =


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ruido trmico. El ruido de disparo se debe al movimiento de partculas a travs deun gradiente de potencial. Por ejemplo, en los semiconductores, este se debe a ladifusin aleatoria de los portadores minoritarios y a la recombinacin de huecos y

electrones. Este ruido es gausseano y con media nula. El ruido trmico se debe almovimiento aleatorio de los electrones dentro de un conductor. Tambin se le llamaruido resistivo o ruido Johnson, debido a que su primer anlisis fu realizado porJohnson y Nyquist sobre resistores. De estos estudios surgen las siguientescaractersticas:

a) Cuando un resistor R est a una temperatura T, aparece en sus extremos unvoltaje v(t) aleatorio, gausseano con media cero y varianza igual a :

donde :

k = Constante de Boltzman = 1.37 x 10-23 J/K

h = Constante de Planck = 6.62 x 10-34 J/seg

T = Temperatura en K

b) Su densidad espectral de voltaje cuadrtico tiene la siguiente expresin:

A temperatura ambiente ( T0 = 290 K ), hf/kT0 < 0.1 para f < 500 GHz, es decir,para efectos prcticos, Gv(f) es constante para todo el rango de frecuencias deinters y aproximadamente igual a 2RkT. Esta aproximacin tiene el inconvenientede que la potencia resulta infinita, sin embargo esto se resuelve al recordar quecualquier sistema real tiene ancho de banda finito que limita el valor de la potenciapromedio total.

c) El modelo Thevenin de un resistor ruidoso es:


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donde Gv(f) es proporcional a V2 .

d) El modelo Norton puede deducirse del anterior ya que v2= (Ri)2 mientras queGi(f)= Gv(f)/ R2 = 2kTG. As:

e) Cualquiera sea el modelo ut ilizado para el resistor ruidoso existe un

lmite en la potencia de ruido que puede generar, lo que ocurri r encondicin de mxima transferencia, es decir cuando en sus extremos secoloque una resistencia de su mismo valor. As:

Esto es la densidad espectral de voltaje cuadrtico aprovechable. Por otra parte ladensidad espectral de potencia aprovechable se obtiene dividiendo Gva(f) entre elvalor de la resistencia R. As:

Ga(f) = Gva(f)/R = Gv(f)/4R = kT/2 watts/Hz

Observe que la densidad de potencia aprovechable es independiente del valor de R.


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f) Cuando el ruido trmico se hace pasar por una red lineal, invariante en el tiempoy estable, con funcin de transferencia H(f), la densidad espectral de ruido a lasalida, se consigue multiplicando la densidad espectral de potencia de ruido por el

cuadrado del mdulo de la funcin transferencia.

Gy(f) = Gx(f) . | H(f) | 2

Por ejemplo, en el caso de ruido trmico al utilizar el modelo Thevenin se tiene:

H'(f) debe incluir la resistencia no ruidosa y as:

Gvout(f) = 2RkT | H'(f) | 2

Ejemplo:


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g) Cuando se tienen dos fuentes de ruido independientes alimentando a un sistemalineal, si al menos una de las dos seales tiene media nula, el espectro de potencia ala salida ser la suma de los espectros de cada una de las fuentes por separado.

Demostracin:

Cuando la entrada es f1(t) + f2(t), la salida y(t)= y1(t) + y2(t). Calculemos Ry().

Ry(t) = E [ y(t) y(t- ) ] =

E [ ( y1(t) + y2(t)) ( y1(t- ) + y2(t - )) ] =

E [y1(t) y1(t- )] + E [y2(t)y1(t- )] +E[y1(t) y2(t- )] + E [y2(t)y2(t- ) ]=Ry1() + E [ y2(t)] E [ y1(t- )] + E [ y1(t)] E [y2(t- )] + Ry2()

Ry()= Ry1() + Ry2()

Por lo tanto, al transformar:

Gy(f)= Gy1(f) + Gy2(f)

De ser independientes pero con media no nula, Ry() = E [ y(t) y(t- t )]quedara:

Ry() = Ry1() + E [ y2(t)] E[ y1(t- )] + E[ y1(t)] E [y2(t- )] + Ry2()

Ry() = Ry1() + 2 m2 m1 + Ry2()

Por lo tanto, al transformar:

Gy(f)= Gy1(f) + 2 m2 m1(f) + Gy2(f)

Es decir aparecer una delta en el origen de frecuencias adicionales a laspropias de y1 y y2.


