Meccanica 5 31 marzo 2011 Lavoro. Principio di sovrapposizione Potenza. Energia cinetica Energia...

Meccanica 531 marzo 2011

Lavoro. Principio di sovrapposizionePotenza. Energia cineticaEnergia potenzialeLavoro della forza d’attritoForze conservativeEnergia meccanica e sua conservazioneMomento angolareMomento di forzaMomento dell’impulso

Lavoro

• Supponiamo di avere un punto materiale P di massa m, soggetto ad una forza F

• Supponiamo di spostarlo da un punto dello spazio A ad un punto B

• Il lavoro svolto dalla forza F nello spostamento di P da A a B è una grandezza meccanica scalare definita come

sdFWB

A

AB

A B

F

P

ds

2

Lavoro

• Le dimensioni fisiche del lavoro sono

• E l’unità di misura è il newton metro

• che prende il nome di joule (J)

22 TMLLFW

JmNWu

3

Principio di sovrapposizione

• Se la forza è la risultante di n forze

• Si può applicare il principio di sovrapposizione per calcolare il lavoro

• Cioè il lavoro complessivo è uguale alla somma dei lavori delle singole forze

F

F k

k1,...n

nkk

nk

B

A

k

B

A nkk

B

A nkk

B

A

AB

WsdF

sdFsdFsdFW

,...1,...1

,...1,...1

4

Potenza

• La potenza media è una grandezza meccanica scalare definita come il rapporto tra il lavoro compiuto e l’intervallo di tempo impiegato

• Grandezza importante per caratterizzare le prestazioni di una macchina

• Accanto alla potenza media è definita la potenza istantanea

t

WP

dt

dWP

5

Potenza

• Le dimensioni fisiche della potenza sono

• E l’unità di misura è il joule al secondo

• che prende il nome di watt (W)

32/ TMLTWP

u P J /s W

6

Potenza

• Dall’espressione infinitesima del lavoro, possiamo scrivere la potenza come

vFdt

sdF

dt

sdF

dt

dWP

7

Energia cinetica • Consideriamo il lavoro infinitesimo e riscriviamolo

usando la 2a legge

• Per trovare il valore del prodotto scalare differenziamo i due membri dell’identita` seguente

• Da cui

vdvmdt

sdpdsd

dt

pdsdFdW

22 vdvd

8

vdvvvdvd 22 vdvvd 22

22

1vdvdv

Energia cinetica

• Abbiamo infine• Per una variazione finita dobbiamo integrare

tra il punto iniziale e il punto finale

• La quantità prende il nome di energia cinetica

2

2

1mvdvdvmdW

9

222

2

1

2

1

2

1AB

B

A

B

A

mvmvmvddWW

K 1

2mv 2

Teorema dell’energia cinetica

• Il teorema appena dimostrato è detto teorema dell’energia cinetica: il lavoro fatto dalla forza sul punto materiale è uguale alla variazione di energia cinetica del corpo stesso

10

Energia cinetica

• Vediamo cosa succede geometricamente• Scomponiamo i due vettori secondo la

direzione tangente e normale localmente alla traiettoria

• Otteniamo• siccome vt=v, possiamo

concludere

v dv

dvt

dvn

11

v d

v v tdv t

tvdvvdv

Energia cinetica

• Consideriamo due casi limite• Moto uniformemente accelerato

• Moto circolare uniforme

12

v

dv=dvt

vdv=dvn

vdvvdvvdv t

0 tvdvvdv

vdvvd 22

02 vd

Energia cinetica e lavoro

• Il lavoro è conseguenza dell’interazione del sistema con l’ambiente

• Si parla pertanto di lavoro scambiato tra sistema e ambiente e non di lavoro posseduto dal sistema

• Si parla invece di energia posseduta dal sistema

13

Energia cinetica

• Troviamo le dimensioni dell’energia cinetica

sono ovviamente uguali a quelle del lavoro

• L’unità di misura dell’energia è, di nuovo, il joule

K M V 2 ML2T 2

14

Energia cinetica e quantità di moto

• Ricordiamo le espressioni di queste due grandezze

• Il modulo della QM e l’energia cinetica sono legati dalle relazioni

K 1

2mv 2

p m

v

K p2

2m

p 2mK

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Energia cinetica in relativita`

