математик анализ лекц№9

Лекц № 9Олон хувьсагчийн функц, түүний

хязгаар, тасралтгүй чанар,

функцийн дифференциал, тухайн

уламжлалууд, бүтэн

дифференциал

1.Үндсэн ойлголт, тодорхойлогдох

муж, функцийн график.

Бодит тоо x ба у-ээр зохиогдсон (х,у) хосуудын

ямар нэг олонлогийг D-ээр бодит тооны ямар

нэг дэд олонлогийг Z-ээр тус тус тэмдэглэе.

Тодорхойлолт 1.1 D-олонлогийн хос

(х,у)D, zZ гэсэн тодорхой утга харгалзаж

байвал хувьсах хэмжигдэхүүн z-ийг х,у-ээс

хамаарсан хоёр хувьсагчийн функц гэнэ.

Хоѐр хувьсагчийн функцийг нэг хувьсагчийн

функцийн тэмдэглэгээтэй ижлээр: z=f(х,у),

z=(x,y), z=z(х,у) гэх мэтчлэн тэмдэглэх бөгөөд

х,у-ийг үл хамаарах хувьсагчид буюу

аргументууд гэнэ. D олонлогийг функцийн

тодорхойлоглох муж гэж нэрлэнэ. Ө.х: z=f(x,y)

функцийг тодорхой утгатай байлгаж чадах (х,у)

хос утгуудын олонлогийг уг функцийн

тодорхойлогдох муж гэнэ. (х,у)D тул хоѐр

хувьсагчийн функцийн тодорхойлогдох муж нь

хавтгайн цэгүүдийн олонлогоос тогтоно.

S={(х,у,z)R3/ z=f(х,у)} олонлогийг z=f(х,у)

функцийн график гэх ба уг график нь

огторгуйн ямар нэг гадаргуугаар дүрслэгдэнэ.

(х0, y0) цэг дээрх z=f(х,у) функцийн утгыг

буюу z0=f(х0, y0) гэж бичнэ.

Жишээлбэл:

Хэрэв бол

0

0

0 x xy y

z z

2,z f x y x y

223

, 2 3 12xy

z f x y

2.Олон хувьсагчийн функцийн хязгаар

, тасралтгүй чанар

Функцийн хязгаарын тодорхойлолтыг өгөхөд

цэгийн орчны тодорхойлолт бидэнд хэрэг

болно. М0(х0,у0) цэгт төвтэй - радиустай

тойр-гоор хүрээлэгдсэн цэгүүдийн олонлогийг

М0 цэгийн -орчин гэж нэрлээд В(М0,) гэж

тэмдэглэе. Ө.х:

байх ба энэ нь координатын хавтгай дээр

дараах мужийг дүрслэнэ:

2 2 2

0 0 0, ,B M x y x x y y

Тодорхойлолт 2.1 Хэрэв дурын эерэг тоо -

ийн хувьд эерэг тоо > 0 олдоод М0(х0,у0)

цэгийн - орчны дурын М(х,у) цэгүүдийн хувьд

нөхцөл биелэгдэж байвал А тоог

M(x,y)М0(х0,y0) үеийн f(х,у) функцийн хязгаар

гэж нэрлэх бөгөөд үүнийг

буюу гэж тэмдэглэнэ. Математик

томъѐоллоор бичвэл:

,f x y A

0

0

lim ,y yx x

f x y A

0

limM M

f M A

0

0 0 0

lim 0, 0

, , , , ,

M Mf M A

f x y f x y x y B M

Санамж: Нэг хувьсагчийн функцийн хязгаарын

чанарууд олон хувьсагчийн функцийн хувьд

хүчин төгөлдөр байна.

Дээрх тодорхойлолтоос харахад, А-тоо нь f(х,у)

функцийн М0(х0,у0) цэг дээрх хязгаар байна

гэдэг нь х ба у хувьсагчуудын утгууд нь х0,у0-ын

харгалзах утгуудаас хүрэлцээтэй бага ялгаатай

байхад f(х,у)-ын утгууд нь A-тооноос мөн л бага

ялгаатай байна гэсэн үг юм.