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6.11.- RUIDO BLANCO

Cuando la densidad espectral de potencia de una seal ruidosa es constante conla frecuencia, se dice que es ruido blanco por analoga con la luz blanca quetiene todas las componentes de frecuencia ( aunque no en la mismaproporcin) dentro de la banda visible del espectro electromagntico.

Adems del ruido trmico, existen otras fuentes de ruido que puedenmodelarse como blanco, por ejemplo: el ruido csmico, el ruido solar, etc. Ladensidad espectral G(f) se define como:

La autocorrelacin para este tipo de ruido es una delta ubicada en el origen de es decir Rn( ) = ( / 2) () , lo que indica que el ruido en cada instanteest decorrelacionado de lo que sucede en cualquier otro intervalo de tiempo.En el caso de ruido trmico:


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v= 4RkT i= 4GkT a= kT

Cuando el ruido blanco pasa a travs de una red L.T.I , con funcin detransferencia H(f), la densidad espectral a la salida viene dada por:

Go(f)= (/ 2 ) | H(f) |2

La autocorrelacin de la seal de salida vendr dada por laantitransformada de la densidad espectral, mientras que la potenciapromedio total a la salida del sistema se conseguira evaluando la

autocorrelacin en cero, o integrando en todo el rango de frecuenciasla densidad espectral de potencia. El efecto del filtraje es " colorear" elruido y de esta forma, generar correlacin entre sus muestras.

6.12.- TEMPERATURA DE RUIDO

Cuando se tiene una fuente de ruido no trmica cuya densidad de potenciaaprovechable es a/ 2, se define TN como la temperatura a la cual estara unaresistencia cuya densidad de potencia aprovechable fuese la misma a= k TN;as TN= a/ k.

6.13. -ANCHO DE BANDA EQUIVALENTE

Cuando ruido blanco pasa a travs de una red con funcin transferencia H(f), lapotencia de ruido de salida se calcula como:

Definamos


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En ese caso: N0= BN| H(f) |2 max. Es decir, se busca un filtro ideal

con ancho de banda (hacia f positivo) igual a BN , con ganancia devoltaje igual a | H(f) | max y que deje pasar la misma cantidad depotencia que el filtro real.

Ejercicio: Encuentre el ancho de banda equivalente de un filtro pasabajo RC.

Recuerde que H(f) = (1 + jwRC)-1 ; | H(f) | max = 1

6.14.- TRANSMISION DE SEALES CON RUIDO

Normalmente el ruido que afecta las transmisiones lo hace en forma aditiva esdecir:

Para ver el efecto del ruido se utiliza la relacin seal a ruido ya que elconocimiento de las caractersticas del ruido sin saber las de la seal, noproduce mayor informacin: No es lo mismo hablar de un ruido con VRMS enel orden de los milivoltios en un sistema de potencia de alto voltaje, que en unaaplicacin en medicina donde las seales tienen rdenes de magnitud similares(mv). As:

Si yD(t)= xD(t) + nD(t), RyD(0) = E [xD2(t) + 2 xD(t) nD(t) + nD2(t) ].

Solo si la fuente de ruido es independiente de la de seal y el ruido tiene mediacero ( aunque usualmente la seal tiene nivel DC nulo ), la potencia de salidaser la suma de la potencia de seal ms la de ruido.

