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Metodo deGauss-Jordan
MarcioNascimento
Metodo de Gauss-Jordan
Marcio Nascimento
Universidade Estadual Vale do AcarauCentro de Ciencias Exatas e TecnologiaCurso de Licenciatura em MatematicaDisciplina: Algebra Matricial - 2014.2
15 de setembro de 2014
1 / 11
Metodo deGauss-Jordan
MarcioNascimento Lembremos que na Eliminacao Gaussiana, o plano e:
Escrever a Matriz Ampliada do Sistema [A | b]
↓Realizar Operacoes Elementares sobre as linhasde [A | b]
↓Obter a Forma Escalonada [E | b′]
↓Escrever o Sistema Equivalente
↓Aplicar Substituicao Reversa e encontrar aSOLUCAO
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Metodo deGauss-Jordan
MarcioNascimento Lembremos que na Eliminacao Gaussiana, o plano e:
Escrever a Matriz Ampliada do Sistema [A | b]
↓Realizar Operacoes Elementares sobre as linhasde [A | b]
↓Obter a Forma Escalonada [E | b′]
↓Escrever o Sistema Equivalente
↓Aplicar Substituicao Reversa e encontrar aSOLUCAO
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Metodo deGauss-Jordan
MarcioNascimento Lembremos que na Eliminacao Gaussiana, o plano e:
Escrever a Matriz Ampliada do Sistema [A | b]
↓Realizar Operacoes Elementares sobre as linhasde [A | b]
↓Obter a Forma Escalonada [E | b′]
↓Escrever o Sistema Equivalente
↓Aplicar Substituicao Reversa e encontrar aSOLUCAO
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Metodo deGauss-Jordan
MarcioNascimento Lembremos que na Eliminacao Gaussiana, o plano e:
Escrever a Matriz Ampliada do Sistema [A | b]
↓Realizar Operacoes Elementares sobre as linhasde [A | b]
↓Obter a Forma Escalonada [E | b′]
↓Escrever o Sistema Equivalente
↓Aplicar Substituicao Reversa e encontrar aSOLUCAO
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Metodo deGauss-Jordan
MarcioNascimento Lembremos que na Eliminacao Gaussiana, o plano e:
Escrever a Matriz Ampliada do Sistema [A | b]
↓Realizar Operacoes Elementares sobre as linhasde [A | b]
↓Obter a Forma Escalonada [E | b′]
↓Escrever o Sistema Equivalente
↓Aplicar Substituicao Reversa e encontrar aSOLUCAO
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Metodo deGauss-Jordan
MarcioNascimento Lembremos que na Eliminacao Gaussiana, o plano e:
Escrever a Matriz Ampliada do Sistema [A | b]
↓Realizar Operacoes Elementares sobre as linhasde [A | b]
↓Obter a Forma Escalonada [E | b′]
↓Escrever o Sistema Equivalente
↓Aplicar Substituicao Reversa e encontrar aSOLUCAO
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Metodo deGauss-Jordan
MarcioNascimento
Alem disso, quando resolvemos o sistema atraves de EliminacaoGaussiana, nosso objetivo e triangularizar a matriz doscoeficientes e depois resolver o sistema por substituicao reversa.
S
x − y + z = 0−x + y + z = −6
x + y − 2z = 4 1 −1 1 | 0−1 1 1 | −6
1 1 −2 | 4
1 −1 1 | 0
0 2 −3 | 40 0 2 | −6
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Metodo deGauss-Jordan
MarcioNascimento
Alem disso, quando resolvemos o sistema atraves de EliminacaoGaussiana, nosso objetivo e triangularizar a matriz doscoeficientes e depois resolver o sistema por substituicao reversa.
S
x − y + z = 0−x + y + z = −6
x + y − 2z = 4
1 −1 1 | 0−1 1 1 | −6
1 1 −2 | 4
1 −1 1 | 0
0 2 −3 | 40 0 2 | −6
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Metodo deGauss-Jordan
MarcioNascimento
Alem disso, quando resolvemos o sistema atraves de EliminacaoGaussiana, nosso objetivo e triangularizar a matriz doscoeficientes e depois resolver o sistema por substituicao reversa.