• Il lavoro elementare si esprime ora

• E il differenziale della QM e`

• Il lavoro finito e`

vpddt

sdpdsd

dt

pdsdFdW

vdmvmdvvmdpd

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

vdvmdmv

vdvmdvvmvvdmvmddWW

2

16

Energia cinetica in relativita`

• Esprimiamo v in funzione di

• Otteniamo

• Il lavoro si puo` di nuovo interpretare come variazione di energia cinetica

dv

cdv

3

2

222 11

cv

AB

B

A

B

A

B

A

mcdmcdc

mdmcW

22

2

2

2

2 11

AB KKW 17

Energia cinetica in relativita`

• E quindi l’energia cinetica si puo` scrivere come

• Per determinare la costante poniamo v=0, in tal caso =1 e K=0, ne segue

• L’energia cinetica e` dunque• In relativita` si introduce anche l’energia

• Il termine e` la cosiddetta energia a riposo, cioe` quella posseduta dal corpo fermo e stabilisce l’equivalenza tra massa ed energia

.2 constmcK

2. mcconst 12 mcK

22 mcmcKE 2mc

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Lavoro della forza peso

• Dato un punto di massa m nel campo di gravita`, il lavoro del peso nello spostamento da un punto A ad un punto B e`

• Siccome P=mg e` costante e g ha solo componente z, pari a –g, abbiamo

• Il lavoro non dipende dalla traiettoria seguita dal punto per andare da A a B, ma solo dagli estremi A e B

B

A

sdPW

ABABAB

B

A

zzmgrrgmrPsdPW

A

B

z

P

19

Energia potenziale

• Introducendo la nuova grandezza (omogenea ad un’energia)

• il lavoro diventa

• U prende il nome di energia potenziale della forza peso

• Il lavoro e` dunque uguale all’opposto della variazione di energia potenziale tra stato finale e stato iniziale

mgzU

ABABAB UUmgzmgzzzmgW

20

Lavoro della forza elastica

• Dato un punto di massa m soggetto ad una forza elastica, il lavoro nello spostamento da un punto A ad un punto B e`

B

A

AB

B

A

B

A

e rrkrdrksdrksdFW 22

2

1

A BFe

P ds

dr

r21

Energia potenziale

• Introducendo la nuova grandezza (omogenea ad un’energia)

• il lavoro diventa

• U prende il nome di energia potenziale della forza elastica

• Il lavoro e`, di nuovo, uguale all’opposto della variazione di energia potenziale tra stato finale e stato iniziale

2

2

1rmU

ABABAB UUrkrkrrkW 2222

2

1

2

1

2

1

22

Lavoro della forza d’attrito

• Dato un punto di massa m soggetto ad una forza d’attrito dinamica, il lavoro nello spostamento da un punto A ad un punto B e`

• La direzione della forza e` opposta a quella dello spostamento. Il lavoro e` (supposta N costante)

• Il lavoro della forza d’attrito e` sempre negativo: se si cambia il verso dello spostamento, anche la forza cambia verso

B

A

d

B

A

d sdsNsdFW

LNdsNsdsNW d

B

A

d

B

A

d

ABFd

P ds

23

Lavoro della forza d’attrito

• Poiche’ il lavoro della forza d’attrito dipende da L , la lunghezza del percorso fatto dal punto, ora il lavoro dipende dalla traiettoria e non solo dai punti estremi A e B

• A differenza del caso della forza peso ed elastica, non e` ora possibile esprimere il lavoro come differenza tra i valori che una funzione della posizione assume negli estremi

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Forze conservative

• Se il lavoro dipende solo dalle coordinate dei punti iniziale e finale, allora qualunque sia il percorso su cui si calcola il lavoro, purche’ i punti estremi siano gli stessi, il risultato sara` il medesimo

• Inoltre se si cambia il verso di percorrenza, l’integrale cambia segno (cio` e` dovuto al fatto che il prodotto scalare cambia segno)

BA

C

BA

C

sdFsdF21

AB

C

BA

C

sdFsdF

25

Forze conservative

• Se calcoliamo il lavoro lungo un percorso chiuso

otteniamo zero: questo e` un modo alternativo di esprimere lo stesso fatto

• Forze siffatte si dicono conservative

0212121

BA

C

BA

C

AB

C

BA

CCCC

sdFsdFsdFsdFsdFsdF

C C1C2

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Forze dissipative

• Le forze di attrito non soddisfano questi requisiti, abbiamo infatti visto che il lavoro che producono e` sempre negativo

• Queste forze si dicono dissipative

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Esercizi

• Un corpo di massa m=15 kg si muove su un piano orizzontale, soggetto ad una forza motrice F=10 N ed a una forza d’attrito dinamico A con coefficiente di attrito =0.06