Хэрэв f(х,у) функцийн М0(х0,у0) цэг дээрх

хязгаар нь f(х0,у0) утгатай тэнцүү бол уг

функцийг М0(х0,у0) цэг дээр тасралтгүй функц

гэнэ. Ө.х:

Энэхүү нөхцлийг дараах байдлаар хувиргаж

тэнцүү чанартай тодорхойлолтыг гарган авч

болно. Үүнд:

0

0

0 0lim , ,y yx x

f x y f x y

0

0

0 0 0 0

2 2 2 2

0 0

lim , , , ,y yx x

f x y f x y x x x y y y

x x y y x y

гэж орлуулбал

Хэрэв f(х,у) функц ямар нэгэн D мужийн цэг

бүр дээр тасралтгүй бол уг функцйг D муж

дээр тасралтгүй функц гэнэ. Хэрэв ямар нэг

М0(х0,y0) цэг дээр (1) буюу (2) нөхцөл

биелэгдэхгүй бол энэ цэгийг f(х,у) функцийн

тасралтын цэг гэж нэрлэнэ. Функц дараах

тохиолдлуудад тасралтын цэгүүдтэй байна

0 0 0 0 0 00 00

lim , , lim , 2xy

f x x y y f x y f x y

а) z=f(х,у) функц М0(х0,у0) цэгийн ямар нэг

орчинд тодорхойлогдсон боловч энэ цэг дээр

тодорхойлогдоогүй байна.

b) z=f(х,у) функц М0(х0,y0) цэгийн орчны бүх

цэгүүд дээр тодорхойлогдсон боловч

оршихгүй байна.

c) z=f(х,у) функц М0(х0,y0) цэгийн орчны бүх

цэгүүд дээр тодорхойлогдсон

байна.

0

0

lim ,x xy y

f x y

0

0

0 0lim , ,x xy y

f x y f x y

Санамж: Нэг хувьсагчийн функцийнтасралтгүй байх бүх чанарууд олонхувьсагчийн функцийн хувьд биелэгдэнэ.Хэрэв D мужийн М0(х0,y0) цэгийн дурын -орчин D мужид харъяалагдах бахаръяалагдахгүй цэгүүдийг агуулж байвал М0-цэгийг мужийн хилийн цэг гэж нэрлэнэ.

Хэрэв D муж өөрийнхөө бүх хилийн цэгүүдийгагуулж байвал энэ мужийг битүү муж гэжнэрлэнэ.

Хэрэв D мужийг ямар нэг төсгөлөг радиустайтойргийн дотор багтааж болох бол энэ мужийгзааглагдсан муж гэнэ.

Теорем 2.1 Хэрэв z= f(х,у)=f(М) функц D

гэсэн зааглагдсан битүү муж дээр тасралтгүй

бол:

1. Функц D дээр зааглагдсан байна:

2. Функц D муж дээр хамгийн их ба бага

утгандаа хүрнэ.

f M c

Теорем 2.2 f(х,у) функц нь М0(х0, у0) цэг дээр

А хязгаартай байх зайлшгүй бөгөөд

хүрэлцээтэй нөхцөл нь

Үүнд:

Хоѐр хувьсагчийн функцийн адилаар гурав ба

түүнээс дээш хувьсагчийн функцийг

тодорхойлж, хязгаар ба тасралтгүй чанаруудыг

томъѐолж болдог.

,f x y A

0 0

0 0

lim , , , , lim , 0x x x xy y y y

A f x y x y x y

3. Функцийн дифференциал, Тухайн

уламжлал

z=f(х,у) гэсэн хоѐр хувьсагчийн функц авч үзье.