S
x − y + z = 0−x + y + z = −6
x + y − 2z = 4 1 −1 1 | 0−1 1 1 | −6
1 1 −2 | 4
1 −1 1 | 00 2 −3 | 40 0 2 | −6
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MarcioNascimento
Alem disso, quando resolvemos o sistema atraves de EliminacaoGaussiana, nosso objetivo e triangularizar a matriz doscoeficientes e depois resolver o sistema por substituicao reversa.
S
x − y + z = 0−x + y + z = −6
x + y − 2z = 4 1 −1 1 | 0−1 1 1 | −6
1 1 −2 | 4
1 −1 1 | 0
0 2 −3 | 40 0 2 | −6
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Metodo deGauss-Jordan
MarcioNascimento
Para sistemas onde o numero de equacoes e igual ao numerode variaveis, podemos melhorar a Forma Escalonada para exibira solucao de uma forma mais direta: atraves daDIAGONALIZACAO da Matriz dos Coeficientes.
Vamos considerar, novamente, o sistema
S
x − y + z = 0−x + y + z = −6
x + y − 2z = 4
Ja vimos que sua forma escalonada e:
[E | b′] =
1 −1 1 | 00 2 −3 | 40 0 2 | −6
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Metodo deGauss-Jordan
MarcioNascimento
Para sistemas onde o numero de equacoes e igual ao numerode variaveis, podemos melhorar a Forma Escalonada para exibira solucao de uma forma mais direta: atraves daDIAGONALIZACAO da Matriz dos Coeficientes.
Vamos considerar, novamente, o sistema
S
x − y + z = 0−x + y + z = −6
x + y − 2z = 4
Ja vimos que sua forma escalonada e:
[E | b′] =
1 −1 1 | 00 2 −3 | 40 0 2 | −6
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MarcioNascimento
Para sistemas onde o numero de equacoes e igual ao numerode variaveis, podemos melhorar a Forma Escalonada para exibira solucao de uma forma mais direta: atraves daDIAGONALIZACAO da Matriz dos Coeficientes.
Vamos considerar, novamente, o sistema
S
x − y + z = 0−x + y + z = −6
x + y − 2z = 4
Ja vimos que sua forma escalonada e:
[E | b′] =
1 −1 1 | 00 2 −3 | 40 0 2 | −6
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Metodo deGauss-Jordan
MarcioNascimento
Vamos anular os coeficientes que estao tambem ACIMA decada pivot. 1 −1 1 | 0
0 2 −3 | 40 0 2 | −6
1 −1 1 | 00 2 −3 | 40 0 2 | −6
← 2L1 + L2
2 0 −1 | 40 2 −3 | 40 0 2 | −6
← 2L1 + L3
← L2 + 32 L3
4 0 0 | 20 2 0 | −50 0 2 | −6
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Metodo deGauss-Jordan
MarcioNascimento
Vamos anular os coeficientes que estao tambem ACIMA decada pivot. 1 −1 1 | 0
0 2 −3 | 40 0 2 | −6
1 −1 1 | 0
0 2 −3 | 40 0 2 | −6
← 2L1 + L2
2 0 −1 | 40 2 −3 | 40 0 2 | −6
← 2L1 + L3
← L2 + 32 L3
4 0 0 | 20 2 0 | −50 0 2 | −6
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Metodo deGauss-Jordan
MarcioNascimento
Vamos anular os coeficientes que estao tambem ACIMA decada pivot. 1 −1 1 | 0
0 2 −3 | 40 0 2 | −6
1 −1 1 | 0
0 2 −3 | 40 0 2 | −6
← 2L1 + L2
2 0 −1 | 40 2 −3 | 40 0 2 | −6
← 2L1 + L3
← L2 + 32 L3
4 0 0 | 20 2 0 | −50 0 2 | −6
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Metodo deGauss-Jordan
MarcioNascimento
Vamos anular os coeficientes que estao tambem ACIMA decada pivot. 1 −1 1 | 0
