La probabilità

La probabilità

Concetti di base Concetti di base

Probabilità

Grado di incertezza connesso al risultato scaturito da una prova

Esempio

Numero che appare sulla faccia superiore del dado dopo averlo lanciato

Concetti primitivi di probabilitàConcetti primitivi di probabilità

La provaLa provaLa prova è un esperimentoChe ha due o più possibilirisultatiPer evento si intende uno dei possibili risultati della prova

La probabilità è un numero compreso tra 0 ed 1 che misura il grado di incertezza sul verificarsi di un evento

L’eventoL’evento

La probabilitàLa probabilità

Prova, evento e probabilità Prova, evento e probabilità

Esempio:Nel lancio di un dado (ben bilanciato) La faccia contrassegnata dal numero 5 (E=5) si presenta con probabilità P(E=5)=1/6

In una data prova, l’evento E si verifica con probabilità P(E)

Eventi e Algebra di EventiEventi e Algebra di Eventi

Dato il postulato 1 sono definite le seguenti operazioni:

1. La negazione di un evento A, ossia A

2. L’intersezione tra due eventi A e B, ossia A B

3. L’unione tra due eventi A e B, ossia A B

Postulato 1Postulato 1 Gli eventi formano Gli eventi formano unauna

algebra di Boolealgebra di Boole

6

Evento impossibile: è l’evento che non può mai verificarsi e può essere definito come

Evento certo, ossia l’evento che si verifica sempre in quanto comprende tutti i possibili risultati dell’esperimento. Può essere definito

EventiEventi

BBAA

Definizione due eventi rilevanti:

Due eventi A e B, si dicono incompatibili (o mutualmente esclusivi o disgiunti) se

BA

Al lancio di un dado esce la faccia 0

Al lancio di una moneta esce T o C

A

A

A B

BA BA

BA

BA BA

AAAA

Proprietà assiomatiche della probabilitàProprietà assiomatiche della probabilità

La probabilità è una funzione di insieme che associa a ogni evento EiE un numero reale.La probabilità sarà indicata con P(Ei)Postulato

2Postulato 3

Postulato 4

P(A)0

P()=1[A B = ø] [P(A U B)=P(A)+P(B)]

Esperimento casualeE’ ogni processo la cui singola esecuzione (prova) dà luogo a un risultato non

prevedibile.

CCCE

CCTE

CTCE

TCCE

CTTE

TCTE

TTCE

TTTE

8

7

6

5

4

3

2

1Esempio: Lancio di una moneta 3 volte

S= Spazio campionario=

Evento è un sottinsieme di S

Eventi elementari

Spazio campionario

E4

E6 E7

E5E8

5321

4321

,,,1

,,,2

EEEElancioalTesceF

EEEETalmenoA

FA

E3E1

E2

L’evento è un sottinsieme delle spazio campionario.

5321

4321

,,,1

,,,2

EEEElancioalTesceF

EEEETalmenoA

54321

321

,,,,

,,

EEEEEFA

EEEFA

E6 E7

E5E8

E4

E3E1 E2

FA

FA

La probabilità dell’intersezione è sommata due volte!

DEFINIZIONI DI PROBABILITA’

1. Classica: è il rapporto tra il numero di casi favorevoli e il

numero di casi possibili, supposto che questi siano

equiprobabili (di Laplace)

2. Frequentista: è la frequenza relativa con cui l’evento si

verifica in una lunga serie di prove ripetute sotto

condizioni simili (di Von Mises)

3. Soggettivista: è il grado di fiducia che un individuo

coerente attribuisce, secondo le sue informazioni e

opinioni al verificarsi dell’evento

Probabilità condizionate e indipendenzaProbabilità condizionate e indipendenza

P(AB)= n. dei casi favorevoli ad (A B)

n. dei casi favorevoli a Bossia

P(AB)=

P(A B)P(B)

Si definisce probabilità condizionata di A dato B il rapporto tra la probabilità dell’evento (A B) e la probabilità dell’evento B

e6 e7

e5e8

e4

e3e1 e2

E è il nuovo spazio campionario S’

Si vuol calcolare la probabilità dell’evento e4 rispetto allo spazio campionario S’

Probabilità condizionata

TTTPCTTPTCTPTTCP

CTTPTalmenolancioIalCob

,,,2Pr

16

Principio delle probabilità compostePrincipio delle probabilità composte

Dati 2 eventi A e B tali che P(A)>0 e P(B)>0 :

P (A B) =P(A) P(B|A)= P(B)P(A|B)Due eventi si dicono indipendenti se il verificarsi di B non influenza la probabilità di A e il verificarsi di A non influenza la probabilità di B

P (A|B) =P(A) P(B|A) = P(B)

da cui si ricava

BPAPBAP

Teorema di BayesTeorema di Bayes

,BPBAP

B|AP ii

kk

iii A|BPAP...A|BPAP

A|BPAPB|AP

11

Probabilità a posteriori:

Teorema di Bayes

iAP , probabilità a priori.

iA|BP , probabilità condizionate o verosimiglianze

B|AP i , probabilità a posteriori, in quanto si riferiscono

agli eventi iA , dopo aver osservato l’evento B.