• Trovare il lavoro fatto da ciascuna forza in un intervallo di tempo t

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Esercizi

• N. 4.1 pag. 105 MNV

• N. 4.3 pag. 105 MNV

• N. 4.14 pag. 106 MNV

29

Energia potenziale

• Per le forze conservative esiste dunque una funzione U delle coordinate degli stati iniziale e finale, cui diamo il nome di energia potenziale

• In termini infinitesimi

WsdFUUUB

A

AB

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dWsdFdU

Energia meccanica

• Ricordiamo il teorema dell’energia cinetica, che vale per una forza qualunque

• Per forze conservative vale inoltre

• Confrontando le due equazioni troviamo

AB KKW

AB UUW

BBAA UKUK

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Conservazione dell’energia meccanica

• Introducendo la nuova grandezza

• che chiamiamo energia meccanica, l’equazione diventa

• Cio` significa che l’energia meccanica (cioe` la somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale) di un punto materiale soggetto a forze conservative si conserva

UKE

BA EE

32

Lavoro nel caso generale

• Se sono attive sia forze conservative che non conservative, il lavoro e`

• Applicando il teorema dell’energia cinetica (sempre valido)

• Ed esprimendo il lavoro conservativo in termini di energia potenziale

• Otteniamo per il lavoro non conservativo

• Cioe`: se vi sono forze non conservative l’energia meccanica non si conserva e la sua variazione e` uguale al lavoro di tali forze

ncc WWW

AB KKW

ABc UUW

ABnc EEW

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Vettori momento• Per alcune grandezze vettoriali, associabili

al PM, possiamo definire grandezze vettoriali derivate che sono i momenti delle precedenti

• Per questo occorre scegliere un punto arbitrario dello spazio, detto polo, rispetto a cui e` definito il vettore posizione r del PM

• Il momento di una grandezza w e` definito come il prodotto vettoriale

• Il polo non necessariamente dev’essere fermo

wrm

w

Or

PM

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Momento angolare

• E` il momento del vettore quantita` di moto del punto materiale:

• E` una grandezza vettoriale perpendicolare sia a r che a p

• Dimensioni fisiche:• Unita` di misura:

prLO

MTLpLL 12 smNsmkgLu /2

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p

Or

PM

Cambiamento di polo

• Cambiando polo il momento angolare diviene

• Il valore del momento dipende dunque dal polo scelto

prLprprprrprL QOQQQ

'

r’p Q

OrQ

r

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Momento di forza

• E` il momento del vettore forza agente sul punto materiale:

• E` una grandezza vettoriale perpendicolare sia a r che a F

• Dimensioni fisiche:• Unita` di misura: • Se si cambia polo il momento diviene

FrO

MTLFL 22 mNsmkgu 22 /

FrFrFrFrrFr QOQQQ

'

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Momento risultante

• Vale il principio di sovrapposizione: se la forza complessiva R e` la risultante di piu` forze applicate tutte allo stesso punto materiale:

• il momento risultante (cioe` la somma dei momenti di tutte le forze) e` uguale al momento della risultante (cioe` al momento della somma di tutte le forze)

RrFrFri

ii

ii

i

38

Teorema del momento angolare

• Calcoliamo la derivata temporale del momento angolare di un punto materiale

• Se il polo Q e` fisso rispetto al sistema di riferimento, allora la derivata temporale di r e` uguale alla velocita` del punto e se il sistema e` inerziale la derivata di p e` uguale alla forza agente sul punto

dt

pdrp

dt

rdpr

dt

d

dt

Ld Q

Frvmvdt

Ld Q

rp Q

OrO

r’

39

Teorema del momento angolare

• Il primo prodotto vettoriale e` nullo, il secondo e` il momento di forza (calcolato rispetto allo stesso polo), quindi otteniamo il teorema del momento angolare (MA)

QQ

dt

Ld

Conservazione del MA

• Se il momento di forza e` nullo (rispetto al polo scelto) allora il momento angolare si conserva (rispetto allo stesso polo) e viceversa

0Q 0dt

Ld Q

.constLQ

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Momento dell’impulso

• Riscriviamo il teorema del momento angolare in forma differenziale

e integriamo da un’istante iniziale ad uno finale

• Cio` significa che per produrre una variazione di momento angolare e` necessaria l’azione, su un intervallo di tempo, di un momento di forza

Lddt

if

tt

LLLddt

00

42

Momento dell’impulso

• Nel caso degli urti, la variazione di momento angolare

si puo` esprimere in termini dell’impulso prodotto dalla forza, purche’ l’intervallo di tempo sia abbastanza piccolo affinche’ il vettore r non cambi apprezzabilmente

• Questo e` il teorema del momento dell’impulso

tt

if dtFrdtLL00

JrdtFrdtFrLLtt

if

00

43