0 2 −3 | 40 0 2 | −6
1 −1 1 | 0
0 2 −3 | 40 0 2 | −6
← 2L1 + L2
2 0 −1 | 40 2 −3 | 40 0 2 | −6
← 2L1 + L3
← L2 + 32 L3
4 0 0 | 20 2 0 | −50 0 2 | −6
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Metodo deGauss-Jordan
MarcioNascimento
Assim, essa e uma outra Forma Escalonada para o sistemaoriginal S 4 0 0 | 2
0 2 0 | −50 0 2 | −6
Sistema Equivalente:
S ′
4x = 2
2y = −52z = −6
Substituicao:
4x = 2 =⇒ x =1
2
2y = −5 =⇒ x = −5
22z = −6 =⇒ z = −3
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Metodo deGauss-Jordan
MarcioNascimento
Assim, essa e uma outra Forma Escalonada para o sistemaoriginal S 4 0 0 | 2
0 2 0 | −50 0 2 | −6
Sistema Equivalente:
S ′
4x = 2
2y = −52z = −6
Substituicao:
4x = 2 =⇒ x =1
2
2y = −5 =⇒ x = −5
22z = −6 =⇒ z = −3
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Metodo deGauss-Jordan
MarcioNascimento
Assim, essa e uma outra Forma Escalonada para o sistemaoriginal S 4 0 0 | 2
0 2 0 | −50 0 2 | −6
Sistema Equivalente:
S ′
4x = 2
2y = −52z = −6
Substituicao:
4x = 2 =⇒ x =1
2
2y = −5 =⇒ x = −5
22z = −6 =⇒ z = −3
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Metodo deGauss-Jordan
MarcioNascimento
Poderıamos facilitar ainda mais a determinacao da solucao seem cada posicao de pivot (na Forma Escalonada) tivessemos 1. 4 0 0 | 2
0 2 0 | −50 0 2 | −6
4 0 0 | 2
0 2 0 | −5
0 0 2 | −6
← 1
4 L1
← 12 L2
← 12 L3
1 0 0 | 12
0 1 0 | −52
0 0 1 | −3
← x = 1
2
← y = −52
← z = −3
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Metodo deGauss-Jordan
MarcioNascimento
Poderıamos facilitar ainda mais a determinacao da solucao seem cada posicao de pivot (na Forma Escalonada) tivessemos 1. 4 0 0 | 2
0 2 0 | −50 0 2 | −6
4 0 0 | 2
0 2 0 | −5
0 0 2 | −6
← 1
4 L1
← 12 L2
← 12 L3
1 0 0 | 1
2
0 1 0 | −52
0 0 1 | −3
← x = 1
2
← y = −52
← z = −3
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Metodo deGauss-Jordan
MarcioNascimento
Poderıamos facilitar ainda mais a determinacao da solucao seem cada posicao de pivot (na Forma Escalonada) tivessemos 1. 4 0 0 | 2
0 2 0 | −50 0 2 | −6
4 0 0 | 2
0 2 0 | −5
0 0 2 | −6
← 1
4 L1
← 12 L2
← 12 L3
1 0 0 | 12
0 1 0 | −52
0 0 1 | −3
← x = 1
2
← y = −52
← z = −3
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Metodo deGauss-Jordan
MarcioNascimento
• O processo de TRIANGULARIZACAO da matrizaumentada do sistema [A | b], e a ELIMINACAOGAUSSIANA.
• Ela nos da uma Forma Escalonada do Sitema [E | b′].
• O processo de DIAGONALIZACAO da matrizaumentada do sistema, e o METODO DEGAUSS-JORDAN.
• Ela nos da a Forma Escalonada REDUZIDA do Sistema[EA |s].
• Na Forma Escalonada Reduzida, a coluna dos termosindependentes ja e a propria solucao do sistema!
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Metodo deGauss-Jordan
MarcioNascimento
• O processo de TRIANGULARIZACAO da matrizaumentada do sistema [A | b], e a ELIMINACAOGAUSSIANA.
• Ela nos da uma Forma Escalonada do Sitema [E | b′].
• O processo de DIAGONALIZACAO da matrizaumentada do sistema, e o METODO DEGAUSS-JORDAN.