E [ yD2(t)] = E [ xD2(t) ] + E [ nD2(t) ]

Definiremos la relacin seal a ruido detectada a recibida como:


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En la prctica uno puede "apagar " la seal y medir la potencia deruido. Tambin puede medir a la salida la potencia de seal ms ruido ;en ese caso:

Ejemplo: Suponga el siguiente sistema de transmisin en banda base :

El mensaje x(t), con ancho de banda W, tiene potencia Sx, el transmisor loamplifica y la potencia transmitida resulta ST = gT . Sx. Luego el canalproduce una atenuacin de potencia L y el receptor una amplificacin gR. As ,SD = ( gT . Sx . gR )/ L. Por su parte el ruido solo se afecta por gR . As: ND = . gR. W. Finalmente:

Se observa que la relacin seal a ruido recibida:

a) No depende de la ganancia del receptor.

b) Es inversamente proporcional al ancho de banda del filtro.


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c) Es inversamente proporcional a la atenuacin que produce el canal.

Una manera de mejorar la relacin seal a ruido es colocando estacionesrepetidoras en zonas intermedias del trayecto de transmisin. Normalmente laganancia del repetidor compensa la prdida del trayecto; de esta forma, lapotencia de seal se mantiene a la salida del sistemaST = gT . Sx = SD . Por su parte, la potencia de ruido luego de la primerarepetidora quedaND1 = . L1 .W. La potencia de este ruido al final de las m repetidoras quedaigual ya que cada prdida de canal ser compensada por la ganancia de cadarepetidora. Sin embargo se irn sumando contribuciones idnticas de ruido,tantas como repetidoras existan. Al final para m repetidoras

ND = m . . L1 .W.

Finalmente

Comparando con la relacin seal a ruido sin repetidoras se obtiene que:

Para ilustrar esto, considere un sistema basado en lneas de transmisin conuna prdida de 10 dB/ Km. Para un trayecto de 14 Km, si se coloca unarepetidora en la mitad , L=1014 y L1= 107 ( El receptor se cuenta comorepetidora, por tanto m=2). La ganancia en este caso ser de: L/mL1 = 5 x 106 .Esto es produce una mejora considerable en la relacin seal a ruido.

6.15.- RUIDO EN DISPOSITIVOS LINEALES

Adems del ruido resistivo, los sistemas lineales como por ejemplo las lneasde transmisin, los amplificadores, etc. tambin contaminan la seal que sedesea transmitir. Es por ello necesario cuantificar a travs de alguna cifra demrito cuanto ruido aporta el dispositivo. Las cifras ms usadas son: la figurade ruido y la temperatura efectiva de ruido.

6.15.1.- Figura de ruido:Considere el siguiente modelo para un sistema linealcon una banda de trabajo (f0-W/2) a (f0+W/2) que introduce ruido:


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La figura de ruido del sistema se determina alimentndolo con ruido trmico atemperatura ambiente T0= 290, colocando a la salida una carga cualquiera y

determinando:

F = Pot. total a la salida / Pot. a la salida debida a la fuente

El diagrama sera el siguiente:

En este caso la figura de ruido resultara:

Si la respuesta del sistema G(f) es constante con la frecuencia e igual a G, lafigura de ruido resultara:


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Si el dispositivo no proporciona ruido, la figura de ruido ser igual a 1.

F se acostumbra a especificar en decibeles.

Ejercicio: Determine la figura de ruido de la cascada de 3 amplificadores conganancia constante. El modelo aplicable a este caso sera el siguiente:

De este modo la figura de ruido para el sistema total sera:

Esto tambin se puede escribir como:

Se observa claramente que la primera etapa de la cascada debe ser la menosruidosa y adems debe proporcionar una alta ganancia.

6.15.2. -Temperatura efectiva de ruido: Esta cifra se basa en el siguientemodelo:


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En este modelo, Te se conoce como la temperatura efectiva de ruido deldispositivo, es decir, sera la temperatura a la que debiera estar una resistenciapara que, sumada al ruido de entrada, lograra el mismo valor de potencia total

a la salida.

Si la respuesta del sistema es constante con la frecuencia e igual a G, lapotencia total a la salida resultara igual a:

De donde se deduce que la temperatura efectiva de ruido sera igual a :

Generalmente se coloca la temperatura de entrada igual a latemperatura ambiente a menos que el sistema est en cascada conotro sistema a temperatura arbitraria.