Функцийн М0(x0,y0) цэг дээрх өөрчлөлтийг

у=у0 үед авч үзвэл,

болох ба үүнийг функцийн х-аргументээр

зохиосон тухайн өөрчлөлт гэж нэрлэнэ. Мөн

у-ээр зохиосон тухайн өөрчлөлтийг бичвэл:

0 0 0 0, ,

xz f x x y f x y

0 0 0 0, ,

yz f x y y f x y

- ноогдворын х0 үеийн хязгаарыг f(х, у)

функцийн М0(х0,у0) цэг дээрх х-ээр авсан

тухайн уламжлал гэж нэрлэх ба

гэх мэтчлэн тэмдэглэнэ. Тэгвэл тодорхойлолт

ѐсоор:

Мөн үүний адилаар f(х,у) функцийн М0(х0,y0)

цэг дээр у-ээр авсан тухайн уламжлалыг

тодорхойлбол:

xz

x

0 0

0 0

,, , ' , ' ,

x x

f x yzz f x y

x x

0 0

0

,lim x

x

f x yz

x x

f(x,y) функцийн M(x,y) цэг дээрх тухайн

уламжлалууд нь M цэгийн координатаас

хамаарах тул мөн хоѐр хувьсагчийн функц

болно. Олон хувьсагчийн функцээс аль нэг

хувьсагчаар нь авсан тухайн уламжлалыг

олохдоо, бусад хувьсагчдыг тогтмол гэж

тооцоод ердийн уламжлалын дүрэм ба

томъѐог ашиглана.

0 0 0 0 0 0

0 0

, , ,lim lim

y

y y

z f x y y f x y f x y

y y y

Хоѐр хувьсагчийн функцийн уламжлалуудын

геометр утгыг авч үзье. z=f(х,у) хоѐр

хувьсагчиин функц нь огторгуйд ямар нэг

гадаргууг дүрсэлдэг, ХОҮ-хавтгай дээр

М0(х0,у0) цэгийг авч түүнд харгалзах

гадаргуугийн цэг N-г олъѐ.

z=f(х,у) гадаргууг у=у0 хавтгайгаар огтлоход

огтлолд үүссэн муруйг АNВ гэж тэмдэглэе.

Энэ муруйг z=f(х,у) фуикцийн график гэж үзэж

болно. Тэгвэл нэг хувьсагчийн функцийн

уламжлалын геометр утга ѐсоор0

,

N

df x ytg

dx

үүнд: нь N цэгт ANB муруйд татсан

шүргэгчийн ОХ-тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй

үүсгэсэн өнцөг.

Тэгвэл:

Эндээс гэж гарна.

Үүнд -нь z=f(х,у) гадаргуу ба х=х0 хавтгай

хоѐрын огтлолцлоор үүссэн СND муруйн N-

цэгт татсан шүргэгчийн ОҮ-тэнхлэгийн эерэг

чиглэлтэй үүсгэж буй өнцөг.

00

0 0 0 0 0

0

, , ,limx

Mx x

df x y f x x y f x y z

dx x x

0

0 0,

M

f x yztg

x x

3.1 Функцийн бүтэн дифференциал

z=f(x,y) функц өгөгдсөн гэж үзье. М(х,у)-цэгээс

N(х+x,y+у) цэг рүү шилжихэд гарах

функцийн өөрчлөлтийг функцийн бүтэн

өөрчлөлт гэж нэрлээд z-ээр тэмдэглэе:

Теорем 3.1 Хэрэв z=f(х,у) функц (х,у) цэг дээр

дифференциaлчлагддаг бол энэ цэг дээр

тасралтгүй байна.

, ,z f N f M f x x y y f x y

Теорем 3.2 Хэрэв z=f(x,y) функц (х,у) цэг дээр

дифференциалчлагддаг бол

байна.

Теорем 3.3 Хэрэв өгөгдсөн цэг дээрх

функцийн тухайн уламжлалууд оршдог бөгөөд

тасралтгүй функцүүд бол функц энэ цэг дээр

дифференциалчлагдана.

, ,,

f x y f x yA B

x y