• Ela nos da a Forma Escalonada REDUZIDA do Sistema[EA |s].
• Na Forma Escalonada Reduzida, a coluna dos termosindependentes ja e a propria solucao do sistema!
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Metodo deGauss-Jordan
MarcioNascimento
• O processo de TRIANGULARIZACAO da matrizaumentada do sistema [A | b], e a ELIMINACAOGAUSSIANA.
• Ela nos da uma Forma Escalonada do Sitema [E | b′].
• O processo de DIAGONALIZACAO da matrizaumentada do sistema, e o METODO DEGAUSS-JORDAN.
• Ela nos da a Forma Escalonada REDUZIDA do Sistema[EA |s].
• Na Forma Escalonada Reduzida, a coluna dos termosindependentes ja e a propria solucao do sistema!
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Metodo deGauss-Jordan
MarcioNascimento
• O processo de TRIANGULARIZACAO da matrizaumentada do sistema [A | b], e a ELIMINACAOGAUSSIANA.
• Ela nos da uma Forma Escalonada do Sitema [E | b′].
• O processo de DIAGONALIZACAO da matrizaumentada do sistema, e o METODO DEGAUSS-JORDAN.
• Ela nos da a Forma Escalonada REDUZIDA do Sistema[EA |s].
• Na Forma Escalonada Reduzida, a coluna dos termosindependentes ja e a propria solucao do sistema!
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Metodo deGauss-Jordan
MarcioNascimento
• O processo de TRIANGULARIZACAO da matrizaumentada do sistema [A | b], e a ELIMINACAOGAUSSIANA.
• Ela nos da uma Forma Escalonada do Sitema [E | b′].
• O processo de DIAGONALIZACAO da matrizaumentada do sistema, e o METODO DEGAUSS-JORDAN.
• Ela nos da a Forma Escalonada REDUZIDA do Sistema[EA |s].
• Na Forma Escalonada Reduzida, a coluna dos termosindependentes ja e a propria solucao do sistema!
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Metodo deGauss-Jordan
MarcioNascimento
• Eliminacao Gaussiana -Triangularizacao daMatriz dos Coeficientes
F F . . . F F0 F . . . F F...
.... . .
......
0 0 . . . F F
• Metodo de Gauss-Jordan- Diagonalizacao daMatriz dos Coeficientes
1 0 . . . 0 ξ1
0 1 . . . 0 ξ2...
.... . .
......
0 0 . . . 1 ξn
ξ1, ξ2, . . . , ξn: Solucao doSistema!
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Metodo deGauss-Jordan
MarcioNascimento
• Eliminacao Gaussiana -Triangularizacao daMatriz dos Coeficientes
F F . . . F F0 F . . . F F...
.... . .
......
0 0 . . . F F
• Metodo de Gauss-Jordan- Diagonalizacao daMatriz dos Coeficientes
1 0 . . . 0 ξ1
0 1 . . . 0 ξ2...
.... . .
......
0 0 . . . 1 ξn
ξ1, ξ2, . . . , ξn: Solucao doSistema!
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Metodo deGauss-Jordan
MarcioNascimento Resolva o seguinte problema usando o Metodo de
Gauss-Jordan:
• “Tres fardos de uma boa colheita, dois fardos de umacolheita medıocre e um fardo de uma colheita ruim foramvendidos por 39 dou. Dois fardos da boa, tres da medıocree um da ruim, foram vendidos por 34 dou. Um da boa,dois da medıocre e tres da ruim, foram vendidos por 26dou. Qual o preco recebido pela venda de cada fardoassociado a boa colheita, a colheita medıocre e a colheitaruim?”
• Resposta...
• Colheita boa: 9,25 dou; Colheita medıocre: 4,25 dou;Colheita ruim: 2,75 dou.
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Metodo deGauss-Jordan
MarcioNascimento Resolva o seguinte problema usando o Metodo de
Gauss-Jordan:
• “Tres fardos de uma boa colheita, dois fardos de umacolheita medıocre e um fardo de uma colheita ruim foramvendidos por 39 dou. Dois fardos da boa, tres da medıocree um da ruim, foram vendidos por 34 dou. Um da boa,dois da medıocre e tres da ruim, foram vendidos por 26dou. Qual o preco recebido pela venda de cada fardoassociado a boa colheita, a colheita medıocre e a colheitaruim?”