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Ejercicio: Determine la temperatura efectiva de ruido de la cascada de 3amplificadores.

Esto tambin se puede expresar como:

Al igual que al realizar el anlisis de la figura de ruido, se puedeconcluir que la primera etapa de la cascada debe ser la menos ruidosay adems debe proporcionar una alta ganancia.

Ejercicio: Determine la temperatura efectiva de ruido y la figura de ruido deuna lnea de transmisin de impedancia caracterstica R0, que produce unaprdida de potencia L, alimentada por una fuente resistiva R0 y que se terminacon una impedancia acoplada. Asuma que la temperatura a la que se encuentrala lnea es TL.

Cuando se tiene una lnea de transmisin con impedancia caracterstica R0 ,terminada en una carga con este mismo valor, a la salida de la lnea se versolamente el ruido producido por un conductor colocado a temperatura TL (ruido trmico). Es decir la potencia de salida POUT ser igual a KTLW . Por lotanto para una lnea de transmisin con una prdida total de potencia L, latemperatura efectiva de ruido ser:

(G=1/L)Si la temperatura de entrada y la de la lnea son iguales, la temperaturaefectiva de la lnea de transmisin resultar igual a:

Por otra parte, la figura de ruido resulta:


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En general , la relacin entre la figura de ruido y la temperatura efectiva deruido se consigue colocando la entrada a temperatura ambiente ( tambin la

lnea) y en ese caso resultara :

Ejercicio:

Una antena est conectada a un receptor de televisin(F=16 dB), a travs de untrozo de lnea de transmisin de una longitud tal que la prdida total queproduce es de 3.75 dB.

a) Determine la figura global de ruido de este sistema

b) Inserte un amplificador exactamente despus de la antena y antes de la lneacon F=3dB y G=20 dB. Determine la figura de ruido global.

c)Inserte el mismo amplificador anterior despus de la lnea de transmisin .Determine la figura de ruido global.

d) Compare los resultados de b) y c) y concluya.

Solucin:

a)En primer lugar dibujemos el modelo del sistema :

De los datos suministrados para el televisor se deduce que :

FdB= 16dB indica que F= 39.81 , es decir


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Por otra parte la lnea tiene una prdida en dB de 3.75. Esto indica que L=2.37;asimismo ,como la lnea se coloca a temperatura ambiente para medir la figura

de ruido, se obtiene que Te= T0(L-1)= 1.37 T0.En este caso la figura de ruido total queda:

b) Ahora al insertar el amplificador despus de la antena el sistemaqueda :

El amplificador tiene una figura de ruido de 3 dB, por lo tanto

Ahora la figura de ruido global quedar:


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c) Ahora al colocar el amplificador despus de la lnea el modelo quedar:

Ahora la figura de ruido resultar:


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d) La figura de ruido resulta menor en el caso b) , es decir cuando elamplificador se conecta antes de la lnea de transmisin. Por esto esconveniente colocar siempre el amplificador a la salida de la antena.

6.16. -DISTORSION

El ruido no es la nica fuente de contaminacin en los sistemas de

comunicaciones. Existe tambin distorsin debida a la respuesta imperfecta delos diferentes bloques que conforman el sistema. Entre ellas destacan:

-Distorsin lineal (De amplitud y/o fase)

-Distorsin no-lineal

Distorsin lineal: En un sistema lineal , se dice que la seal a su salida no estdistorsionada si se cumple que:

siendo x(t) la seal de entrada. Para un sistema lineal esto sera lo mismo quedecir que la funcin transferencia o respuesta en frecuencia del sistema vendradada por:

es decir que la magnitud es constante con la frecuencia e igual a K y la fasetiene un comportamiento lineal con la frecuencia e igual a -( td m). Siestas condiciones no se cumplen, se presentar el fenmeno de distorsin linealel cual cambiar la forma de la seal recibida. Cuando la magnitud de H(f) noes constante , se produce distorsin de amplitud. Cuando la fase de H(f) no eslineal con la frecuencia se producir distorsin o retardo de fase. Imagine porejemplo que la seal enviada es una peridica que sabemos est constituda porinfinitas armnicas distanciadas f0 (frecuencia fundamental) , con amplitudes yfase determinadas. Si la magnitud de la funcin transferencia no es constantecon la frecuencia, la contribucin de cada armnica no ser la adecuada paracontribuir con la formacin de la peridica y por ende la salida no preservar la


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forma original. Tampoco se preservara si la respuesta en fase del sistema no eslineal con la frecuencia.