18

EsempioEsempio

P(A1) = 0,1 prob. di estrarre un individuo malato

P(A2) = 0,9 prob. di estrarre un individuo sano

P(B1|A2) = 0,2 prob. che il test dia un falso-positivo

P(B2|A1) = 0,1 prob. che il test dia un falso-negativo

Determinare:

P(A1|B1) = probabilità che un individuo positivo al test sia effettivamente malato

)A|B(P)A(P)A|B(P)A(P)A|B(P)A(P

)B|A(P212111

11111

33020909010

901011 ,

,,,,,,

)B|A(P

poichè P(B1|A1) = 1 – P(B2|A1) = 0,9

19

Esempio (continua)Esempio (continua)

Popolazione

sano

malato

P(A 2) =

0,9

P(A1 ) = 0,1

positivo

negativo

positivo

negativo

P(B 2|A 2) = 0

,

P(B1 |A

2 ) = 0,8

P(B 2|A 1) =

0,

P(B1 |A

1 ) = 0,1

72,08,09,0

22

BAP

18,02,09,0

12

BAP

01,01,01,0

21

BAP

09,09,01,0

11

BAP

Popolazione

sano

malato

P(A 2) =

0,9

P(A1 ) = 0,1

positivo

negativo

positivo

negativo

P(B 2|A 2) = 0

,2

P(B1 |A

2 ) = 0,

P(B 2|A 1) =

0,9

P(B1 |A

1 ) = 0,

72,08,09,0

22

BAP

18,02,09,0

12

BAP

01,01,01,0

21

BAP

09,09,01,0

11

BAP

100

60/100=0.6

40/100=0.4

adulto

giovane

Tipo A

Tipo non A

Tipo A

Tipo non A

20/100=0.2

40/100=0.4

14/100=0.14

26/100=0.26

35.0

4.0

14.0/

giovaneP

tipoAgiovanePgiovanetipoAP

Campioni Test + P(Ei) P(H/Ei) P(Ei)P(H/Ei)E1: sano 250 20 0.6757 0.080 0.05E2: malato 120 25 0.3243 0.208 0.07

370 45 0.12

Definiamo H l'evento Test +

P(E1) 0.68P(E2) 0.32P(H) 0.12P(H/E1) 0.08P(H/E2) 0.208333333P(H) =P(E1)*P(H/E1)+P(E2)*P(H/E2)= 0.12

P(E1/H)=P(E1)*P(H/E1)/P(H)= 0.444444P(E2/H)=P(E2)*P(H/E2)/P(H)= 0.555556

Possiamo affermare che, se la probabilità a priori di essere malato è pari al 32%, dopo che si verifica un test positivo tale probabilità aumenta al 56%

Esercizio Excel

La distribuzione di probabilità

CCCe

CCTe

CTCe

TCCe

CTTe

TCTe

TTCe

TTTe

8

7

6

5

4

3

2

1

S=

Valori di x Probabilità0 1/81 3/82 3/83 1/8

Totale 1

X è la variabile casuale “numero di T in tre lanci di una moneta”

Distribuzione di probabilità della v.c. N° teste in tre lanci di una moneta

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0 1 2 3

pi

Variabili casuali discrete: Distribuzioni di probabilità

Immaginiamo di avere un carattere statistico continuo e di rappresentarlo tramite istogramma con 8 classi di ampiezza finita

Variabili casuali continue: Funzione di densità

Man mano che aumentiamo il numero delle classi, si riduce l’ampiezza della classe. Al limite, l’ampiezza della classe diviene infinitesima e il poligono di frequenza si approssima con una linea continua. Tale linea si chiama funzione di densità di frequenza in quanto l’ordinata non è altro che l’altezza dei rettangoli che compongo l’istogramma

Variabili casuali continue: Funzione di densità

Alcune distribuzioni teoriche

La distribuzione binomiale (discreta)La curva di Gauss o Normale (continua)

Distribuzione binomiale

Esperimento bernulliano: esperimento casuale che ammette due soli esiti possibili, successo e insuccesso.

Esempio: lancio di una moneta, condizione di malattiap è la probabilità di successo. q=1-p è la probabilità di insuccesso

Hanno distribuzione binomiale: La variabile casuale X definita come “numero di successi su n prove” ha

distribuzione binomiale La variabile casuale F definita come “frequenza relativa di successo su n prove”

Esempio: La probabilità che un paziente guarisca da una determinata malattia è p=0.60.

Determinare la probabilità che su 5 pazienti ne guariscano esattamente 3

G=guarito

NG= non guarito

Si tratta di un esperimento bernulliano con p=0.60 e q=0.40

Considerando gruppi di 5 pazienti, possiamo avere le seguenti combinazioni

1. (G,G,G,NG,NG)

2. (G,NG,NG,G,G)

3. …

Ogni combinazione è il prodotto di eventi indipendenti.

102!*3

!3*4*5

!2!3

!5

3

5

x

nIn tutto le combinazioni sono:

La prima combinazione ha probabilità: 4.0*4.0*6.0*6.0*6.0

xnx pp 1*4.0*6.0 23

La seconda combinazione ha probabilità: 6.0*6.0*4.0*4.0*6.0

Tutte e 10 le combinazioni possibili hanno probabilità

xnx ppx

nxP

1**

Quindi, la probabilità di x successi su n prove è:

23 4.0*6.0*3

53

xP

Tornando all’esempio:

Statistiche della distribuzione binomiale

)1(var pnpX

npXE

n

ppF

pFE

)1(var

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

1 2 3 4 5 6 7 8 9

p<0.50 Asimmetrica a destra o positiva

Simmetria della distribuzione binomiale

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

1 2 3 4 5 6 7 8 9

p>0.50 Asimmetrica a sinistra o negativa

All’aumentare di n e a prescindere da p, la distribuzione binomiale tende ad essere simmetrica e si può approssimare con la curva Normale N(np,np(1-p)) per X e N(p, p(1-p)/n) per F

Prob(almeno 2 successi su 5 prove)= Prob(x≥2)=

P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)

Prob(meno di 2 successi su 7 prove)=

Prob(x<2)=P(X=0)+P(X=1)

Esempio: con p=0.15

Prob(fra 3 e 5 successi su 7 prove)=

Prob(3≤x ≤ 5)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)