• Resposta...
• Colheita boa: 9,25 dou; Colheita medıocre: 4,25 dou;Colheita ruim: 2,75 dou.
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Metodo deGauss-Jordan
MarcioNascimento Resolva o seguinte problema usando o Metodo de
Gauss-Jordan:
• “Tres fardos de uma boa colheita, dois fardos de umacolheita medıocre e um fardo de uma colheita ruim foramvendidos por 39 dou. Dois fardos da boa, tres da medıocree um da ruim, foram vendidos por 34 dou. Um da boa,dois da medıocre e tres da ruim, foram vendidos por 26dou. Qual o preco recebido pela venda de cada fardoassociado a boa colheita, a colheita medıocre e a colheitaruim?”
• Resposta...
• Colheita boa: 9,25 dou; Colheita medıocre: 4,25 dou;Colheita ruim: 2,75 dou.
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Metodo deGauss-Jordan
MarcioNascimento Resolva o seguinte problema usando o Metodo de
Gauss-Jordan:
• “Tres fardos de uma boa colheita, dois fardos de umacolheita medıocre e um fardo de uma colheita ruim foramvendidos por 39 dou. Dois fardos da boa, tres da medıocree um da ruim, foram vendidos por 34 dou. Um da boa,dois da medıocre e tres da ruim, foram vendidos por 26dou. Qual o preco recebido pela venda de cada fardoassociado a boa colheita, a colheita medıocre e a colheitaruim?”
• Resposta...
• Colheita boa: 9,25 dou; Colheita medıocre: 4,25 dou;Colheita ruim: 2,75 dou.
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Metodo deGauss-Jordan
MarcioNascimento Resolva o seguinte problema usando o Metodo de
Gauss-Jordan:
• Uma loja vende kits de presentes para o dia das criancasconforme a tabela a seguir:
Carro Boneca Jogo Fantasia Total (R $)
2 0 2 2 150,001 1 1 2 180,000 2 2 2 240,002 2 2 2 300,00
Qual o valor de cada item separadamente?
• Resposta...
• Carro: R$ 30,00, Boneca: R$ 75,00, Jogo: R$ 15,00 eFantasia: R$ 30,00.
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Metodo deGauss-Jordan
MarcioNascimento Resolva o seguinte problema usando o Metodo de
Gauss-Jordan:
• Uma loja vende kits de presentes para o dia das criancasconforme a tabela a seguir:
Carro Boneca Jogo Fantasia Total (R $)
2 0 2 2 150,001 1 1 2 180,000 2 2 2 240,002 2 2 2 300,00
Qual o valor de cada item separadamente?
• Resposta...
• Carro: R$ 30,00, Boneca: R$ 75,00, Jogo: R$ 15,00 eFantasia: R$ 30,00.
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Metodo deGauss-Jordan
MarcioNascimento Resolva o seguinte problema usando o Metodo de
Gauss-Jordan:
• Uma loja vende kits de presentes para o dia das criancasconforme a tabela a seguir:
Carro Boneca Jogo Fantasia Total (R $)
2 0 2 2 150,001 1 1 2 180,000 2 2 2 240,002 2 2 2 300,00
Qual o valor de cada item separadamente?
• Resposta...
• Carro: R$ 30,00, Boneca: R$ 75,00, Jogo: R$ 15,00 eFantasia: R$ 30,00.
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Metodo deGauss-Jordan
MarcioNascimento Resolva o seguinte problema usando o Metodo de
Gauss-Jordan:
• Uma loja vende kits de presentes para o dia das criancasconforme a tabela a seguir:
Carro Boneca Jogo Fantasia Total (R $)
2 0 2 2 150,001 1 1 2 180,000 2 2 2 240,002 2 2 2 300,00
Qual o valor de cada item separadamente?
• Resposta...
• Carro: R$ 30,00, Boneca: R$ 75,00, Jogo: R$ 15,00 eFantasia: R$ 30,00.
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