Distorsin no-lineal:

El considerar que el sistema por el que pasa la seal es lineal, generalmente esuna simplificacin que es vlida solo para ciertas circunstancias (p.e. pequeasseales). Lamentablemente en la mayora de los casos estas condiciones no secumplen y hay necesariamente que utilizar un modelo no-lineal. Con distorsinno-lineal, la amplitud y la fase cambian con el voltaje de entrada Vin de lasiguiente forma:

Cuando el sistema no es lineal, la salida y(t) y la entrada x(t) puedenrelacionarse a travs de una ecuacin caracterstica que puede ser del siguientetipo:

que al transformarla produce:

En ese caso an siendo la seal x(t) de ancho de banda finito, la salidano solo perder semejanza con la entrada sino que ocupar un anchode banda mayor. Si existieran canales adyacentes, aparecerinterferencia en los mismos.


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En la prctica , por ejemplo, los amplificadores producen distorsin no-lineal ysi se alimentaran con un tono puro, x(t) = A Cos(0t+F), la salida y(t) tendra

la siguiente forma:

y(t) =k0 + k1Cos(0t+1) + k2Cos(20t+ 2) + k3Cos(30t+ 3)+.......

De esta forma , se puede definir la distorsin armnica total como:

Otro tipo de distorsin es la distorsin por intermodulacin (DI) , la cual sedetermina alimentando el sistema con 2 tonos y observando los trminosadicionales que aparecen.

Si x(t) = A1Sen1t + A2Sen2t la salida y(t) ser:

y(t) = k0 + k1Sen1t + k2Sen2t + k3Sen21t + k4Sen22t + k5Sen1t Sen2t +k6Sen31t + k7Sen21t Sen22t +k8Sen1t Sen22t+........

Se observan trminos de frecuencia 2f2 + f1, 2f1 + f2 , 2f2 - f1 , etc.

Este tipo de distorsin es caracterstica de los amplificadores pasabanda y losde RF usados en transmisores y receptores.

Otro tipo de distorsin presente a la salida de un amplificador no lineal es lamodulacin cruzada (cross-modulacin). Los trminos de la modulacincruzada tienen las mismas frecuencias originales (1 y 2), pero amplitudescruzadas; es decir aparecer un tono de frecuencia 1 y amplitud relacionada a

la amplitud del tono original de frecuencia 2 y viceversa.Por ejemplo si se tiene

x(t) = A1(1+m1(t))Sen1t + A2Sen2t , el trmino de orden 3 arrojar unelemento del tipo :

k (1+m1(t))2Sen2t

Retardo de grupo:


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Para un tono puro, se define el retardo de fase rp() como:

donde q( ) es la respuesta de fase del sistema.

Para una seal modulada, como tiene gran cantidad de frecuencias, ya estarelacin no se cumple. En general algunas componentes viajarn ms lento queotras, con una regla no lineal, y esto producir distorsin. En estos casos sehabla del retardo de grupo definido como:

Las componentes del retardo de grupo se relacionan con los siguientes tipos dedistorsin:

-Si q( ) es parablico se habla de retardo lineal ( Distorsin de segundoorden). Este tipo de distorsin altera la relacin de fase entre las bandaslaterales.

-Si q( ) es cbico se habla de retardo parablico ( Distorsin de primero ytercer orden). Este tipo de distorsin altera la relacin de fase entre las bandaslaterales y la portadora.

Si existe una combinacin de las dos anteriores se le llama ripple residual.

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Procesos Aleatorios y Ruido