Curso Geometría Analítica Sesión 4. La parábola. Secuencia didáctica Geometría Analítica 3...

CursoGeometría Analítica

Sesión 4. La parábola

Secuencia didáctica

Geometría Analítica 3 Septiembre 17

La parábola • Ecuación de la parábola• Vértice, foco y distancia

focal

Asociación de ecuaciones con las curvas correspondientes

Entender la importancia y las posibles aplicaciones de las parábolas

Mostrar algunos ejemplos de la vida real, donde intervienen las parábolas

Discusión de los estudiantes, en torno a la existencia de parábolas

Discusión 10 min

Lista de posibles ejemplos de parábolas en la naturales o en artefactos fabricados

Construcción de una parábola, a partir de su foco y su directriz, deducción de la ecuación

Construcción de varias parábolas a partir de las condiciones de definición

Uso del Laboratorio de Geometría Analítica

30 minConstrucciones geométricas realizadas con el laboratorio

Construir las soluciones de los problemas propuestos como tarea de cada

Descripción del profesor y trabajo de los estudiantes

10 min + 1:30 horas

Soluciones a los problemas planteados

Comprensión de conceptos, capacidad de razonamiento y solución de problemas

Discusión en clase y tareas encargadas para su solución colaborativa o individual

30% participación en clase70% trabajo en casa

Laboratorio de Geometría Analítica NingunoGeometría Analítica de Oteyza, Emma Lam Osnaya y otros

Planteamiento de problemas orientados a mostrar las aplicaciones de la parábola

Enrique Calderón A.

APERTURALa definición de la parábola

Introducción

Después del círculo, estudiado y utilizado desde los tiempos de Euclides, la parábola fue también conocida y estudiada cuando los hombres se percataron de su existencia.

Es muy probable que en los tiempos antiguos no estuviesen identificadas como casos particulares de una misma curva.

En busca de una ecuación para la parábola

Por los escritos de Galileo sabemos que en el Renacimiento, se tenía plenamente identificada la curva, a la que daban ya el nombre de parábola.Galileo que investigaba los movimientos de los cuerpos, intentó obtener una ecuación que la representase, pero los conocimientos matemáticos aun no lo permitían.Las primeras formas conocidas, fueron ecuaciones de segundo grado que resultaban de la multiplicación de las ecuaciones de dos rectas.

La geometría analítica, permitió obtener una definición diferente en términos de distancias.

DESARROLLO

Construcción de una parábola a partir de su foco y su directriz

Construcción de una parábola

Construcción de una parábola

Tracemos una recta paralela a la directriz d, a una distancia de 5 unidades de esta y una circunferencia con centro en f (0,2) y radio igual a 5 unidades.

Estas dos curvas nos determinan los puntos p1(-4.9,3) y p2(4.9,3) distantes del foco y de la directriz 5 unidades.

Construcción de una parábola

De igual manera, trazamos otra paralela a la directriz d, a 6 unidades de esta, y una circunferencia con centro en f y radio igual a 6 unidades.

Estas dos curvas no determinan los puntos P3(-5.65,4) y P4(5.65,4), los cuales se encuentran a 6 unidades del foco y de la directriz respectivamente.

Construcción de una parábola

Encontremos los puntos p3(-4.9,3) y p4(4.9,3) distantes del foco y de la directriz 6 unidades.De la misma manera encontremos un puntos más P5(-5.65,4) y P6(5.65,4).La parábola empieza a tomar forma, permitiéndonos observar que la directriz define la dirección de la parábola, o mas bien de su eje de simetría el cual es perpendicular a ella y contiene tanto al vértice como al foco f.De esta manera, a partir de su definición podemos construir parábolas con cualquier dirección y distancia focal (separación entre el vértice y el foco)

Construcción de una parábola

La parábola empieza a tomar forma, permitiéndonos observar que la directriz define la dirección de la parábola, o mas bien que su eje de simetría el cual es perpendicular a ella y contiene tanto al vértice como al foco f.De esta manera, a partir de su definición podemos construir parábolas con cualquier dirección y distancia focal (separación entre el vértice y el foco)

Construcción de una parábola

Observemos que al tomar cualquier punto de la parábola, al trazar segmentos de este al foco y a la directriz estos tienen la misma longitud.

La ecuación de la parábola

Es interesante notar que al trazar una paralela a la directriz, que pasa por el foco, la apertura de la parábola es de 4P

(y - k)^2 = 4P*(x-h)

y^2= 4xP

La ecuación de la parábolaPara el caso de parábolas con el eje de simetría vertical, como la de la figura, la obtención de la ecuación general, es igual a la de las parábolas con eje horizontal, intercambiando los roles de x y y. Como d1 = d2 tenemos que : y + P = (x^2 + (y – P)^2)^0.5 por lo que:(y + P)^2 = x^2 + (y – P)^2 de donde queda: 2yP = x^2 – 2yP de modo que:

Si el vértice de la parábola se mueve al punto p1(h ,k) la ecuación se transforma a: (x – h)^2 = 4P*(y – k)

x^2=4yP

AplicacionesLa parábola, estudiada inicialmente por Galileo en relación con las trayectorias de los cuerpos lanzados al espacio y atraídas por la Tierra, tiene varias aplicaciones importantes.•Así cuando se lanza un proyectil, a una velocidad determinada, este llegará mas lejos si el ángulo de disparo es de 45º respecto a la horizontal (curva morada)•El estudio de las trayectorias parabólicas fue utilizado durante siglos para generar tablas de artillería.

La forma de las diferentes curvas obtenidas con el Laboratorio de Geometría Analítica de galileo se observan en esta gráfica, el estudio completo requiere sin embargo de herramientas de calculo diferencial, por involucrar aspectos de velocidad de los proyectiles.

Ejercicio

Uno de los arcos parabólicos que se forma en la entrada principal de la iglesia de San Antonio ubicada en Bethania, Arco que mide en su base 14 metros y su altura máxima 15 metros, es colocado en un eje de coordenadas en donde el eje de simetría coincide con el eje y, la base con el eje x . Hallar la ecuación de la parábola en su forma ordinaria de dicho arco parabólico

Aplicaciones. Antenas parabólicas y faros

Una de las propiedades mas interesantes de las parábolas es que todos las líneas que son paralelas al eje de la parábola son reflejadas por esta hacia su foco, tal como se observa en la figura.La propiedad es innata a todas las parábolas, a partir de que para cualquier punto de la parábola, su distancia al foco f es igual a su distancia a la directriz de la parábola. Veamos porque:

Esta propiedad

tiene una

importancia singular para captar

y transmitir señales

y

ondas

electromagnéticas incluyendo la luz

y el sonido

2.Un arco de concreto salva un espacio de 40 metros, y una carretera de 20 metros de ancho pasa por debajo de él. La altura libre mínima sobre la carretera debe ser de 10 metros. ¿Cuál es la altura del arco más pequeño que se puede emplear?

CIERRRE